2025年高考數學總復習《函數與導數》專項測試卷及答案

學校:姓名：班級：考號：

m01函數零點問題之分段分析法模型

1.（2023?黑龍江?高三大慶市東風中學?？计谥校┰O函數/（x）=f-2e無-啊+。（其中e為自然對數的底

數），若函數人尤）至少存在一個零點，則實數。的取值范圍是

,1,1

A.（0,e2——]B.（0,e2+~]

ee

C.[e2——,+co）D.（-co,e2+—]

ee

【答案】D

【解析】令/（x）=Y—2e無一=0,貝lja=—無？+2ex+^^（無＞。），設/?（無）=—無？+,令

XXX

\（x）=-x2+2ex,a（x）=[,貝他《）=三手，發現函數田力血⑺在（0,e）上都是單調遞增，在[自+⑹

上都是單調遞減，故函數可引=-1+2夕+一在（0,e）上單調遞增，在[e,+8）上單調遞減，故當x=e時，

得Mx）max=e2+j所以函數至少存在一個零點需滿足。金⑺1mx，即應選答案D.

2.（2023?湖北?高三校聯考期中）設函數/（無）='-2ex2+,-lnx,記g（x）=f*,若函數g（x）至少存

在一個零點，則實數加的取值范圍是

A.1-00,/+工]B.^0,e2+-^jC.^0,e2+-D.^-℃,e2+-

【答案】D

【解析】由題意得函數?、诺亩x域為（0,+8）.

T7/、/(%)2cIn%

又g3=------=x—lex+m--------,

xx

??,函數g(%)至少存在一個零點，

/.方程/一2夕+相----=。有角軋

x

即m=-x2+2ex+電^有解.

x

(p(^x)——%2+2exH-----,x〉0,

x

第1頁共85頁

，/、cc1-lnx?、1—Inx

貝U(p(x)——lx+2eH-------=2(e—x)H-------—,

???當X￡(o,e)時，"(x)>0,9(尤)單調遞增;當X￡(G+8)時,°'(%)單調遞減.

2

,0(%)max=9(e)=e+-1-

e

又當XfO時，?(工)一—8;當％f+oo時，(p(x)-?-00.

要使方程加=+2夕+也有解，則需滿足“Ve2+1,

xe

實數m的取值范圍是(-8,e2+-].

e

故選D.

3.(2023?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=xex-a(x+lnx)(e為自然對數的底數)有兩個不同零點,

則實數。的取值范圍是.

【答案】3+w

【解析】由/'(x)=xeX-a(x+lnx),=(x+l)gA-a(l+-)=(x+1)-Ag,且x>0

由x>0,貝1Jx+l>0,xex>0

若aWO,貝iJxe-a>0,此時〃尤)在包+⑹上單調遞增，至多有一個零點，不滿足題意.

若a>0,設/?(x)=xe*-4,則/(尤)=(%+1)，>0,所以/z(x)在(0,+8)上單調遞增

由萬(0)=0,所以無靖=a有唯一實數根，設為%,即

則當0<尤<不時，xe^<a,尸(無)<0,則〃x)在(。%)單調遞減,

x

當了>與時，Xe>a,>0,則在(如+oo)單調遞增，

所以當x=x0時，"X)1111n=〃%)=/*-a(^+lnx0)

x

由毛/。=a可得In，%/。)=lna,BPInx0+Ine°=Ina,即lnx()+/=Ina

所以“Mmin=〃Xo)=a-a1n即(a>0)

又當x30時，

當x一行，指數函數增加的速度比對數函數增加的速度快得多，可得/

所以函數/。)=布-。(彳+111工)有兩個不同零點，則/(可勒=/(%)=a—alna<0

第2頁共85頁

設g(x)=x-xlnx,則g[x)=-lnx

當尤e(O,l)時,有g'(x)>0,則g(x)在(0,1)上單調遞增.

