解三角形

題型概覽

目錄

【解密高考】總結常考點及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關策略（含押題型）

【題型一】余弦定理解三角形

【題型二】正弦定理解三角形

【題型三】三角形解的個數問題

【題型四】判定三角形狀問題

【題型五】面積公式的應用

【題型六】三角形中最值范圍問題

【題型七】距離、高度、測量問題

【題型八】與其它知識綜合問題

【誤區點撥】點撥常見的易錯點

易錯點：最值范圍忽視角度取值范圍問題

CCC

解密高考

考情分析:作為高考固定題型，每次會出現在解答題的第一題或者第二題，新高考出現了結構不良題

的新題型，無外乎的就是和三角函數與解三角形結合出現在解答題第一題里，占15分，難度不大也適應了

新高考的新題型，所以是熱門，必須要把各題型都能熟練掌握

備考策略：常規題型的歸納總結，基礎知識的記憶與推導理解；最值范圍的問題以構造函數求范圍。

<?>題型特訓提分--------------------------------------

【題型一】余弦定理解三角形

【例1】在VABC中，角A,B,C所對邊分別是a,b,c,若a:b:c=3:2:2,貝iJcosA=

【答案】

【分析】利用余弦定理計算可得.

【詳解】令〃=3（方＞0）,b=2t,c=2t,

2

由余弦定理可得COSA=〉+02一＞=（約2+（2廳-（3/）2=_1

2bc2x2,x2/8

故答案為：4

O

【例2】在VABC中，內角A,B,C所對的邊分別為。，6,c,且滿足/一廿=c?-亞兒

則tan2A=

3

【答案】20

【詳解】利用余弦定理求出cosA,即可求出tanA,再由二倍角公式計算可得.

【分析】因為/一/一-也"，所以戶+。2”=亥兒，

33

由余弦定理得cosA=0+c~

2bc3

?.?AG(0,7i),sinA=A/1-cos2

3cosA2

2x交

_.2tanA

miltan2A=-----—;2夜

則1-tan2A

1-

2J

故答案為：2點.

jr

【變式1】在VABC中，N3=—,A3=8,AC=7,貝U8C=（）

3

A.5B.3或5C.4D.2或4

【答案】B

【分析】利用余弦定理求解即可.

【詳解】由余弦定理，#AB2+BC--2AB-BCcosB=AC2＞

即64+_88C=49，即BC2-SBC+15=0,

解得3c=3或5,

經檢驗，均滿足題意.

故選：B.

【變式2】在VABC中，內角A,3,C所對的邊分別為名瓦。，且cosA=g,6=2,a=石,

【答案】3

【分析】由余弦定理a?=tr+c2-2bccosA即可求解;

【詳解】由余弦定理知a?=〃+c?-2bccosA，

§P5=4+c2-2x2xcx—,

3

整理得34-8°-3=0,解得c=3.（負值舍去）

故答案為：3

【題型二】正弦定理解三角形

【例1】（多選）在VABC中，。=8/=尤,3=45°,則角4為（）

A.60°B.120°C.75°D.30°

【答案】AB

【分析】由正弦定理可得sinA=@.結合。>八0<4<兀即可求解.

2

【詳解】在VA3C中，由正弦定理」==—L，得sinA=MO=@.

sinAsinB62

因為a>力，0<A<n,所以A=60°或A=120°.

故選：AB.

【例2】在VABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A=￡,cosC=巫，c=4,則。=（）

47

A.述B.他cWD,處

377

【答案】A

【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解.

【詳解】在VABC中，由cosC=^，得sinC=Jl-cos2c=Jl-（半）2=g，

4夜

ccsinA4X

由正弦定理得一j所以a=T_7T2

sinAsinCsinC-6_

7

故選：A

(2=5/3,A=60°，若cos2B=；,貝!]b=

【變式1】在VA3C中，內角A、B、C所對的邊分別為。、b、c

()

A.1B.73C.2D.2V2

【答案】A

【分析】利用二倍角公式求出sinB的值，再利用正弦定理可求得b的值.

【詳解】因為8為VABC的內角，貝hinB>0,

由二倍角的余弦公式可得cos23=1-2sin28=；,解得sinB,

?A/3x?—

basm8D=____2

由正弦定理可得所以，b==1

sin3sinA百

故選：A.

