第七章《復數》同步單元必刷卷（基礎卷）

一：單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要

求，選對得5分，選錯得0分.

1.已知i為虛數單位，復數z滿足|z-（3+2i）|=l,則復數z對應的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根據復數模的幾何意義得出z對應點的軌跡，從而可判斷其所在的象限.

【詳解】因為|z-（3+2i）|=i,

所以點z的軌跡是以（3,2）為圓心，1為半徑的圓,

所以復數z對應的點在第一象限.

故選：A.

2.若復數z=2的實部與虛部相等，則實數加的值為（）

m-i

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】D

【分析】根據復數的除法運算，求得z=2的實部和虛部，解方程即可求得答案.

【詳解】由題意可得z=2=產±Ti+（：+2）i,

m-i+m+1

,,2m-1m+2

解得m=3，

m2+17-m2+17

故選：D

3.|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.V5D.5

【答案】C

【分析】由題意首先化簡2+i?+2i3,然后計算其模即可.

【詳解】由題意可得2+i2+2i3=2-l-2i=l-2i,

則|2+i2+2i3|=|l-2i|="+(-2)2=V5.

故選：C.

4.歐拉公式屋=cosO+isind把自然對數的底數e、虛數單位i、三角函數聯系在一起，充分體現了數學的和諧

美.若復數z滿足(ei"+i)-z=l,則z的虛部為()

D.-1

【答案】B

【分析】由歐拉公式和復數除法運算可求得z,由復數虛部定義求得結果

【詳解】由歐拉公式知：

17tin

e=cos兀+isin兀=一1,(e+i)-z=(-l+i)-z=i,

._i_i(T—i)」—i_lL

；.z的虛部為-g.

2

故選：B

5.(cos750+isin75°lx=()

【答案】A

【分析】利用復數的乘方運算以及其三角形式的運算即可得到答案.

1.(1.1訐｛y[2母'V241.

T-l-TxT-l-T-----------------^1，

122八22；2222

cos75+isin75x--------1

=(cos750+isin750)x(cos315°+isin315°)

=cos(75°+3150)+isin(750+315°)

h1

=cos390°+isin390°=cos30°+isin30°=—+-i

22

故選：A.

6.已知復數2=??0+1$出外是虛數單位，OeR),則的最小值是(

A.V2B.V2-1C.V2+1D.1

【答案】B

【分析】由復數的模長計算結合同角的三角函數和輔助角公式計算可得.

【詳解】由己知可得z-l-i=cos"l+（sin"l）i,

匕-l-i|

=J(cosA-1)。+(sin6-11

所以=Jcos?e-ZcosM+l+sin」6-2sind+l

=小-2(sin6)+cos4)

=J3-2V2sinp+^j

當sin[〃+：J=l時，上式模長取得最小值,

最小值為

故選：B.

7.如果復數2=機？+加一2-（加一l）i是純虛數，zweR,i是虛數單位，貝!J（）

A.加。1且加w-2B.m-\

C.m=-2D.加=1或加=一2

【答案】C

m2+m—2=0

【分析】根據題意復數z為純虛數，即得，從而求解.

[加一1iw0n

【詳解】由復數2=加2+加_2_（機一l）i是純虛數，

pn2+zn-2=0

得

解得:加=-2.

故選:C.

8.已知復數Z滿足工=工+14,則Z/2,z3,…,z23中不同的數有（）

z22

A.4個B.6個C.2019個D.以上答案都不正確

【答案】B

【分析】根據復數的三角形式可求z6=l，從而可判斷出不同的數的個數.

于是z,z2/3,…,z2°2。中有6個不同的數.

故選：B.

二：多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。

全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設z為復數（i為虛數單位），下列命題正確的有（）

A.若(l+i)z=-i,則忖=1

B.對任意復數Iz2,有上色月與]也|

C.對任意復數Z],Z2,有Z/Z2=Z『Z2

D.在復平面內，若河={2|2-2歸2},則集合M所構成區域的面積為6兀

【答案】BC

【分析】借助復數的運算、共朝復數、復數的模及復數的幾何意義逐項判斷即可得.

