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文檔簡介
2025年高考數學總復習《函數與導數》專項測試卷及答案
學校:姓名:班級:考號:
m01函數零點問題之分段分析法模型
1.(2023?黑龍江?高三大慶市東風中學??计谥校┰O函數/(x)=f-2e無-啊+。(其中e為自然對數的底
數),若函數人尤)至少存在一個零點,則實數。的取值范圍是
,1,1
A.(0,e2——]B.(0,e2+~]
ee
C.[e2——,+co)D.(-co,e2+—]
ee
【答案】D
【解析】令/(x)=Y—2e無一=0,貝lja=—無?+2ex+^^(無>。),設/?(無)=—無?+,令
XXX
\(x)=-x2+2ex,a(x)=[,貝他《)=三手,發現函數田力血⑺在(0,e)上都是單調遞增,在[自+⑹
上都是單調遞減,故函數可引=-1+2夕+一在(0,e)上單調遞增,在[e,+8)上單調遞減,故當x=e時,
得Mx)max=e2+j所以函數至少存在一個零點需滿足。金⑺1mx,即應選答案D.
2.(2023?湖北?高三校聯考期中)設函數/(無)='-2ex2+,-lnx,記g(x)=f*,若函數g(x)至少存
在一個零點,則實數加的取值范圍是
A.1-00,/+工]B.^0,e2+-^jC.^0,e2+-D.^-℃,e2+-
【答案】D
【解析】由題意得函數?、诺亩x域為(0,+8).
T7/、/(%)2cIn%
又g3=------=x—lex+m--------,
xx
??,函數g(%)至少存在一個零點,
/.方程/一2夕+相----=。有角軋
x
即m=-x2+2ex+電^有解.
x
(p(^x)——%2+2exH-----,x〉0,
x
第1頁共85頁
,/、cc1-lnx?、1—Inx
貝U(p(x)——lx+2eH-------=2(e—x)H-------—,
???當X£(o,e)時,"(x)>0,9(尤)單調遞增;當X£(G+8)時,°'(%)單調遞減.
2
,0(%)max=9(e)=e+-1-
e
又當XfO時,?(工)一—8;當%f+oo時,(p(x)-?-00.
要使方程加=+2夕+也有解,則需滿足“Ve2+1,
xe
實數m的取值范圍是(-8,e2+-].
e
故選D.
3.(2023?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=xex-a(x+lnx)(e為自然對數的底數)有兩個不同零點,
則實數。的取值范圍是.
【答案】3+w
【解析】由/'(x)=xeX-a(x+lnx),=(x+l)gA-a(l+-)=(x+1)-Ag,且x>0
由x>0,貝1Jx+l>0,xex>0
若aWO,貝iJxe-a>0,此時〃尤)在包+⑹上單調遞增,至多有一個零點,不滿足題意.
若a>0,設/?(x)=xe*-4,則/(尤)=(%+1),>0,所以/z(x)在(0,+8)上單調遞增
由萬(0)=0,所以無靖=a有唯一實數根,設為%,即
則當0<尤<不時,xe^<a,尸(無)<0,則〃x)在(。%)單調遞減,
x
當了>與時,Xe>a,>0,則在(如+oo)單調遞增,
所以當x=x0時,"X)1111n=〃%)=/*-a(^+lnx0)
x
由毛/。=a可得In,%/。)=lna,BPInx0+Ine°=Ina,即lnx()+/=Ina
所以“Mmin=〃Xo)=a-a1n即(a>0)
又當x30時,
當x一行,指數函數增加的速度比對數函數增加的速度快得多,可得/
所以函數/。)=布-。(彳+111工)有兩個不同零點,則/(可勒=/(%)=a—alna<0
第2頁共85頁
設g(x)=x-xlnx,則g[x)=-lnx
當尤e(O,l)時,有g'(x)>0,則g(x)在(0,1)上單調遞增.
