專題29函數(shù)綜合壓軸題（32題）

一、單選題

1.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，已知拋物線y=ax2+6x+c過點C（0,-2）與x軸交點的橫坐標分別為士,

%,JL-1<X1<0,2<x2<3,則下列結論：

①。一6+。<0；

②方程ax?+6%+C+2=0有兩個不相等的實數(shù)根;

③。+6>0；

c2

@a>~；

⑤〃—4女>4片.其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，正方形N5C。的頂點A,。在拋物線y=-―+4上，點。在y軸

上.若4。兩點的橫坐標分別為加n（加〉〃〉0）,下列結論正確的是（）

A.m+n=1B.m—n=lC.mn=1D.一二1

n

3.（2024?山東濟南?中考真題）如圖1,V4BC是等邊三角形，點。在邊上，BD=2,動點。以每秒1

個單位長度的速度從點8出發(fā)，沿折線8C-C4勻速運動，到達點A后停止，連接。尸.設點尸的運動時間

為，（s）,DP?為丫.當動點尸沿BC勻速運動到點C時，>與/的函數(shù)圖象如圖2所示.有以下四個結論：

①/3=3；

②當f=5時，了=1；

③當44/W6時，14y43；

④動點尸沿3C-C4勻速運動時，兩個時刻乙，乂4<幻分別對應乂和%,若:+，2=6,貝其中

正確結論的序號是（）

A.①②③B.①②C.③④D.①②④

圖1

二、填空題

4.（2024?湖北武漢?中考真題）拋物線"af+bx+c（a,b,c是常數(shù)，”<。）經(jīng)過（見1）兩點，

且0〈機<1.下列四個結論：

@b>0；

②若0<x<l,貝!J+b（x-l）+c>1；

③若a=-l,則關于x的一元二次方程辦2+加+,=2無實數(shù)解；

④點/（%,弘），2（馬，％）在拋物線上，若X]+X2>-g,再>%,總有%<%,貝！]0〈加vg.

其中正確的是（填寫序號）.

5.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點/在直線y=上，且點/的橫坐標為4,

直角三角板的直角頂點。落在x軸上，一條直角邊經(jīng)過點/,另一條直角邊與直線。4交于點3,當點C

在x軸上移動時，線段AB的最小值為.

6.（2024?黑龍江大慶?中考真題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在縱坐標是橫坐標2倍的點，則把該函數(shù)稱

為“倍值函數(shù)”，該點稱為“倍值點”.例如：“倍值函數(shù)”＞=3x+1,其“倍值點”為（-1,-2）.下列說法不正

睥的序號為.

①函數(shù)y=2x+4是“倍值函數(shù)”；

Q

②函數(shù)＞的圖象上的“倍值點”是（2,4）和（-2,-4）；

14

③若關于x的函數(shù)＞=（冽-1）/+加、+］加的圖象上有兩個“倍值點”，則m的取值范圍是加＜§;

④若關于X的函數(shù)y=/+（%-4+2）x+K-&的圖象上存在唯一的“倍值點”，且當-1W加W3時，〃的最小

值為左，則左的值為一3一二.

2

7.（2024?四川巴中?中考真題）若二次函數(shù)＞=依2+阮+＜?（。＞0）的圖象向右平移1個單位長度后關于y軸

對稱.則下列說法正確的序號為.（少選得1分，錯選得0分，選全得滿分）

①”2

a

35

22

②當時，代數(shù)式a+b-5b+S的最小值為3

③對于任意實數(shù)加，不等式al+6機-。+620一定成立

④P（%i，yi）,QO2,乃）為該二次函數(shù)圖象上任意兩點，且占＜%.當再+%+2＞0時，一定有必＜必

三、解答題

8.（2024?江蘇常州?中考真題）將邊長均為6cm的等邊三角形紙片/5C、。斯疊放在一起，使點￡、B分

別在邊ZC、DF1.（端點除外），邊AB、斯相交于點G,邊BC、DE相交于點77.

