第12頁（共82頁）角平分線的性質(zhì)（共11小題）知識(shí)鏈接：角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE基礎(chǔ)+提升+核心毒養(yǎng)練：1．如圖，AB∥CD，點(diǎn)O為∠BAC與∠ACD的平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC于E，若OE＝3，則AB與CD兩平行線之間的距離是（）A．3 B．4 C．6 D．82．如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點(diǎn)P，延長BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．若DE＝2，則BD的長為（）A．4 B．23 C．2 D．4．如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PC⊥OA于點(diǎn)C，∠AOB＝30°，點(diǎn)D在邊OB上，且OD＝DP＝4，則CP的長度為（）A．1 B．2 C．3 D．45．如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，則點(diǎn)P到射線OA的距離是．6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E．若CD＝3，AB＝8，則△ABD的面積為．7．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2cm的速度按C→A的路徑運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)t＝時(shí)，BP恰好平分∠ABC．8．如圖①，將直角三角板DOE的直角頂點(diǎn)O放在直線AB上，以點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使∠BOC＝70°．（1）如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD在直線AB上，則∠COE＝°；（2）如圖②，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD，∠COD的度數(shù)．9．如圖，已知BD為∠ABC的平分線，AB＝BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求證：PM＝PN．10．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAD＝.100°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF＝50°，連接DE．（1）求證：AE平分∠FAD．（2）求證：DE平分∠ADC．（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，S△ACD＝15，求△ABE的面積．11．如圖，已知AB∥CD，∠ABD的平分線交CD于F，∠BDC的平分線交BF于點(diǎn)E．（∠ABD為小于120°的鈍角）（1）求證：DE⊥BF；（2）若BE長為2，求：BF的長；（3）若點(diǎn)P為線段BF上一點(diǎn)，∠EDP＝α，∠ABF的角平分線與∠CDP的角平分線交于點(diǎn)G，試用含α的式子表示∠BGD的大小．線段垂直平分線的性質(zhì)（共7小題）知識(shí)鏈接：（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．基礎(chǔ)+提升+核心毒養(yǎng)練：12．如圖，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠DCF＝20°，DE垂直平分AB，交BC于點(diǎn)D，連接AD，F(xiàn)G垂直平分AC，交AD于點(diǎn)F，連接CF，則∠BAC的大小為（）A．60° B．70° C．80° D．90°13．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，AC＝AD，EF為線段BD的垂直平分線，若AB＝9，AC＝7，則△ADE的周長為（）A．22 B．20 C．18 D．1614．如圖，線段AB，DE的垂直平分線交于點(diǎn)C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝112°，則∠EBD的度數(shù)為（）A．168° B．158° C．148° D．138°15．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，分別以點(diǎn)B、C為圓心，以大于12BC的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN分別交AB、BC于點(diǎn)D、E；用同樣的方法作直線l，l恰巧經(jīng)過點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，則圖中與△CDE成對(duì)稱關(guān)系的三角形是16．如圖，在△ABC中，∠C＝52°，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B，C為圓心，大于12BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E和F；②作直線EF，分別交AC，BC于點(diǎn)D，③連接BD，以點(diǎn)D為圓心，DM長為半徑畫弧，交BD于點(diǎn)G，連接GM，則∠GMB的度數(shù)為．17．如圖，已知在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于點(diǎn)D，AC邊的垂直平分線l2交BC于點(diǎn)E，l1與l2相交于點(diǎn)O，連接OB，OC，若△ADE的周長為8cm，△OBC的周長為18cm．（1）求線段BC的長；（2）連接OA，求證：OB＝OC；（3）求線段OA的長．18．【問題發(fā)現(xiàn)】我們知道“線段垂直平分線上點(diǎn)到線段兩端的距離相等”，那么不在線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離大小如何判斷呢？【自主研究】（1）如圖①，直線l是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P在直線l的左側(cè)，經(jīng)測(cè)量，PA＜PB，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論；【遷移研究】（2）如圖②，直線l是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)C在直線l外，且與點(diǎn)A在直線l的同側(cè)，點(diǎn)D是直線l上的任意一點(diǎn)，連結(jié)AD，BC，CD，試判斷BC和AD+CD之間的大小關(guān)系，并說明理由．等腰三角形的性質(zhì)（共13小題）知識(shí)鏈接：（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．基礎(chǔ)+提升+核心毒養(yǎng)練：19．如圖，在△ABC中，AB＝BC，DE垂直平分BC，CD平分∠ACB，則∠B的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．35° D．36°20．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，下述結(jié)論正確的有（）①BD平分∠ABC；②△BCD的周長等于AB+BC；③AD＝BD＝BC；④點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn)．A．① B．①② C．①②③ D．①②③④21．如圖，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個(gè)△A1A2D；在邊A2D上取一點(diǎn)E，延長A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個(gè)△A2A3E…按此做法繼續(xù)下去，則第2021個(gè)三角形中以A2021為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是（）A．（12）2019?75° B．（12）2020?75C．（12）2021?75° D．（12）2022?22．如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，若S△ABC＝3，則PE+PF＝．23．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧（弧所在圓的半徑都相等），交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部相交于點(diǎn)D，作射線AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)為邊AC上一點(diǎn)，連接EF，若AF＝CF，AE＝BC＝4，則EF的長為24．如圖“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒PB，PD組成，兩根棒在P點(diǎn)相連并可繞P轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，CP＝OC＝OA，點(diǎn)O，A可在槽中滑動(dòng)，若∠AOB＝75°，則∠P的度數(shù)是．25．五角星是我們中華人民共和國國旗的重要元素，如圖是從一個(gè)五角星中分離出來的等腰三角形ABC，已知∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，則ADAC的值為26．將一副三角尺按圖所示方式擺放，它們共用頂點(diǎn)C，CD，CE分別交AB于點(diǎn)F，G．若BF＝CF，∠ACB＝∠E＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，則∠AGE的度數(shù)是．27．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，P是BC上任意一點(diǎn)，且PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E．若△ABC面積為32，則PD+PE的值是否為定值？請(qǐng)說明理由．28．