當xe(l,+<?)時,有g<x)<0,則g(x)在。,+℃)上單調遞減.
又當x-?0時,g(X)—O,g(e)=O
所以當0<x<e時,g(x)>0,當尤>e時,g(x)<0,
所以a-Mna<0的解集為。>e
故答案為:(e,+<?)
4.(2023?全國?高三專題練習)已知函數〃x)=4elnx匚+〃式存在4個零點,則實數機的取值范圍
x-elax
是.
【答案】(0,1)
【解析】轉化為/(x)=4elnx--------+爾=0有四個解,
x-dnx
即4elnx---------Fmx=O在x>0范圍內有四個解,
x-elnx
即4啰竺-----——+加=0在%>0范圍內有四個解,
xx-elnx
即T——4型竺=加在彳>0范圍內有四個解,
x—elnxx
1elnx_
即ielnx尤機在x>0范圍內有四個解,
1---------
X
人(\elnx
令g(x)=---
X
,/、e(l-ln.x)
貝I]g(x)=-—
令8'(無)=0得子=0,
所以當0<x<e時,g'(x)>0,當%>e時,g'(x)<0,
pinx
所以g(x)=吧在(0,e)單調遞增,在(e,+8)單調遞減,
x
所以g(X)max=g(e)=l,
做出g(X)大致圖像如下:
第3頁共85頁
人z、elnx
令/=g(x)=——
X
則原方程轉化為」-書=〃&<1),
l-t
令h(t)=----4-t,
l-t
“⑺二^^-4
(1-0'
令”⑺=0得£二萬,
11
當”一時,^(0<0,當一</<1時,hf(t)>0,
22
所以/,⑺在(-/1)遞減,在§,1)遞增,
做出〃(X)大致圖像如下:
所以修€(0,1)時,對應解出兩個"直,
從而對應解出四個X值,
故答案為:〃ze(0,1).
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W02函數嵌套問題
5.(2023?云南保山?高三統考期末)定義域為R的函數〃幻=[乎匕一4"4,若關于x的方程
〔l,x=4
/2。)+2/'(;0+〃=0恰有5個不同的實數解毛,巧,X3>匕,4,則所有實數4,巧,X3,Z,毛之和為
()
A.12B.16C.20D.24
【答案】C
【解析】設t=/(x),則關于x的方程尸⑺+時(x)+〃=0等價為產+,加+"=0,
作出了(刈的圖象如圖:由圖象可知當t=l時,方程/(x)=l有三個根,
當rwl時方程/(*)=,有兩個不同的實根,
若關于X的方程/。)+時(x)+〃=0恰有5個不同的實數解A,巧,尤3,相,%,
則等價為產+“"+"=0有兩個根,一個根f=l,另外一個根frl,
不妨設王<工2<無3<尤4<%,對應的兩個根X1與尤5,巧與乙分別關于尤=4對稱,
則%=4,則X]+為5=8,且三+4=8,
貝ljx1+x2+x3+x4+x5=20,
故選:C.
----xwe
6.(2023?全國?高三福建省福州第八中學??计谀┒x在R上函數/(x)=|x-e廣,若關于x的方
l,x=e
程"00『-(1+$皿。)"(無)+$1116=0(其中0<6|<:!)有"個不同的實根不,々,…,x“,則/(%+%+3+%)=
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A.—B.—C.4eD.5e
4e3e
【答案】A
【解析】由[/OOF—(l+sine)/(x)+sin6=0,得(/(無)-1)(/(%)—sin8)=0.
?."⑴=1或f(x)=sin0e(0,1)nf(x)=1及/(%)=sin6,函數〃尤)圖像如圖所示,由圖可知,共有五個根玉,
須,工3,元4,/,且%3=e,/和毛關于x=e對稱,4和元4關于x=e對稱,所以為%+々+%+%+%=5e,
「?/(玉+%+???+%)=f(5e)=----1.
故選:A.
