2024-2025學年第一學期期中測試（求真）

八年級數學

一、選擇題（本題共6小題，每題2分，共12分）

1.在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）

2.如圖，與交于點O,△A50和△CDO關于直線PQ對稱，點A,B的對稱點分別是點

C,D.下列不一定正確的是（）

A.AD±BCB.AC±PQCAABg八CDO

D.ACPBD

3.已知ZVLBC中,。、b、c分別是NA、ZB.NC的對邊，下列條件中不能判斷△ABC是直角

三角形的是（）

A.b2-c2=crB.ZA:ZB:ZC=3:4:5

C.ZA=ZB-ZCD.a:〃：c=8:15:17

4.按照下列各圖所示的折疊過程，線段AD是△ABC中線的是（）

5.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內部底面直徑是9cm,內壁高12cm,則這只鉛筆

在筆筒內部的長度/的取值范圍是（）

A.12cm<Z<15cmB.9cm<Z<12cm

C.10cm</<15cmD.10cm<Z<12cm

6.已知在△ABC中NB=30°,AB=8,下列AC的長度能夠使△ABC唯一確定的是（）

A.3B.6C.7D.9

二、填空題（本題共10小題，每題2分，共20分）

7.如圖，為了使舊木門不變形，木工在門的背面加釘了一根木條，這樣做的道理是.

8.如圖，已知=AC,請再添加一個條件，使△ABEZzXACD（不添加輔助線或點）.

9.已知等腰三角形的周長是10,一邊長是4,則等腰三角形的腰長為.

10.如圖，在ZVIBC中，邊A3的垂直平分線分別交BC、A3于點。、E,AE=4cm,AADC

的周長為9cm,則Z\ABC的周長為cm.

11.在ZVLBC中，ZACB=90°,CDLA6于點。，AC=6,BC=8,則CD的長為.

12.借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角.這個三等分角儀由兩根有槽的棒。4,。組

成，兩根棒在。點相連并可繞。轉動，C點固定，OC=CD=DE,點、D、E可在槽中滑動.若

ZBDE=75°,則ZCDE的度數為.

D

圖①圖②

13.如圖，在△ABC中，NACB=90°,CD是高，ZA=30°,BD=2,則AB的長為

14.如圖，將一條兩邊沿互相平行的紙帶折疊，若/I比N2大12°,則/I的度數為

15.如圖，AC=AB^BD,ZABD^90°,BC=8,則△BCD的面積為

16.如圖，已知AABE與△（?￡）￡都是等腰直角三角形，ZAEB=ZDEC=90。,連接A。，AC,

BC,BD,若==則下列結論：①AE垂直平分CD,②△ABD是等邊三角形，③

AC平分NB4D,④/BCD的度數為120。，其中正確的結論為.（填序號）

三、解答題（本題共10小題，共68分）

17.（6分）如圖：AC±BC,BDA,AD,AD與BC交于O,AD^BC,求證：OD=OC.

c~2

AB

18.(6分)如圖，網格中的△ABC與△。所為軸對稱圖形.

(1)ZVlBC的面積為；

(2)利用網格線作出△ABC與△。毋的對稱軸/；

(3)結合所畫圖形，在直線/上畫出點P,使K4+PC最小.

19.(6分)如圖所示的一塊草坪，已知AD=12m,CD=9m,ZADC=90°,AB=39m,

BC=36m,若每鋪in?草坪需要花費40元，則鋪這塊草坪共需花費多少元？

A

20.(6分)如圖，在等腰Rt^ABC中，NACB=90°,點。是A3上一點，作等腰Rt￡J)CE,

且"CE=90°,連接AE.

(1)求證：ACEA^ACDB；

(2)求證：BD2+AD2=DE2.

21.(6分)如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是A3、AC邊上的高，M,N分別是線段

BC、OE的中點.

A

E

（1）求證：MNLDE；

（2）若NABC=70。，ZACB=50°,連結QM、ME,則NOME的度數為

22.（6分）如果三角形三邊長a、b、c滿足幺上一=b,那么我們就把這樣的三角形叫做“均勻

3

三角形”，如三邊長分別為1、1、1或3、5、7……的三角形都是“均勻三角形”.如圖，兩條線段長

分別為a、c（a<c）.

（1）用含有。和c的代數式表示b,b=.

（2）求作均勻三角形ABC,使得最短邊A6=a、最長邊BC=c（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（3）在（2）中的三角形內部求作一點P,使P點到此三角形三邊距離相等.

