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文檔簡介

2025年高考數學總復習《函數與導數》專項測試卷及答案

學校:姓名:班級:考號:

m01函數零點問題之分段分析法模型

1.(2023?黑龍江?高三大慶市東風中學??计谥校┰O函數/(x)=f-2e無-啊+。(其中e為自然對數的底

數),若函數人尤)至少存在一個零點,則實數。的取值范圍是

,1,1

A.(0,e2——]B.(0,e2+~]

ee

C.[e2——,+co)D.(-co,e2+—]

ee

【答案】D

【解析】令/(x)=Y—2e無一=0,貝lja=—無?+2ex+^^(無>。),設/?(無)=—無?+,令

XXX

\(x)=-x2+2ex,a(x)=[,貝他《)=三手,發現函數田力血⑺在(0,e)上都是單調遞增,在[自+⑹

上都是單調遞減,故函數可引=-1+2夕+一在(0,e)上單調遞增,在[e,+8)上單調遞減,故當x=e時,

得Mx)max=e2+j所以函數至少存在一個零點需滿足。金⑺1mx,即應選答案D.

2.(2023?湖北?高三校聯考期中)設函數/(無)='-2ex2+,-lnx,記g(x)=f*,若函數g(x)至少存

在一個零點,則實數加的取值范圍是

A.1-00,/+工]B.^0,e2+-^jC.^0,e2+-D.^-℃,e2+-

【答案】D

【解析】由題意得函數?、诺亩x域為(0,+8).

T7/、/(%)2cIn%

又g3=------=x—lex+m--------,

xx

??,函數g(%)至少存在一個零點,

/.方程/一2夕+相----=。有角軋

x

即m=-x2+2ex+電^有解.

x

(p(^x)——%2+2exH-----,x〉0,

x

第1頁共85頁

,/、cc1-lnx?、1—Inx

貝U(p(x)——lx+2eH-------=2(e—x)H-------—,

???當X£(o,e)時,"(x)>0,9(尤)單調遞增;當X£(G+8)時,°'(%)單調遞減.

2

,0(%)max=9(e)=e+-1-

e

又當XfO時,?(工)一—8;當%f+oo時,(p(x)-?-00.

要使方程加=+2夕+也有解,則需滿足“Ve2+1,

xe

實數m的取值范圍是(-8,e2+-].

e

故選D.

3.(2023?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=xex-a(x+lnx)(e為自然對數的底數)有兩個不同零點,

則實數。的取值范圍是.

【答案】3+w

【解析】由/'(x)=xeX-a(x+lnx),=(x+l)gA-a(l+-)=(x+1)-Ag,且x>0

由x>0,貝1Jx+l>0,xex>0

若aWO,貝iJxe-a>0,此時〃尤)在包+⑹上單調遞增,至多有一個零點,不滿足題意.

若a>0,設/?(x)=xe*-4,則/(尤)=(%+1),>0,所以/z(x)在(0,+8)上單調遞增

由萬(0)=0,所以無靖=a有唯一實數根,設為%,即

則當0<尤<不時,xe^<a,尸(無)<0,則〃x)在(。%)單調遞減,

x

當了>與時,Xe>a,>0,則在(如+oo)單調遞增,

所以當x=x0時,"X)1111n=〃%)=/*-a(^+lnx0)

x

由毛/。=a可得In,%/。)=lna,BPInx0+Ine°=Ina,即lnx()+/=Ina

所以“Mmin=〃Xo)=a-a1n即(a>0)

又當x30時,

當x一行,指數函數增加的速度比對數函數增加的速度快得多,可得/

所以函數/。)=布-。(彳+111工)有兩個不同零點,則/(可勒=/(%)=a—alna<0

第2頁共85頁

設g(x)=x-xlnx,則g[x)=-lnx

當尤e(O,l)時,有g'(x)>0,則g(x)在(0,1)上單調遞增.