綜合與實(shí)踐，問題情境：活動(dòng)課上，同學(xué)們以等腰三角形為背景展開有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的探究活動(dòng)，如圖1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．將△ABC從圖1的位置開始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ADE（點(diǎn)D，E分別是點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜100°，設(shè)線段AD與BC相交于點(diǎn)M，線段DE分別交BC，AC于點(diǎn)O，N．特例分析：（1）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到AD⊥BC時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為；探究規(guī)律：（2）如圖3，在△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，“求真”小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)線段AM始終等于線段AN，請(qǐng)你證明這一結(jié)論．拓展延伸：（3）①直接寫出當(dāng)△DOM是等腰三角形時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．②在圖3中，作直線BD，CE交于點(diǎn)P，直接寫出當(dāng)△PDE是直角三角形時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．29．如圖1和2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如圖1，若α＝90°，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得DA＝CD，這個(gè)性質(zhì)是（2）問題解決：如圖2，求證AD＝CD；（3）問題拓展：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD＝BC．30．如圖，P是等腰三角形ABC底邊BC上的任一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BH是等腰三角形AC邊上的高．猜想：PE、PF和BH間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？31．在△ABC中，AB＝AC．（1）AD是BC上的高，AD＝AE．①如圖1，如果∠BAD＝20°，則∠EDC＝°；②如圖2，如果∠BAD＝50°，則∠EDC＝°．（2）思考：通過以上兩小題，你發(fā)現(xiàn)∠BAD與∠EDC之間有什么關(guān)系？請(qǐng)用式子表示：．（3）如圖3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述關(guān)系？如有，請(qǐng)你寫出來，并說明理由．四．軸對(duì)稱的性質(zhì)（共17小題）知識(shí)鏈接：（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱；②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸．（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．基礎(chǔ)+提升+核心毒養(yǎng)練：32．如圖，AD所在直線是△ABC的對(duì)稱軸，點(diǎn)E，F(xiàn)是AD上的兩點(diǎn)，若BD＝3，AD＝5，則圖中陰影部分的面積是（）A．15 B．7.5 C．6 D．4.533．如圖，在6×6方格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，△ABC的對(duì)稱軸經(jīng)過格點(diǎn)（）A．P1 B．P2 C．P3 D．P434．折紙起源于中國，不僅是一種手工技藝，更是承載歷史記憶與文化密碼的載體．如圖，四邊形ABCD為一張長方形紙片，點(diǎn)E、F分別為AB、CD邊上一點(diǎn)，小南將這張紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)M、N的位置，BC的對(duì)應(yīng)邊MN與CD交于點(diǎn)G，若∠BEF＝α，則∠FGN的度數(shù)為（）A．12α B．90°-12α C．12α-35．如圖是一張鈍角三角形紙片ABC，小明想通過折紙的方式折出如下線段：①AC邊上的中線BD；②∠B的平分線BE；③AC邊上的高BF．上述三條線段中能通過折紙折出的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③36．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)P關(guān)于直線AC，AB，BC的對(duì)稱點(diǎn)，給出下面三個(gè)結(jié)論：①AE＝AD；②∠DPE＝90°；③∠ADC+∠BFC+∠BEA＝270°．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③37．如圖，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝56°，D為BC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將D點(diǎn)分別以AB，AC為對(duì)稱軸，畫出對(duì)稱點(diǎn)E，F(xiàn)，并連接AE，AF，則∠EAF的度數(shù)為．38．如圖，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠CBA＝80°，作點(diǎn)B關(guān)于△ABC的角平分線CB1的對(duì)稱點(diǎn)A1，點(diǎn)A1恰好落在AC上，則∠A1B1A＝°；作點(diǎn)B1關(guān)于△A1B1A的角平分線A1B2的對(duì)稱點(diǎn)A2，點(diǎn)A2也恰好落在AC上，……繼續(xù)作下去，點(diǎn)Bn﹣1恰好與A重合，則n＝．39．折紙是中國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，已有近千年的歷史，是國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．小明在用一張長方形紙片ABCD分別沿著EF，EH折疊，恰好使得AE，BE落在EG處，此時(shí)F，G，H在同一直線上，則∠FEH等于．40．如圖，AD，BE在AB的同側(cè)，AD＝3，BE＝3，AB＝6，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，若∠DCE＝120°，則DE的最大值是．41．如圖，將三角形紙片ABC的∠B折疊，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在直線AB上，折痕為DE，再將∠C折疊，使得折疊后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′落在直線B′D上，折痕為DF，此時(shí)可得∠EDF＝90°，若∠A＝70°，則∠CFD的度數(shù)為°．42．如圖所示，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，則△PMN的周長為．43．如圖，∠ABC＝30°，在∠ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，BP＝6，PP1垂直AB于點(diǎn)M，PP2垂直BC于點(diǎn)N，且PM＝MP1，PN＝NP2，連接P1，P2，則P1P2＝．44．如圖，在矩形ABCD中（AD＞AB），對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為C′．連接CC′交BD于點(diǎn)E，交AD于F，連接AC′．（1）請(qǐng)寫出AC′與OE的關(guān)系，并說明理由；（2）若AC′＝CD，BD＝a，求矩形ABCD面積．（用含a的式子表示）．45．如圖，在△ABC中，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線MN對(duì)稱，直線MN分別與邊AC，BC相交于點(diǎn)D，E，連接BD．若△ABD的周長為18，△ABC的周長為32，求CE的長．46．如圖，將長方形紙片ABCD沿MN和PQ折疊得到一個(gè)軸對(duì)稱的帽子，折痕角∠AMN＝∠DPQ，點(diǎn)A，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G，H，折疊后點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好都在點(diǎn)E．（1）若折痕角∠AMN＝105°，求帽子頂角∠NEQ的度數(shù)．（2）設(shè)∠GMD＝x度，∠NEQ＝y(tǒng)度．①請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示y，則y＝．②當(dāng)∠MNE＝2∠GMD時(shí)，帽子比較美觀，求此時(shí)y的值．47．在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明找到一張兩邊平行的紙條，他先在邊KL上取一點(diǎn)A，再在MN邊上任取一點(diǎn)P，從點(diǎn)A處將紙條左側(cè)折疊，使AK折疊后的對(duì)應(yīng)線段AK'經(jīng)過點(diǎn)P，此時(shí)的折痕記為AB（點(diǎn)B在MN上），如圖1所示；再從點(diǎn)A處將紙條右側(cè)折疊，使AL折疊后的對(duì)應(yīng)線段AL'也經(jīng)過點(diǎn)P，此時(shí)的折痕記為AC（點(diǎn)C在MN上），如圖2所示．（1）在圖1中，若∠APN＝α，求∠ABM的大小（用α表示）；（2）小明發(fā)現(xiàn)，在圖2中，有BM'∥AK'，CN'∥AL'，進(jìn)而推理：∵線段AK'和線段AL'都經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)P，∴它們都在同一條直線AP上．（①此處填推理的依據(jù)）∵BM'∥AK'，CN'∥AL'，∴BM'∥CN'．（②此處填推理的依據(jù)）（3）小亮也用一張紙條做了與小明相同的操作，如圖3所示，他意外地發(fā)現(xiàn)：雖然紙條的兩邊KL和MN不平行，但折疊后，在圖3中仍有BM'∥CN'．請(qǐng)你幫小亮證明這個(gè)結(jié)論．48．