2024-2025學年七年級數學下學期第一次月考卷

基礎知識達標測

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

考前須知：

1.本卷試題共24題，單選10題，填空6題，解答8題。

2.測試范圍：整式的乘除~相交線與平行線（北師大版2024）。

第I卷

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）下列計算正確的是（）

A.（-2a）2=-4a2B.cr'lr^-crb—a

C.（/）5=Z?7D.nF,而

【分析】根據同底數幕的乘法，幕的乘方與積的乘方，單項式除以單項式的法則進行計算，逐一判斷即可解

答.

【解答】解：A、（-2a）2=4/，故4不符合題意；

B、a3b2-ra2b=ab,故8不符合題意；

C、（廬）5=從0,故C不符合題意；

。、機2.加5=機7,故。符合題意；

故選：D.

2.（3分）華為MSe20系列搭載了麒麟980芯片，這個被華為稱之為全球首個7納米工藝的A/芯片，擁有8

個全球第一，7納米就是0.000000007米.數據0.000000007用科學記數法表示為（）

A.7X10〃B.0.7X10-8C.7X108D.7X109

【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為aXlO”,與較大數的科學記數法不

同的是其所使用的是負整數指數幕，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

【解答】解：0.000000007=7X10-9.

故選：D.

3.（3分）下列多項式相乘，不能用平方差公式計算的是（）

A.（4x-3y）（3y-4x）B.（-4x+3y）（-4x-3y）

11

C.(-%+2y)(3+2y)D.(3y+2x)(2x-3y)

【分析】根據平方差公式：(。+8)(a")=/-必和完全平方公式：(。土方)2=/±2"+廬判斷即可.

【解答】解：A、(4x-3y)(3j-4x)=-(4x-3y)2,用的是完全平方公式，故選項A符合題意；

B、(-4x+3v)(-4x-3y)=(-4x)2-(3y)2,用的是平方差公式，故選項2不符合題意；

C、(—1x+2y)(-%-2y)=(-L#-(2y)2,用的是平方差公式，故選項C不符合題意；

444

D、(3y+2x)(3y-2x)=(3y)2-(2x)2,用的是平方差公式，故選項。不符合題意；

故選：A.

4.(3分)如圖，對于下列條件：①N1=N2；②N3=N4；③NC=/5；④NA+NAOC=180°.其中一

定能得到AO〃8c的條件有()

C.①④D.③④

【分析】利用平行線的判定方法一一判斷即可

【解答】解：①：N1=N2,

：.AB//CD；

②：N3=N4,

：.AD//BC；

③：NC=N5,

：.AD//BC,

@VNA+NAZ)C=180°

J.AB//CD,

故選：B.

5.(3分)如圖，在河邊的A處，有一個牧童在放牛，牛吃飽后要到河邊飲水，牧童把牛牽到河邊沿AB的

路徑走才能走最少的路，其依據是()

牧童月

B

河邊

A.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

B.垂線段最短

C.兩點之間，線段最短

D.兩點確定一條直線

【分析】根據垂線段最短判斷.

【解答】解：在河邊的A處，有一個牧童在放牛，牛吃飽后要到河邊飲水，牧童把牛牽到河邊沿的路徑

走才能走最少的路，其依據是垂線段最短.

故選：B.

6.（3分）下列說法中：①在同一平面內，不相交的兩條線段一定平行；②兩點之間直線最短；③兩條直線

被第三條直線所截，同位角相等；④相等的角是對頂角；⑤等角的補角相等；⑥在同一平面內，過一點有

且只有一條直線與已知直線平行；不正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】分別根據線段的性質，平行線的定義，平行線的性質，余角和補角，對頂角的性質分別判斷即可.

【解答】解：①在同一平面內，不相交的兩條直線一定平行，原說法錯誤；

②兩點之間線段最短，原說法錯誤；

③兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，原說法錯誤；

④相等的角不一定是對頂角，原說法錯誤；

⑤等角的補角相等，原說法正確；

⑥在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，原說法錯誤；

所以不正確的有①②③④⑥，共5個，

故選：D.

7.（3分）如果計算（2-依+3/+如3）（-4x2）的結果不含x5項，那么機的值為（）

1

A.0B.1C.-1D.--

4

【分析】先計算單項式乘以多項式，再結合/項的系數為零即可得出答案.