7.(2023?四川廣安?高三四川省鄰水縣第二中學??茧A段練習)設定義域為R的函數/(尤)=,+1],
1,x=-1
若關于X的方程/2(x)+4(x)+b=0有3個不同的實數解制、X2、%3且X/VX2<X3,則下列說法中鎮送的是
()
A.x;+x;+x;=5B.1+^+/?=0
C.XI+X3=—2D.XI+X3>2x2
【答案】D
【解析】分段函數/(x)=伊+1|的圖象如圖所示:
l,x=-1
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由圖可知,只有當/(尤)=1時,它有三個根,其余的根為0或2個,
由1^=1,即|x+l|=l,
I九+1]
解得x=0,%=—2或%=—1.
若關于%的方程/2(x)+4(x)+Z,=0有且只有3個不同實數解,只能為
其解分別是一2,-1,0,因為演<%2<工3,即演=一2,%2=-1,X3=。,
.,?k+考+后=4+1+0=5,玉+毛=-2,a+b+l=o,故正確的有ABC
故選:D.
8.(2023?安徽亳州?高三安徽省亳州市第一中學校考階段練習)設定義域為R的函數/(x)=|x+l|,
l,x=-l
若關于x的方程"(x)f+4(x)+b=0有且僅有三個不同的實數解X,%,W,且%<%<三.下列說法錯誤的是
()
A.無;+尤;+x;=5B.1+a+b=0C.x1+x}=-2D.X]+x3>2x2
【答案】D
?----^,xw-1
【解析】分段函數/(x)=|尤+1]的圖象如圖所示:
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由圖可知,只有當/(x)=l時,它有三個根,其余〃x)=(wl)的根為。或2個,
由-=1,即|x+l|=l,
|%+1|
解得%=0,x=—2或%=—1.
若關于犬的方程尸⑺+43+力=。有且只有3個不同實數解,只能為〃%)=1,
其解分別是一2,-1,0,因為石<%2<%3,即%1=-2,%2=-1,%3=°,
.,.片+君+考=4+1+0=5,玉+為=-2,〃+b+l=0,故正確的有ABC,
故選:D.
9.(2023?全國?高三專題練習)已知函數f(x)=工-1,若關于x的方程尸。)+妙⑶+c=0恰有6個不同
|x|
的實數解,貝W,c的取值情況不可能的是()
A.—1<6<0,c=0B.l+fe+c>0,c>0
C.l+b+c<0,c>0D.l+b+c=0,0<c<l
【答案】B
【解析】
第8頁共85頁
令于(4=t,則/+初+c=0,
則有t=%兩解,
必有0"<1,G21,或者。<4<1/2=0,
若①,0<r1<l,/2=0,則c=0,止匕時產+從=0,得仁一b,滿足0<-6<1,即一1<6<0,止匕時為A;若
②,0<^<1,12=1,此時1+1+,=0,柩2=。,則0vc<l,此時為D;若③,0<^<1,/2>1,此時優=〈>0,
l+b+c<0,此時為C,所以選項ACD都有可能.
故選:B
■題903函數整數解問題
10.(2023?黑龍江綏化?高三??茧A段練習)已知函數〃x)="(x+l)-In%,若/(力<。有且只有兩個整
數解,則左的取值范圍是()
In5In2In5In2
A.B.
~3O97O~~3O97O~
In2In3In2In3
C.而,五D.而,五
【答案】C
【解析】由題設,定義域為(0,+功,則〃x)V0可得%(x+l)V皿,
X
/、Inxp“、1-lnx
令Ag(x)=---,貝!]g(無)=——
XX
所以0<x<e時g'(x)>0,即g(x)遞增,值域為(-00,2);
e
%X時/(尤)<0,即g(無)遞減,值域為(0,3;
e
第9頁共85頁
而y=-x+l)恒過(-1,0),函數圖象如下:
若交點的橫坐標為再<%2,貝!]1<%1<2<3?々<4,
“In2
3k<—
2
/7,In3In2.In3
所以4k<——,即nn——<k<——.