（2）如圖2,若EF〃BC,求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；

（3）如圖3,當AE＞EC,網(wǎng)＞8D時，/￡與FB有怎樣的數(shù)量關系？試說明理由.

9.（2024?四川資陽?中考真題）已知二次函數(shù)了=-；》2+樂與了=的圖像均過點/（4,0）和坐標原

點。，這兩個函數(shù)在0WX44時形成的封閉圖像如圖所示，P為線段04的中點，過點P且與x軸不重合的

直線與封閉圖像交于B,C兩點.給出下列結論:

①6=2；

@PB=PC；

③以。，A,B,C為頂點的四邊形可以為正方形;

④若點8的橫坐標為1,點。在>軸上（Q,B,C三點不共線），則△BC。周長的最小值為5+歷.

其中，所有正確結論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

10.（2024?江蘇常州?中考真題）在平面直角坐標系xp中，二次函數(shù)》=--+為+3的圖像與x軸相交

于點/、B,與y軸相交于點C.

（1）OC=；

（2）如圖，已知點A的坐標是（T,0）.

①當14x4機，且%>1時，y的最大值和最小值分別是s、t,s-t=2,求機的值；

②連接AC,P是該二次函數(shù)的圖像上位于j軸右側(cè)的一點（點3除外），過點P作尸。J.x軸，垂足為D作

NDPQ=NACO,射線尸。交y軸于點°,連接PC.若尸C,求點尸的橫坐標.

11.（2024?北京?中考真題）小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯），在科技活動中，小云用所學數(shù)學知識

和人工智能軟件設計了一個新水杯，并將其制作出來，新水杯（記為2號杯）示意圖如下，

當1號杯和2號杯中都有『mL水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度用（單位：cm）和2號杯的水面

高度”2（單位：cm）,部分數(shù)據(jù)如下:

K/mL040100200300400500

%/cm02.55.07.510.012.5

h2/cm02.84.87.28.910.511.8

（1）補全表格（結果保留小數(shù)點后一位）;

（2）通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫用與憶，兒與憶之間的關系.在給出的平面直角坐標系中，畫出這

兩個函數(shù)的圖象;

A〃/cm

13—廠丁I

I

1-2-4-i-,1-

］十----I---------T-

10-4--：-

9一++

-----------r--T-

、7--------I-------4--

\b-

伊一,十

4—;——

3——卜十

\2—卜十

H一工一

°_..LW0J2Q0L3Q0L4Q0J_5Q0Jjz/mL

（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題:

①當1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為cm

（結果保留小數(shù)點后一位）;

②在①的條件下，將2號杯中的一都分水倒入1號杯中，當兩個水杯的水面高度相同時，其水面高度約為

cm（結果保留小數(shù)點后一位）.

12.（2024?吉林?中考真題）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識，設計了一個計算程序，其程序框圖如圖（1）

所示，輸入X的值為-2時，輸出y的值為1；輸入X的值為2時，輸出y的值為3；輸入x的值為3時,

輸出y的值為6.

開蛤

人/

（圖1）（圖2）

⑴直接寫出比a,6的值.

（2）小明在平面直角坐標系中畫出了關于x的函數(shù)圖像，如圖（2）.

I.當y隨x的增大而增大時，求x的取值范圍.

II.若關于x的方程ax?+6x+3-=0（/為實數(shù)），在0<x<4時無解，求f的取值范圍.

III.若在函數(shù)圖像上有點尸，與。不重合）.尸的橫坐標為加，。的橫坐標為-機+1.小明對P,Q

之間（含尸，。兩點）的圖像進行研究，當圖像對應函數(shù)的最大值與最小值均不隨加的變化而變化，直接

寫出加的取值范圍.