【變式2】。是Rt^ABC斜邊3C上一點,若42=AD,AC=邪DC,則sinZABC的值

B6C.亞D.顯

322

【答案】D

【分析】根據給定條件，結合幾何圖形，利用正弦定理及二倍角公式列式求解.

【詳解】在RtaABC中，令NABC=6,由=則NADB=4出。=8,

^.ADC=7i-XADR=7i—0Z-CAD=—/BAD=—(兀—28)=28—,

9222

在△ACD中，AC=y/3DCf由正弦定理，sin(7t-0)=V3sin(2^——),

即sin0=-\/3cos20,整理得2^3sin2夕一sin夕一^3=0,

BP(2sind-73)(^sin0+1)=0,因sin6>0,則有sin8=乎，即sin/ABC的值是乎.

【題型三】三角形解的個數問題

【例11符合下列條件的三角形有且只有一個的是（）

兀71

A.a=2,c=3,A=—B.a=2v3,b=6,A=—

66

兀

C.a=2,b=v2，c=5D.a=2,b=3,B=—

6

【答案】D

【分析】選項A：利用正弦定理判斷；對于B：由正弦定理判斷；選項C：兩邊之和大于第三邊判斷；選項

D：由正弦定理判斷;

【詳解】對于A：因為^=意，所以sinC=|%H=si哈三角形有兩解，故A錯誤;

b所以由於舞

對于B：因為‘4

sinAsinB

S.b>a,所以3>A,所以8=60。或120°，故有兩解，故B錯誤；

對于C：因為2+0<5,所以無解，故C錯誤；

對于D：因為工=工，所以sin/=2sin3°=」<J_=sinB,故A,三角形只有一解，故D正確.

sinAsmB332

故選：D

【例2】已知VABC的內角A&C的對邊分別為。也c,且滿足。=2四,8=2的三角形有兩個，貝防的取值

4

范圍為（）

A.（0,2偽B.（2后4）C.（2,4）D.（2,272）

【答案】D

【分析】根據給定條件，利用正弦定理，結合三角形有兩解的條件列式求解.

b<a

【詳解】在VABC中，a=20B=?,由VABC有兩解，得<

.AasinB、，

4sinA=---------<1

、b

b<2>/2

解得行,

即2&x@-2Vb<2

----------2-<1

、b

所以人的取值范圍為（2,2應）.

故選：D

【變式1】（多選）在VABC中，根據下列條件解三角形，其中恰有一解的是（）

_兀

A.b=7,c=3a,「C=—兀B.b=5,c=6,C=

6~4

C.a=6,b=3A/3，B=—D.a=20,b=15B=-

3f6

【答案】BC

【分析】根據三角形解的個數的判定條件直接計算可得.

7

【詳解】A中，因為加inC==,有cvbsinC,所以該三角形無解，故A錯誤;

2

5/?

B中，因為〃sinC=士，C為銳角，有bsinC<b<c,

2

所以該三角形有一解，故B正確;

C中，因為asinB=3g,8為銳角，^b=asinB,

所以該三角形有一解，故C正確；

D中，因為asin3=10,3為銳角，有asinB<b<a,

所以該三角形有兩解，故D錯誤.

故選：BC.

【變式2】已知VABC中，。=3,4=60。，VABC有兩解，貝腦的取值范圍是（）

A.（2,2括）B.［3,2石］C.（3,2百］D.（3,20）

【答案】D

【分析】數形結合即可得到答案.

【詳解】如圖，

要使VABC有兩解，則匕sin60°<。<b,BPZ?sin600<3<b,

即3<6<273.

故選：D.

【題型四】判定三角形的形狀問題

【例1】在△4BC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若6cos4+acosB=csinC,貝!ABC為（）.

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【解題思路】由正弦定理和正弦和角公式化簡得到sinC=1,求出C=］得到答案.

【解答過程】由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=sin2C,

其中sindcosB+cosXsinS=sin（4+B）=sinC,

所以sinC=sin2C,

因為C€（0,7i）,所以sinCQO,

故sinC=1,

因為ce（o,-rr）,所以c=5

故△ABC為直角三角形.

故選：c.

【例2】在AABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,若等=萼=苧（k為非零實數），則下列結論簿

誤的是()

A.當k=5時，△ABC是直角三角形B.當k=3時，△ABC是銳角三角形

C.當k=2時，AABC是鈍角三角形D.當k=l時，AaBC是鈍角三角形

【解題思路】由正弦定理化簡己知可得a:b:c=k:3:4,利用余弦定理，勾股定理，三角形兩邊之和大于第

三邊等知識逐一分析各個選項即可得解.