31012
In4
5k>——
4
故選:C
H.(2023?全國?高三專題練習)已知不等式%lnx+(x+l)左<2Hn2的解集中僅有2個整數,則實數上的
取值范圍是(
<3,42,小七上"2
ainB.叫,叫C.—In2,+ooD.
-Ht]433
【答案】D
[解析]由xlnx+x(k—In4)+上<0可得:k(x+1)<xln4-xlnx,設/(x)=k(x+1),g(x)=xln4-xlnx,
g,(x)=ln4-lnx-l,時,g'(x)>0,g(x)單調遞增,xeg,+co)時,g,(x)<0,g(x)單調遞減,
則當彳=:時函數g(x)取得最大值,如示意圖:
f(2]<g(2}342
由圖可知,當左V0時,整數解超過了2個,不滿足題意;當0時,需滿足
/(3)>g(3)w433
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故選擇:D.
12.(2023?全國?高三校聯考階段練習)已知函數,(同=(了+2)3,若對任意的xe(0,+?)),都有
/(x)>a(e工-1)成立,則整數°的最大值為()
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
[解析]對任意的xe(0,包),^-1>0,故〃x)>a(e-1)變形可得a<[丁恒成立,設g(司=(二2:,
(x+3)e“e'-l)-(x+2)eJe"1(/_尤_3)
貝"'(》)=-------'/,、2----------=————令M"=e'r—3,則”(x)=e*_l>0,故人⑺為
(eT)(el)
增函數,且Ml)=e-4<0,M2)=e2-5>0,故存在唯一毛e(l,2)使得旗M)=0,故當x€(0,x°)時,g'(x)<0,
g(x)單調遞減;xe(%,4w)時,g,x)>0,g(x)單調遞增;故且皿小(x)=g&)=(/:2):,又網%)=0,
故e&=Xo+3,故g(x0)=(一+2)(:+3)=丁+3?4,5),又a<g(x)恒成立,故整數a的最大值為4
故選:B
13.(2023?江蘇蘇州?高三???已知函數/(x)=e,-26-1在區間(-1,1)內存在極值點,且/(x)<0在R
上恰好有唯一整數解,則實數。的取值范圍是()
【答案】D
【解析】V/(x)=ev-2ax-l,Af,(x)=ev-2a,
當aW0時,制^)>。恒成立,\/(X)在(-M)上單調遞增,不存在極值點,不合題意;
當a>0時,令/'(x)=0,解得x=ln2a,
「當xe(-<x>,ln2a)時,f'(x)<0;當xe(in2a,+co)時,>0;
\/(x)在(ro,ln2a)上單調遞減,在(in2a,+oo)上單調遞增;
\的極小值點為x=ln2a,無極大值點;
第11頁共85頁
在(T,l)上存在極值點,...%=ln2ae(-l,l),
當ln2a=0,即。=g時,/(x)>/(o)=o,則/(x)<0在R上無解,不合題意;
當-l<ln2a<0時,\-/(0)=0,故要使〃“<0恰有唯一整數解,則該整數解為x=-l,
-l<ln2tz<0
1e-]_i
-+2a-l<0,解得—<。<上e」;
-4+4A-1>0
、e
當0<ln2a<1時,:的尸。,故要使/(x)<0恰有唯一整數解,則該整數解為x=l,
0<In2〃<1
綜上所述,實數。的取值范圍為
故選:D.
004唯一零點求值問題
14.(2023?全國?高三專題練習)已知函數〃月=311-。(21+21)“2有唯一零點,則負實數”=
【答案】C
【解析】注意到直線x=1是y=31T和y=2一+的對稱軸,故x=1是函數〃尤)的對稱軸,
若函數有唯一零點,零點必在x=l處取得,所以f(l)=3-2a-a2=0,又。<0,解得。=-3.
選C.