23.（6分）【探索勾股數】與直角三角形三條邊長對應的3個正整數（a,b,c）,稱為勾股數，《周

髀算經》中記載的“勾三股四弦五”中的“3,4,5”就是一組最簡單的勾股數，顯然，這組數的整

數倍，如（6,8,10）（9,12,15）（12,16,20）等都是勾股數.當然，勾股數遠遠不止這些，如

（5,12,13）（8,15,17）等也都是勾股數.怎樣探索勾股數呢？即怎樣一組正整數（a,b,c）

才能滿足關系式。2+廿=02.設（/3c）為一組勾股數，觀察下表回答問題:

表1表2

abcabc

3456810

5121381517

72425102426

94041123537

（1）根據表1的規律寫出勾股數（11,);

觀察可得：表1中b、c與1之間的關系是（填勾股定理不得分）

（2）根據表2的規律寫出勾股數（16,_____）;

觀察可得：表2中b、c與1之間的關系是（填勾股定理不得分）

（3）老師告訴小明一組勾股數，但他回家后只記得其中最大的數是145,你知道這組勾股數可能是

多少嗎？（請用勾股定理的形式直接寫出結果，例如32+42=52）

24.（8分）已知：如圖1,在△ABC中，NA5c=45。，X是高A。、5E所在直線的交點.

圖1

（1）求證：BH=AC；

（2）如圖2,若NA改成鈍角后，結論9=4。還成立嗎？若成立，請補全圖形并證明，若不成

立，請說明理由.

25.（8分）如圖，在△ABC中，NACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,若點尸從點A出發,

以每秒2cm的速度沿折線A—5—C—A運動，設運動時間為，秒（f>0）.

備用圖

（1）若點尸在8c上且滿足=則此時,=；

（2）若點尸恰好在NABC的角平分線上且不與點B重合，求此時，的值；

（3）在點尸的運動過程中，當△ACP為等腰三角形時，f的值為.

26.（10分）折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法.

例如，在ZVIBC中，AB>AC（如圖1）,怎樣證明NC>4呢？

我們可以把AC沿NA的平分線A。翻折，因為A5>AC,所以點C落在AB上的點C處（如圖

2）.

于是，由NAC'D=NC,ZACD>ZB,可得NC>N6.

(1)【感知】

①如圖2,在△ABC中，若NB=35°,ZC=70°,則NC'Qfi=°.

②如圖2,在△ABC中，若NC=2NB,求證：ABAC=CD；

(2)【探究】

若將圖2中A。是角平分線的條件改成是高線，其他條件不變(如圖3),即在△ABC中,

ZC=2ZB,AD1BC,請探索線段AC、BC、之間的數量關系，并說明理由.

(3)【拓展】

如圖4,在中，ZACB^90°,BC=4,AC=5,點尸是邊上的一個動點(不與

B、C重合)，將沿AP翻折，點C的對應點是點C'.若以8、C、C為頂點的三角形是直

角三角形，則的長度為.

A

BC

圖4

2024-2025學年第一學期期中測試

八年級數學

知識點

1軸對稱圖形

2軸對稱的性質；全等三角形的判定

3勾股定理的逆定理；三角形內角和定理

4翻折變換（折疊問題）；三角形的角平分線、中線和高

5勾股定理的應用

6作圖一基本作圖；含30度角的直角三角形

7三角形的穩定性

8全等三角形的判定

9等腰三角形的性質；三角形三邊關系

10線段垂直平分線的性質

11勾股定理

12等腰三角形的性質

13含30度角的直角三角形

14平行線的性質

15等腰直角三角形；構造全等

16全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質；等邊三角形的判定與性質

17全等三角形的判定與性質

18作圖-軸對稱變換；軸對稱-最短路線問題

19勾股定理的應用；勾股定理的逆定理

20全等三角形的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形

21直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質

22復雜作圖；列代數式；三角形三邊關系；角平分線的性質；線段垂直平分線的性質

23勾股數

24全等三角形的判定與性質

25三角形綜合題；軸對稱；勾股方程

26幾何變換綜合題；全等；軸對稱；勾股方程

答案解析

一、選擇題（本題共6小題，每題2分，共12分）

123456

DABCAD

二、填空題（本題共10小題，每題2分，共20分）

7三角形具有穩定性1280°

8AD=AE（答案不唯一）138

93或41468°

10171516

24

1116①②③

y

三、解答題（本題共10小題，共68分）

17.（6分）如圖：AC±BC,BD±AD,AD與BC交于O,AD^BC,求證：OD=OC.

證明：?.?ADLBD,AC±BC,

：.ZD=ZC=90°,

AB=BA

在RtzXABC和RtABAO中，\

AD=BC

：.RtAABC^RtAJB4￡＞（HL）,

/.ZDAB=ZCBA,

OA=OB,

OC=OD.

（1）△ABC的面積為3；

（2）利用網格線作出△ABC與△。跖的對稱軸/；

（3）結合所畫圖形，在直線/上畫出點P,使K4+PC最小.

19.（6分）解：連接AC,

根據勾股定理，得AC=JAD2+CD2=15m.

在ZVWC中，AB-=1521=BC2+AC2=1296+225=1521,

，△ABC是直角三角形，

**,S草坪=SAABC-SAACD=5BC.AC--CD-AD

=-x36xl5--x9xl2

22

=216（m2）,

則鋪這塊草坪共需花費216x40=8640（元）.