-ix(l-i)-1-i

【詳解】對A：由(l+i)z=-i,故之二---二

1+i(l+i)(>i)2

對B：設4=a+bi￡R)、z2=c+di￡R),

貝生㈤=|(tz+M)(c+(7i)|=\ac-bd+(〃d+/)c)i|=yj^ac-bd^2+(ad+

=7a2c2-labcd+b2d2+a2d2+labcd+b2c2=Va2c2+b2d2+a2d2+b2c2,

22

匕1卜匕2I=y/a+b-+/=J(q2+52)(/+/)=NQ2c2+62d2+丘2,

故匕匐引訃㈤，故B正確;

對C：設4=a+bi￡R)、z2=c+di(c,dwR),

有Z］工=(Q+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+『c)i,則z1z=ac—bd-(ad+bc)i,

Zj-Z2=^a-bi)(c-di)-ac-bd-(ad+bc)\,故句-z2=4-z2,故C正確;

對D：設2=丫+,歷(x,yeR),則有(》-2丫+/44,

集合M所構成區域為以(2,0)為圓心，半徑為2的圓，

故S=nr2=4兀，故D錯誤.

故選：BC.

10.已知復數2=856+15出6(。€11),則()

A.忖=1B.|z2|=|z|2

C.z-z=1D.|z+l|>2

【答案】ABC

【分析】根據同角三角函數關系和復數模的運算即可判斷A,根據復數乘方運算即可判斷B,根據復數乘法代數運

算即可判斷C,根據復數模的計算和余弦函數的有界性即可判斷D.

【詳解】對于A,\z\=Vcos26*+sin2Q-1,A正確；

對于B,因為復數二=cos6+isine(eeR),則z2=cos20—sin2+2isin0cos0=cos20+isin2^,

則—卜Jcos」26+sin226=1,而目2=Jcos。2+sin」6=1,貝[z[=|z『，故B正確；

對于C,z-z-(cos0+isin0)-(cos^-isin^)=cos2+sin20-\,C正確；

對于D,由題意得z+l=(cos8+l)+isin。，

z+11=J(cos]+1)2+sin20=Vcos20+sin20+\+2cos0=j2+2cosJ,

因為cos。e[-1,1],則當j2+2cos6?e[0,2],故D錯誤.

故選：ABC.

11.設復數4/2/3,且z^wO,其中均為確定的復數，下列說法正確的是().

A.若2逐2=㈤2,則Z1+Z?是實數

B.若空2=匕小，則存在唯一實數對(。,6)使得Z3=叼+%

+ZZ

C.若21Z3|31|=°，則Z3在復平面內對應的點的軌跡是射線

D.若匕2I+匕3|<1，則二“<1

1-^2^3

【答案】ACD

【分析】根據復數的概念及運算性質，以及共輛復數的性質和復數模的性質，逐項計算，即可求解.

【詳解】對于A中，若Z]Z2=L「，因為4Z2NO,則2戶2=|勺「=Z]Z1,可得Z2=Z],

設Z1=M+"i,加,〃eR,貝!Jz+z2=Z]+Z[=2機eR,所以A正確；

對于B中，由A得Z2=z「設Z]=機+而,機,,若23=叼+反2，

則z3=azx+bZ[=a(jn+ni)+b(m—ni)=(〃+b)+(a—b)ni,

只要機=0或〃=0,選項B就不正確；

例如：?=所(〃wO”R),此時Z2=Z]=-加，

z3=5ni可表示為z3=5ni=4疝+i=4z1-z2^z3=5ni=6ni-i=6^+z2,

所以表示方法不唯一，所以B錯誤.

對于C中，若乎3+卜3.=。,則/+㈤同=。，可得㈤同=一奪3eR,

則匕31kl=-ZjZ3>0,所以Z34ER且Z3Z1?0,

T^Z3Z^=Z<0,貝！H3=L=3=$Z]=G,其中W=；V0,

則復數Z3對應的向量與復數4對應的向量方向共線，且長度是同倍，

故Z3在復平面內對應的點的軌跡是射線(且與方向共線)，所以c正確.

對于D中，若㈤+團<1,可得㈤一1〈-㈤<0,同理㈤一1<0,

由之<1即同一Z3|<卜一Z2Z3],可得g-Z3)02-Z3)<(1-Z2,3)(1-Z2Z3),

即Z2z2+Z3Z3-(z2Z3+z2z3)<l+z2z2z3z3-(z2z3+z2z3),

2222

即z2z2+z3z3<1+z2z2z3z3,即|z2|+|z3|<l+|z2||z3|,

gp(|Z2|-l)(|z3|-l)>0,

因為㈤T<。,㈤T<。，所以(㈤-1)(閡-1)>0成立,

所以成立，所以D正確.