15.(2023?全國?高三階段練習)已知函數/(%)=/一2犬+〃31+,川)有唯一零點,貝巾=
【答案】C
【解析】因為/'(%)=%2—2無+a(di+eTM)=(x-iy+a(ei+eTM)-l,設r=x-l,貝1|
第12頁共85頁
/(x)=g(?)=Z2+a(ez+e-,)-l,因為g(/)=g(T),所以函數g⑺為偶函數,若函數/(無)有唯一零點,則
函數g")有唯一零點,根據偶函數的性質可知,只有當f=0時,g?)=0才滿足題意,即尤=1是函數“X)的
唯一零點,所以2°-1=0,解得a="故選:C.
2
'X_1_x+l、
16.(2023?云南曲靖?高三曲靖一中??茧A段練習)已知函數/(x)=〃220+2-"5+1-工有唯一零點,
則m的值為()
A.--B.-C.-D.-
2328
【答案】D
【解析】/(X)有零點,則?2引+2T[=-尤2+彳=_1一£|+:,
令f=則上式可化為機(2'+2-')=-r+;,
2
—產-I----1-
因為2+2T>0恒成立,所以4,
m=---------
7+2一
21/\2171
A-tH---ryj.lH----t-\-------
^//(?)=-一V則M-r)=—=-一^=3),
''2,+2-,l'2T+2'2'+2-'V'
故〃⑺為偶函數,
因為f(x)有唯一零點,所以函數〃⑺的圖象與'=7。有唯一交點,
結合〃⑺為偶函數,可得此交點的橫坐標為0,
1
故加=力⑼=04旬=-,
''2°+2-°8
故選:D
17.(2023?山西?高三統考)已知數列{%}的首項q=1,函數“*=/+%+40$2》-(24+1)有唯一零點,
則通項?!?()
A.3"-B.2"TC.2n-lD.3"-2
【答案】C
44
[解析】/(-x)=(-x)+an+lcos(-2x)-(2a?+l)=x+an+lcos2x-(2an+1)=/(x),
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\/(x)為偶函數,圖象關于〉軸對稱,
\了(勾的零點關于y軸對稱,又““有唯一零點,\/⑴的零點為x=o,
即/(0)=。用一(2%+1)=0,用=2%+1,即。用+1=2(4+1),
又生+1=2,.?.數歹£4+1}是以2為首項,2為公比的等比數列,
「.a〃+l=2",則?!?2〃一1.
故選:C.
0^型05等高線問題
%2—2rnoc+2+XWtn
18.(2023?全國?高三專題練習)已知函數f(x)=,,'',其中0<加<1,若存在實數。,
|log3x|,x>m,
使得關于X的方程y(x)=。恰有三個互異的實數解,則實數機的取值范圍是()
【答案】D
【解析】因為0<機<1,
所以/(x)的大致圖象,如圖所示:
因為存在實數。,使得關于x的方程/(%)=。恰有三個互異的實數解,
所以現3對>2,又0<機<1,
第14頁共85頁
解得0<"2<g,
故選:D
llgx|,x>0..,,5
19.(2023?全國?高三專題練習)已知函數g(x)=[TR,X<。,若關于'的方程》叫2—5有四
個不等根尤1,%,尤3,彳4,則及+N+F+X4+ga)+g(%)+g(F)+g(x4)的值是()
A.0B.2C.4D.8
【答案】A
【解析】由方程2gW+2七⑸=|可得g(x)=±1,
因為函數g(x)=[fl,lg]xlg,xL>h0<0,
設x>0,則一無<0,則g(x)+g(r)=|lg%|+(-|lg-(f)|)=|lg%|—|lgx|=O,
所以g(%)為奇函數且毛,4,了3,%是g(%)=±l的根,
所以玉+工2+%3+工4=0,
不妨有g(石)=g(%2)=T,g(W)=g(%4)=l,
所以g(M)+g(%2)+g(%3)+g(%4)=。?