當xe(l,+<?)時，有g<x)<0,則g(x)在。,+℃)上單調遞減.

又當x-?0時，g(X)—O,g(e)=O

所以當0<x<e時，g(x)>0,當尤>e時，g(x)<0,

所以a-Mna<0的解集為。>e

故答案為：(e,+<?)

4.(2023?全國?高三專題練習)已知函數〃x)=4elnx匚+〃式存在4個零點，則實數機的取值范圍

x-elax

是.

【答案】(0,1)

【解析】轉化為/(x)=4elnx--------+爾=0有四個解,

x-dnx

即4elnx---------Fmx=O在x>0范圍內有四個解，

x-elnx

即4啰竺-----——+加=0在%>0范圍內有四個解，

xx-elnx

即T——4型竺=加在彳>0范圍內有四個解，

x—elnxx

1elnx_

即ielnx尤機在x>0范圍內有四個解，

1---------

X

人(\elnx

令g(x)=---

X

，/、e(l-ln.x)

貝I]g(x)=-—

令8'(無)=0得子=0,

所以當0<x<e時，g'(x)>0,當％>e時，g'(x)<0,

pinx

所以g(x)=吧在(0,e)單調遞增，在(e,+8)單調遞減,

x

所以g(X)max=g(e)=l,

做出g(X)大致圖像如下：

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人z、elnx

令/=g(x)=——

X

則原方程轉化為」-書=〃&<1),

l-t

令h(t)=----4-t,

l-t

“⑺二^^-4

(1-0'

令”⑺=0得￡二萬,

11

當”一時,^(0<0,當一</<1時，hf(t)>0,

22

所以/，⑺在(-/1)遞減，在§,1)遞增，

做出〃(X)大致圖像如下：

所以修€(0,1)時，對應解出兩個"直,

從而對應解出四個X值，

故答案為：〃ze(0,1).

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W02函數嵌套問題

5.（2023?云南保山?高三統考期末）定義域為R的函數〃幻=[乎匕一4"4,若關于x的方程

〔l,x=4

/2。）+2/'（；0+〃=0恰有5個不同的實數解毛，巧，X3＞匕，4，則所有實數4，巧，X3，Z，毛之和為

（）

A.12B.16C.20D.24

【答案】C

【解析】設t=/（x）,則關于x的方程尸⑺+時（x）+〃=0等價為產+,加+"=0,

作出了（刈的圖象如圖：由圖象可知當t=l時，方程/（x）=l有三個根，

當rwl時方程/（*）=，有兩個不同的實根，

若關于X的方程/。）+時（x）+〃=0恰有5個不同的實數解A，巧，尤3，相，%,

則等價為產+“"+"=0有兩個根，一個根f=l,另外一個根frl,

不妨設王＜工2＜無3＜尤4＜%,對應的兩個根X1與尤5，巧與乙分別關于尤=4對稱，

則％=4,則X]+為5=8,且三+4=8,

貝ljx1+x2+x3+x4+x5=20,

故選：C.

----xwe

6.（2023?全國?高三福建省福州第八中學?？计谀┒x在R上函數/（x）=|x-e廣，若關于x的方

l,x=e

程"00『-（1+$皿。）"（無）+$1116=0（其中0＜6|＜:!）有"個不同的實根不，々，…，x“，則/（%+%+3+%）=

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A.—B.—C.4eD.5e

4e3e

【答案】A

【解析】由［/OOF—(l+sine)/(x)+sin6=0,得(/(無)-1)(/(%)—sin8)=0.

?."⑴=1或f(x)=sin0e(0,1)nf(x)=1及/(%)=sin6,函數〃尤)圖像如圖所示，由圖可知，共有五個根玉,

須，工3，元4，/，且％3=e，/和毛關于x=e對稱，4和元4關于x=e對稱，所以為％+々+%+%+%=5e,

「?/(玉+%+???+%)=f(5e)=----1.