【知識(shí)初探】（1）王芳同學(xué)在探究“過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線”的活動(dòng)中，通過如下的折紙方式找到了符合要求的直線．①如圖1，在正方形紙上畫出一條直線BC，在BC外取一點(diǎn)P．過點(diǎn)P折疊紙片，使得點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′落在直線BC上（如圖2），記折痕DE與BC的交點(diǎn)為A，將紙片展開鋪平；②再過點(diǎn)P將紙片進(jìn)行折疊，使得點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E'落在直線DP上（如圖3），再將紙片展開鋪平（如圖4）．此時(shí)王芳說，PF就是BC的平行線．王芳同學(xué)只寫了部分證明過程就有事離開，請(qǐng)你幫她把證明過程補(bǔ)充完整；證明：由折疊可知：∠PAB＝∠PAC，又∵∠PAB+∠PAC＝180°，∴∠PAC＝90°．…【深入探究】（2）李明同學(xué)在王芳同學(xué)折紙（圖4）中量得∠PFM＝α，請(qǐng)你求出∠ABM的大小（用含α的代數(shù)式表示）；【拓展延伸】（3）王偉同學(xué)改變直線BC和點(diǎn)P的位置，按照王芳同學(xué)的方法折疊得到FK∥BC后（點(diǎn)B，C，K，F(xiàn)分別在線段MN，NQ，QR，RM上），再畫出∠PFM和∠ABM的角平分線FH、BI，F(xiàn)H、BI所在的直線交于點(diǎn)G，請(qǐng)求出∠FGB的度數(shù)．軸對(duì)稱圖形（共6小題）知識(shí)鏈接：（1）軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱．（2）軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對(duì)稱軸折疊時(shí)，互相重合；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．（3）常見的軸對(duì)稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．基礎(chǔ)+提升+核心毒養(yǎng)練：49．下列圖形不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．50．圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．51．如圖是由四個(gè)小正方形組成的田字格，在田字格沒有棋子的交點(diǎn)上再放一顆棋子，這顆棋子要與圖上已有的棋子組成軸對(duì)稱圖形，一共有種不同的放法．52．如圖，這是由8個(gè)邊長相等的正六邊形組成的圖形，該圖形軸對(duì)稱圖形（填“是”或“不是”），若在5個(gè)白色的正六邊形中，選擇2個(gè)涂黑，使涂黑的2個(gè)正六邊形和原來3個(gè)被涂黑的正六邊形恰好組成軸對(duì)稱圖形，則選擇的方案最多有種．53．如圖，△ABC中，D，E，F(xiàn)三點(diǎn)分別在AB，BC，AC上，且四邊形BEFD是以DE所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，四邊形CFDE是以FE所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形．若∠C＝40°，則∠DFE的度數(shù)為．54．如圖，是由三個(gè)陰影的小正方形組成的圖形，請(qǐng)你在三個(gè)網(wǎng)格圖中，各補(bǔ)畫出一個(gè)有陰影的小正方形，使補(bǔ)畫后的圖形為軸對(duì)稱圖形．作圖-軸對(duì)稱變換（共6小題）幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋嬕粋€(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開始的，一般的方法是：①由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；②直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長，得到線段的另一端點(diǎn)，即為對(duì)稱點(diǎn)；③連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就得到原圖形的軸對(duì)稱圖形．④作出的垂線為最短路徑．55．下面是四位同學(xué)作△ABC關(guān)于直線MN的軸對(duì)稱圖形，其中正確的是（）A． B． C． D．56．如圖，在小方格中畫與△ABC成軸對(duì)稱的三角形（不與△ABC重合），這樣的三角形能畫出（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)57．如圖，分別以△ABC的邊AB，AC所在直線為對(duì)稱軸作△ABC的對(duì)稱圖形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，線段BD與CE相交于點(diǎn)O，連接BE、ED、DC、OA．有如下結(jié)論：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA=12ED；⑤BP＝A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)58．如圖，將△ABC沿著過AB中點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的A1處，稱為第1次操作，折痕DE到BC的距離記為h1，還原紙片后，再將△ADE沿著過AD中點(diǎn)D1的直線折疊，使點(diǎn)A落在DE邊上的A2處，稱為第2次操作，折痕D1E1到BC的距離記為h2，按上述方法不斷操作下去…經(jīng)過第2018次操作后得到的折痕D2017E2017到BC的距離記為h2018，若h1＝1，則h2018的值為（）A．2-122017 B．122017 C．1-59．如圖，∠AOB＝40°，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作P點(diǎn)關(guān)于直線OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D，連接OP，OC，OD，CD，PC，PD．則（1）∠CPD的度數(shù)是；（2）∠OCD的度數(shù)是．60．如圖，在2×2的方格紙中有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC，在圖中可畫出個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC成軸對(duì)稱．

參考答案與試題解析一．選擇題（共21小題）題號(hào)123412131419202132答案CDDBCDCDCBB題號(hào)33343536495055565758答案CDDADDBCBA一．角平分線的性質(zhì)（共11小題）1．如圖，AB∥CD，點(diǎn)O為∠BAC與∠ACD的平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC于E，若OE＝3，則AB與CD兩平行線之間的距離是（）A．3 B．4 C．6 D．8【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；平行線之間的距離．【分析】過點(diǎn)O作OF⊥AB于F，F(xiàn)O的延長線交CD于G，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OG⊥CD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)分別求出OF、OG，得到答案．【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OF⊥AB于F，F(xiàn)O的延長線交CD于G，∵AB∥CF，∴OG⊥CD，∵AO平分∠BAC，OE⊥AC，OF⊥AB，∴OF＝OE＝3，同理可得：OG＝OE＝3，∴FG＝OF+OG＝3+3＝6，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟記角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．2．如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點(diǎn)P，延長BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【分析】過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理判斷①；證明Rt△PAM≌Rt△PAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠APM＝∠APD，判斷②；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷④．【解答】解：①過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PN＝PD，∵PN⊥BF，PD⊥AC，∴點(diǎn)P在∠ACF的角平分線上，故①正確；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，PM=∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正確；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM=12∠ABC+∠∴∠ACB＝2∠APB，③正確；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．若DE＝2，則BD的長為（）A．4 B．23 C．2 D．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DF＝DE＝2，再由等角對(duì)等邊得出DF＝BF＝2，由勾股定理即可求解．【解答】解：過點(diǎn)D作DF⊥AB，如圖所示：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，DE＝2，∴DF＝DE＝2，∵∠B＝45°，∴∠BDF＝∠B＝45°，∴DF＝BF＝2，∴BD=故選：D．【點(diǎn)評(píng)】題目主要考查角平分線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊及勾股定理解三角形，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．