故石+々+忍+%4+以可)+々(%2)+以%3)+且(尤4)的值是0.
故選:A.
20.(2023?寧夏?高三寧夏大學附屬中學校考階段練習)已知函數/(x)=t:+N,:'°若關于x的方程
|log2x|,x>0
/(尤)="(。?尺)有四個不同實數解尤1,%,吃,工4,且再<尤3,則為+%+瑪+七的取值范圍為()
A.(-2,-]B.[-2,-]C.[-2,內)D.(-2,+8)
44
【答案】A
【解析】作出函數的圖象,如圖,作直線丁=應當0<aV2時,直線y=a與函數/⑴圖象有四個交點,
由圖象知芯+々=-4,-logjX,=log2x4,即%3%4=1,/(°)=2,
-logx=2,x=—,所以
244
所以西+尤2+尤3+匕=-4+尤3+工,由對勾函數性質知函數>=-4+退+2?在J」]上是減函數,所以
x.X..4)
第15頁共85頁
x3G時,y=-4+x3+—e|-2,^-
x2+4x+2,x<l,
21.(2023?湖北武漢?高一期末)已知函數〃x)=<若關于X的方程〃x)=t有四個不
|log2(x-l)|,x>l,
同的實數解玉,巧,尤3,乙,且占<工2<退<尤4,貝!](后+芭)(6-%)+2毛+3匕的最小值為()
7Q1
A.-B.8C.-D.;
222
【答案】D
【解析】函數圖像如圖所示,
/(1)=7,,£(0,7],jq<-2<x2<1<x3<2<x4,+x2=-4,
由.log3(毛一1)=log3(%—1)nlog3(毛-1)(^4-l)=0^>(毛-l)(x4-l)=l,
+
2退+;]4=2(^-l)+^-(x4-1)+|->-1)(X4-1)~=~,
第16頁共85頁
3
當且僅當兀3=3%=3時,等號成立,此時才=1;
+玉)(^/^—馬)=—^―^3—x^\/3—xj%]+X2Y
22J=-4,當且僅當
西=一2—g,無2=—2+6時等號成立,此時r=1.
所以(6+%)(石一工2)+2工3+耳%4的最小值為萬一4=5.
故選:D
?題型06分段函數零點問題
\-x+2,x<a
22.(2023?四川綿陽?四川省綿陽南山中學??家荒#┮阎?。>0,函數/(劃二2/,,若了。)
[x—4ox+3,x>a
恰有2個零點,則。的取值范圍是()
A.u[2,+oo)B.(0,1)」2*)
C.u[2,+oo)D.h'T
【答案】A
【解析】①若x=2是一個零點,貝1|需要/(了)=/一4辦+3(x>。)只有一個零點,
即有aN2,且此時當時,需要V-4以+3=0(x>")只有一個實根,
ffi]A=16a2-12>16x22-12>0,
解方程根得x=2a±"。2_3
易得2a74a2-3<2<a<2a+J4a?—3?
即當aN2時,/(x)恰有2個零點,%=2,%=24+”打一3.
②若尤=2不是函數的零點,則x=2a±"?三為函數的2個零點,
a<2
于是{A=16〃2—12〉0,
a<2〃—d4/-3
解得:
2
第17頁共85頁
綜上:aw*,1U[2,+8).
12)
故選:A.