故選：A.

7.(2023?四川廣安?高三四川省鄰水縣第二中學?？茧A段練習)設定義域為R的函數/(尤)=,+1],

1,x=-1

若關于X的方程/2(x)+4(x)+b=0有3個不同的實數解制、X2、％3且X/VX2<X3,則下列說法中鎮送的是

()

A.x；+x；+x；=5B.1+^+/?=0

C.XI+X3=—2D.XI+X3>2x2

【答案】D

【解析】分段函數/(x)=伊+1|的圖象如圖所示：

l,x=-1

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由圖可知，只有當/(尤)=1時，它有三個根，其余的根為0或2個，

由1^=1，即|x+l|=l,

I九+1]

解得x=0,%=—2或%=—1.

若關于％的方程/2(x)+4(x)+Z,=0有且只有3個不同實數解，只能為

其解分別是一2,-1,0,因為演<％2<工3，即演=一2,%2=-1，X3=。，

.,?k+考+后=4+1+0=5,玉+毛=-2,a+b+l=o,故正確的有ABC

故選：D.

8.(2023?安徽亳州?高三安徽省亳州市第一中學校考階段練習)設定義域為R的函數/(x)=|x+l|,

l,x=-l

若關于x的方程"(x)f+4(x)+b=0有且僅有三個不同的實數解X，%，W，且％<%<三.下列說法錯誤的是

()

A.無；+尤;+x；=5B.1+a+b=0C.x1+x}=-2D.X]+x3>2x2

【答案】D

?----^，xw-1

【解析】分段函數/(x)=|尤+1]的圖象如圖所示：

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由圖可知，只有當/(x)=l時，它有三個根，其余〃x)=(wl)的根為。或2個,

由-=1,即|x+l|=l,

|%+1|

解得％=0,x=—2或%=—1.

若關于犬的方程尸⑺+43+力=。有且只有3個不同實數解，只能為〃%)=1,

其解分別是一2,-1,0,因為石<%2<%3，即％1=-2,%2=-1，%3=°，

.,.片+君+考=4+1+0=5,玉+為=-2,〃+b+l=0,故正確的有ABC,

故選：D.

9.(2023?全國?高三專題練習)已知函數f(x)=工-1,若關于x的方程尸。)+妙⑶+c=0恰有6個不同

|x|

的實數解，貝W，c的取值情況不可能的是()

A.—1<6<0,c=0B.l+fe+c>0,c>0

C.l+b+c<0,c>0D.l+b+c=0,0<c<l

【答案】B

【解析】

第8頁共85頁

令于（4=t,則/+初+c=0,

則有t=%兩解,

必有0"<1，G21,或者。<4<1/2=0,

若①，0<r1<l,/2=0,則c=0,止匕時產+從=0,得仁一b,滿足0<-6<1,即一1<6<0,止匕時為A；若

②,0<^<1,12=1,此時1+1+，=0,柩2=。，則0vc<l,此時為D；若③，0<^<1,/2>1,此時優=〈>0,

l+b+c<0,此時為C,所以選項ACD都有可能.

故選：B

■題903函數整數解問題

10.（2023?黑龍江綏化?高三?？茧A段練習）已知函數〃x）="（x+l）-In%,若/（力<。有且只有兩個整

數解，則左的取值范圍是（）

In5In2In5In2

A.B.

~3O97O~~3O97O~

In2In3In2In3

C.而，五D.而，五

【答案】C

【解析】由題設，定義域為（0,+功，則〃x）V0可得%（x+l）V皿,

X

/、Inxp“、1-lnx

令Ag（x）=---,貝!]g（無）=——

XX

所以0<x<e時g'（x）>0,即g（x）遞增，值域為（-00,2）；

e

%X時/（尤）<0,即g（無）遞減，值域為（0,3；

e

第9頁共85頁

而y=-x+l)恒過(-1,0),函數圖象如下:

若交點的橫坐標為再<%2，貝!]1<%1<2<3?々<4,

“In2

3k<—

2

/7,In3In2.In3

所以4k<——,即nn——<k<——.