當xe(l,+<?)時,有g<x)<0,則g(x)在。,+℃)上單調遞減.

又當x-?0時,g(X)—O,g(e)=O

所以當0<x<e時,g(x)>0,當尤>e時,g(x)<0,

所以a-Mna<0的解集為。>e

故答案為:(e,+<?)

4.(2023?全國?高三專題練習)已知函數〃x)=4elnx匚+〃式存在4個零點,則實數機的取值范圍

x-elax

是.

【答案】(0,1)

【解析】轉化為/(x)=4elnx--------+爾=0有四個解,

x-dnx

即4elnx---------Fmx=O在x>0范圍內有四個解,

x-elnx

即4啰竺-----——+加=0在%>0范圍內有四個解,

xx-elnx

即T——4型竺=加在彳>0范圍內有四個解,

x—elnxx

1elnx_

即ielnx尤機在x>0范圍內有四個解,

1---------

X

人(\elnx

令g(x)=---

X

,/、e(l-ln.x)

貝I]g(x)=-—

令8'(無)=0得子=0,

所以當0<x<e時,g'(x)>0,當%>e時,g'(x)<0,

pinx

所以g(x)=吧在(0,e)單調遞增,在(e,+8)單調遞減,

x

所以g(X)max=g(e)=l,

做出g(X)大致圖像如下:

第3頁共85頁

人z、elnx

令/=g(x)=——

X

則原方程轉化為」-書=〃&<1),

l-t

令h(t)=----4-t,

l-t

“⑺二^^-4

(1-0'

令”⑺=0得£二萬,

11

當”一時,^(0<0,當一</<1時,hf(t)>0,

22

所以/,⑺在(-/1)遞減,在§,1)遞增,

做出〃(X)大致圖像如下:

所以修€(0,1)時,對應解出兩個"直,

從而對應解出四個X值,

故答案為:〃ze(0,1).

第4頁共85頁

W02函數嵌套問題

5.(2023?云南保山?高三統考期末)定義域為R的函數〃幻=[乎匕一4"4,若關于x的方程

〔l,x=4

/2。)+2/'(;0+〃=0恰有5個不同的實數解毛,巧,X3>匕,4,則所有實數4,巧,X3,Z,毛之和為

()

A.12B.16C.20D.24

【答案】C

【解析】設t=/(x),則關于x的方程尸⑺+時(x)+〃=0等價為產+,加+"=0,

作出了(刈的圖象如圖:由圖象可知當t=l時,方程/(x)=l有三個根,

當rwl時方程/(*)=,有兩個不同的實根,

若關于X的方程/。)+時(x)+〃=0恰有5個不同的實數解A,巧,尤3,相,%,

則等價為產+“"+"=0有兩個根,一個根f=l,另外一個根frl,

不妨設王<工2<無3<尤4<%,對應的兩個根X1與尤5,巧與乙分別關于尤=4對稱,

則%=4,則X]+為5=8,且三+4=8,

貝ljx1+x2+x3+x4+x5=20,

故選:C.

----xwe

6.(2023?全國?高三福建省福州第八中學校考期末)定義在R上函數/(x)=|x-e廣,若關于x的方

l,x=e

程"00『-(1+$皿。)"(無)+$1116=0(其中0<6|<:!)有"個不同的實根不,々,…,x“,則/(%+%+3+%)=

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A.—B.—C.4eD.5e

4e3e

【答案】A

【解析】由[/OOF—(l+sine)/(x)+sin6=0,得(/(無)-1)(/(%)—sin8)=0.

?."⑴=1或f(x)=sin0e(0,1)nf(x)=1及/(%)=sin6,函數〃尤)圖像如圖所示,由圖可知,共有五個根玉,

須,工3,元4,/,且%3=e,/和毛關于x=e對稱,4和元4關于x=e對稱,所以為%+々+%+%+%=5e,

「?/(玉+%+???+%)=f(5e)=----1.

故選:A.