【解答】解：（2-內+3/+：/）（-4X2）

=-8X2+4MX3-12.r4-4/nr5,

又???計算的結果不含一項，

，-4m=0.

??771—0.

故選：A.

8.（3分）如圖，CD//BE,則N2+N3-N1的度數等于（）

【分析】過點A作A尸〃BE,利用平行線的性質可得N8AP=/3,從而可得NCAF=N3-N1,然后利用平

行于同一條直線的兩條直線平行可得A歹〃CD從而可得NC4P+N2=180。，進而可得N3-/1+/2=

180°,即可解答.

"：ZCAF^ZBAF-Z1,

；.NCAF=N3-Zl,

'：CD//BE,

：.AF//CD,

：.ZCAF+Z2=18O°,

；.N3-Zl+Z2=180°,

即N2+N3-Zl=180°,

故選：D.

9.（3分）若干個大小形狀完全相同的小長方形，現將其中4個如圖1擺放，構造出一個正方形，其中陰影

部分中5個如圖2擺放，構造出一個長方形，其中陰影部分面積為100（各個小長方形之間不重疊不留

空），則每個長方形的面積為（）

圖1圖2

A.5B.10C.20D.30

【分析】利用方程思想列等式，再利用完全平方公式整理式子，確定小長方形的面積.

【解答】解：設長方形的長為。，寬為6,

由圖1可知，（a+b）2-4ab=40,即c^+b2—2aZ?+400,

由圖2可知，（2a+。）（a+2b）-5"=100,即/+廬=50②，

由①-②得2a6+40-50=0,

??cib=5,

即長方形的面積為5,

故選：A.

10.（3分）如圖，A3〃C。，E1為A5上一點，且EF_LC。垂足為RNCED=90°,CE平分NAEG,且N

1

CGE=a,則下列結論：?Z-AEC=90°--a；②DE平分/GEB；③/CEF=/GED；@ZFED+ZBEC=

2

A.①②B.②③④C.①②③④D.①③④

【分析】根據平行線的性質，角平分線和垂直定義逐個分析計算即可.

【解答】解：???NCGE=4,AB//CD,

：.ZCGE=ZGEB=a,

：.ZAEG=180°-a,

〈C/平分NAEG,

1i

JZAEC=ZCEG=-ZAEG=90°--a,

22

故①正確；

VZCED=90°,

ZAEC+ZDEB=90°,

11

ZDEB=-a=-ZGEB,

22

即DE平分NGEB,

故②正確；

VEF±CZ),AB//CD,

：.ZAEF=90°,

AZAEC+ZCEF=90°,

1

：.ZCEF=-a,

2

1

*.?/GED=ZGEB-ZDEB=-a,

2

：.ZCEF=ZGED,

故③正確；

1

,/ZFED=90°-NBED=90°--a,

2

1

ZBEC=180°-/AEC=90°+-a,

2

：.ZFED+ZBEC^1SO°,

故④正確；

綜上所述，正確的有①②③④，

故選：C.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）若5x-3v-2=0,則25*+23』4.

【分析】根據同底數幕的運算法則即可求出答案.

【解答】解：：5x-3y=2,

，原式=25廠3>

=22

=4,

故答案為：4.

12.（3分）一個角的余角的3倍比這個角的補角少12°,則這個角的度數為51°.

【分析】先設這個角為X。，再根據互為余角和補角的定義求出這個角的余角和補角，然后根據這個角的余

角的3倍比這個角的補角少12°,列出方程，求出這個角即可.

【解答】解：設這個角為x°,則這個角的余角為（90-x）°,這個角的補角為（180-%）°,由題意得：

3（90-x）+12=180-x,

270-3x+12=180-x,

282-3x=180-x,

2x—102,

x=51,

...這個角的度數為51°,

故答案為：51°.

13.(3分)已知多項式％3-2/+依-1為被除式，除式為法-1,商式為f-x+2,余式為1,則這個多項式

為A3-2/+3X-1.

【分析】由題意得：x3-2j?+ax-1=(bx-1)(x2-x+2)+1,整理為x3-2x2+tzx-\=bxi-(Z?+l)x2+

(2Z?+1)x-1,得出。=1,a=2b+l,進而得出6=1,〃=3,代入多項式龍？-2—+依-1,即可得出答案.