xln%%>0
23.(2023?全國?高三專題練習)已知函數〃元)=,;c,若函數g(x)=/(x)-左有三個零點,則(
\l—x,x<0
11
A.—ev左<1B.—<%<1C.—e<左<0D.—<%<0
ee
【答案】D
【解析】要使函數/(%)=左有三個解,則y=/(x)與>=左有三個交點,
當x>0口寸,f(x)=xln%,則r(x)=lnx+l,可得/(x)在上遞減,在遞增,
;.x>0時,f(無)=尤卜%有最小值/(工]=-1,且0<*<』時,xlnx<0;
ee
當xf0+時,/(尤)->。;當xf+8時,/(月—依;
當xWO時,/。)=一/+1單調遞增;
.?.Ax)圖象如下,要使函數g(x)有三個零點,貝〈人<0,
e
24.(2023?廣東廣州?高三廣州市真光中學??计谀?定義在R上的奇函數〃%),當尤20時,
log](x+l),xe[0,l)
,5,則關于x的函數P(x)=〃x)-a(0<a<l)的所有零點之和為()
l-|x-3|,x6[1,+O0)
A.2fl-lB.1-2"
第18頁共85頁
c.2-a-lD.l-2-a
【答案】B
【解析】由題設,畫出。+⑹上/*)的大致圖象,又為奇函數,可得/(刈的圖象如下:
/⑴的零點,即為方程/⑺-。=0的根,即圖像與直線,的交點.
由圖象知:〃x)與y=。有5個交點:若從左到右交點橫坐標分別為王,々,%,%,%,
1、%,尤2關于1=-3對稱,玉+々=-6;
2、退<0且滿足方程/'(三)=。=一/(玉)=一。=〃一毛)=一。即1°81(一三+1)=。,解得:迅=1-2。;
2
3、關于%=3軸對稱,則%+%5=6;
/.%+/+%3+*4+毛=1-2"
故選:B
2+21
-----i--I3
25.(2023?全國?高三專題練習)已知函數,。)=2,則函數/無)=打〃司]-2〃司-5的
2
|log2(x-l)|,x>l
零點個數是()
A.4B.5C.6D.7
【答案】A
【解析】令r=/(x),F(x)=0,則/⑺-2一]3=0,
3
作出y=/(x)的圖象和直線y=2x+:,由圖象可得有兩個交點,設橫坐標為小人
第19頁共85頁
當了⑴=4時,有戶2,即有一解;當73=L時,有三個解,
綜上,尸(x)=0共有4個解,即有4個零點.
故選:A
一07函數對稱問題
26.(2023?陜西渭南?高三渭南市瑞泉中學??茧A段練習)若直角坐標平面內A,3兩點滿足:①點A,B
都在函數/(尤)的圖象上;②點A,B關于原點對稱,則稱點(A3)是函數/(尤)的一個“姊妹點對”點對(AB)與
\ax—\(x<0)
(尻A)可看作是同一個“姊妹點對”.已知函數/(%)=〈/八、恰有兩個“姊妹點對”,則實數。的取值范
[lnx(x>0)
圍是()
A.0<a<e~2B.0<a<e~2C.0<a<e~{D.0<?<e-1
【答案】A
ax-l(x<0)
【解析】由題意知函數/(為=恰有兩個“姊妹點對”,
Inx(x>0)
等價于函數/(%)=ln%,x>。與函數g(x)=G:+l,九2。的圖象恰好有兩個交點,
所以方程1口光=辦+1,即lnx-ov-l=0在(0,+8)上有兩個不同的解,
構造函數以%)=lnx-改一1,則"'(%)=,一。,
當時,函數久劃區間(0,+8)上單調遞增,不符合題意;
當。>0時,令〃'(x)>0,解得0<X<工,所以函數〃(尤)在區間(0-]上單調遞增,
令〃(x)<0,解得龍〉工,所以函數/1(尤)在區間(L+s]上單調遞減,
a\a)
第20頁共85頁
所以'J>。,解得Owe'
又由/z(e)=lne-ae-l=-ae<0,所以函數%(x)在上有且僅有一個零點,
r-119-A/Y
令M(x)=lnx-?-l,貝!!"(%)=-----j==-----------,
xx2x
令AT(x)>0,解得0vxv4,所以函數MQ)在區間(。,4)上單調遞增,
令M,(x)<0,解得]>4,所以函數加⑴在區間(4,+8)上單調遞減,
所以"(%以="(4)=1口4—3<0,
所以M(x)=lnx—?—l<M(4)<0,即lnx<?+l,
又由=]n-^r—ax-^-—l<A/-^-+1-axW-1=V2)<0,
\a)aaVaaVa
所以函數以X)在[LW]上有且僅有一個零點.