4．如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PC⊥OA于點(diǎn)C，∠AOB＝30°，點(diǎn)D在邊OB上，且OD＝DP＝4，則CP的長度為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【分析】過點(diǎn)P作PE⊥OB于E，證明PD∥OA，得到∠PDE＝∠AOB＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出PE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出CP．【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OB于E，∵OP是∠AOB的平分線，∴∠AOP＝∠BOP，∵OD＝DP，∴∠OPD＝∠BOP，∴∠AOP＝∠OPD，∴PD∥OA，∴∠PDE＝∠AOB＝30°，∴PE=12PD＝∵OP是∠AOB的平分線，PC⊥OA，PE⊥OB，∴CP＝PE＝2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟記角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，則點(diǎn)P到射線OA的距離是2．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答即可．【解答】解：如圖，作PM⊥OA，垂足為M，∵OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OB，PM⊥OA，∴PD＝PM，∵PD＝2，∴PM＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E．若CD＝3，AB＝8，則△ABD的面積為12．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝CD＝3，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，CD＝3，AB＝8，∴DE＝CD＝3，∴△ABD的面積=1故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．7．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2cm的速度按C→A的路徑運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)t＝32時(shí)，BP恰好平分∠ABC【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；一元一次方程的應(yīng)用；角的計(jì)算．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，建立關(guān)于CP長度的方程，據(jù)此求出CP的長度即可解決問題．【解答】解：過點(diǎn)P作AB的垂線，垂足為M，連接BP，∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，PM⊥AB，∴PC＝PM．在Rt△ABC中，AC=102∴S△ABC=1∴12解得PC＝3（cm），∴t=32（故答案為：32【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用及角的計(jì)算，能根據(jù)題意建立關(guān)于CP長度的方程是解題的關(guān)鍵．8．如圖①，將直角三角板DOE的直角頂點(diǎn)O放在直線AB上，以點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使∠BOC＝70°．（1）如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD在直線AB上，則∠COE＝20°；（2）如圖②，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD，∠COD的度數(shù)．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；余角和補(bǔ)角．【分析】（1）利用互余計(jì)算出∠COE的度數(shù)；（2）先根據(jù)角平分線的定義得到∠COE＝∠BOC＝70°，再利用互余計(jì)算出∠COD＝20°，然后計(jì)算∠BOC﹣∠COD即可．【解答】解：（1）∵∠BOC＝70°，∠DOE＝90°，∴∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝20°；故答案為：20；（2）∵OC恰好平分∠BOE，∴∠COE＝∠BOC＝70°，∴∠COD＝90°﹣∠COE＝20°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝70°﹣20°＝50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線把角分成相同的兩部分．也考查了互余．9．如圖，已知BD為∠ABC的平分線，AB＝BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求證：PM＝PN．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等證明即可．【解答】證明：∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，AB=∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB，∵點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，確定出全等三角形并得到∠ADB＝∠CDB是解題的關(guān)鍵．10．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAD＝.100°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF＝50°，連接DE．（1）求證：AE平分∠FAD．（2）求證：DE平分∠ADC．（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，S△ACD＝15，求△ABE的面積．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)求出∠EAF＝40°，由平角定義即可求出∠DAE的度數(shù)，再根據(jù)角平分線定義即可得證；（2）過E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，由角平分線的性質(zhì)推出EF＝EN，F(xiàn)E＝EM，得到EM＝EN，于是推出DE平分∠ADC；（3）由△ACD的面積＝△ADE的面積+△CDE的面積，得到AD?EM+CD?EN＝18，即可求出EM＝3，得到EF＝3，由三角形面積公式即可求出△ABE的面積．【解答】（1）證明：∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°，∵∠AEF＝50°，∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠DAE＝180°﹣100°﹣40°＝40°＝∠EAF，∴AE平分∠FAD；（2）證明：過E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝EN，∵AE平分∠DAF，EF⊥AB，∴FE＝EM，∴EM＝EN，∵EM⊥AD，EN⊥CD，∴DE平分∠ADC；（3）解：∵△ACD的面積＝△ADE的面積+△CDE的面積，∴12AD?EM+12CD?EN∴12（AD+CD）?EM＝15∴12×（4+8）×EM＝∴EM=5∴EF=5∴△ABE的面積=12AB?EF=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理．11．如圖，已知AB∥CD，∠ABD的平分線交CD于F，∠BDC的平分線交BF于點(diǎn)E．（∠ABD為小于120°的鈍角）（1）求證：DE⊥BF；（2）若BE長為2，求：BF的長；（3）若點(diǎn)P為線段BF上一點(diǎn)，∠EDP＝α，∠ABF的角平分線與∠CDP的角平分線交于點(diǎn)G，試用含α的式子表示∠BGD的大小．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)AB∥CD，BF平分∠ABD得∠ABF＝∠DFB＝∠DBF，則△DBF是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BE＝EF＝2，由此可得BF的長；（2）依題意有以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，過點(diǎn)G作GH∥AB（點(diǎn)H在點(diǎn)G的左側(cè)），設(shè)EDG＝β，先分別求出∠CDG＝∠PDG＝α+β，∠ABG＝45°-12α﹣β，再根據(jù)AB∥GH∥CD得∠BGH＝∠ABG＝45°-12α﹣β，∠DGH＝∠CDG＝α+β，由此可得∠BGD的大小；①當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，過點(diǎn)G作GH∥AB（點(diǎn)H在點(diǎn)G的左側(cè)），設(shè)∠CDG＝∠PDG＝θ，則∠CDP＝2θ，再求出∠ABG＝45°﹣θ-12α，再根據(jù)AB∥GH∥CD得∠BGH＝∠ABG＝45°﹣θ-12α，∠【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠DFB，∵BF平分∠ABD，∴∠ABF＝∠DBF，∴∠DFB＝∠DBF，∵DF平分∠BDC∴∠FDE＝∠BDE，∴DF＝DB，即△DBF是等腰三角形，又∵DE平分∠BDC，∴DE⊥BF；（2）若BE長為2時(shí)，∵△DBF是等腰三角形，DE平分∠BDC，∴BE＝EF＝2，∴BF＝BE+EF＝4；（3）依題意有以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，過點(diǎn)G作GH∥AB（點(diǎn)H在點(diǎn)G的左側(cè)），如圖1所示：設(shè)∠EDG＝β，∵∠EDP＝α，∴∠PDG＝∠EDP+EDG＝α+β，∵DG平分∠CDP，∴∠CDG＝∠PDG＝α+β，∴∠CDE＝∠CDG+EDG＝α+β+β＝α+2β，由（1）知：DE⊥BF，在Rt△FDE中，∠BFD＝90°﹣∠CDE＝90°﹣α﹣2β，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFD＝90°﹣α﹣2β，∵BG平分∠ABF，∴∠ABG=12∠ABF＝45°-12∵GH∥AB，∴AB∥GH∥CD，∴∠BGH＝∠ABG＝45°-12α﹣β，∠DGH＝∠CDG＝α+∴∠BGD＝∠BGH+∠DGH＝45°-12α﹣β+α+β＝45°+①當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，過點(diǎn)G作GH∥AB（點(diǎn)H在點(diǎn)G的左側(cè)），如圖2所示：∵DG平分∠CDP，∴設(shè)∠CDG＝∠PDG＝θ，則∠CDP＝2θ，∵∠CDE＝∠CDP+∠EDP＝2θ+α，在Rt△FDE中，∠BFD＝90°﹣∠CDE＝90°﹣2θ﹣α，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFD＝90°﹣α﹣2β，∵BG平分∠ABF，∴∠ABG=12∠ABF＝45°﹣θ-∵GH∥AB，∴AB∥GH∥CD，∴∠BGH＝∠ABG＝45°﹣θ-12α，∠DGH＝∠CDG＝∴∠BGD＝∠BGH+∠DGH＝45°﹣θ-12α+θ＝45°-綜上所述：∠BGD的大小45°+12α或45°-【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，分類討論是解決問題的難點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn)．