【解答過程】對于選項A,當k=5時，=—■—,根據正弦定理不妨設a=5m,b=3m,c=4m,

534

顯然△是直角三角形，故命題正確；

對于選項B,當k=3時，苫i==二￡,根據正弦定理不妨設。=3zn,b=3m,c=4m,

222

顯然△ABC是等腰三角形，a4-fo—c=97n2+97n2__27n2>。，

說明NC為銳角，故△48C是銳角三角形，故命題正確；

對于選項C,當k=2時，—=,根據正弦定理不妨設Q=2zn,b=3m,c=4m,

234

可得M+b2—c2=4m2+97n2—16m2=—3m2<0,說明為鈍角，故4ZBC是鈍角三角形，故命題正

確；

對于選項D,當k=l時，'吧=吧￡=吧￡,根據正弦定理不妨設a=lm,b=3m,c=4m,

134

此時a+b=c,不等構成三角形，故命題錯誤.

故選：D.

【變式1】在AABC中，a,b,c分別為角4、B,C的對邊，下列敘述正確的是()

A.若acosB=bcos力，則△ABC為等腰三角形

B.若atanZ=btanB,則AABC為等腰三角形

C.若siMA+siMB+cos2c<1,則△ABC為銳角三角形

D.若cos24+cos2B+cos2c>—1,則△ABC為鈍角三角形

【解題思路】應用正弦定理判斷A選項，應用正弦定理結合同角三角函數關系判斷B選項，結合余弦定理

判斷C選項，根據二倍角公式的余弦公式及余弦定理判斷D選項.

【解答過程】因為acosB=bcosA,所以sinAcosB=sinBcos4,sin(A—B)=0,A,BE所以4=B,A選

項正確；

因為atanA=6tanB,所以處="與cos4cosB同號，cos4cosB只能同時為正，cos4,cosB￡(0,1),

C0Si4cosB

因為y=—t,tG(0,1)單倜遞減，----cos/=--------cosB可得cos/=cosB,A)BE.所以/=B,B

tC0Si4cosB

選項正確；

因為siMa+sin2B+cos2c<1,所以siMZ+sin2B<1—cos2c=siMc,又由正弦定理得小+62V

又由余弦定理得85。=老譬《<0笛6(0,2,所以。為鈍角，所以AABC為鈍角三角形，c選項錯誤；

2ab

因^Jcos2/+cos2B+cos2c>—1,所以cos2Z+cos[(J?+C)+(B—C)]+cos[(5+C)—(B—C)]>—1

所以2cos2/+2cos(B+C)cos(B—C)>0,

因為cos/=—cos(B+C),所以cos4[—cos(B+C)—cos(B—C)]>0,

貝!Jcos4(—cosBcosC+sinAsinB-cosBcosC-sinAsinB)>0,

所以cosAcosBcosC<0,故4C中必有一個是鈍角，

所以△4BC為鈍角三角形，故D正確；

故選：ABD.

【變式2】已知ATIBC中，內角4,B,C的對邊分別為a,6,c,a=i則△ABC的形狀是.

cosB+cosC

【解題思路】由正弦定理以及兩角和的正弦公式整理可得cos4(sinC+sinB)=0,進一步有cos4=0,即可

求解.

sinB+sinC

【解答過程】由正弦定理以及。=烹三可得sin/=

cosB+cosC

所以sirL4cosB+sin4cosc=sinB+sinC=sin(71+C)+sin(71+B)

=sinZcosf+cosZsinC+sinXcosB+cosXsinB,

化簡可得：coSi4(sinC+sinB)=0,

因為00<C<IT,所以sinB>0,sinC>0,貝!Jcos4=0,

因為OV/VTI,所以/=：,則△ZBC的形狀是直角三角形；

故答案為：直角三角形.

【題型五】面積公式的應用

【例1】在VABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,若。=5,b=7,c=4,則VABC的面積為

A.4&B.2后C.4D.8

【答案】A

【分析】由余弦定理求出cosB的值，利用同角三角函數的基本關系求出sinB的值，然后利用三角形的面積

公式可求得VABC的面積.