\aa)
綜上可得:0<a<],即實數。的取值范圍是(0,1).
故選:A.
27.(2023?湖南長沙?高三長沙市雅禮實驗中學??奸_學考試)若直角坐標平面內A3兩點滿足條件:
①點A8都在〃力的圖像上;
②點A,B關于原點對稱,則對稱點對(A3)是函數的一個“兄弟點對”(點對(AB)與(B,A)可看作一個“兄弟
點對").
COSX|x01
已知函數〃x)=\則"無)的“兄弟點對”的個數為()
1gXIX〉U|
A.2B.3C.4D.5
【答案】D
【解析】設P(x,y)(x<0),則點尸關于原點的對稱點為(r,-y),
于是,cosx=-lg(-x),只需判斷方程根的個數,
即〃(%)=3%彳<0與5(%)=-坨(一%),*<0圖像的交點個數,
因為0(-切=一1,5(—^r)=—lg7r>—1;p(—3萬)=—1,s(—3萬)=—lg3%>—1;
0(-5萬)=-1,5(-5^)=-lg5^<-l;
作出兩函數的圖象,由圖知,p(x)=cosx,xW。與s(x)=-lg(r),x<0的圖象有5個交點,所以的“兄
第21頁共85頁
弟點對”的個數為5個.
故選:D.
28.(2023?全國?高三專題練習)若不同兩點尸、。均在函數y=/(x)的圖象上,且點尸、。關于原點對
稱,則稱(尸,。)是函數y=/(x)的一個,匹配點對”(點對(尸,。)與x=0視為同一個“匹配點對”).已知
->o
〃x)=,ex,x"恰有兩個“匹配點對”,則。的取值范圍是()
2ax2<0
A.B.-5。C.D.4°
【答案】B
【解析】函數y=2℃2(x<o)的圖象關于原點對稱的圖象所對應的函數為y=-2ax\x>0),
/⑺的圖象上恰好有兩個“匹配點對”等價于函數尸。壯。)與函數尸-2底(、>。)有兩個交點,
即方程-2〃爐=工。>0)有兩個不等式的正實數根,
e
X
即-2“=了食>。)有兩個不等式的正實數根,
X
即轉化為函數g(x)=/(x>。)圖象與函數尸-2"圖象有2個交點.
當0<x<l時,g'(x)>0,g(x)單調遞增.
當X>1時,g<x)<0,g(x)單調遞減.且x->0時,g(x)-0,Xf+8時,g(x)f0
所以g(x)Vg6=L
e
X
所以g(x)=/(x>。)圖象與函數廣-2.圖象有2個交點.
第22頁共85頁
29.(2023?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中??计谥?若函數y=/(x)圖象上存在不同的兩點A,3關于>
軸對稱,則稱點對[A,為是函數y=f(x)的一對“黃金點對”(注:點對[A,切與[8,A]可看作同一對“黃金點
3X,x<0
對”).已知函數/(嗎=卜尤2+4.%0W4,則此函數的“黃金點對”有()
X?-1Ox+24,x>4
A.0對B.1對C.2對O.3對
【答案】D
【解析】由題意,不妨設Ax。,%),8(一%,%)且不>。,
①當。<%W4時,-%2+4尤。=3一演,即為為y=f2+4x與>=3一,在(0,4]的交點的橫坐標,如下圖:
故此函數在(0,4]的“黃金點對”有2對;
2
②當%>4時,XO-1OXO+24=3^?,%為〉=/一10工+24與〉=3-,在(4,+00)的交點的橫坐標,如下圖:
第23頁共85頁
故此函數在(4,+8)的“黃金點對”有1對,
綜上所述
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