7.(2023?四川廣安?高三四川省鄰水縣第二中學校考階段練習)設定義域為R的函數/(尤)=,+1],

1,x=-1

若關于X的方程/2(x)+4(x)+b=0有3個不同的實數解制、X2、%3且X/VX2<X3,則下列說法中鎮送的是

()

A.x;+x;+x;=5B.1+^+/?=0

C.XI+X3=—2D.XI+X3>2x2

【答案】D

【解析】分段函數/(x)=伊+1|的圖象如圖所示:

l,x=-1

第6頁共85頁

由圖可知,只有當/(尤)=1時,它有三個根,其余的根為0或2個,

由1^=1,即|x+l|=l,

I九+1]

解得x=0,%=—2或%=—1.

若關于%的方程/2(x)+4(x)+Z,=0有且只有3個不同實數解,只能為

其解分別是一2,-1,0,因為演<%2<工3,即演=一2,%2=-1,X3=。,

.,?k+考+后=4+1+0=5,玉+毛=-2,a+b+l=o,故正確的有ABC

故選:D.

8.(2023?安徽亳州?高三安徽省亳州市第一中學??茧A段練習)設定義域為R的函數/(x)=|x+l|,

l,x=-l

若關于x的方程"(x)f+4(x)+b=0有且僅有三個不同的實數解X,%,W,且%<%<三.下列說法錯誤的是

()

A.無;+尤;+x;=5B.1+a+b=0C.x1+x}=-2D.X]+x3>2x2

【答案】D

?----^,xw-1

【解析】分段函數/(x)=|尤+1]的圖象如圖所示:

第7頁共85頁

由圖可知,只有當/(x)=l時,它有三個根,其余〃x)=(wl)的根為?;?個,

由-=1,即|x+l|=l,

|%+1|

解得%=0,x=—2或%=—1.

若關于犬的方程尸⑺+43+力=。有且只有3個不同實數解,只能為〃%)=1,

其解分別是一2,-1,0,因為石<%2<%3,即%1=-2,%2=-1,%3=°,

.,.片+君+考=4+1+0=5,玉+為=-2,〃+b+l=0,故正確的有ABC,

故選:D.

9.(2023?全國?高三專題練習)已知函數f(x)=工-1,若關于x的方程尸。)+妙⑶+c=0恰有6個不同

|x|

的實數解,貝W,c的取值情況不可能的是()

A.—1<6<0,c=0B.l+fe+c>0,c>0

C.l+b+c<0,c>0D.l+b+c=0,0<c<l

【答案】B

【解析】

第8頁共85頁

令于(4=t,則/+初+c=0,

則有t=%兩解,

必有0"<1,G21,或者。<4<1/2=0,

若①,0<r1<l,/2=0,則c=0,止匕時產+從=0,得仁一b,滿足0<-6<1,即一1<6<0,止匕時為A;若

②,0<^<1,12=1,此時1+1+,=0,柩2=。,則0vc<l,此時為D;若③,0<^<1,/2>1,此時優=〈>0,

l+b+c<0,此時為C,所以選項ACD都有可能.

故選:B

■題903函數整數解問題

10.(2023?黑龍江綏化?高三校考階段練習)已知函數〃x)="(x+l)-In%,若/(力<。有且只有兩個整

數解,則左的取值范圍是()

In5In2In5In2

A.B.

~3O97O~~3O97O~

In2In3In2In3

C.而,五D.而,五

【答案】C

【解析】由題設,定義域為(0,+功,則〃x)V0可得%(x+l)V皿,

X

/、Inxp“、1-lnx

令Ag(x)=---,貝!]g(無)=——

XX

所以0<x<e時g'(x)>0,即g(x)遞增,值域為(-00,2);

e

%X時/(尤)<0,即g(無)遞減,值域為(0,3;

e

第9頁共85頁

而y=-x+l)恒過(-1,0),函數圖象如下:

若交點的橫坐標為再<%2,貝!]1<%1<2<3?々<4,

“In2

3k<—

2

/7,In3In2.In3

所以4k<——,即nn——<k<——.