二．線段垂直平分線的性質(zhì)（共7小題）12．如圖，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠DCF＝20°，DE垂直平分AB，交BC于點(diǎn)D，連接AD，F(xiàn)G垂直平分AC，交AD于點(diǎn)F，連接CF，則∠BAC的大小為（）A．60° B．70° C．80° D．90°【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，F(xiàn)A＝FC，則∠DAB＝∠B＝40°，∠FAC＝∠FCA，再利用三角形內(nèi)角和定理得到∠FCA+∠DCF+∠B+∠FAC+∠DAB＝180°，從而得到∠FAC＝∠FCA＝40°，即可求解．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝40°，∵FG垂直平分AC，∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠FCA，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，即∠FCA+∠DCF+∠B+∠FAC+∠DAB＝180°，∴∠FAB+20°+40°+∠FAC+40°＝180°，∴2∠FAC+100°＝180°，∴∠FAC＝40°，∴∠BAC＝∠FAC+∠DAB＝80°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．也考查了三角形內(nèi)角和定理．13．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，AC＝AD，EF為線段BD的垂直平分線，若AB＝9，AC＝7，則△ADE的周長為（）A．22 B．20 C．18 D．16【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】先由線段垂直平分線的性質(zhì)得ED＝BE，結(jié)合AE+BE＝AB＝9，AC＝AD，故AD+DE+AE＝16，即可作答．【解答】解：∵D為BC邊上的一點(diǎn)，EF為線段BD的垂直平分線，AB＝9，AC＝7，∴ED＝BE，∴AE+BE＝AE+DE＝9，∵AC＝AD，∴AD＝7，∴△ADE的周長為AD+DE+AE＝7+9＝16，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．14．如圖，線段AB，DE的垂直平分線交于點(diǎn)C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝112°，則∠EBD的度數(shù)為（）A．168° B．158° C．148° D．138°【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】先由線段垂直平分線的性質(zhì)得CA＝CB，CD＝CE，得到∠BAC＝∠ABC＝72°，∠DEC＝∠EDC＝72°，再證△BCD≌△ACE（SAS），得∠CBD＝∠CAE＝72°+∠BAE，然后由三角形內(nèi)角和定理得∠ABE＝88°﹣∠BAE，進(jìn)而得出答案．【解答】解：連接CE，如圖所示：∵線段AB，DE的垂直平分線交于點(diǎn)C，∴CA＝CB，CD＝CE，∴∠BAC＝∠ABC＝72°，∠DEC＝∠EDC＝72°，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACE＝∠BCD，在△BCD和△ACE中，CB=∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠CBD＝∠CAE＝72°+∠BAE，∵∠AEB＝112°，∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠BAE＝180°﹣112°﹣∠BAE＝68°﹣∠BAE，∴∠EBD＝360°﹣∠CBD﹣∠ABC﹣∠ABE＝360°﹣（72°+∠BAE）﹣72°﹣（68°﹣∠BAE）＝148°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，分別以點(diǎn)B、C為圓心，以大于12BC的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN分別交AB、BC于點(diǎn)D、E；用同樣的方法作直線l，l恰巧經(jīng)過點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，則圖中與△CDE成對(duì)稱關(guān)系的三角形是△CDF和△BDE【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖—基本作圖．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和軸對(duì)稱、中心對(duì)稱的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：∵直線MN垂直平分BC，∴直線MN是△BDC的對(duì)稱軸，∴△CDE與△BDE成軸對(duì)稱關(guān)系，同理直線DF垂直平分AC，∴∠CFD＝∠ACB＝∠AED＝90°，∴四邊形CEDF是矩形，∴△CDF與△CDE成中心對(duì)稱，∴圖中與△CDE成對(duì)稱關(guān)系的三角形是△CDF和△BDE，故答案為：△CDF和△BDE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的定義，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在△ABC中，∠C＝52°，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B，C為圓心，大于12BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E和F；②作直線EF，分別交AC，BC于點(diǎn)D，③連接BD，以點(diǎn)D為圓心，DM長為半徑畫弧，交BD于點(diǎn)G，連接GM，則∠GMB的度數(shù)為19°．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖—基本作圖．【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝DC，EF⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解答】解：由作圖可知：EF是線段BC的垂直平分線，∴DB＝DC，EF⊥BC，∴∠DBC＝∠C＝52°，∴∠BDM＝90°﹣52°＝38°，由作圖可知：DG＝DM，∴∠DMG＝∠DGM=12×（180°﹣38∴∠GMB＝90°﹣71°＝19°，故答案為：19°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、尺規(guī)作圖，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．17．如圖，已知在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于點(diǎn)D，AC邊的垂直平分線l2交BC于點(diǎn)E，l1與l2相交于點(diǎn)O，連接OB，OC，若△ADE的周長為8cm，△OBC的周長為18cm．（1）求線段BC的長；（2）連接OA，求證：OB＝OC；（3）求線段OA的長．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，EA＝EC，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的周長公式即可求解．【解答】（1）解：∵l1是AB邊的垂直平分線，∴DA＝DB，∵l2是AC邊的垂直平分線，∴EA＝EC，∵△ADE的周長為8cm，∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝8（cm），∴BC＝8cm；（2）證明：連接OA，∵l1是AB邊的垂直平分線，∴OA＝OB，∵l2是AC邊的垂直平分線，∴OA＝OC，∴OB＝OC；（3）解：∵△OBC的周長為18cm，∴OB+OC+BC＝18cm，∵BC＝8cm，∴OB＝OC＝5（cm），∵OA＝OB，∴OA＝5cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)．熟記線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．18．【問題發(fā)現(xiàn)】我們知道“線段垂直平分線上點(diǎn)到線段兩端的距離相等”，那么不在線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離大小如何判斷呢？【自主研究】（1）如圖①，直線l是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P在直線l的左側(cè)，經(jīng)測(cè)量，PA＜PB，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論；【遷移研究】（2）如圖②，直線l是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)C在直線l外，且與點(diǎn)A在直線l的同側(cè)，點(diǎn)D是直線l上的任意一點(diǎn)，連結(jié)AD，BC，CD，試判斷BC和AD+CD之間的大小關(guān)系，并說明理由．