31012

In4

5k>——

4

故選：C

H.(2023?全國?高三專題練習)已知不等式％lnx+(x+l)左<2Hn2的解集中僅有2個整數，則實數上的

取值范圍是(

<3,42,小七上"2

ainB.叫，叫C.—In2,+ooD.

-Ht]433

【答案】D

［解析］由xlnx+x(k—In4)+上<0可得：k(x+1)<xln4-xlnx,設/(x)=k(x+1),g(x)=xln4-xlnx,

g，(x)=ln4-lnx-l,時，g'(x)>0,g(x)單調遞增，xeg,+co)時，g，(x)<0,g(x)單調遞減,

則當彳=：時函數g(x)取得最大值，如示意圖：

f(2］<g(2}342

由圖可知，當左V0時,整數解超過了2個,不滿足題意；當0時，需滿足

/(3)>g(3)w433

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故選擇：D.

12.(2023?全國?高三校聯考階段練習)已知函數，(同=(了+2)3,若對任意的xe(0,+?)),都有

/(x)>a(e工-1)成立，則整數°的最大值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

［解析］對任意的xe(0,包)，^-1>0,故〃x)>a(e-1)變形可得a<［丁恒成立，設g(司=(二2：,

(x+3)e“e'-l)-(x+2)eJe"1(/_尤_3)

貝"'(》)=-------'/，、2----------=————令M"=e'r—3,則”(x)=e*_l>0,故人⑺為

(eT)(el)

增函數，且Ml)=e-4<0,M2)=e2-5>0,故存在唯一毛e(l,2)使得旗M)=0,故當x€(0,x°)時，g'(x)<0,

g(x)單調遞減；xe(%,4w)時,g,x)>0,g(x)單調遞增；故且皿小(x)=g&)=(/:2)：,又網％)=0,

故e&=Xo+3,故g(x0)=(一+2)(：+3)=丁+3?4,5),又a<g(x)恒成立，故整數a的最大值為4

故選：B

13.(2023?江蘇蘇州?高三?？?已知函數/(x)=e，-26-1在區間(-1,1)內存在極值點，且/(x)<0在R

上恰好有唯一整數解，則實數。的取值范圍是()

【答案】D

【解析】V/(x)=ev-2ax-l,Af,(x)=ev-2a,

當aW0時，制^)>。恒成立，\/(X)在(-M)上單調遞增，不存在極值點，不合題意;

當a>0時，令/'(x)=0,解得x=ln2a,

「當xe(-<x>,ln2a)時，f'(x)<0；當xe(in2a,+co)時，>0；

\/(x)在(ro,ln2a)上單調遞減，在(in2a,+oo)上單調遞增；

\的極小值點為x=ln2a,無極大值點；

第11頁共85頁

在(T,l)上存在極值點，...%=ln2ae(-l,l),

當ln2a=0,即。=g時，/(x)>/(o)=o,則/(x)<0在R上無解，不合題意；

當-l<ln2a<0時，\-/(0)=0,故要使〃“<0恰有唯一整數解，則該整數解為x=-l,

-l<ln2tz<0

1e-]_i

-+2a-l<0,解得—<。<上e」；

-4+4A-1>0

、e

當0<ln2a<1時，：的尸。，故要使/(x)<0恰有唯一整數解，則該整數解為x=l,

0<In2〃<1

綜上所述，實數。的取值范圍為

故選：D.

004唯一零點求值問題

14.(2023?全國?高三專題練習)已知函數〃月=311-。(21+21)“2有唯一零點，則負實數”=

【答案】C

【解析】注意到直線x=1是y=31T和y=2一+的對稱軸，故x=1是函數〃尤)的對稱軸,

若函數有唯一零點，零點必在x=l處取得，所以f(l)=3-2a-a2=0,又。<0,解得。=-3.

