第七章立體幾何與空間向量第9節幾何體的截面(交線)及動態問題INNOVATIVEDESIGN1.立體幾何中截面、交線問題綜合性較強,解決此類問題要應用三個基本事實及其推論、垂直、平行的判定與性質定理等知識.

2.立體幾何中的動態問題主要是指空間動點軌跡的判斷、求軌跡長度、最值與范圍問題等.目

錄CONTENTS課時對點精練題型一

截面問題

ABD分別取棱DD1,D1A1,A1B1,B1B的中點為G,H,I,J,將其順次連接,連接GF,EF,EJ,由中位線的性質可得平面A1BD∥平面EFGHIJ,故AC1⊥平面EFGHIJ,而六邊形EFGHIJ顯然為正六邊形,故B正確;對于C項,如圖2所示,連接AC,BD交于O點,記側面AD1和側面AB1的中心分別為G,H,連接GH,HE,EF,GF,

解析

對于B項,如圖1所示,連接A1D,A1B,BD,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,易證AC1⊥平面A1BD,易知點G,H,E,F共面(即在符合要求的截面內),連接A1O交GH于N,設CO∩EF=M,連接MN,可得N,M為A1O,CO的中點,故A1C∥MN,又因為MN?平面GHEF,A1C?平面GHEF,所以A1C∥平面GHEF,故C錯誤;對于A,D項,如圖3所示,連接EF,并延長EF分別與直線AB,AD交于P,Q兩點,

思維建模作截面應遵循的三個原則:(1)在同一平面上的兩點可引直線;(2)凡是相交的直線都要畫出它們的交點;(3)凡是相交的平面都要畫出它們的交線.

D

題型二

交線問題

解析

如圖,設B1C1的中點為E,球面與棱BB1,CC1的交點分別為P,Q,連接DB,D1B1,D1P,D1Q,D1E,EP,EQ,由∠BAD=60°,AB=AD,知△ABD為等邊三角形,∴D1B1=DB=2,∴△D1B1C1為等邊三角形,

思維建模作交線的方法有如下兩種:(1)利用基本事實3作交線;(2)利用線面平行及面面平行的性質定理去尋找線面平行及面面平行,然后根據性質作出交線.

解析

設球O的半徑為r,則AB=BC=2r,

題型三

動態問題

D

(2)(多選)(2024·湖南九校聯考)如圖,點P是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的表面上一個動點,F是線段A1B1的中點,則(

)CD

對于D,取A1D1,D1D,DC,CB,BB1,AB的中點分別為Q,R,N,M,T,H,連接QR,QF,FT,TM,MN,NR,FH,HN,HM,FM,FN,如圖2所示,因為FT∥D1C,FT?平面D1B1C,D1C?平面D1B1C,所以FT∥平面D1B1C,因為TM∥B1C,TM?平面D1B1C,B1C?平面D1B1C,所以TM∥平面D1B1C,

思維建模1.在動態變化過程中產生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題,常用的思路是(1)直觀判斷:在變化過程中判斷點、線、面在何位置時,所求的量有相應最大、最小值,即可求解.(2)函數思想:通過建系或引入變量,把這類動態問題轉化為目標函數,從而利用代數方法求目標函數的最值.2.解決與幾何體有關的動點軌跡問題的方法(1)幾何法:根據平面的性質進行判定.(2)定義法:轉化為平面軌跡問題,用圓錐曲線的定義判定,或用代替法進行計算.(3)特殊值法:根據空間圖形線段長度關系取特殊值或位置進行排除.訓練3

(多選)(2025·杭州調研)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分別為AC1,A1B1的中點,點T在正方體的表面上運動,滿足PT⊥BQ.則下列結論正確的是(

)BCD

解析

以C點為坐標原點,CD,CB,CC1所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

課時對點精練KESHIDUIDIANJINGLIAN

BA.圓

B.橢圓C.雙曲線的一部分

D.拋物線的一部分

2.(2025·北京順義區質檢)已知過BD1的平面與正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1分別交于點M,N,則下列關于截面BMD1N的說法中不正確的是(

)CA.截面BMD1N可能是矩形B.截面BMD1N可能是菱形C.截面BMD1N可能是梯形D.截面BMD1N不可能是正方形解析

如圖1,當點M,N分別與對角頂點重合時,顯然截面BMD1N是矩形;如圖2,當M,N分別為棱AA1,CC1的中點時,顯然截面BMD1N是菱形,由正方體的性質及勾股定理易知截面BMD1N不可能為正方形;根據對稱性,其他情況下截面BMD1N為平行四邊形.故選C.