【解答】解：由題意得：x3-Ij^+ax-1=(bx-1)(x2-x+2)+1,

.*.x3-2f+辦-l=Z?%3-(Z?+l)x2+(2Z?+1)x-L

?\b=l,a=2Z?+l,

〃=3,

.?.%3-2x^+ax-1=xi-2X2+3X-1,

故答案為：x3-2/+3x-1.

o23

14.(3分)已知a—b=b—c=c—a=—，a2+b2+c2=1,貝!Jab+bc+ca的值等于—.

5—50—

【分析】利用完全平方公式求出(af),?P),(OP)的平方和，然后代入數據計算即可求解.

【解答】解：一b=b-c=c-a=^,

—)2=￡3-)2(?4喂

a2-2ab+匕2=—,廿—2,bc+c2=—,/—2ac+a2=—,

252525

、、、999

?**2Q+2b+2c-2ab—2bc-2cle=-----1------1-----,

252525

27

2(a2+h24-c2)—2(ah+be+ac)=—,

■:tz2+Z?2+c2=l,

27

2-2(ab+be+QC)=

23

ab+be+ca=—,

50

23

故答案為：—.

15.(3分)觀察下列各式及其展開式

(a+Z?)2=a2+2ab+b2

(〃+匕)3=ai+3c^b+3ab1+bi

(a+Z?)4(24+4(23Z?+6(22Z?2+46ZZ73+Z?4

（a+匕）5=a5+5a4b+l0a3/72+10a2Z>3+5aZ?4+Z?5

請你猜想（2x-1）8的展開式中含f項的系數是112.

【分析】按照題目所給規律依次寫出6,7,8次方的等式，就可以發現系數之間的規律，結合所要求的的式

子。換成2x,b換成-1.即可得到答案.

【解答】解：由所給四組式子的系數規律可得左邊式子的指數分別為6,7,8的等式，右邊各項的系數分

別為：

1,6,15,20,15,6,1；

1,7,21,35,35,21,7,1；

1,8,28,56,70,56,28,8,1；

故含/項的系數為：22X（-1）6X28=112.

16.（3分）如圖1,將一條對邊互相平行的圍巾折疊，并將其抽象成相應的數學模型如圖2,AB//CD,折痕

分別為AO,CB,若NDAB=2/GCB,DF//CG,則60°.

【分析】根據折疊的性質得出NGCB=/4,Z1=ZADF,根據已知條件得出N3=/2=a,進而得出N

FDC=ZFDA=Z7=a.

【解答】解：如圖所示，

設/7=N4OB=a,

'：AB//CD,

：.Z1=Z4+ZGCB=2ZGCB,N3=N7=a,Z6=ZFDC,

,N3=ZADF—a,

*：AE//DFfCG〃BH,DF//CG,

：.CG//AE,N2=N5,

：.Zl=Z2=2ZGCBf

9：ZDAB=2ZGCB,

N3=N2=a,

NFDC=N5=N2=CL,

即ZFDC=ZFDA=Z7=a,

又?.?N7+NA。/+NFDC=180°,即3a=180°,

解得：a=60°,

/.ZAZ)F=60°.

故答案為：60°.

三.解答題(共8小題，滿分72分)

17.(8分)簡便運算：

(1)(-0.125)2024X82025；

(2)20242-2023X2025.

【分析】(1)利用積的乘方法則將原式變形后計算即可；

(2)利用平方差公式變形后計算即可.

【解答】解：(1)原式=(-0.125X8)2024X8

=(-1)2024X8

=8；

(2)原式=20242-(2024-1)X(2024+1)

=20242-20242+1

=1.

1

18.(8分)先化簡，再求值：[(2%-y)2-4(%-y)(%+y)]+其中4x=5y.

【分析】應用完全平方公式和平方差公式，將中括號中的式子展開，合并同類項后，在根據多項式除單項式

進行化簡，將4x=5y代入，即可求值.

【解答】ft?：[(2x-y)2-4(x-y)(x+y)]H-(-1y)

1

=(4x2-4xy+y2-4x2+4y2)-4-(--y)

=(-4%y+5yz7)4-(--1y)

=8x-lOy,

當4x=5y時，原式=2><4x-10y=2X5y-10y=0.