答：鋪這塊草坪共需要花費8640元.

A

20.證明：（1）：△ABC和△￡）（〕￡都是等腰直角三角形,

AAC=BC,CD=EC,ZACB=ZDCE=90。,

：.ZACB-ZACD=ZDCE-ZACD,

：.ZACE=NBCD,

在△CDB與△CEA中，

AC=BC

<NACE=/BCD,

EC=CD

；?Z\CDB^Z\CEA（SAS）；

（2）???△ABC是等腰直角三角形,

：.ZB=ZBAC=45°,

由（1）得△CD6也△CEA,

ZEAC=ZB=45°,BD=AE,

：.ZEAD=ZEAC+ZBAC=450+45°=90°,

Z.AE2+AD2=DE2

：.BD1+AD2=DE1

21.(1)證明：如圖，連接。以，ME,

?；CD、BE分別是A3、AC邊上的高，M是BC的中點,

：.DM=-BC,ME=-BC,

22

DM=ME,

又?：N為DE中點、,

.'.MN±DE；

(2)解：在△ABC中，ZABC+ZACB=1SQ0-ZA,

VZABC=70°,NACE=50°,

A1800-ZA=120°,

,:DM=ME=BM=MC,

ZBMD+ACME=(180°-2ZABC)+(180°-2ZACB)=360°-2(ZABC+ZACB)=120°,

ZDME=180°-(ZBMD+ZCME)=60°.

5,a+b+c,

22.解：(1)-----------=b,

3

：.b,=-a-+c

2

a+c

故答案為:

2

（2）如圖所示，△ABC為所求作的三角形,

B

23.(6分)(1)根據表1的規律寫出勾股數(11,60,61)；

觀察可得：表1中反c與C?之間的關系是/=/；+c；

(2)根據表2的規律寫出勾股數(16,63,65)；

觀察可得：表2中b、c與1之間的關系是工/=人+。；

2

(3)172+1442=1452j^242+1432+=1452

24.(1)證明：???ZZMC+NC=90°,ZEfiC+ZC=90°,

/DAC=/EBC.

'：/ABC=45。，

△A3。是等腰直角三角形.

AD=BD.

在△BDH和△ADC中

ZEBC=ZDAC

<BD=AD,

ZBDH=ZADC

ABDH2△ADC(ASA).

BH=AC.

(2)解：如圖，=仍然成立.

證明：?:NH+NHAE=90。,ZC+ZCAD=90°,

又：ZHAE=ZDAC,

：.ZH=ZC.

VZABC=45°,ZADB=9Q°,

三角形ABD是等腰直角三角形.

AD=BD.

在八BDH和△ADC中

ZH=ZC

<ZHDB=ZCDA,

BD=AD

：.^BDH^^ADC(AAS).

：.BH=AC.

25.解：(1)如圖，設必=P4=x,則PC=4—x,

ZACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,

AC-3cm,

在RtzXACP中，AC2+PC2=AP2,

：.32+(4-x)2=x2,

解得x=—，BP=—

88

u25

AB+BP___8_65

2216

65

故答案為:

16

(2)如圖，過尸作PDLAB于。,

D.

「BP平分ZABC,ZC=90°,

APD=PC,BC=BD=4,

AD=5—4=1,

設尸。=PC=y,則AP=3—y,

在Rt^ADP中，AD2+PD2=AP2,

2,44

l+/=（3-y）-,解得y=§,，。尸二］,

5+4+

?.?t——AB+BC+CP—__—31，

226

當點P與點B重合時，點尸也在/ABC的角平分線上,

315

綜上所述，點P恰好在NABC的角平分線上，，的值為一或士.

62

(3)分四種情況：

①如圖，當P在A8上且AP=CP時,

ZA=ZACP,而ZA+NB=90°,ZACP+ZBCP^90°,

：.ZB=ZBCP,

：.CP=BP,

是AB的中點，即AP='AB=9,

AP5

,?t-——

24

②如圖，當P在A3上且AP=C4=3時,

AP3

~T~2

③如圖，當尸在上且AC=PC時，過C作CDLAB于。，則。。=生匹=乜

AB5

9

RtZ\AC￡）中，AD——,

1Q

AP=2AD=—,

5

...t=AP——9.

25

④如圖，當尸在8C上且AC=PC=3時，5尸=4—3=1,

22

539

綜上所述，當/=—或一或一或3時，△ACP為等腰三角形.

425

539

故答案為：一或一或一或3.

425

26.(1)①解：???AC沿NA的平分線A。翻折,

ZACD=ZC=70°,

?/ZAC'D=ZB+ZCDB，ZB=35°,

ZC/DB=35°,

故答案為：35；

②證明：：AC沿NA的平分線A。翻折，

AACD^AACD,

AZACD=ZC,AC=AC,CD=CD.

,/ZC=2ZB,

：.ZAC'D=2AB.

,/ZACD=ZB+ZCDB,

：.Z