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；比較線段的長短．【分析】（1）如圖①，連接PA，PB，AM，由線段垂直平分線的性質(zhì)推出AM＝BM，由三角形三邊關(guān)系定理得到PM+AM＞PA，推出PA＜PB；（2）如圖②，當(dāng)D不在線段BC上時(shí)，連接BD，由線段垂直平分線的性質(zhì)推出AD＝BD，由三角形三邊關(guān)系定理得到AD+CD＞BC，當(dāng)D在線段BC上時(shí)，AD+CD＝BC，于是AD+CD≥BC．【解答】（1）證明：如圖①，連接PA，PB，AM，∵直線l是線段AB的垂直平分線，∴AM＝BM，∴PB＝PM+MB＝PM+AM，∵PM+AM＞PA，∴PA＜PB；（2）解：如圖②，AD+CD≥BC，理由如下：當(dāng)D不在線段BC上時(shí)，連接BD，∵直線l是線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∵BD+CD＞BC，∴AD+CD＞BC，當(dāng)D在線段BC上時(shí)，AD+CD＝BC，∴AD+CD≥BC，【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，比較線段的長度，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．三．等腰三角形的性質(zhì)（共13小題）19．如圖，在△ABC中，AB＝BC，DE垂直平分BC，CD平分∠ACB，則∠B的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．35° D．36°【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠A＝∠ACB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BD＝CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠BCD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義計(jì)算即可．【解答】解：∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB，∵DE垂直平分△ABC的邊BC，∴BD＝CD，∴∠B＝∠BCD，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠BCD＝2∠B，∴∠A＝2∠B，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠B＝36°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，下述結(jié)論正確的有（）①BD平分∠ABC；②△BCD的周長等于AB+BC；③AD＝BD＝BC；④點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn)．A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】①根據(jù)AB＝AC，∠A＝36°得∠ABC＝∠C＝72°，再根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得AD＝BD，進(jìn)而得∠DBA＝∠A＝36°，則∠DBA＝∠DBC＝36°，據(jù)此可對(duì)結(jié)論①進(jìn)行判斷；②根據(jù)AD＝BD得BD+DC＝AC＝AB，進(jìn)而得△BCD的周長等于BD+DC+BC＝AB+BC，據(jù)此可對(duì)結(jié)論②進(jìn)行判斷；③根據(jù)∠DBA＝∠A＝36°得∠BDC＝72°，則∠BDC＝∠C＝72°，進(jìn)而得BD＝BC，再根據(jù)AD＝BD即可對(duì)結(jié)論③進(jìn)行判斷；④假設(shè)點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn)得AD＝2CD，進(jìn)而得BD＝BC＝2CD，但是，根據(jù)已知條件無法判定BD＝BC＝2CD，由此可對(duì)結(jié)論④進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案．【解答】解：①在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣∠A）＝∵AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，∴AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°，∴∠DBA＝∠DBC＝36°，∴BD平分∠ABC，故結(jié)論①正確；②∵AD＝BD，∴BD+DC＝AD+DC＝AC，∴BD+DC＝AB，∴△BCD的周長等于BD+DC+BC＝AB+BC，故結(jié)論②正確；③∵∠DBA＝∠A＝36°，∴∠BDC＝∠DBA+∠A＝72°，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴BD＝BC，又∵AD＝BD，∴AD＝BD＝BC，故結(jié)論③正確；④假設(shè)點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn)，∵CD=13∴AC＝3CD，∴AD+CD＝3CD，∴AD＝2CD，∵AD＝BD＝BC，∴BD＝BC＝2CD，根據(jù)已知條件無法判定BD＝BC＝2CD，故結(jié)論④正確，綜上所述：正確的結(jié)論是①②③．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．21．如圖，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個(gè)△A1A2D；在邊A2D上取一點(diǎn)E，延長A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個(gè)△A2A3E…按此做法繼續(xù)下去，則第2021個(gè)三角形中以A2021為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是（）A．（12）2019?75° B．（12）2020?75C．（12）2021?75° D．（12）2022?【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；規(guī)律型：圖形的變化類．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由∠B＝30°，A1B＝CB，得∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°，那么∠BA1C=12×150°＝75°．由A1A2＝A1D，得∠DA2A1＝∠A1DA2．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，由∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1，得∠DA2A1=12∠BA【解答】解：∵∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°．∴2∠BA1C＝150°．∴∠BA1C=12×150∵A1A2＝A1D，∴∠DA2A1＝∠A1DA2．∴∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1．∴∠DA2A1=12∠BA1C=同理可得：∠EA3A2=12∠DA2A1=…以此類推，以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是∠An＝（12）n×150°＝（12）n﹣1×∴以A2021為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是（12）2020×75故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)以及特殊到一般的猜想歸納思想是解決本題的關(guān)鍵．22．如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，若S△ABC＝3，則PE+PF＝3．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【分析】連接AP，則S△ABC＝S△ACP+S△ABP，依據(jù)S△ACP=12AC×PF，S△ABP=12AB×PE，代入計(jì)算即可得到PE+【解答】解：如圖所示，連接AP，則S△ABC＝S△ACP+S△ABP，∵PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，∴S△ACP=12AC×PF，S△ABP=12又∵S△ABC＝3，AB＝AC＝2，∴3=12AC×PF+12即3=12×2×PF+1∴PE+PF＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線將等腰三角形分割成兩個(gè)三角形，利用面積法進(jìn)行計(jì)算．23．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧（弧所在圓的半徑都相等），交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部相交于點(diǎn)D，作射線AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)為邊AC上一點(diǎn)，連接EF，若AF＝CF，AE＝BC＝4，則EF的長為5【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【分析】由作圖可知AE是∠BAC的平分線，再根據(jù)AB＝AC得BE＝CE=12BC＝2，AE⊥BC，進(jìn)而得AB＝AC=25，然后根據(jù)AF＝CF，BE＝CE得EF是△ABC【解答】解：由作圖可知：AE是∠BAC的平分線，∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，∴BE＝CE，AE⊥BC，∵AE＝BC＝4，∴BE＝CE=12BC＝在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC=A∴AB＝AC=25∵AF＝CF，BE＝CE，∴EF是△ABC的中位線，∴EF=12AB故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．24．