31012

In4

5k>——

4

故選:C

H.(2023?全國?高三專題練習)已知不等式%lnx+(x+l)左<2Hn2的解集中僅有2個整數,則實數上的

取值范圍是(

<3,42,小七上"2

ainB.叫,叫C.—In2,+ooD.

-Ht]433

【答案】D

[解析]由xlnx+x(k—In4)+上<0可得:k(x+1)<xln4-xlnx,設/(x)=k(x+1),g(x)=xln4-xlnx,

g,(x)=ln4-lnx-l,時,g'(x)>0,g(x)單調遞增,xeg,+co)時,g,(x)<0,g(x)單調遞減,

則當彳=:時函數g(x)取得最大值,如示意圖:

f(2]<g(2}342

由圖可知,當左V0時,整數解超過了2個,不滿足題意;當0時,需滿足

/(3)>g(3)w433

第10頁共85頁

故選擇:D.

12.(2023?全國?高三校聯考階段練習)已知函數,(同=(了+2)3,若對任意的xe(0,+?)),都有

/(x)>a(e工-1)成立,則整數°的最大值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

[解析]對任意的xe(0,包),^-1>0,故〃x)>a(e-1)變形可得a<[丁恒成立,設g(司=(二2:,

(x+3)e“e'-l)-(x+2)eJe"1(/_尤_3)

貝"'(》)=-------'/,、2----------=————令M"=e'r—3,則”(x)=e*_l>0,故人⑺為

(eT)(el)

增函數,且Ml)=e-4<0,M2)=e2-5>0,故存在唯一毛e(l,2)使得旗M)=0,故當x€(0,x°)時,g'(x)<0,

g(x)單調遞減;xe(%,4w)時,g,x)>0,g(x)單調遞增;故且皿小(x)=g&)=(/:2):,又網%)=0,

故e&=Xo+3,故g(x0)=(一+2)(:+3)=丁+3?4,5),又a<g(x)恒成立,故整數a的最大值為4

故選:B

13.(2023?江蘇蘇州?高三???已知函數/(x)=e,-26-1在區間(-1,1)內存在極值點,且/(x)<0在R

上恰好有唯一整數解,則實數。的取值范圍是()

【答案】D

【解析】V/(x)=ev-2ax-l,Af,(x)=ev-2a,

當aW0時,制^)>。恒成立,\/(X)在(-M)上單調遞增,不存在極值點,不合題意;

當a>0時,令/'(x)=0,解得x=ln2a,

「當xe(-<x>,ln2a)時,f'(x)<0;當xe(in2a,+co)時,>0;

\/(x)在(ro,ln2a)上單調遞減,在(in2a,+oo)上單調遞增;

\的極小值點為x=ln2a,無極大值點;

第11頁共85頁

在(T,l)上存在極值點,...%=ln2ae(-l,l),

當ln2a=0,即。=g時,/(x)>/(o)=o,則/(x)<0在R上無解,不合題意;

當-l<ln2a<0時,\-/(0)=0,故要使〃“<0恰有唯一整數解,則該整數解為x=-l,

-l<ln2tz<0

1e-]_i

-+2a-l<0,解得—<。<上e」;

-4+4A-1>0

、e

當0<ln2a<1時,:的尸。,故要使/(x)<0恰有唯一整數解,則該整數解為x=l,

0<In2〃<1

綜上所述,實數。的取值范圍為

故選:D.

004唯一零點求值問題

14.(2023?全國?高三專題練習)已知函數〃月=311-。(21+21)“2有唯一零點,則負實數”=

【答案】C

【解析】注意到直線x=1是y=31T和y=2一+的對稱軸,故x=1是函數〃尤)的對稱軸,

若函數有唯一零點,零點必在x=l處取得,所以f(l)=3-2a-a2=0,又。<0,解得。=-3.