【詳解】在VABC中，因為。=5,b=7,c=4,

22_i225+16-49

由余弦定理可得cos5="+‘一"

lac2x5x45

所以，sinB=Vl-cos2B=,

因此，NABC的面積為523「=—ticsinB=—X5X4X^^-=4A/6.

△Me225

故選：A.

【例2】在VABC中，內角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,且滿足竺電二+弋=在包粵

csmBcosBasmB

⑴求B;

(2)若a=2,c=3,求AC邊上的高.

【答案】⑴9

(2)通

7

【分析】(1)利用正弦定理結合兩角和的正弦公式化簡得出cosB的值，結合角5的取值范圍可得出角B的

值；

(2)利用余弦定理求出匕的值，求出VABC的面積，即可求出AC邊上的高.

sinAsinCcosA2sinCsinAsinAcosA2sinC

【詳解】(1)由正弦定理，有--------------------1----------------------1-----------=-------------

sinCsinBcosBsinAsinBsinBcosBsinB

sinAcosB+sinBcosA2sinC有%H=2sinC,

通分后，有

sinBcosBsin3cosB

因為0＜。＜兀，貝Ijsinc＞o,

又由A+6=7t—C,有sin(A+5)=sinC,可得cos3=—,

IT

又由0＜5＜兀，可得B=

(2)設AC邊上的高為力，

由3=§及余弦定理，有人=A/6Z2+c2—2accosB=Ja2+c2-ac=^22+32—6=不，

NABC的面積為S=—sinB=—x2x3sin—==—bh，

AABC22322

則人空=羋=酒.

b小1

【變式1】VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosA(ccosB+Z7cosc)=a.

⑴求A;

(2)若a=2,VABC的面積為百，求6,c的值.

【答案】(1)A三

(2)b=c=2.

【分析】(1)由正弦定理結合和差角的正弦公式化簡求解即可；

(2)由面積公式可得稅=4,再根據余弦定理求解即可.

【詳解】(1)由正弦定理及2cosA(ccos5+Z2cosc)=4.

得2cosA(sinCeosB+sinBcosC)=sinA,

即2cosAsin(C+B)=sinA,

即2cosAsinA=sinA,

因為0<A<7i,所以sinAwO,

1IT

所以cosA=所以A=?.

23

（2）由題意得VABC的面積S=：6csinA=6,所以歷=4①.

又/=廿+（?-2bccosA，且a=2,所以〃+°?=8②.

由①②得b=c=2.

【變式2】已知在VABC中，a2+c2-y/3ac=b2,b2=2.

⑴求—3的大小

⑵若邊上的高等于1,求VABC的面積.

【答案】⑴8=?

0

（2）1±^

2

【分析】（1）由余弦定理得到cosB=@,得至UB=m；

（2）作出輔助線，結合（1）求出各邊長，利用三角形面積公式得到答案.

【詳解】（1）SSB/M"=回=昱,

lac2ac2

又3?0,兀）,故2哈

（2）從=2,故AC=V^，

過點C作C。回AB于點￡>,A8邊上的高等于1,故CD=1,

故AD=JAC2_CD2=］，

由（1）知，B=g所以BDfCD=6,

O

所以AB=AZ）+BD=1+G

所以SABC=，A8,CD=Lx（l+6）xl=li^.

△ADC22、,,2

A

【題型六】三角形中最值范圍問題

【例1】已知a,b,c分別為VABC三個內角A,B,C的對邊，且加inA-扃cosB=0.

⑴求8;

(2)若6=2,求VABC的面積的最大值.

【答案】(1)8=；

(2)6

【分析】(1)由正弦定理邊化角，再結合輔助角公式即可求解；

(2)法一：由余弦定理^=/+c2-2a-ccosB,結合基本不等式求得這最大值，即可求解；法二：由正

弦定理，得到a=*"sinA,c=&msinC,再結合面積公式、輔助角公式即可求解；

33

【詳解】(1),/fosinA-y/3acosB=0,

由正弦定理可得sinBsinA-SsinAcosB=0

As(0,^"),sinAwO,sinB-6cosB=0.

Zsin,-Jo.

,.,BG(O,K),,8二;；

(2)(方法一)在VABC中，由余弦定理得k=/+，一2〃.c.cosB,

即4=a?+/之2ac—ac=ac,當且僅當a=c=2時取等號.