13.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，拋物線y=/+6x+c與x軸交于點和點瓦與夕軸交于點

（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；

（2）在y軸上是否存在一點使得AADW的周長最小.若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理

由；

⑶若點E在以點P（3,0）為圓心，1為半徑的。尸上，連接NE,以/E為邊在NE的下方作等邊三角形/跖，

連接8尸.求B尸的取值范圍.

14.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖①，二次函數(shù)＞=/+人+。的圖象G與開R同下的二次函數(shù)圖象C2均

過點/(-1,0),5(3,0).

（1）求圖象a對應的函數(shù)表達式;

⑵若圖象C2過點C（0,6）,點P位于第一象限，且在圖象G上，直線/過點P且與x軸平行，與圖象c2的另

一個交點為0（。在尸左側(cè)），直線/與圖象G的交點為M,N（N在M左側(cè)）.當尸。=〃P+QN時，求

點P的坐標;

（3）如圖②，D,E分別為二次函數(shù)圖象G，G的頂點，連接力。，過點/作/尸，ND.交圖象G于點尸，連

接E凡當斯〃4D時，求圖象G對應的函數(shù)表達式.

15.（2024?黑龍江綏化?中考真題）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線＞二-^+為+^:與直線相交于人，3兩點，其中點/（3,4）,5（0,1）.

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式.

（2）過點3作3C〃x軸交拋物線于點C,連接NC,在拋物線上是否存在點P使tanNBC尸=，anN/C8.若

存在，請求出滿足條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由.（提示：依題意補全圖形，并解答）

(3)將該拋物線向左平移2個單位長度得到%=%/+&x+c"a尸0),平移后的拋物線與原拋物線相交于點

。，點E為原拋物線對稱軸上的一點，尸是平面直角坐標系內(nèi)的一點，當以點8、D、E、尸為頂點的四

邊形是菱形時，請直接寫出點尸的坐標.

3

16.(2024?云南?中考真題)已知拋物線>=/+為一1的對稱軸是直線x=].設加是拋物線y=/+6x-l與

x軸交點的橫坐標，記"=噎^.

(1)求6的值；

⑵比較M與巫的大小.

2

17.(2024?江蘇常州?中考真題)對于平面內(nèi)有公共點的兩個圖形，若將其中一個圖形沿著某個方向移動一

定的距離”后與另一個圖形重合，則稱這兩個圖形存在“平移關聯(lián)”，其中一個圖形叫做另一個圖形的“平移

關聯(lián)圖形”.

⑴如圖1,&C、。是線段/￡的四等分點.若/E=4,則在圖中，線段NC的“平移關聯(lián)圖形”是,

d=(寫出符合條件的一種情況即可)；

(2)如圖2,等邊三角形N8C的邊長是2.用直尺和圓規(guī)作出VN3C的一個“平移關聯(lián)圖形”，且滿足d=2(保

留作圖痕跡，不要求寫作法)；

(3)如圖3,在平面直角坐標系xQy中，點。、E、G的坐標分別是(-1,0)、(1,0)、(0,4),以點G為圓心，『

為半徑畫圓.若對OG上的任意點F,連接DE、EF、FD所形成的圖形都存在“平移關聯(lián)圖形”,且滿足d>3,

直接寫出廠的取值范圍.

18.(2024?江蘇宿遷?中考真題)如圖①，已知拋物線%=/+6x+c與x軸交于兩點0(0,0)、工(2,0),將拋

物線必向右平移兩個單位長度，得到拋物線%，點尸是拋物線必在第四象限內(nèi)一點，連接尸/并延長，交

拋物線%于點。.

圖①圖②

(1)求拋物線％的表達式；

(2)設點尸的橫坐標為馬，點0的橫坐標為％,求的值；

(3)如圖②，若拋物線%=/-8x+f與拋物線弘=/+區(qū)+。交于點C,過點C作直線分別交拋物線必

和外于點M、N(M、N均不與點C重合)，設點M的橫坐標為加，點N的橫坐標為小試判斷|〃2-九|是

否為定值.若是，直接寫出這個定值；若不是，請說明理由.