選C.

15.(2023?全國?高三階段練習)已知函數/(%)=/一2犬+〃31+,川)有唯一零點,貝巾=

【答案】C

【解析】因為/'(%)=%2—2無+a(di+eTM)=(x-iy+a(ei+eTM)-l,設r=x-l,貝1|

第12頁共85頁

/(x)=g(?)=Z2+a(ez+e-,)-l,因為g(/)=g(T),所以函數g⑺為偶函數,若函數/(無)有唯一零點,則

函數g")有唯一零點,根據偶函數的性質可知,只有當f=0時,g?)=0才滿足題意,即尤=1是函數“X)的

唯一零點,所以2°-1=0,解得a="故選:C.

2

'X_1_x+l、

16.(2023?云南曲靖?高三曲靖一中校考階段練習)已知函數/(x)=〃220+2-"5+1-工有唯一零點,

則m的值為()

A.--B.-C.-D.-

2328

【答案】D

【解析】/(X)有零點,則?2引+2T[=-尤2+彳=_1一£|+:,

令f=則上式可化為機(2'+2-')=-r+;,

2

—產-I----1-

因為2+2T>0恒成立,所以4,

m=---------

7+2一

21/\2171

A-tH---ryj.lH----t-\-------

^//(?)=-一V則M-r)=—=-一^=3),

''2,+2-,l'2T+2'2'+2-'V'

故〃⑺為偶函數,

因為f(x)有唯一零點,所以函數〃⑺的圖象與'=7。有唯一交點,

結合〃⑺為偶函數,可得此交點的橫坐標為0,

1

故加=力⑼=04旬=-,

''2°+2-°8

故選:D

17.(2023?山西?高三統考)已知數列{%}的首項q=1,函數“*=/+%+40$2》-(24+1)有唯一零點,

則通項?!?()

A.3"-B.2"TC.2n-lD.3"-2

【答案】C

44

[解析】/(-x)=(-x)+an+lcos(-2x)-(2a?+l)=x+an+lcos2x-(2an+1)=/(x),

第13頁共85頁

\/(x)為偶函數,圖象關于〉軸對稱,

\了(勾的零點關于y軸對稱,又““有唯一零點,\/⑴的零點為x=o,

即/(0)=。用一(2%+1)=0,用=2%+1,即。用+1=2(4+1),

又生+1=2,.?.數歹£4+1}是以2為首項,2為公比的等比數列,

「.a〃+l=2",則?!?2〃一1.

故選:C.

0^型05等高線問題

%2—2rnoc+2+XWtn

18.(2023?全國?高三專題練習)已知函數f(x)=,,'',其中0<加<1,若存在實數。,

|log3x|,x>m,

使得關于X的方程y(x)=。恰有三個互異的實數解,則實數機的取值范圍是()

【答案】D

【解析】因為0<機<1,

所以/(x)的大致圖象,如圖所示:

因為存在實數。,使得關于x的方程/(%)=。恰有三個互異的實數解,

所以現3對>2,又0<機<1,

第14頁共85頁

解得0<"2<g,

故選:D

llgx|,x>0..,,5

19.(2023?全國?高三專題練習)已知函數g(x)=[TR,X<。,若關于'的方程》叫2—5有四

個不等根尤1,%,尤3,彳4,則及+N+F+X4+ga)+g(%)+g(F)+g(x4)的值是()

A.0B.2C.4D.8

【答案】A

【解析】由方程2gW+2七⑸=|可得g(x)=±1,

因為函數g(x)=[fl,lg]xlg,xL>h0<0,

設x>0,則一無<0,則g(x)+g(r)=|lg%|+(-|lg-(f)|)=|lg%|—|lgx|=O,

所以g(%)為奇函數且毛,4,了3,%是g(%)=±l的根,

所以玉+工2+%3+工4=0,

不妨有g(石)=g(%2)=T,g(W)=g(%4)=l,

所以g(M)+g(%2)+g(%3)+g(%4)=。?

