PAGEPAGE9第四節直線、平面垂直的判定與性質突破點一直線與平面垂直的判定與性質eq\a\vs4\al([基本學問])1．直線和平面垂直的定義直線l與平面α內的隨意一條直線都垂直，就說直線l與平面α相互垂直．2．直線與平面垂直的判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b3．直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個平面所成的角．(2)線面角θ的范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).eq\a\vs4\al([基本實力])一、推斷題(對的打“√”，錯的打“×”)(1)直線l與平面α內的多數條直線都垂直，則l⊥α.()(2)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．()(3)直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.()答案：(1)×(2)√(3)√二、填空題1．過一點有________條直線與已知平面垂直．答案：一2．在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O，①若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心．②若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心．答案：外垂3．如圖，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________________；與AP垂直的直線有________．解析：因為PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直線AB，BC，AC.因為AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因為AP?平面PAC，所以AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB.答案：AB，BC，ACAB[典例](2024·鄭州一測)如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2eq\r(3)，AC＝2eq\r(6)，D為線段AB上的點，且AD＝2DB，PD⊥AC.(1)求證：PD⊥平面ABC；(2)若∠PAB＝eq\f(π,4)，求點B到平面PAC的距離．[解](1)證明：連接CD，據題知AD＝4，BD＝2，AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝eq\f(2\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，∴CD2＝22＋(2eq\r(3))2－2×2×2eq\r(3)cos∠ABC＝8，∴CD＝2eq\r(2)，∴CD2＋AD2＝AC2，則CD⊥AB.∵平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，AC∩CD＝C，∴PD⊥平面ABC.(2)由(1)得PD⊥AB，∵∠PAB＝eq\f(π,4)，∴PD＝AD＝4，PA＝4eq\r(2)，在Rt△PCD中，PC＝eq\r(PD2＋CD2)＝2eq\r(6)，∴△PAC是等腰三角形，∴可求得S△PAC＝8eq\r(2).設點B到平面PAC的距離為d，由VB-PAC＝VP-ABC，得eq\f(1,3)S△PAC×d＝eq\f(1,3)S△ABC×PD，∴d＝eq\f(S△ABC×PD,S△PAC)＝3.故點B到平面PAC的距離為3.[方法技巧]證明直線與平面垂直的方法(1)定義法：若一條直線垂直于一個平面內的隨意一條直線，則這條直線垂直于這個平面(不常用)；(2)判定定理(常用方法)；(3)若兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面(客觀題常用)；(4)若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，則它必垂直于另一個平面(客觀題常用)；(5)若兩平面垂直，則在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面(常用方法);(6)若兩相交平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的交線垂直于第三個平面(客觀題常用)．[針對訓練](2024·貴州模擬)如圖，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，且AB＝AD＝1，AA1＝eq\f(\r(6),2)，∠ABC＝60°.(1)求證：AC⊥BD1；(2)求四面體D1AB1C的體積．解：(1)證明：連接BD，與AC交于點O，因為四邊形ABCD為平行四邊形，且AB＝AD，所以四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，可知BB1⊥AC，則AC⊥平面BB1D1D，又BD1?平面BB1D1D，則AC⊥BD1.(2)VD1AB1C＝VABCD-A1B1C1D1－VB1-ABC－VD1-ACD－VA-A1B1D1－VC-C1B1D1＝VABCD-A1B1C1D1－4VB1-ABC＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),2)－4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(\r(2),4).突破點二平面與平面垂直的判定與性質eq\a\vs4\al([基本學問])1．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義：兩個平面相交，假如它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面相互垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理與性質定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質定理兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α2．