1-Z2Z3

故選：ACD.

三：填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.設復數z的共輾復數為7,若l-3i=2z-彳，貝"z|=.

【答案】V2

【分析】設z=a+6i(a,6eR),代入已知式利用復數相等的定義求得得z,再由復數模的概念求得結論.

［詳解］設2=°+歷（a,6eR）,則』="歷.

因為l-3i=2z—亍，所以l—3i=〃+3bi,

所以解得所以z=l-i,所以目=JL

3b=-3,D=-l,11

故答案為：V2.

13.已知i是虛數單位，化簡學察的結果為_______.

2+31

【答案】4+Z//+4

【分析】由題意利用復數的運算法則，分子分母同時乘以2-3i,然后計算其運算結果即可.

5+14i（5+14i）（2-3i）52+13i

【詳解】由題意可得=4+i

2+3i-（2+3i）（2-3i）-13

故答案為：4+i.

2

14.已知虛數z,其實部為1,且z+—=加(加eR)，則實數加為.

Z

【答案】2

【分析】設z=l+bi,beR且直接根據復數的除法運算，再根據復數分類即可得到答案.

［詳解】設2=1+折，且bwO.

22

則z+『l+6F二m

Z>2+3

二m

X+b1

mGR,解得旭=2,

b3-b

=0

故答案為：2.

四、解答題：本題共5小題，共77分，(15題13分，16-17題15分，18-19題17分)解答應寫出文字說明、證

明過程或演算步驟。

15.已知復數z=(l+ai)(l+i)+2+4i(aeR).

(1)若z在復平面中所對應的點在直線x-y=O上，求”的值；

(2)求|z-l|的取值范圍.

【答案】(1)a=-1;(2)/，+8.

【解析】(1)化簡z,得z在復平面中所對應的點的坐標，代入直線尤-〉=0計算；(2)代入模長公式表示出匕-1|,

再利用二次函數的性質求解最值即可.

【詳解】(1)化簡得z=(l+ai)(l+i)+2+4i=(3-a)+m+5)i,所以z在復平面中所對應的點的坐標為(3-.,。+5),

在直線尤7=0上，所以3-”(“+5)=0,得0=-1.

(2)|z-1|=|(2-a)+僅+5舛=J(2-療+(a+5了=也/+6a+29,因為acA,

R2a2+6a+29>^-,所以匕一1|=也/+6a+29L亭,所以|z-l|的取值范圍為當,+8.

16.已知復數z=〃Li(:〃eR),且J(l+3i)為純虛數&是z的共軌復數).

⑴設復數4=彳土生，求聞；

小2。23

(2)復數Z2=4_*—在復平面內對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍.

Z

【答案】(1)歸|=乎；

⑵".

_17

【分析】(1)由z-(l+3i)為純虛數，可得機=3,從而得4=-5+'i,再根據模的公式求解即可；

(2)化簡得。+需i,再根據題意列出不等式組求解即可.

【詳解】(1)解：因為z=Ht-i(加eR),貝1]1=機+3

所以z-(l+3i)=(w+i)(l+3i)=(???-3)+(3m+l)i為純虛數,

m-3=0

所以3〃?+1"解得加=3.

加+4i3+4i(3+4i)(l+i)-l+7i17.

所以4=----F—1

1-i1-i(Ji)(l+i)222

因此㈤=

(2)解：因為12。23=14x505+3=j3=-

a-i2023q+i(q+i)(3+i)3Q—1+3

貝！)22=--------

z(3T(3+i)10io

因為復數Z2在復平面內對應的點位于第一象限,

-1>01

則寶八，解得。〉丁.

[<2+3>03

因此實數。的取值范圍是，,+sj

17.已知復數z=l+mi(i是虛數單位，meR),且=(3+i)為純虛數G是Z的共軌復數)

⑴求實數加及目；

〃一i2023

(2)設復數句=幺_*—,且復數百對應的點在第二象限，求實數。的取值范圍.