選C.

15.(2023?全國?高三階段練習)已知函數/(%)=/一2犬+〃31+，川)有唯一零點，貝巾=

【答案】C

【解析】因為/'(%)=%2—2無+a(di+eTM)=(x-iy+a(ei+eTM)-l,設r=x-l,貝1|

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/(x)=g(?)=Z2+a(ez+e-,)-l,因為g(/)=g(T),所以函數g⑺為偶函數，若函數/(無)有唯一零點，則

函數g")有唯一零點，根據偶函數的性質可知，只有當f=0時，g?)=0才滿足題意，即尤=1是函數“X)的

唯一零點，所以2°-1=0,解得a="故選：C.

2

'X_1_x+l、

16.(2023?云南曲靖?高三曲靖一中?？茧A段練習)已知函數/(x)=〃220+2-"5+1-工有唯一零點,

則m的值為()

A.--B.-C.-D.-

2328

【答案】D

【解析】/(X)有零點，則?2引+2T[=-尤2+彳=_1一￡|+：,

令f=則上式可化為機(2'+2-')=-r+；,

2

—產-I----1-

因為2+2T>0恒成立，所以4，

m=---------

7+2一

21/\2171

A-tH---ryj.lH----t-\-------

^//(?)=-一V則M-r)=—=-一^=3)，

''2,+2-,l'2T+2'2'+2-'V'

故〃⑺為偶函數,

因為f(x)有唯一零點，所以函數〃⑺的圖象與'=7。有唯一交點,

結合〃⑺為偶函數，可得此交點的橫坐標為0,

1

故加=力⑼=04旬=-,

''2°+2-°8

故選：D

17.(2023?山西?高三統考)已知數列｛%｝的首項q=1,函數“*=/+%+40$2》-(24+1)有唯一零點,

則通項?！?()

A.3"-B.2"TC.2n-lD.3"-2

【答案】C

44

[解析】/(-x)=(-x)+an+lcos(-2x)-(2a?+l)=x+an+lcos2x-(2an+1)=/(x),

第13頁共85頁

\/（x）為偶函數，圖象關于〉軸對稱，

\了（勾的零點關于y軸對稱，又““有唯一零點，\/⑴的零點為x=o,

即/（0）=。用一（2%+1）=0,用=2%+1,即。用+1=2（4+1）,

又生+1=2,.?.數歹￡4+1｝是以2為首項，2為公比的等比數列，

「.a〃+l=2",則?！?2〃一1.

故選：C.

0^型05等高線問題

%2—2rnoc+2+XWtn

18.（2023?全國?高三專題練習）已知函數f（x）=,,''，其中0＜加＜1,若存在實數。，

|log3x|,x＞m,

使得關于X的方程y（x）=。恰有三個互異的實數解，則實數機的取值范圍是（）

【答案】D

【解析】因為0＜機＜1,

所以/（x）的大致圖象，如圖所示:

因為存在實數。，使得關于x的方程/（%）=。恰有三個互異的實數解,

所以現3對＞2,又0＜機＜1,

第14頁共85頁

解得0<"2<g,

故選：D

llgx|,x>0..,,5

19.(2023?全國?高三專題練習)已知函數g(x)=[TR,X<。,若關于'的方程》叫2—5有四

個不等根尤1，%，尤3，彳4，則及+N+F+X4+ga)+g(%)+g(F)+g(x4)的值是()

A.0B.2C.4D.8

【答案】A

【解析】由方程2gW+2七⑸=|可得g(x)=±1,

因為函數g(x)=[fl,lg]xlg,xL>h0<0，

設x>0,則一無<0,則g(x)+g(r)=|lg%|+(-|lg-(f)|)=|lg%|—|lgx|=O,

所以g(%)為奇函數且毛，4，了3，%是g(%)=±l的根，

所以玉+工2+%3+工4=0，

不妨有g(石)=g(%2)=T，g(W)=g(%4)=l，

所以g(M)+g(%2)+g(%3)+g(%4)=。?