19.(8分)幕的運算逆向思維可以得到〃+"=/?0"；amn=am^an；amn=(m)”等，在解題過程中，根

據算式的結構特征，逆向運用累的運算法則，常可以化繁為簡，化難為易，使問題巧妙獲解.

(1)若3m)9吟27"=3'求機的值.

(2)比較大小：若0=255,b=344,C=533,則a,b,c的大小關系是什么？

【分析】(1)利用幕的乘方及同底數基的乘法的逆運算求解；

(2)將“、b、c化簡為相同的指數進行比較大小.

【解答】解：(1)V3mX9fflX27m=312,

：.3mX(32)mX(33)m=312,

.,.3mX32wX33w=312,

m+2m+3m=12,

6根=12,

解得：m=2；

(2)9：a=255=(25)11=32”，

。=344=(34)11=8]”,

。=5g=(53)"=125",

V32<81<125,

.,.3211<8111<12511,

:?a〈b〈c.

20.(8分)如圖，已知AO_LBC,EFLBC,垂足分別為。、F,N2+N3=180°,試說明：NGDC=N

B.請補充說明過程，并在括號內填上相應的理由.

解："：ADLBC,EFLBC(已知)

ZADB=ZEFB=90°(垂直的定義),

.'.EF//AD(同位角相等兩直線平行),

N1+/2=180。(兩直線平行同旁內角互補).

又：N2+N3=180°(已知),

.-.Z1=Z3(同角的補角相等)，

：.AB//DG（內錯角相等兩直線平行），

：.ZGDC=ZB（兩直線平行同位角相等）.

【分析】根據平行線的判定和性質，垂直的定義，同角的補角相等知識一一判斷即可.

【解答】解：'：AD±BC,EFLBC（已知）

AZADB=ZEFB=90°（垂直的定義）,

：.EF//AD（同位角相等兩直線平行），

.,.Zl+Z2=180°（兩直線平行同旁內角互補），

又：N2+N3=180°（已知），

.'.Z1=Z3（同角的補角相等），

C.AB//DG（內錯角相等兩直線平行），

:./GDC=/B（兩直線平行同位角相等）.

故答案為：垂直的定義，同位角相等兩直線平行，Z1,兩直線平行同旁內角互補，同角的補角相等，DG,

內錯角相等兩直線平行，兩直線平行同位角相等.

21.（8分）如圖，直線AB、CO相交于點。，OE平分NAOC,OF平分NAOO.

（1）OE、O尸有什么位置關系，請說明理由；

（2）若NAOCNAOF=2：3,求NBOE的度數.

【分析】（1）由角平分線的定義得到乙40E=工乙40C,乙40F=工乙4。。，再由平角的定義可得NEOF=

22

11

Z.AOE+/.AOF^-ZAOD+-Z.AOC=90°,據此可得結論；

22

（2）先證明NA。尸=3NAOE,再由（1）得到3NAOE+NAOE=90°,據此求出NAOE=22.5°,再利用

平角的定義求解即可.

【解答】解：（1）OELOF,理由如下：

：OE平分NAOC,O/平分NAO。,

11

J./-AOE=-^LAOC,Z.AOF=-Z.AOD,

22

???NAOC+NAOO=180°,

11

：.Z.EOF=Z.AOE+/-AOF=-Z.AOD+-^AOC=90°,

22

：.OE.LOF；

(2)由(1)得NAOF+NAO/=90°,

VZAOC：ZAOF=2：3,

：.2ZAOE：ZAOF=2：3,

/.ZAOE：ZAOF=1：3,BPZAOF=3ZAOEf

：.3ZAOE+ZAOE=90°,

???NAOE=22.5°,

：.ZBOE=1SO°-ZAOE=22.5°=157.5°.

22.(10分)問題情景：如圖1,AB//CD.

(1)觀察猜想：若NAEP=50°,ZCFP=40°.則NP的度數為90°.

(2)探究問題：在圖1中探究，NEPF、NCFP與NA"之間有怎樣的等量關系？并說明理由.

(3)拓展延伸：若將圖1變為圖2,題設的條件不變，此時NEPF、NPFZ)與NA政之間有怎樣的等量關

系？并說明理由.