19.(2024?山東濟南?中考真題)在平面直角坐標系尤0中，拋物線Cl：y=x2+瓜+c經(jīng)過點/(0,2),3(2,2),

頂點為。；拋物線C2:了=尤2-2加工+機2-加+2(機/1),頂點為Q.

⑴求拋物線Q的表達式及頂點D的坐標；

(2)如圖1,連接4D,點E是拋物線G對稱軸右側(cè)圖象上一點，點尸是拋物線G上一點，若四邊形/。尸￡

是面積為12的平行四邊形，求"Z的值；

(3)如圖2,連接BD,DQ,點、M是拋物線G對稱軸左側(cè)圖像上的動點(不與點A重合),過點M作MN〃DQ

交無軸于點N,連接BN,DN,求AADN面積的最小值.

20.(2024?湖北?中考真題)在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+6x+3與x軸交于點和點3,與

7軸交于點C.

⑵如圖，M是第一象限拋物線上的點，4MAB=AACO,求點M的橫坐標；

(3)將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為L￡與y軸交于點N.設￡的頂點橫坐標為〃，NC

的長為d.

①求d關于〃的函數(shù)解析式；

②乙與x軸圍成的區(qū)域記為U,。與A/BC內(nèi)部重合的區(qū)域(不含邊考)記為立當d隨〃的增大而增大,

且少內(nèi)恰好有兩個橫、縱坐標均為整數(shù)的點時，直接寫出〃的取值范圍.

21.(2024?四川雅安?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象/與反比例函數(shù)y=上的圖

⑴求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達式；

⑵求AOW的面積；

(3)若點P是了軸上一動點，連接尸M,PN.當PM+PN的值最小時，求點P的坐標.

22.(2024?四川巴中?中考真題)在平面直角坐標系中，拋物線＞=依2+加+3(分0)經(jīng)過/(-1,0),5(3,0)

兩點，與N軸交于點C,點尸是拋物線上一動點，且在直線BC的上方.

圖1圖2

(1)求拋物線的表達式.

(2)如圖1,過點P作尸軸，交直線BC于點￡,若PE=2ED,求點尸的坐標.

(3)如圖2,連接NC、PC、AP,/P與3c交于點G,過點尸作尸尸〃4c交8c于點尸.記A/CG、APCG、

△PGF的面積分別為外邑、S3.當3+今取得最大值時，求sin/BCP的值.

23.(2024?四川雅安?中考真題)在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=a/+6x+3的圖象與x軸交于/。,0),

3(3,0)兩點，與y軸交于點C.

⑵如圖①，若點P是線段3c上的一個動點(不與點8,。重合)，過點尸作y軸的平行線交拋物線于點。,

當線段尸。的長度最大時，求點。的坐標；

(3)如圖②，在(2)的條件下，過點0的直線與拋物線交于點。，且NCQD=2/OCQ.在y軸上是否存

在點￡,使得ABAE為等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

24.(2024?黑龍江大慶?中考真題)如圖，已知二次函數(shù)y=a/+2x+c的圖象與x軸交于A,8兩點.A點

坐標為(TO),與夕軸交于點C(0,3),點”為拋物線頂點，點E為AB中點.

⑴求二次函數(shù)的表達式；

(2)在直線BC上方的拋物線上存在點。，使得=求點。的坐標;

(3)已知D,尸為拋物線上不與A,B重合的相異兩點.

①若點尸與點C重合，且加>1,求證：D,E,廠三點共線；

②若直線4D,BF交于點、P,則無論。，廠在拋物線上如何運動，只要。，E,尸三點共線，AAMP,AMEP,

A/8尸中必存在面積為定值的三角形.請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由.

25.（2024?江蘇無錫?中考真題）已知二次函數(shù)廣江+x+c的圖象經(jīng)過點-1和點8（2,1）.