故石+々+忍+%4+以可)+々(%2)+以%3)+且(尤4)的值是0.

故選:A.

20.(2023?寧夏?高三寧夏大學附屬中學??茧A段練習)已知函數/(x)=t:+N,:'°若關于x的方程

|log2x|,x>0

/(尤)="(。?尺)有四個不同實數解尤1,%,吃,工4,且再<尤3,則為+%+瑪+七的取值范圍為()

A.(-2,-]B.[-2,-]C.[-2,內)D.(-2,+8)

44

【答案】A

【解析】作出函數的圖象,如圖,作直線丁=應當0<aV2時,直線y=a與函數/⑴圖象有四個交點,

由圖象知芯+々=-4,-logjX,=log2x4,即%3%4=1,/(°)=2,

-logx=2,x=—,所以

244

所以西+尤2+尤3+匕=-4+尤3+工,由對勾函數性質知函數>=-4+退+2?在J」]上是減函數,所以

x.X..4)

第15頁共85頁

x3G時,y=-4+x3+—e|-2,^-

x2+4x+2,x<l,

21.(2023?湖北武漢?高一期末)已知函數〃x)=<若關于X的方程〃x)=t有四個不

|log2(x-l)|,x>l,

同的實數解玉,巧,尤3,乙,且占<工2<退<尤4,貝!](后+芭)(6-%)+2毛+3匕的最小值為()

7Q1

A.-B.8C.-D.;

222

【答案】D

【解析】函數圖像如圖所示,

/(1)=7,,£(0,7],jq<-2<x2<1<x3<2<x4,+x2=-4,

由.log3(毛一1)=log3(%—1)nlog3(毛-1)(^4-l)=0^>(毛-l)(x4-l)=l,

+

2退+;]4=2(^-l)+^-(x4-1)+|->-1)(X4-1)~=~,

第16頁共85頁

3

當且僅當兀3=3%=3時,等號成立,此時才=1;

+玉)(^/^—馬)=—^―^3—x^\/3—xj%]+X2Y

22J=-4,當且僅當

西=一2—g,無2=—2+6時等號成立,此時r=1.

所以(6+%)(石一工2)+2工3+耳%4的最小值為萬一4=5.

故選:D

?題型06分段函數零點問題

\-x+2,x<a

22.(2023?四川綿陽?四川省綿陽南山中學??家荒#┮阎?gt;0,函數/(劃二2/,,若了。)

[x—4ox+3,x>a

恰有2個零點,則。的取值范圍是()

A.u[2,+oo)B.(0,1)」2*)

C.u[2,+oo)D.h'T

【答案】A

【解析】①若x=2是一個零點,貝1|需要/(了)=/一4辦+3(x>。)只有一個零點,

即有aN2,且此時當時,需要V-4以+3=0(x>")只有一個實根,

ffi]A=16a2-12>16x22-12>0,

解方程根得x=2a±"。2_3

易得2a74a2-3<2<a<2a+J4a?—3?

即當aN2時,/(x)恰有2個零點,%=2,%=24+”打一3.

②若尤=2不是函數的零點,則x=2a±"?三為函數的2個零點,

a<2

于是{A=16〃2—12〉0,

a<2〃—d4/-3

解得:

2

第17頁共85頁

綜上:aw*,1U[2,+8).