二面角的有關概念(1)二面角：從一條直線動身的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：過二面角棱上的任一點，在兩個半平面內分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角α的范圍：eq\a\vs4\al([0，π]).eq\a\vs4\al([基本實力])一、推斷題(對的打“√”，錯的打“×”)(1)若α⊥β，a⊥β?a∥α.()(2)若平面α內的一條直線垂直于平面β內的多數條直線，則α⊥β.()(3)假如平面α⊥平面β，那么平面α內全部直線都垂直于平面β.()答案：(1)×(2)×(3)×二、填空題1．m，n為直線，α，β為平面，若m⊥α，m∥n，n∥β，則α與β的位置關系為________．答案：垂直2．設α，β為兩個不同的平面，直線l?α，則“l⊥β”是“α⊥β”成立的____________條件．答案：充分不必要3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則肯定相互垂直的平面有________對．解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PDC，共7對．答案：7[典例](2024·開封定位考試)如圖，在三棱錐D-ABC中，AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，AD＝eq\r(6)，CD＝3，平面ADC⊥平面ABC.(1)證明：平面BDC⊥平面ADC；(2)求三棱錐D-ABC的體積．[解](1)證明：在△ABC中，由余弦定理可得，BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC)＝eq\r(4＋1－2×2×1×\f(1,2))＝eq\r(3)，∴BC2＋AC2＝AB2，∴BC⊥AC，∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，∴BC⊥平面ADC，又BC?平面BDC，∴平面BDC⊥平面ADC.(2)由余弦定理可得cos∠ACD＝eq\f(2,3)，∴sin∠ACD＝eq\f(\r(5),3)，∴S△ACD＝eq\f(1,2)·AC·CD·sin∠ACD＝eq\f(\r(5),2)，則VD-ABC＝VB-ADC＝eq\f(1,3)·BC·S△ACD＝eq\f(\r(15),6).[方法技巧]面面垂直判定的兩種方法與一個轉化兩種方法(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)一個轉化在已知兩個平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化．在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直[針對訓練](2024·洛陽一模)如圖，在四棱錐E-ABCD中，△EAD為等邊三角形，底面ABCD為等腰梯形，滿意AB∥CD，AD＝DC＝eq\f(1,2)AB，且AE⊥BD.(1)證明：平面EBD⊥平面EAD；(2)若△EAD的面積為eq\r(3)，求點C到平面EBD的距離．解：(1)證明：如圖，取AB的中點M，連接DM，則由題意可知四邊形BCDM為平行四邊形，∴DM＝CB＝AD＝eq\f(1,2)AB，即點D在以線段AB為直徑的圓上，∴BD⊥AD，又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，∴BD⊥平面EAD.∵BD?平面EBD，∴平面EBD⊥平面EAD.(2)∵BD⊥平面EAD，且BD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面EAD.∵等邊△EAD的面積為eq\r(3)，∴AD＝AE＝ED＝2，取AD的中點O，連接EO，則EO⊥AD，EO＝eq\r(3)，∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，∴EO⊥平面ABCD.由(1)知△ABD，△EBD都是直角三角形，∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝2eq\r(3)，S△EBD＝eq\f(1,2)ED·BD＝2eq\r(3)，設點C到平面EBD的距離為h，由VC-EBD＝VE-BCD，得eq\f(1,3)S△EBD·h＝eq\f(1,3)S△BCD·EO，又S△BCD＝eq\f(1,2)BC·CDsin120°＝eq\r(3)，∴h＝eq\f(\r(3),2).∴點C到平面EBD的距離為eq\f(\r(3),2).突破點三平行與垂直的綜合問題1．平行關系之間的轉化在證明線面、面面平行時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質定理時，其依次恰好相反，但也要留意，轉化的方向是由題目的詳細條件而定的，不行過于“模式化”．2．垂直關系之間的轉化在證明線面垂直、面面垂直時，肯定要留意判定定理成立的條件．同時抓住線線、線面、面面垂直的轉化關系，即：在證明兩平面垂直時，一般先從現有的直線中找尋平面的垂線，若這樣的直線在圖中不存在，則可通過作協助線來解決．[典例](2024·北京高考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分別為AD，PB的中點．(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；(3)求證：EF∥平面PCD.[證明](1)因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD.因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，因為PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB.因為PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖，取PC的中點G，連接FG，DG.因為F，G分別為PB，PC的中點，所以FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC.因為四邊形ABCD為矩形，且E為AD的中點，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四邊形DEFG為平行四邊形．所以EF∥DG.又因為EF?平面PCD，DG?平面PCD，所以EF∥平面PCD.[方法技巧]平行與垂直的綜合問題主要是利用平行關系、垂直關系之間的轉化去解決．留意遵循“空間到平面”“低維”到“高維”的轉化關系．[針對訓練](2024·北京西城區期末)如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分別是CE，CF的中點．(1)求證：AC⊥平面BDEF；(2)求證：平面BDGH