如圖“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒PB，PD組成，兩根棒在P點(diǎn)相連并可繞P轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，CP＝OC＝OA，點(diǎn)O，A可在槽中滑動(dòng)，若∠AOB＝75°，則∠P的度數(shù)是25°．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)推出∠P＝∠POC，∠ACO＝∠CAO，由三角形的外角性質(zhì)得到∠AOB＝3∠P＝75°，即可求出∠P的度數(shù)．【解答】解：∵CP＝OC＝OA，∴∠P＝∠POC，∠ACO＝∠CAO，∵∠ACO＝∠P+∠POC＝2∠P，∴∠CAO＝2∠P，∴∠AOB＝∠P+∠CAO＝3∠P＝75°，∴∠P＝25°．故答案為：25°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是由以上知識(shí)點(diǎn)推出∠AOB＝3∠P．25．五角星是我們中華人民共和國國旗的重要元素，如圖是從一個(gè)五角星中分離出來的等腰三角形ABC，已知∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，則ADAC的值為5-1【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；角平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝72°，再利用角平分線的性質(zhì)得到∠A＝∠ABD＝36°，進(jìn)而可得DA＝DB，然后利用三角形外角性質(zhì)可得∠BDC＝∠C＝72°，進(jìn)而得到AD＝BD＝BC，證明△ABC∽△BDC，得到ABBC=BCCD=ACBD，設(shè)AD＝BD＝BC＝x【解答】解：由條件可得∠ABC∵BD平分∠ABC，∴∠ABD∴∠A＝∠ABD＝36°，∴DA＝DB，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠BCD＝72°，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，由條件可知△ABC∽△BDC，∴ABBC設(shè)AD＝BD＝BC＝x，AC＝1，∴x1-解得x1=5∴ADAC故答案為：5-【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．26．將一副三角尺按圖所示方式擺放，它們共用頂點(diǎn)C，CD，CE分別交AB于點(diǎn)F，G．若BF＝CF，∠ACB＝∠E＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，則∠AGE的度數(shù)是75°．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCF＝∠B＝30°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠GFC＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CGF＝75°，再根據(jù)對(duì)頂角性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵∠ACB＝∠E＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，∴∠DCE＝45°，∠B＝30°，∵BF＝CF，∴∠BCF＝∠B＝30°，∴∠GFC＝∠B+∠BCF＝60°，∴∠CGF＝180°﹣∠DCE﹣∠GFC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠AGE＝∠CGF＝75°，故答案為：75°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟記等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．27．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，P是BC上任意一點(diǎn)，且PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E．若△ABC面積為32，則PD+PE的值是否為定值？請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【分析】可連接AP，由圖得，S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入數(shù)值，解答出即可．【解答】解：PD+PE的值為定值；理由如下：如圖，連接AP，由圖可得：S△ABC＝S△ABP+S△ACP，∵在△ABC中，AB＝AC＝8，PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，△ABC面積為32，∴32=12×8×PD+1∴PD+PE＝8；∴PD+PE的值為8．故PD+PE的值為定值．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形高的定義．28．綜合與實(shí)踐，問題情境：活動(dòng)課上，同學(xué)們以等腰三角形為背景展開有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的探究活動(dòng)，如圖1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．將△ABC從圖1的位置開始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ADE（點(diǎn)D，E分別是點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜100°，設(shè)線段AD與BC相交于點(diǎn)M，線段DE分別交BC，AC于點(diǎn)O，N．特例分析：（1）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到AD⊥BC時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為60；探究規(guī)律：（2）如圖3，在△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，“求真”小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)線段AM始終等于線段AN，請(qǐng)你證明這一結(jié)論．拓展延伸：（3）①直接寫出當(dāng)△DOM是等腰三角形時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．②在圖3中，作直線BD，CE交于點(diǎn)P，直接寫出當(dāng)△PDE是直角三角形時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；規(guī)律型：圖形的變化類．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得結(jié)果；（2）可證明△BAM≌△EAN，從而得出結(jié)論；（3）①分成DM＝MO，DM＝OD及OM＝OD，根據(jù)∠D＝40°，每種情形可求得另外兩個(gè)角，進(jìn)一步求得結(jié)果；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠C＝∠B＝30°，∠BAD=12∠∴∠BAD=180°-∠B∴α＝60°，故答案為：60°；（2）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠MAN＝∠DAE﹣∠MAN，即：∠BAM＝∠EAN，在△BAM和△EAN中，AB=∴△BAM≌△EAN（ASA），∴AM＝AN；（3）解：①如圖1，當(dāng)DM＝OM時(shí)，∠MOD＝∠D＝30°，∵∠B＝∠D，∠AMB＝∠DMO，∴∠BAD＝∠MOD＝30°，∴α＝30°，如圖2，當(dāng)DM＝DO時(shí)，∠DMO＝∠DOM=180°-∠D∴α＝∠DOM＝75°，如圖3，當(dāng)OM＝OD時(shí)，∠OMD＝∠D＝30°，∴α＝∠DOM＝120°，此時(shí)AD和AC重合，這種情形不存在．綜上所述：α＝30°或75°．②如圖：當(dāng)∠EDP＝90°時(shí)，∵∠ABC＝ADE＝30°，∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵0°＜α＜100°，∴旋轉(zhuǎn)角α為60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是畫出圖形，正確分類．29．如圖1和2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如圖1，若α＝90°，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得DA＝CD，這個(gè)性質(zhì)是角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等（2）問題解決：如圖2，求證AD＝CD；（3）問題拓展：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD＝BC．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答；（2）作DE⊥BA交BA延長線于E，DF⊥BC于F，證明△DEA≌△DFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（3）在BC時(shí)截取BK＝BD，連接DK，根據(jù)（2）的結(jié)論得到AD＝DK，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到KD＝KC，結(jié)合圖形證明．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴DA＝DC（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等），故答案為：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等；（2）如圖2，作DE⊥BA交BA延長線于E，DF⊥BC于F，∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，在△DEA和△DFC中，∠DEA∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA＝DC；（3）如圖，在BC上截取BK＝BD，連接DK，∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBK=12∠ABC＝∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，由（2）的結(jié)論得AD＝DK，∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，∴AD＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．