12)

故選:A.

xln%%>0

23.(2023?全國?高三專題練習)已知函數〃元)=,;c,若函數g(x)=/(x)-左有三個零點,則(

\l—x,x<0

11

A.—ev左<1B.—<%<1C.—e<左<0D.—<%<0

ee

【答案】D

【解析】要使函數/(%)=左有三個解,則y=/(x)與>=左有三個交點,

當x>0口寸,f(x)=xln%,則r(x)=lnx+l,可得/(x)在上遞減,在遞增,

;.x>0時,f(無)=尤卜%有最小值/(工]=-1,且0<*<』時,xlnx<0;

ee

當xf0+時,/(尤)->。;當xf+8時,/(月—依;

當xWO時,/。)=一/+1單調遞增;

.?.Ax)圖象如下,要使函數g(x)有三個零點,貝〈人<0,

e

24.(2023?廣東廣州?高三廣州市真光中學??计谀?定義在R上的奇函數〃%),當尤20時,

log](x+l),xe[0,l)

,5,則關于x的函數P(x)=〃x)-a(0<a<l)的所有零點之和為()

l-|x-3|,x6[1,+O0)

A.2fl-lB.1-2"

第18頁共85頁

c.2-a-lD.l-2-a

【答案】B

【解析】由題設,畫出。+⑹上/*)的大致圖象,又為奇函數,可得/(刈的圖象如下:

/⑴的零點,即為方程/⑺-。=0的根,即圖像與直線,的交點.

由圖象知:〃x)與y=。有5個交點:若從左到右交點橫坐標分別為王,々,%,%,%,

1、%,尤2關于1=-3對稱,玉+々=-6;

2、退<0且滿足方程/'(三)=。=一/(玉)=一。=〃一毛)=一。即1°81(一三+1)=。,解得:迅=1-2。;

2

3、關于%=3軸對稱,則%+%5=6;

/.%+/+%3+*4+毛=1-2"

故選:B

2+21

-----i--I3

25.(2023?全國?高三專題練習)已知函數,。)=2,則函數/無)=打〃司]-2〃司-5的

2

|log2(x-l)|,x>l

零點個數是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】令r=/(x),F(x)=0,則/⑺-2一]3=0,

3

作出y=/(x)的圖象和直線y=2x+:,由圖象可得有兩個交點,設橫坐標為小人

第19頁共85頁

當了⑴=4時,有戶2,即有一解;當73=L時,有三個解,

綜上,尸(x)=0共有4個解,即有4個零點.

故選:A

一07函數對稱問題

26.(2023?陜西渭南?高三渭南市瑞泉中學校考階段練習)若直角坐標平面內A,3兩點滿足:①點A,B

都在函數/(尤)的圖象上;②點A,B關于原點對稱,則稱點(A3)是函數/(尤)的一個“姊妹點對”點對(AB)與

\ax—\(x<0)

(尻A)可看作是同一個“姊妹點對”.已知函數/(%)=〈/八、恰有兩個“姊妹點對”,則實數。的取值范

[lnx(x>0)

圍是()

A.0<a<e~2B.0<a<e~2C.0<a<e~{D.0<?<e-1

【答案】A

ax-l(x<0)

【解析】由題意知函數/(為=恰有兩個“姊妹點對”,

Inx(x>0)

等價于函數/(%)=ln%,x>。與函數g(x)=G:+l,九2。的圖象恰好有兩個交點,

所以方程1口光=辦+1,即lnx-ov-l=0在(0,+8)上有兩個不同的解,

構造函數以%)=lnx-改一1,則"'(%)=,一。,

當時,函數久劃區間(0,+8)上單調遞增,不符合題意;

當。>0時,令〃'(x)>0,解得0<X<工,所以函數〃(尤)在區間(0-]上單調遞增,

令〃(x)<0,解得龍〉工,所以函數/1(尤)在區間(L+s]上單調遞減,

a\a)

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所以'J>。,解得Owe'

又由/z(e)=lne-ae-l=-ae<0,所以函數%(x)在上有且僅有一個零點,

r-119-A/Y

令M(x)=lnx-?-l,貝!!"(%)=-----j==-----------,

xx2x

令AT(x)>0,解得0vxv4,所以函數MQ)在區間(。,4)上單調遞增,

令M,(x)<0,解得]>4,所以函數加⑴在區間(4,+8)上單調遞減,

所以"(%以="(4)=1口4—3<0,

所以M(x)=lnx—?—l<M(4)<0,即lnx<?+l,

又由=]n-^r—ax-^-—l<A/-^-+1-axW-1=V2)<0,

\a)aaVaaVa

所以函數以X)在[LW]上有且僅有一個零點.