:.S,Rr=-a-c-sin^ABC<ix4x—=73.

we222

即VABC的面積的最大值為G

a_c_2

(方法二)由正弦定理得sinAsinC也

，好速sinA,c=^sinC,

33

smC

則VA3C面積S=LcsinB△x且x還蛆.xl^

22233

4V§sin|--A|sinA

_4ArinCsinA_I3J

—3—3

=(yfisin2A-cos2A+1)=-sin2A--cos2A+—

3'，3I222J

jr2冗

因為3=彳，所以0<A<二,

33

LLtxI兀c47t77t

所以-7<2A-7〈丁，

666

所以當2A一冷取得最大值

3LI6；2j

所以手卜n/一野1

+—《括即當且僅當A=C=W時取等號.

2

即NABC的面積的最大值為上

【例2】記銳角三角形ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=2,bcos8=0sin2B.

⑴求A;

(2)求(省-1)。+0c的最大值.

【答案】⑴A=：

(2)45/2.

【分析】(1)由倍角公式結合正弦定理即可求；

(2)由正弦定理邊化角，由VABC為銳角三角形得出8的范圍，利用正弦型函數性質即可求.

【詳解】(1)因為6cosB=J^sin28，所以Acos3=2應sincos3.

又VA3C為銳角三角形，故cosB/O,則上=2四=三.

sinBsinA

因為a=2,所以sinA=.

2

又腦網,故A=%

(2)由正弦定理得二二一汨二三二？血,

sinBsinCsinA

貝“6=2忘sinB，c=20sinC.

_47r

由（1）知4=—,則C=-----B.

44

所以（括-l）b+0c=20（ATsin3+4sinC

=^2\/6-2^2jsinB+4sin

=2^sinB+2V2cosB=4>/2sin,

因為VABC為銳角三角形,

0<B<-

2,所以

所以

o<?M42

42

r-r*[\I5兀門712兀

所以五＜8+不〈號,

所以當8+臺弓時，即8=]時，（6-2+缶取得最大值4&.

【變式1】已知|AB|=4,M為A8上一點，且洵=3麗.動點C滿足|AC|=2|CM，。為線段3C上一點，

滿足|C0=|DM|,則下列說法中不正確的是（）

A.若四，則。為線段BC的中點B.當|AC|=3時，VABC的面積為半

C.點。到A,B距離之和的最大值為5D.NMCB的正切值的最大值為理

3

【答案】B

【分析】建立平面直角坐標系，將條件中的邊長關系轉化成坐標運算，得到動點C的軌跡是圓，動點。的

軌跡是橢圓，利用圓和橢圓的性質可求解判斷A,C,D；結合余弦定理和三角形面積公式可求出VABC的面

積，判斷出B錯誤.

以3為原點建立如圖所示平面直角坐標系，則A（T,O）,Af（-1,0）,

設C(x,y),由|AC|=21cMi知，屁盯+y2=2gif+y?，化簡得/+尸=4,即動點C在以點5為圓心,

半徑為2的圓上，

對于A,由|CD|=|DM|知。在線段CM中垂線上，所以當四時，。為線段BC的中點，故A正確；

7

對于B,當|4。=3時，在VABC中利用余弦定理得cos/C4B=—,

8

又因為/C4Be(O㈤，所以sin/C4B=半，所以VABC的面積為到sin/CA3=半，故B錯誤;

對于C,因為|。閭+口目=|￡＞。+0用=怛。=2＞|〃8|=1,

根據橢圓的定義，點。在以8為焦點的橢圓上，且長軸長2。=2,焦距2c=1,短軸長2b=g.

所以|以+|/四=|。胤+2-|。圖＜2+|40|=5,當點D在橢圓的右頂點時，即A,M,。三點共線時等號成

立，取得最大值5,故C正確；

對于D,易知/MDB=2/MCB,根據橢圓焦點三角形的性質可知，當NMD3最大時，D在橢圓的上或下頂

點，

1

—色

此時tan-ZMDB=tan/MCB=—=-j=-=工-為最大值,故D正確.

2b3

2

故選：B.

【變式2】已知M=(石sinx,-cosx),B=(cosx,cosx),f^x)=d'b.

⑴求函數/(%)圖象的對稱軸方程;

⑵求函數/(X)單調遞增區間;

⑶設VABC的內角A瓦。所對的邊分別為4C,若/(B)=；且八百.求VABC面積的最大值.