Z

【答案】⑴優=一3,忖=而

【分析】(1)根據復數代數形式的乘法運算化簡彳-(3+i),再根據復數的概念得到方程(不等式)組，求出〃?的值,

即可求出z,從而求出其模;

(2)根據復數的乘方及代數形式的除法運算化簡4,再根據復數的幾何意義得到不等式組，解得即可.

【詳解】(1)Vz=1+mi,Z=1-mi，

/.z(3+i)=(l-mi)(3+i)=(3+機)+(1—3m)i,

：N<3+i)為純虛數,

3+m=0

解得m=-3,

1—3mw0

故z=l-3i,貝!j閆=Jl?+(-3)2=

(2)i2023=i4)<505+3=i3=-i，

a-i2023_a+i_(a+i)(l+3i)_a-33a+l.

-'z_一l-3i_(l-3i)(l+3i)-+101

???復數Z]所對應的點在第二象限,

a—3

"To-<o

解得<a<3，

3。+1八

----->0

110

故實數。的取值范圍為

18.設復數Z1和Z2滿足關系式zZ+Z]+如;=0,其中4為不等于0的復數.證明:

(1)Z1+Z2=Z1+Z2；

(2)%+4%+4|=甘；

Z]+ZZ]+4

⑶

Z2+/z2+A

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)設4=a+6i,Z2=c+di(a,6,c,deR),利用共輾復數的定義及復數的相關概念計算即可；

⑵根據條件式及共輾復數的意義變形得(4+⑷6+勾=心=邸，再結合第一問的結論證明即可;

(3)利用第一問與第二問結論證明即可.

【詳解】(1)設為=Q+bi/2=c+di(a,b,c,dER),

貝UZ]+Z2=(a+c)+(b+d)in+z2=(a+c)-(b+d)i,zx+z2=a-bi+c-di=a+c-(<b+d^i,

顯然4+Z2=4+Z2,得證；

(2)由已知zxz2+Azx+AZ2=0=>ZR+Azx+AZ2+AA=AA=(z1+A^z2+/)=，

又由(1)知z?+/=z2+4，卜2+4="+4=卜+力|,

所以L+/|匕2+/|=匕1+司Z2+W=[Z[+司Z?+'=[(Z]+⑷,+=Mf，得證；

--

(3)因為所以Z1+/WO/2+4w0，即有Zi+Z=-LI—

z2+4

所以二———乜，

Z+

Z2+/伉+⑷修+4)伉+/).+/)\2A

由(2)知匕1+旬匕2+4|=|4「，

所以41=號與三，得證.

|z2+A^|z2+A\Z2+AZ2+A

【點睛】思路點睛：利用共輾復數的定義及幾何意義并注意設問之間的遞進關系一一證明即可.

19.任意一個復數Z的代數形式都可寫成復數三角形式，即2=°+歷=r(cose+isin。)，其中i為虛數單位,

r=匕|=77萬20,2兀).棣莫弗定理由法國數學家棣莫弗(1667?1754)創立.設兩個復數用三角函數形式表

示為：Z]=6(cos〃+isin。]),z2=r,(cos+isin612),則：z-=7%[cos(4+%)+isin(4+60].如果令

Z1=Z2=…=Z"=z,則能導出復數乘方公式：z"=r”(cos捫+isin〃0).請用以上知識解決以下問題.

⑴試將z=6-3i寫成三角形式;

(2)試應用復數乘方公式推導三倍角公式：sin30=3sin-4sin30:cos3^=4cos361-3cos61；

(3)計算：cos40+cos4(6>+120°)+cos4(6-120。)的值.

【答案】(l)2g"*isi吟)

(2)推導過程見解析

9

3)-8

【分析】(1)求出復數的模，根據復數的三角形式，即可求得答案；

(2)設模為1的復數為2=856+15由夕，利用復數的乘方運算，結合復數的相等以及同角的三角函數關系化簡,

即可推得結論；

(3)由(2)的結論結合恒等變換推出cosa6=4cos40+4cos20+3),繼而得

8

COS4(6>+120")=-[cos(40+120°)+4cos(261-120°)+3],cos4(<9-120°)=-[cos(46>-120°)+4cos(26>+1200)+3],

再結合cos。+cos(。+120。)+cos(8—120。)=0,化簡，即可求得答案.

【詳解】(1)由于z=-3i,故|z|=J3+9=2，

(2)設模為1的復數為舅=cos6+isin。,

323

則z，二(cos6+isin夕丫=