\aa)

綜上可得:0<a<],即實數。的取值范圍是(0,1).

故選:A.

27.(2023?湖南長沙?高三長沙市雅禮實驗中學??奸_學考試)若直角坐標平面內A3兩點滿足條件:

①點A8都在〃力的圖像上;

②點A,B關于原點對稱,則對稱點對(A3)是函數的一個“兄弟點對”(點對(AB)與(B,A)可看作一個“兄弟

點對").

COSX|x01

已知函數〃x)=\則"無)的“兄弟點對”的個數為()

1gXIX〉U|

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】設P(x,y)(x<0),則點尸關于原點的對稱點為(r,-y),

于是,cosx=-lg(-x),只需判斷方程根的個數,

即〃(%)=3%彳<0與5(%)=-坨(一%),*<0圖像的交點個數,

因為0(-切=一1,5(—^r)=—lg7r>—1;p(—3萬)=—1,s(—3萬)=—lg3%>—1;

0(-5萬)=-1,5(-5^)=-lg5^<-l;

作出兩函數的圖象,由圖知,p(x)=cosx,xW。與s(x)=-lg(r),x<0的圖象有5個交點,所以的“兄

第21頁共85頁

弟點對”的個數為5個.

故選:D.

28.(2023?全國?高三專題練習)若不同兩點尸、。均在函數y=/(x)的圖象上,且點尸、。關于原點對

稱,則稱(尸,。)是函數y=/(x)的一個,匹配點對”(點對(尸,。)與x=0視為同一個“匹配點對”).已知

->o

〃x)=,ex,x"恰有兩個“匹配點對”,則。的取值范圍是()

2ax2<0

A.B.-5。C.D.4°

【答案】B

【解析】函數y=2℃2(x<o)的圖象關于原點對稱的圖象所對應的函數為y=-2ax\x>0),

/⑺的圖象上恰好有兩個“匹配點對”等價于函數尸。壯。)與函數尸-2底(、>。)有兩個交點,

即方程-2〃爐=工。>0)有兩個不等式的正實數根,

e

X

即-2“=了食>。)有兩個不等式的正實數根,

X

即轉化為函數g(x)=/(x>。)圖象與函數尸-2"圖象有2個交點.

當0<x<l時,g'(x)>0,g(x)單調遞增.

當X>1時,g<x)<0,g(x)單調遞減.且x->0時,g(x)-0,Xf+8時,g(x)f0

所以g(x)Vg6=L

e

X

所以g(x)=/(x>。)圖象與函數廣-2.圖象有2個交點.

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29.(2023?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中??计谥?若函數y=/(x)圖象上存在不同的兩點A,3關于>

軸對稱,則稱點對[A,為是函數y=f(x)的一對“黃金點對”(注:點對[A,切與[8,A]可看作同一對“黃金點

3X,x<0

對”).已知函數/(嗎=卜尤2+4.%0W4,則此函數的“黃金點對”有()

X?-1Ox+24,x>4

A.0對B.1對C.2對O.3對

【答案】D

【解析】由題意,不妨設Ax。,%),8(一%,%)且不>。,

①當。<%W4時,-%2+4尤。=3一演,即為為y=f2+4x與>=3一,在(0,4]的交點的橫坐標,如下圖:

故此函數在(0,4]的“黃金點對”有2對;

2

②當%>4時,XO-1OXO+24=3^?,%為〉=/一10工+24與〉=3-,在(4,+00)的交點的橫坐標,如下圖:

第23頁共85頁

故此函數在(4,+8)的“黃金點對”有1對,

綜上所述

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