⑴求這個二次函數(shù)的表達式；

（2）若點C（加+1,%）,。（加+2,%）都在該二次函數(shù)的圖象上，試比較必和力的大小，并說明理由；

⑶點尸，。在直線NB上，點M在該二次函數(shù)圖象上.問：在歹軸上是否存在點N,使得以尸，Q,M,

N為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.

26.（2024?山東濟寧?中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過（0,-3）,（-仇。）兩點，其中a,b,

c為常數(shù)，且06>0.

（2）若該二次函數(shù)的最小值是-4,且它的圖像與x軸交于點4,3（點/在點8的左側(cè)），與〉軸交于點C.

①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點43的坐標；

②如圖，在〉軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖像上有一動點尸，過點尸作x軸的垂線，垂足為。，與直線/C交于

點、E,連接尸C,CB,BE.是否存在點尸，使合口=[?若存在，求此時點尸的橫坐標；若不存在，請

、2CBE"

說明理由.

27.（2024?遼寧?中考真題）已知外是自變量尤的函數(shù)，當為=孫時，稱函數(shù)%為函數(shù)%的“升幕函數(shù)在

平面直角坐標系中，對于函數(shù)必圖象上任意一點4見”），稱點8（私用”）為點A"關于M的升募點”，點5在

函數(shù)%的“升幕函數(shù)"％的圖象上.例如：函數(shù)M=2X,當%=個|=x-2x=2/時，則函數(shù)%=2/是函數(shù)

M=2x的“升幕函數(shù)”.在平面直角坐標系中，函數(shù)弘=2x的圖象上任意一點/（加,2m）,點2〃/）為點

A“關于M的升幕點”，點3在函數(shù)M=2x的“升幕函數(shù)”%=2/的圖象上.

咻

3

(2)如圖1,點A在函數(shù)%=—(尤>0)的圖象上，點A"關于M的升幕點”5在點A上方，當/B=2時，求點A

尤

的坐標；

⑶點A在函數(shù)弘=-尤+4的圖象上，點A“關于弘的升幕點”為點3,設點A的橫坐標為機.

①若點B與點A重合，求機的值；

②若點B在點A的上方，過點B作X軸的平行線，與函數(shù)M的“升塞函數(shù)”%的圖象相交于點C,以BC

為鄰邊構造矩形N3CD,設矩形/8CA的周長為y,求N關于加的函數(shù)表達式；

③在②的條件下，當直線y=/1與函數(shù)y的圖象的交點有3個時，從左到右依次記為E,尸，G,當直線y=4

與函數(shù)y的圖象的交點有2個時，從左到右依次記為M,N,若EF=MN,請宇援可出GF的值.

28.(2024?四川資陽?中考真題)已知平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線了=-；/+&+。與x軸

交于/,3兩點，與y軸的正半軸交于。點，且B(4,0),5C=4>/2.

ffll圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點尸是拋物線在第一象限內(nèi)的一點，連接過點尸作尸軸于點D交8C于點K.記

△PBC,ABDK的面積分別為工，凡，求岳-邑的最大值；

⑶如圖2,連接NC,點￡為線段NC的中點，過點￡作交x軸于點足拋物線上是否存在點0,

使/QEB=2/OC4?若存在，求出點0的坐標；若不存在，說明理由.

29.(2024?甘肅蘭州?中考真題)在平面直角坐標系X0中，給出如下定義：點P是圖形少外一點，點。

PO1

在尸。的延長線上，使得方方=5,如果點0在圖形沙上，則稱點尸是圖形少的“延長2分點”，例如：如

PO1

是線段N8外一點，0(2,3)在PO的延長線上，且吊=不，因為點。在線

M2c72

圖形％的“延長2分點”;

(2)如圖2,已知圖形%:線段3C,8(2,2),C(5,2),若直線AW:y=-x+6上存在點尸是圖形％的“延

長2分點”，求6