概率與統計基礎：課程介紹本課程旨在幫助學生掌握概率論與數理統計的基本理論和應用方法。通過系統學習，培養數據分析思維和解決實際問題的能力。考核方式包括：平時作業、課堂表現、期中考試和期末考試。概率論與數理統計發展簡史117世紀帕斯卡與費馬的通信開啟概率理論218世紀伯努利家族貢獻大量定理319-20世紀高斯、拉普拉斯推動統計學發展4現代計算機技術促進應用擴展概率與統計的實際應用工程領域質量控制與可靠性分析金融行業風險評估與投資組合優化醫療健康臨床試驗設計與療效分析人工智能機器學習算法基礎基本事件與樣本空間樣本空間(S)隨機試驗所有可能結果的集合基本事件樣本空間中的單個元素隨機事件樣本空間的子集，由多個基本事件組成事件的分類與表示簡單事件只包含一個基本事件1復合事件包含多個基本事件2必然事件等于樣本空間S3不可能事件空集?4頻率與概率相對頻率事件發生次數/試驗總次數隨試驗次數增加趨于穩定概率三種解釋古典概型：等可能性頻率派：頻率極限貝葉斯派：主觀信念度量概率的公理化定義非負性公理任何事件A的概率P(A)≥0規范性公理樣本空間S的概率P(S)=1可加性公理互斥事件概率相加等于并集概率古典概率模型1/6單個骰子點數為4的概率1/52抽一張黑桃A的概率1/2硬幣正面朝上概率古典模型的局限性等可能假設現實中往往不成立有限樣本空間無法處理無限樣本空間蒙特卡洛方法用大量模擬克服局限條件概率與全概率公式條件概率公式P(A|B)=P(A∩B)/P(B)全概率公式事件B通過完備事件組分解應用步驟尋找完備事件組并逐一計算貝葉斯公式先驗概率事件發生的初始信念證據/似然觀察到的新信息后驗概率綜合新證據后的概率更新事件的獨立性事件獨立性定義P(A∩B)=P(A)·P(B)多事件獨立需要兩兩獨立且聯合獨立條件獨立給定C條件下，A和B獨立獨立性檢驗驗證乘法公式是否成立概率樹與有序事件樹形圖構建按事件發生順序畫分支條件概率標記每個分支標記轉移概率路徑概率計算沿路徑相乘得聯合概率總概率求和多條路徑概率相加古典分布：均勻分布與伯努利實驗均勻分布各點概率相等骰子、輪盤賭例子伯努利實驗只有兩種結果：成功/失敗典型例子：拋硬幣成功概率p，失敗概率q=1-p隨機變量的定義隨機變量概念從樣本空間到實數集的映射函數離散隨機變量取值有限或可數無限連續隨機變量取值在區間上連續變化隨機變量的分布律分布函數（CDF）的定義與性質1定義F(x)=P(X≤x)2單調性x1<x2則F(x1)≤F(x2)3右連續性limF(x+h)=F(x),h→0+4規范性limF(x)=0,x→-∞limF(x)=1,x→+∞常見離散分布：二項分布成功次數概率泊松分布及應用排隊論顧客到達銀行的次數稀有事件單位時間內故障發生次數網絡流量服務器請求次數幾何分布與負二項分布幾何分布首次成功前失敗次數P(X=k)=q^k·p應用：抽查直到發現第一個不合格產品負二項分布第r次成功前失敗次數包含幾何分布為特例(r=1)應用：釣魚直到釣到r條魚所需次數常見連續分布：均勻分布概率密度函數f(x)=1/(b-a),a≤x≤b隨機數發生器計算機生成[0,1]隨機數時間模型隨機到達時間點舍入誤差測量誤差建模正態分布與中心極限定理68.3%μ±σ范圍概率95.4%μ±2σ范圍概率99.7%μ±3σ范圍概率指數分布與記憶性概率密度函數f(x)=λe^(-λx),x≥0無記憶性P(X>s+t|X>s)=P(X>t)壽命分析設備失效時間建模服務系統等候時間與服務時間Gamma分布與卡方分布Gamma分布形狀參數α，尺度參數β表示α個獨立指數分布隨機變量之和卡方分布自由度k的Gamma分布特例k個標準正態變量平方和分布應用領域假設檢驗可靠性分析生存分析隨機變量的期望離散期望計算E(X)=∑x·P(X=x)連續期望計算E(X)=∫x·f(x)dx線性性質E(aX+b)=a·E(X)+b決策應用投資回報，風險評估方差與協方差高階矩k階矩E(X^k