故石+々+忍+%4+以可)+々(%2)+以%3)+且(尤4)的值是0.

故選：A.

20.(2023?寧夏?高三寧夏大學附屬中學校考階段練習)已知函數/(x)=t：+N，：'°若關于x的方程

|log2x|,x>0

/(尤)="(。?尺)有四個不同實數解尤1，%,吃,工4，且再<尤3，則為+%+瑪+七的取值范圍為()

A.(-2,-]B.[-2,-]C.[-2,內)D.(-2,+8)

44

【答案】A

【解析】作出函數的圖象，如圖，作直線丁=應當0<aV2時，直線y=a與函數/⑴圖象有四個交點，

由圖象知芯+々=-4,-logjX,=log2x4,即％3%4=1，/(°)=2,

-logx=2,x=—,所以

244

所以西+尤2+尤3+匕=-4+尤3+工，由對勾函數性質知函數>=-4+退+2?在J」]上是減函數，所以

x.X..4)

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x3G時，y=-4+x3+—e|-2,^-

x2+4x+2,x<l,

21.（2023?湖北武漢?高一期末）已知函數〃x）=＜若關于X的方程〃x）=t有四個不

|log2(x-l)|,x>l,

同的實數解玉，巧，尤3，乙，且占＜工2＜退＜尤4，貝!］（后+芭）（6-％）+2毛+3匕的最小值為（）

7Q1

A.-B.8C.-D.；

222

【答案】D

【解析】函數圖像如圖所示，

/(1)=7,，￡(0,7],jq<-2<x2<1<x3<2<x4,+x2=-4,

由.log3(毛一1)=log3(%—1)nlog3(毛-1)(^4-l)=0^>(毛-l)(x4-l)=l,

+

2退+；]4=2(^-l)+^-(x4-1)+|->-1)(X4-1)~=~，

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3

當且僅當兀3=3％=3時，等號成立，此時才=1；

+玉）（^/^—馬）=—^―^3—x^\/3—xj%]+X2Y

22J=-4,當且僅當

西=一2—g，無2=—2+6時等號成立，此時r=1.

所以（6+%）（石一工2）+2工3+耳%4的最小值為萬一4=5.

故選：D

?題型06分段函數零點問題

\-x+2,x<a

22.（2023?四川綿陽?四川省綿陽南山中學?？家荒＃┮阎?。>0,函數/（劃二2/,，若了。）

[x—4ox+3,x>a

恰有2個零點，則。的取值范圍是（）

A.u[2,+oo）B.（0,1）」2*）

C.u[2,+oo）D.h'T

【答案】A

【解析】①若x=2是一個零點，貝1|需要/（了）=/一4辦+3（x>。）只有一個零點,

即有aN2,且此時當時，需要V-4以+3=0（x>"）只有一個實根，

ffi]A=16a2-12>16x22-12>0，

解方程根得x=2a±"。2_3

易得2a74a2-3<2<a<2a+J4a?—3?

即當aN2時，/（x）恰有2個零點，%=2,%=24+”打一3.

②若尤=2不是函數的零點，則x=2a±"?三為函數的2個零點,

a<2

于是｛A=16〃2—12〉0,

a<2〃—d4/-3

解得：

2

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綜上:aw*,1U[2,+8).