30．如圖，P是等腰三角形ABC底邊BC上的任一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BH是等腰三角形AC邊上的高．猜想：PE、PF和BH間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【分析】連接AP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可表示出S△ABC＝S△ABP+S△ACP=12×AC×（PE+PF），同時(shí)可表示出S△ABC=12AC×BH，從而可得到PE【解答】解：PE+PF＝BH．理由如下：連接AP．∵AB＝AC，∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP=12AB×PE+12AC×PF=12∵S△ABC=12AC×∴PE+PF＝BH．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形面積的綜合運(yùn)用，此題的關(guān)鍵是利用面積公式將所求聯(lián)系在一起．31．在△ABC中，AB＝AC．（1）AD是BC上的高，AD＝AE．①如圖1，如果∠BAD＝20°，則∠EDC＝10°；②如圖2，如果∠BAD＝50°，則∠EDC＝25°．（2）思考：通過以上兩小題，你發(fā)現(xiàn)∠BAD與∠EDC之間有什么關(guān)系？請(qǐng)用式子表示：∠EDC=12∠BAD（3）如圖3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述關(guān)系？如有，請(qǐng)你寫出來，并說明理由．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【分析】（1）①等腰三角形三線合一，所以∠DAE＝20°，又因?yàn)锳D＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝80°，所以∠EDC＝10°．②同理，易證∠ADE＝65°，所以∠EDC＝25°．（2）通過①②題的結(jié)論可知，∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC=12∠（3）由于AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED，根據(jù)已知，易證∠BAD+∠B＝2∠EDC+∠C，而B＝∠C，所以∠BAD＝2∠EDC．【解答】解：（1）①在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝20°，∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝80°，∵AD是BC上的高，∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝10°．故答案為：10；②∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝50°，∴∠BAD＝∠CAD＝50°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝65°，∴∠EDC＝25°．故答案為：25；（2）∠EDC=12∠故答案為：∠EDC=12∠（3）仍成立，理由如下：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC＝2∠EDC+∠C，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠BAD＝2∠EDC，即∠EDC=12∠【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形三線合一這一性質(zhì)，即等腰三角形底邊上中線、高線以及頂角的平分線三線合一．得到角之間的關(guān)系是正確解答本題的關(guān)鍵．四．軸對(duì)稱的性質(zhì)（共17小題）32．如圖，AD所在直線是△ABC的對(duì)稱軸，點(diǎn)E，F(xiàn)是AD上的兩點(diǎn)，若BD＝3，AD＝5，則圖中陰影部分的面積是（）A．15 B．7.5 C．6 D．4.5【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)．【分析】根據(jù)△CEF和△BEF關(guān)于直線AD對(duì)稱，得出S△BEF＝S△CEF，根據(jù)圖中陰影部分的面積是12S△ABC【解答】解：∵△ABC關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴B、C關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴△CEF和△BEF關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴S△BEF＝S△CEF，∵△ABC的面積是：12×BC×AD=12×6∴圖中陰影部分的面積是12S△ABC＝7.5故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)．通過觀察可以發(fā)現(xiàn)是軸對(duì)稱圖形，且陰影部分的面積為全面積的一半，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)求解．其中看出三角形BEF與三角形CEF關(guān)于AD對(duì)稱，面積相等是解決本題的關(guān)鍵．33．如圖，在6×6方格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，△ABC的對(duì)稱軸經(jīng)過格點(diǎn)（）A．P1 B．P2 C．P3 D．P4【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)解答即可．【解答】解：如圖所示：由題意可知，△ABC的等腰三角形，它的對(duì)稱軸是底邊AB的中線所在的直線，即△ABC的對(duì)稱軸經(jīng)過格點(diǎn)P3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．34．折紙起源于中國，不僅是一種手工技藝，更是承載歷史記憶與文化密碼的載體．如圖，四邊形ABCD為一張長方形紙片，點(diǎn)E、F分別為AB、CD邊上一點(diǎn)，小南將這張紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)M、N的位置，BC的對(duì)應(yīng)邊MN與CD交于點(diǎn)G，若∠BEF＝α，則∠FGN的度數(shù)為（）A．12α B．90°-12α C．12α-【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)解答即可．【解答】解：延長NM，交AB于點(diǎn)P，如圖所示：由題意得，DC∥AB，∠MEF＝α，∠NME＝90°，∴∠PEM＝180°﹣2α，∴∠EPM＝90°﹣∠PEM＝90°﹣（180°﹣2α）＝2α﹣90°，∴∠FGN＝∠EPM＝2α﹣90°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．35．如圖是一張鈍角三角形紙片ABC，小明想通過折紙的方式折出如下線段：①AC邊上的中線BD；②∠B的平分線BE；③AC邊上的高BF．上述三條線段中能通過折紙折出的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)．【分析】根據(jù)三角形的中線，角平分線以及高的定義作答．【解答】解：①BC邊上的中線BD：如圖1，使點(diǎn)A、C重合，中點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AD，此時(shí)BD即為AC邊上的中線；②∠ABC的平分線BE：如圖2，沿直線BE折疊，使AB與CB重疊，此時(shí)BE即為∠ABC的角平分線；③AC邊上的高BF：如圖3，沿直線BF折疊，使AF與CF重合，此時(shí)BF即為AC邊上的高．綜上所述，所有能夠通過折紙折出的有①②③．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，涉及到圖形的翻折變換，三角形的角平分線、中線以及高線，掌握三角形的角平分線、中線以及高線的幾何意義是解題的關(guān)鍵．36．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)P關(guān)于直線AC，AB，BC的對(duì)稱點(diǎn)，給出下面三個(gè)結(jié)論：①AE＝AD；②∠DPE＝90°；③∠ADC+∠BFC+∠BEA＝270°．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)．【分析】連接AP，CP，BP，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得AC，AB，BC分別為PD，PE，PF的垂直平分線，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得AD＝AP，AE＝AP，CD＝CP，即可判斷①③，根據(jù)∠BAC＝90°，可得四邊形AMPN為矩形，即可判斷②．【解答】解：如圖，連接AP，CP，BP，∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)P關(guān)于直線AC，AB，BC的對(duì)稱點(diǎn)，∴AC，AB，BC分別為PD，PE，PF的垂直平分線，∴AD＝AP，AE＝AP，∴AE＝AD，故①正確；∵AC，AB分別為PD，PE的垂直平分線，∠BAC＝90°，∴四邊形AMPN為矩形，∴∠DPE＝90°，故②正確；∵AC為PD的垂直平分線，∴AD＝AP，CD＝CP，∴∠ADP＝∠APD，∠CDP＝∠CPD，∴∠ADC＝∠APC，同理得∠BFC＝∠BPC，∠BEA＝∠APB，∵∠APC+∠BPC+∠APB＝360°，∴∠ADC+∠BFC+∠BEA＝360°，故③錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是關(guān)鍵．3