.,—左兀7T,~

【答案】(1)X=~^~+],上￡Z；

7C7C

(2)kit,kjtH—，左wZ

63_

⑶地

4

【分析】(1)通過向量數量積得到函數表達式〃x)=sin[2x-t)-；,再利用正弦函數的對稱軸，整體代換

計算即可；

(2)運用正弦函數單調性，整體代換計算即可；

(3)結合三角形內角條件和余弦定理、重要不等式求解三角形面積的最大值.

【詳解】(1)由少=(百sinx,-cosx),B=(cosx,cosx),

則/(x)=商?5=百sinxcosx—cos2x=sin2x--(cos2x+1)=sin(2x—工]--,

22'I6J2

i-.?-7C17C----口>-|A.JL7C1

則2x-kit-\—，左wZ,即x—1—,kGZ,

6223

故/(X)圖象的對稱軸方程為x號+?eZ.

(2)由(1)可矢口/(尤)=sin[2x-k]—5,

則/(x)在2也-工<2無一工W2E+工人eZ單調遞增，

262

兀兀

故kit—K%KkitH—，女￡Z,

63

冗TC

故/(力單調遞增區間為k%--,kn+-,kwZ.

(3)丫/(B)=!，;.sin(2B-=即sin[2B—9=l,

2I0722Io7

71711111

?/3為VABC的內角，.\0<B<7i,故一一<25-一<——,

666

2B--=~,則8=4，又b=6,

623

由余弦定理)2=tz2+c2—2accosB,得3=a?+/—,

又由重要不等式〃2+c2=3+覺》2面，故改工3

S=—acsinB=ac<,當且僅當〃=c時等號成立

244

故VABC面積的最大值為更.

4

【變式3】若一個三角形中兩邊的平方和是第三邊平方的加倍(加>l,〃?eN*),則稱該三角形為機階準直角

三角形.在VA8C中，角A3,C的對邊分別為a/，c,且皿+專0=生2組.

abc

⑴證明：VABC是2階準直角三角形；

(2)若4sinA=3sin_B,求cosC的值；

⑶若c=4,求VABC的面積的最大值.

【答案】⑴證明見解析；

⑶4G.

【分析】（1）由已知及余弦邊角關系化簡條件為4+）2=202,即可證;

3

⑵由正弦邊角關系有a=結合（0結論和余弦定理求cos。；

Q

（3）由己知和余弦定理得cosC=＜，結合/+k=2H，應用三角形面積公式、基本不等式求面積的最大

ab

值，注意取值條件.

【詳解】（1）由2+至也及余弦定理，得/+H―/+/+c2/=2（“2+62—02）,

abca-2bcb-2acc-2ab

整理，得/+^=2C2,故VA5c是2階準直角三角形.

3

（2）由正弦定理，得4。=36,貝1］。=一6,

4

由⑴得所以cosC，+〃c225

2ab48

222222

/、,cosAcosB2cosC7日。「cb+c-aca+c-b

(3)由——+——=-----得2cosC二------------+------------

abca2bcblac

28

整理得cosC=￡r-,又c=4,所以cosC=二，由(1)得。2+/=32,

2abab

所以VABC的面積為SA”=—absinC=-abjl-cos2c=—ab

222

=1VaV-64<1-64=4A/3,

當且僅當。=6=4時，取得等號，故VABC的面積的最大值為4G.

【題型七】距離、高度、測量問題

【例1】如圖，為了測量一條大河兩岸A8之間的距離，無人機升至九米的空中沿水平方向飛行至C點進行

測量，A,5c在同一鉛垂平面內.在C點測得A,B的俯角為見以尸＜a）,則AB=.

/zsin(a-4)

【答案】

sinasin/3

hA5AC

【分析】根據已知及正弦定理有AC=」乙、=而，即可求力及

sinasin(cr-/7)

【詳解】由條件知/ABC=4/AC8=。—/?,過。作CD垂直于直線A6,垂足為

ACsin(a-Q)/zsin(a—,)

所以A5=

sin/3sinasin/3

/zsin(a—夕)

故答案為:

sinasin/}

【例2】某數學興趣小組成員為測量某建筑的高度。尸，選取了在同一水平面上的A,B,。三處，如圖.已知

在A,B,C處測得該建筑頂部尸的仰角分別為30。，45°,60°,~Ok=2QB-OCAB=10米，則該建筑的

A.10拒米B.5"米C.5百米D.5四米

【答案】B

【分析】設。P=x，由/O及1+/O3C=7T,結合余弦定理可得100+Y-3/?+：0,求解即

2xl0xx2xl0xx

可.