12)

故選：A.

xln%%>0

23.(2023?全國?高三專題練習)已知函數〃元)=,；c，若函數g(x)=/(x)-左有三個零點，則(

\l—x,x<0

11

A.—ev左<1B.—<%<1C.—e<左<0D.—<%<0

ee

【答案】D

【解析】要使函數/(%)=左有三個解，則y=/(x)與>=左有三個交點，

當x>0口寸，f(x)=xln%,則r(x)=lnx+l,可得/(x)在上遞減，在遞增，

；.x>0時，f(無)=尤卜%有最小值/(工]=-1,且0<*<』時，xlnx<0；

ee

當xf0+時，/(尤)->。；當xf+8時，/(月—依；

當xWO時，/。)=一/+1單調遞增；

.?.Ax)圖象如下，要使函數g(x)有三個零點，貝〈人<0,

e

24.(2023?廣東廣州?高三廣州市真光中學?？计谀?定義在R上的奇函數〃%)，當尤20時,

log](x+l),xe[0,l)

，5,則關于x的函數P(x)=〃x)-a(0<a<l)的所有零點之和為()

l-|x-3|,x6[1,+O0)

A.2fl-lB.1-2"

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c.2-a-lD.l-2-a

【答案】B

【解析】由題設，畫出。+⑹上/*）的大致圖象，又為奇函數，可得/（刈的圖象如下:

/⑴的零點，即為方程/⑺-。=0的根，即圖像與直線,的交點.

由圖象知：〃x）與y=。有5個交點：若從左到右交點橫坐標分別為王,々，%，％,%,

1、%,尤2關于1=-3對稱，玉+々=-6；

2、退<0且滿足方程/'（三）=。=一/（玉）=一。=〃一毛）=一。即1°81（一三+1）=。，解得：迅=1-2。；

2

3、關于％=3軸對稱，則%+%5=6；

/.%+/+%3+*4+毛=1-2"

故選：B

2+21

-----i--I3

25.（2023?全國?高三專題練習）已知函數，。）=2，則函數/無）=打〃司］-2〃司-5的

2

|log2（x-l）|,x>l

零點個數是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】令r=/（x）,F（x）=0,則/⑺-2一］3=0,

3

作出y=/（x）的圖象和直線y=2x+：,由圖象可得有兩個交點，設橫坐標為小人

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當了⑴=4時，有戶2,即有一解；當73=L時，有三個解,

綜上，尸(x)=0共有4個解，即有4個零點.

故選：A

一07函數對稱問題

26.(2023?陜西渭南?高三渭南市瑞泉中學?？茧A段練習)若直角坐標平面內A,3兩點滿足：①點A,B

都在函數/(尤)的圖象上；②點A,B關于原點對稱，則稱點(A3)是函數/(尤)的一個“姊妹點對”點對(AB)與

\ax—\(x<0)

(尻A)可看作是同一個“姊妹點對”.已知函數/(%)=〈/八、恰有兩個“姊妹點對”，則實數。的取值范

［lnx(x>0)

圍是()

A.0<a<e~2B.0<a<e~2C.0<a<e~{D.0<?<e-1

【答案】A

ax-l(x<0)

【解析】由題意知函數/(為=恰有兩個“姊妹點對”,

Inx(x>0)

等價于函數/(%)=ln%,x>。與函數g(x)=G：+l,九2。的圖象恰好有兩個交點,

所以方程1口光=辦+1,即lnx-ov-l=0在(0,+8)上有兩個不同的解，

構造函數以%)=lnx-改一1,則"'(%)=,一。，

當時，函數久劃區間(0,+8)上單調遞增，不符合題意；

當。>0時，令〃'(x)>0,解得0<X<工，所以函數〃(尤)在區間(0-］上單調遞增,

令〃(x)<0,解得龍〉工，所以函數/1(尤)在區間(L+s］上單調遞減，

a\a)

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所以'J>。，解得Owe'

又由/z(e)=lne-ae-l=-ae<0,所以函數%(x)在上有且僅有一個零點,

r-119-A/Y

令M(x)=lnx-?-l,貝!!"(%)=-----j==-----------,

xx2x

令AT(x)>0,解得0vxv4,所以函數MQ)在區間(。,4)上單調遞增，

令M，(x)<0,解得］>4,所以函數加⑴在區間(4,+8)上單調遞減，

所以"（%以="（4）=1口4—3<0,

所以M(x)=lnx—?—l<M(4)<0,即lnx<?+l,

又由=］n-^r—ax-^-—l<A/-^-+1-axW-1=V2)<0,

\a)aaVaaVa

所以函數以X)在［LW］上有且僅有一個零點.