圖1圖2

【分析】（1）過點尸作PQ〃A3,貝！JPQ〃AB〃CO,根據兩直線平行，內錯角相等得到NQPE=NAEP=

50°,ZQPF=ZCFP=40°,貝!!/石尸尸=/。2石+/。尸產=90°；

（2）同（1）求解即可；

（3）過點P作尸。〃A3,則PQ〃A8〃CO,根據平行線的性質得到NQPE=NAEP,ZQPF+ZPFD=

180°,KvE^ZQPF=ZEPF+ZAEP.即可得至!jNEPRNAEP+NPU）=180°.

【解答】解：（1）如圖所示，過點尸作尸。〃A3,

9：AB//CD,PQ//AB,

：.PQ//AB//CD,

：.ZQPE=ZAEP=50°,NQPF=/CFP=40°,

ZEPF=ZQPE+ZQPF=90°,

故答案為：90°；

(2)/EPF=/AEP+/CFP,理由如下:

如圖所示，過點尸作PQ〃Ab

,:AB〃CD,PQ//AB,

J.PQ//AB//CD,

：.ZQPE=ZAEPfZQPF=ZCFP,

：.ZEPF=ZQPE+ZQPF=NAEP+ZCFP；

圖1

(3)解：ZEPF+ZAEP+ZPFD=180°,理由如下:

如圖所示，過點P作PQ〃AB

9：AB//CD,PQ//AB,

：.PQ//AB//CDf

：.ZQPE=ZAEPfNQ尸尸+N尸F0=18O°,

?.?ZQPF=ZEPF+ZQPE,

：.ZQPF=/EPF+/AEP,

：.ZEPF+ZAEP+ZPFD=^O°.

23.(10分)【知識生成】通常情況下，通過用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等

式.如圖1,在邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為6的小正方形.把余下的部分沿虛線剪開拼

成一個長方形(如圖2).圖1中陰影部分面積可表示為：/一廬，圖2中陰影部分面積可表示為(a+b)

(a-b),因為兩個圖中的陰影部分面積是相同的，所以可得到等式：a2-b2=(a+8)(aW.

【拓展探究】圖3是一個長為2a,寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個小長方形，然后按圖

4的形狀拼成一個正方形.

(1)用兩種不同方法表示圖4中陰影部分面積：

方法1：(a+b)2-4M,方法2：(a-?)2；

(2)由(1)可得到一個關于(a+b)之、(a-b)2>M的等量關系式是(a+b)、-4ab=(a-b)?；

(3)若a-b=5,ab—2,貝！](a+b)2—33；

【知識遷移】(4)如圖5,正方形和正方形￡7(7/邊長分別為a,bCa>b),若a+6=6,ab=6,

E是AB的中點，則圖中的陰影部分面積的和是3.

圖4圖5

【分析】(1)根據大正方形的面積減去4個小長方形的面積，陰影部分面積面積等于邊長為(a-6)的小

正方形的面積；

(2)根據兩種方法得到的面積相等列出等式;

(3)根據完全平方公式變形求值即可求解.

11

(4)根據陰影部分面積等于5s正方形ABCD—SAHHE—S酸彩HEBC+[S正方版EFGH，進行化間，結合已知條件,

根據完全平方公式變形求值即可求解.

【解答】解：(1)方法1：(a+Z?)之-4〃/?,方法2：(a-b)之，

故答案為：(〃+/?)之-4〃。，(a-。)之；

(2)(〃+/?)2-4ab=(a-。)之，、

故答案為：)(〃+。)2-4ab=Qa-b)2；

(3),:a-b=5,ab=2,

(a+b)2=(a-b)2+4〃。=25+8=33,

故答案為：33.

(4)陰影部分面積等于9s萬方族Be。-

SkAHE-S梯形HEBC+7S正方^FGH

441E

121171,」、1I1[2

=—CL—x.—ax.b—(CL+b)x—ciH—b

2222k724

abcfib2

=-------t1------1t----

244

=/a-b)2,

?a+b—6,ab—6,

(a-b)2=(a+6)2-4ab=62-4X6=12,

1

陰影部分面積等于：X12=3.

故答案為：3.

24.(12分)如圖(a)所示，將一把含30°角的直角三角板A8C的8C邊放置于長方形直尺DE歹G的E歹

邊上.

(1)填空：Nl=120°,N2=90°.

(2)如圖(b)所示，現把三角板繞點8逆時針旋轉,當0°<?<