【詳解】設。P=x,貝IJ可得。A=3,OB=X,OC=^X,

3

由礪=2礪一玄，可得2是AC的中點，所以AB=3C=10,

而ZOBA+ZOBC=7if則cos/OBA+cosZOBC=0,

△ABO,ACBO中，由余弦定理可得：100+爐一3心J00+廠一3廠二°,

2xl0xx2xl0xx

解得：x=5后，所以該建筑的高度。尸=5"米.

故選：B.

【變式1】如圖，A,B,C三點位于同一水平面，A位于8的北偏西30。方向，C位于8的北偏東60。方向,

A在C的正西方向，且A,C之間的距離為50米，B處正上方建有一棟樓房，C處正上方建有一座塔，從A

處觀察塔尖E,測得仰角為45。，從樓房頂。處觀察塔尖E,測得仰角為30。，則樓房的高度為米.

【答案】25

【分析】畫出圖形，通過作輔助線將空間幾何問題轉化為平面幾何問題通過三角函數即可解決.

【詳解】因為A位于3的北偏西30。方向，C位于8的北偏東60。方向，A在C的正西方向，且A,C之間

的距離為50米，

則ZABC=90°,ABAC=60°,NBCA=30°,

所以BC=25g"米.

又從A處觀察塔尖E,測得仰角為45。，所以CE=50米.

過。作CE的垂線，垂足為尸（如圖），

則DF=BC=25石米，NEDF=30°,

所以EF=25米，DB=CF=CE-EF=25

所以樓房的高度為25米.

【變式2］某高中高一學生成立了課外實踐數學小組，計劃通過數學建模的方法來測量某人工圓形湖泊的直

徑，如圖為該人工湖泊的大致俯視圖，該小組成員首先在湖泊邊緣處A點處固定一旗幟，然后從A點沿逆

時針方向繞著湖泊邊緣走到B點處固定一旗幟,并在紅外線角度測量儀的幫助下從2點逆時針走至C點處，

此時測得S42C=120。，且測得BC=20米，AB=10米.

（1）求該人工圓形湖泊的直徑；

（2）若。為人工圓形湖泊優弧AC上一動點（異于A，C兩點），求四邊形ABC。面積的取值范圍.

【答案】⑴該人工圓形湖泊的直徑為迎旦米

3

（2）四邊形ABCD面積的取值范圍為卜225班］（平方米）

【分析】（1）在VABC中，由余弦定理求得AC,利用正弦定理求得直徑；

（2）利用三角形面積公式求得\ABC，利用四點共圓性質及余弦定理，結合基本不等式求得知的最大值

（AD=x,CD=y］,進而得到'sc的最大值，從而得到四邊形ABC。面積的取值范圍.

【詳解】（1）在VABC中，由余弦定理可得AC2=AB?+BC2-2A8-3CCOSZABC,

即AC2=102+202-2x10x20x^-1^=700,

故AC=10?米.

設該人工圓形湖泊的半徑為R,

2__AC10夕20收

故~sinZABC~73^，

所以該人工圓形湖泊的直徑為生旦米.

3

（2）=-ABBCsinZABC=-xl0x20x^-=50A/3,

△ABC222

因為A,B,C,。四點共圓，所以/ADC=180O—NABC=60。，

設AD=x,CD=y,由余弦定理可得AC?=700=%2+,2—孫力孫，

所以治4%=^xysinZADC=^-xy<^-x100=n5yf3，

當且僅當AD=CD時取等號，

故四邊形ABC。面積的取值范圍為（5。&,225括］（平方米）.

【變式3】為了測量一座底部不可到達的建筑物的高度，復興中學跨學科主題學習小組設計了如下測量方案:

如圖，設A,8分別為建筑物的最高點和底部.選擇一條水平基線密，使得H,G,B三點在同一直線上,

在G,H兩點用測角儀測得A的仰角分別是。和夕，測角儀器的高度是心CD=a,由此可計算出建筑物的

高度43.若。=75。，萬=45°,則此建筑物的高度是（答案用"，"表示）

2

【分析】根據直角三角形的邊角關系求邊長即可.

tan450+tan30°3+石

【詳解】首先:tan75°=tan（45°+30°）r

1-tan45°tan30°14

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