\aa)

綜上可得：0<a<］,即實數。的取值范圍是(0,1).

故選：A.

27.(2023?湖南長沙?高三長沙市雅禮實驗中學?？奸_學考試)若直角坐標平面內A3兩點滿足條件:

①點A8都在〃力的圖像上;

②點A,B關于原點對稱，則對稱點對(A3)是函數的一個“兄弟點對”(點對(AB)與(B,A)可看作一個“兄弟

點對").

COSX|x01

已知函數〃x)=\則"無)的“兄弟點對”的個數為()

1gXIX〉U|

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】設P(x,y)(x<0),則點尸關于原點的對稱點為(r,-y),

于是，cosx=-lg(-x),只需判斷方程根的個數，

即〃(%)=3%彳<0與5(%)=-坨(一%),*<0圖像的交點個數，

因為0(-切=一1，5(—^r)=—lg7r>—1；p(—3萬)=—1,s(—3萬)=—lg3%>—1；

0（-5萬）=-1,5（-5^）=-lg5^<-l；

作出兩函數的圖象，由圖知，p(x)=cosx,xW。與s(x)=-lg(r),x<0的圖象有5個交點，所以的“兄

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弟點對”的個數為5個.

故選：D.

28.（2023?全國?高三專題練習）若不同兩點尸、。均在函數y=/（x）的圖象上，且點尸、。關于原點對

稱，則稱（尸,。）是函數y=/（x）的一個，匹配點對”（點對（尸,。）與x=0視為同一個“匹配點對”）.已知

-＞o

〃x)=，ex，x"恰有兩個“匹配點對”，則。的取值范圍是（）

2ax2<0

A.B.-5。C.D.4°

【答案】B

【解析】函數y=2℃2（x＜o）的圖象關于原點對稱的圖象所對應的函數為y=-2ax\x＞0）,

/⑺的圖象上恰好有兩個“匹配點對”等價于函數尸。壯。）與函數尸-2底（、＞。）有兩個交點,

即方程-2〃爐=工。＞0）有兩個不等式的正實數根,

e

X

即-2“=了食＞。）有兩個不等式的正實數根,

X

即轉化為函數g（x）=/（x＞。）圖象與函數尸-2"圖象有2個交點.

當0<x<l時,g'(x)>0,g(x)單調遞增.

當X>1時，g<x)<0,g(x)單調遞減.且x->0時，g(x)-0,Xf+8時，g(x)f0

所以g(x)Vg6=L

e

X

所以g（x）=/（x＞。）圖象與函數廣-2.圖象有2個交點.

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29.(2023?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中?？计谥?若函數y=/(x)圖象上存在不同的兩點A,3關于＞

軸對稱，則稱點對［A,為是函數y=f(x)的一對“黃金點對”(注：點對［A,切與［8,A］可看作同一對“黃金點

3X,x＜0

對”).已知函數/(嗎=卜尤2+4.%0W4,則此函數的“黃金點對”有()

X?-1Ox+24,x＞4

A.0對B.1對C.2對O.3對

【答案】D

【解析】由題意，不妨設Ax。,%),8(一%,%)且不＞。，

①當。＜%W4時，-%2+4尤。=3一演，即為為y=f2+4x與＞=3一，在(0,4］的交點的橫坐標，如下圖:

故此函數在(0,4］的“黃金點對”有2對;

2

②當%＞4時，XO-1OXO+24=3^?,%為〉=/一10工+24與〉=3-，在(4,+00)的交點的橫坐標，如下圖:

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故此函數在(4,+8)的“黃金點對”有1對，

綜上所述