)k階中心矩E[(X-μ)^k]偏度(三階標準化矩)衡量分布對稱性峰度(四階標準化矩)衡量分布尖銳程度隨機變量的函數分布函數法求Y=g(X)的分布函數再求導密度函數變換利用Jacobian行列式矩母函數法適用于線性變換和平方變換多維隨機變量聯合分布F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)聯合密度f(x,y)=?2F/?x?y區域概率雙重積分計算邊緣分布與條件分布邊緣分布離散：f_X(x)=∑f(x,y)連續：f_X(x)=∫f(x,y)dy消去其他變量的分布條件分布f_Y|X(y|x)=f(x,y)/f_X(x)給定一個變量值后的分布條件分布計算期望：E(Y|X=x)協方差與相關系數XY1(正相關)Y2(負相關)隨機變量獨立性判別獨立性定義F(x,y)=F_X(x)·F_Y(y)離散隨機變量P(X=x,Y=y)=P(X=x)·P(Y=y)連續隨機變量f(x,y)=f_X(x)·f_Y(y)相關系數獨立則ρ=0，反之不成立常用聯合分布模型二維正態分布需要5個參數：μ_x,μ_y,σ_x,σ_y,ρ多項分布二項分布的多維推廣多維泊松過程描述多種事件同時發生分布函數與隨機變量變換Y=g(X)的分布求解步驟方法CDF方法F_Y(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤y)3變量替換法利用Jacobian行列式4應用示例平方變換、指數變換等重要不等式1切比雪夫不等式P(|X-μ|≥kσ)≤1/k22馬爾可夫不等式非負隨機變量X，P(X≥a)≤E(X)/a3柯西-施瓦茨不等式[E(XY)]2≤E(X2)·E(Y2)4實際應用價值無需知道具體分布即可估計概率界限大數定律弱大數定律樣本均值依概率收斂到總體均值臨界值：P(|X?_n-μ|<ε)→1強大數定律樣本均值幾乎必然收斂到總體均值更強的收斂性：P(limX?_n=μ)=1實際應用拋硬幣頻率趨近于0.5保險公司風險評估基礎長期投資回報率計算中心極限定理實用解釋抽樣分布與樣本均值分布樣本均值分布X?~N(μ,σ2/n)方差縮小規律樣本量n增大，方差減小正態性大樣本下趨于正態統計推斷基礎構建置信區間與假設檢驗Bootstrap方法簡介重采樣原理從原樣本有放回地抽取新樣本統計量計算對每個Bootstrap樣本計算興趣統計量分布估計大量重復形成統計量經驗分布優勢無需假設總體分布形式適用于復雜統計量數理統計基本概念總體研究對象的全體樣本從總體中抽取的部分統計量樣本函數，不含未知參數統計推斷點估計與區間估計參數估計方法：矩估計法基本原理樣本矩等于總體矩矩等式建立E(X^k)=(1/n)∑X_i^k方程求解解出未知參數估計值方法優勢計算簡單，應用廣泛最大似然估計（MLE）似然函數構建L(θ)=∏f(x_i;θ)對數似然lnL(θ)=∑lnf(x_i;θ)最大化求解求導數等于零的參數值區間估計及置信區間置信區間定義包含真實參數的隨機區間置信水平區間包含參數的概率(通常95%)區間寬度與樣本量n相關，n增大區間變窄均值區間X?±z_(α/2)·σ/√n假設檢驗基礎零假設H?默認或保守假設備擇假設H?研究者希望證明的觀點檢驗統計量基于樣本數據的計算值P值與顯著性P<α時拒絕H?單樣本均值檢驗（t檢驗）檢驗假設H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?檢驗統計量t=(X?-μ?)/(S/√n)自由度df=n-1決策規則|t|>t_(α/2,n-1)時拒絕H?應用場景樣本量小，總體標準差未知方差分析簡介1單因素方差分析比較多組均值是否相等變異分解總變異=組間變異+組內變異F檢驗F=(組間均方)/(組內均方)應用場景產品質量對比，教學方法評估卡方獨立性檢驗類別A類別B類別C類別D類別E相關與回歸分析r相關系數-1≤r≤1