圖1

圖23.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,BB1的中點為M,過點C1,D,M的平面把正方體分成兩部分,則較小部分的體積為(

)C

4.(2025·南充模擬)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別為BC,CC1的中點,則平面AEF截正方體所得的截面面積為(

)B

解析

連接BC1,AD1,D1F,如圖所示,因為E,F分別是BC,CC1的中點,所以EF∥BC1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AD1∥BC1,所以EF∥AD1,所以A,D1,F,E在同一平面內,所以平面AEF截該正方體所得截面為四邊形EFD1A.

B

6.(2025·濰坊模擬)如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P為截面A1C1B上的動點,若DP⊥A1C,則點P的軌跡長度是(

)B

解析

連接DB,DC1,AC,因為A1A⊥平面ABCD,A1C是平面ABCD的一條斜線,

C又AF∩DF=F,AF,DF?平面ADF,故BC⊥平面ADF,

D所以AC⊥BD,OB′⊥AC,△ABC,△ACD,△AB′C均為正三角形,所以∠B′OD為二面角B′-AC-D的平面角,于是∠B′OD=60°,

二、多選題9.(2025·贛州聯考)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AA1=AB,點M,N分別為CC1和BC的中點,點P是棱AA1上的一個動點,則下列說法中正確的有(

) A.存在點P,使得B1M∥平面PBC B.直線PN與CC1為異面直線 C.存在點P,使得B1M⊥PN D.存在點P,使得直線PN與平面ABC所成角為45°BCD解析

因為B1M與BC相交,所以B1M與平面PBC相交,故A錯誤;因為P?平面BB1C1C,N∈平面BB1C1C,N?CC1,CC1?平面BB1C1C,所以直線PN與CC1為異面直線,故B正確;當點P與點A重合時,PN⊥平面BB1C1C,因為B1M?平面BB1C1C,所以B1M⊥PN,故C正確;當AP=AN時,直線PN與平面ABC所成的角為45°,故D正確.

BCD解析

對于A,假設存在某個位置,使得DE⊥A1C.由題意知∠AED=∠BEC=45°,所以∠DEC=90°,即DE⊥CE,又DE⊥A1C,A1C∩CE=C,A1C,CE?平面A1CE,所以DE⊥平面A1CE,因為A1E?平面A1CE,所以DE⊥A1E,與∠A1ED=∠AED=45°矛盾,故A錯誤;對于B,在△ADE的翻折過程中,當平面A1DE⊥平面ABCD時,易證CE⊥平面A1DE,故CE⊥A1D,故B正確.

ABD

三、填空題12.(2025·豫北六校聯考)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是該正方體表面及其內部的一動點,且BM∥平面AD1C,則動點M的軌跡所形成區域的面積是

.

解析

如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,動點M滿足BM∥平面AD1C,

解析

如圖,過點D作DH⊥BC于點H,

14.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M是

AD的中點,點P在底面ABCD內(不包括邊界)運動,若

B1P∥平面A1BM,則C1P的長度的取值范圍是

.

解析

如圖,取BC的中點N,連接B1D,B1N,DN,過C作CO⊥DN于點O,連接C1O,由正方體的性質知DN∥MB,A1M∥B1N,易得DN∥平面A1BM,B1N∥平面A1BM,DN∩B1N=N,DN,B1N?平面B1ND,

四、解答題15.(2025·西安質檢)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱B1C1的中點,F,G分別是棱CC1,BC上的動點(不與頂點重合).

(1)作出平面A1DG與平面CBB1C1的交線(要求寫出作圖過程),

并證明:若平面A1DG∥平面D1EF,則EF∥A1D;

解

如圖,延長DG交AB的延長線于點P,

連接A1P交BB1于點Q,連接GQ,則GQ所在的直線即平面A1DG與平面CBB1C1的交線.因為平面CBB1C1∥