PAGEPAGE11不等式的基本性質,[學生用書P4])[A基礎達標]1．當a≠0時，“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A.當a>1時，eq\f(1,a)<1成立．當eq\f(1,a)<1時，eq\f(a－1,a)>0，所以a<0或a>1.故必要性不成立．2．若a，b為非零實數，且a＜b，則下列不等式成立的是()A．eq\f(1,a)＞eq\f(1,b) B．a2＜b2C．a2b＜ab2 D．(a－1)3＜(b－1)3解析：選D.對于選項A，如a＝－3，b＝1時，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)明顯不成立，故不正確；對于選項B，如a＝－3，b＝－1，明顯a2＜b2不成立，故不正確；對于選項C，如a＝－3，b＝1時，明顯a2b＜ab2不成立，故不正確；對于選項D，因為a＜b，所以a－1＜b－1，因為函數y＝x3在定義域R上是增函數，故(a－1)3＜(b－1)3成立，故選D.3．已知a＞b＞c，則下列不等式正確的是()A．ac＞bc B．ac2＞bc2C．b(a－b)＞c(a－b) D．|ac|＞|bc|解析：選C.a＞b＞c?a－b＞0?(a－b)b＞(a－b)c.4．若a>b>c，且a＋b＋c＝0，則()A．ab>bc B．ac>bcC．ab>ac D．a|b|>c|b|解析：選C.若a≤0，因為a>b>c，所以a＋b＋c<0與a＋b＋c＝0沖突，所以a>0.又b>c，所以ab>ac.5．假如a＜b＜0，那么下列不等式成立的是()A．a2＜ab B．－ab＜－b2C．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) D．eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)解析：選B.對于A，由a＜b＜0，得a2＞ab，故A錯誤；對于B，若a＜b＜0，則－a＞－b＞0，b＜0，所以－ab＜－b2，故B正確；對于C，由a＜b＜0，兩邊同除以ab得eq\f(1,b)＜eq\f(1,a)，即eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，故C錯誤；對于D，0＜eq\f(b,a)＜1，eq\f(a,b)＞1，故D錯誤；故選B.6．已知a<b，c>d，則a＋d與b＋c的大小關系是a＋d________b＋c.解析：a<b?b>a，又c>d，所以b＋c>a＋d，即a＋d<b＋c.答案：<7．已知0＜a＜1，則a，eq\f(1,a)，a2的大小關系是________．解析：因為a－eq\f(1,a)＝eq\f(（a＋1）（a－1）,a)＜0，所以a＜eq\f(1,a).又a－a2＝a(1－a)＞0，所以a＞a2.所以a2＜a＜eq\f(1,a).答案：a2＜a＜eq\f(1,a)8．設x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，則實數a，b滿意的條件是________．解析：x－y＝(a2b2－2ab＋1)＋(a2＋4a＋4)＝(ab－1)2＋(a＋2)2.由x＞y得條件是ab≠1或a≠－2.答案：ab≠1或a≠－29．已知m，n是正數，證明：eq\f(m3,n)＋eq\f(n3,m)≥m2＋n2.證明：因為eq\f(m3,n)＋eq\f(n3,m)－m2－n2＝eq\f(m3－n3,n)＋eq\f(n3－m3,m)＝eq\f(（m3－n3）（m－n）,mn)＝eq\f(（m－n）2（m2＋mn＋n2）,mn).又m，n均為正實數，所以eq\f(（m－n）2（m2＋mn＋n2）,mn)≥0，所以eq\f(m3,n)＋eq\f(n3,m)≥m2＋n2.10．設24＜a≤25，5＜b≤12，求a＋b，a－b，ab，eq\f(a,b)的取值范圍．解：由24＜a≤25，5＜b≤12，得29＜a＋b≤37，120＜ab≤300.由24＜a≤25，－12≤－b＜－5，得12＜a－b＜20.由24＜a≤25，eq\f(1,12)≤eq\f(1,b)＜eq\f(1,5)，得2＜eq\f(a,b)＜5.[B實力提升]1．現給出下列三個不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b－\f(3,2)))；③(a2＋b2)(c2＋d2)>(ac＋bd)2.其中恒成立的不等式的個數是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選B.對于①，因為a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以當a＝1時，a2＋1＝2a.所以a2＋1>2a不恒成立．對于②，因為(a2＋b2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b－\f(3,2)))＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＋1＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，所以a2＋b2>2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b－\f(3,2)))恒成立．對于③，因為(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2，當ad＝bc時，(ad－bc)2＝0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)>(ac＋bd)2不恒成立，故選B.2．若a，b∈R，且a＞b，下列不等式：①eq\f(b,a)＞eq\f(b－1,a－1)；②(a＋b)2＞(b＋1)2；③(a－1)2＞(b－1)2.其中不成立的是________．解析：①eq\f(b,a)－eq\f(b－1,a－1)＝eq\f(ab－b－ab＋a,a（a－1）)＝eq\f(a－b,a（a－1）).因為a－b＞0，a(a－1)的符號不確定，①不成立；②取a＝2，b＝－2，則(a＋b)2＝0，(b＋1)2＝1，②不成立；③取a＝2，b＝－2，則(a－1)2＝1，(b－1)2＝9，③不成立．答案：①②③3．已知y＜x＜0，0＜a＜b，求證：y2－eq\r(a)＞x2－eq\r(b).證明：因為y＜x＜0，所以－y＞－x＞0，所以(－y)2＞(－x)2＞0，即y2＞x2.①因為0＜a＜b，所以0＜eq\r(a)＜eq\r(b)，所以－eq\r(a)＞－eq\r(b).②由①②得y2－eq\r(a)＞x2－eq\r(b).4．已知α，β滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤α＋β≤1，,1≤α＋2β≤3.))試求α＋3β的取值范圍．解：設α＋3β＝λ(α＋β)＋μ