微專題三全等三角形模型的應用第一部分基礎復習·突破核心第四章幾何初步與三角形模型一利用中線構造全等模型[模型展示]類型1：直接倍長中線(圖1)．延長中線，使所延長部分與中線相等，然后連接三角形的另外一個頂點．類型2：間接倍長中線(圖2)．從三角形另外兩個頂點向中線作垂線段，利用“AAS”構造全等三角形．結論：“倍長中線(線段)，構造全等”．【典例1】佳佳同學遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法：延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE，證明△BED≌△CAD，經過推理和計算使問題得到解決．(1)請回答：①為什么△BED≌△CAD？寫出推理過程；②求AD的取值范圍．(2)如圖2，AD是△ABC的中線，點M在AC上，連接BM交AD于點N，且∠MAN＝∠BND．求證：BN＝MN＋MC．

②∵△BED≌△CAD，∴BE＝AC，在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，∴6－4＜2AD＜6＋4，∴1＜AD＜5．(2)證明：如圖，延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE，由(1)可知：△BED≌△CAD，∴BE＝AC＝AM＋MC，∠E＝∠DAC，∵∠MAN＝∠BND，∠MNA＝∠BND，∴∠MAN＝∠MNA，∴AM＝MN，∠E＝∠BND，∴BE＝BN，∴BN＝MN＋MC．[跟蹤訓練]如圖，△ABC中，AD為△ABC的中線，點E在AD上，且∠CED＝∠BAD．求證：AB＝CE．

∴△ADB≌△FDC(SAS)，∴CF＝BA，∠F＝∠BAD，∵∠CED＝∠BAD，∴∠CED＝∠F，∴CE＝CF，∴CE＝BA．模型二截長補短模型[模型展示]如圖1，若證明線段AB，CD，EF之間滿足EF＝AB＋CD，可以考慮截長補短法．截長法：如圖2，在EF上截取EG＝AB，再證明GF＝CD即可．補短法：如圖3，延長AB至點H，使AH＝EF，再證明BH＝CD即可．【典例2】如圖，已知AC∥BD，EA，EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，求證：AB＝AC＋BD．

[跟蹤訓練]如圖，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠CAB．

(1)如圖1，若∠ACB＝90°，求證：AB＝AC＋CD；(2)如圖2，若AB＝AC＋BD，求∠ACB的度數；(3)如圖3，若∠ACB＝100°，求證：AB＝AD＋CD．

(3)在AB上截取AH＝AD，連接DH．∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∵AD是∠CAB的平分線，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，連接DK，由(2)得，△CAD≌△KAD，∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD．模型三一線三等角模型[模型展示]“一線三等角”，也叫“K型圖”或“M型圖”．(1)銳角型：△APC≌△BDP．(2)鈍角型：△APC≌△BDP．(3)直角型(一線三垂直)：△ABC≌△CDE．【典例3】如圖，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F分別是直線CD上的三點，且∠BEC＝∠CFA＝α，請判斷EF，BE，AF三條線段之間有怎樣的數量關系，并證明．[解]

EF＝BE＋AF，理由如下．證明：∵∠BEC＝∠CFA＝α＝∠BCA，∠BCA＋∠BCE＋∠ACF＝180°，∠CFA＋∠CAF＋∠ACF＝180°，∴∠BCE＝∠CAF，

[跟蹤訓練]如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點C，過A，B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點D，E，試確定線段AD，DE與BE三者之間的數量關系并說明理由．[解]

BE＝AD－DE，理由如下：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBE＝90°－∠ECB．

模型四手拉手模型[模型展示]常見的有以下幾種類型：(1)手拉手全等(△ABP≌△A′B′P′)；(2)手拉手線相等(AB＝A′B′)．【典例4】在△ABC中，AB＝AC，P是任意一點，將AP繞點A順時針旋轉至AQ，使∠QAP＝∠BAC，連接BQ，CP．(1)如圖1，若點P在△ABC的內部，則BQ與CP相等嗎？若相等，請給出證明．(2)如圖2，若點P在△ABC的外部，則BQ與CP相等嗎？若相等，請給出證明．

(1)如圖1，連接AM，BN，求證：△AOM≌△BON．(2)若將△MON繞點O順時針旋轉，如圖2，當點N恰好在AB邊上時．求證：BN2＋AN2＝2ON2．[證明]

(1)∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠MON＋∠AON＝∠AOB＋∠AON，即∠AOM＝∠BON．∵△MON和△AOB是等腰直角三角形，∴OM＝ON，OA＝OB．∴△AOM≌△BON(SAS)．(2)如圖，連接AM．∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠MON－∠AON＝∠AOB－∠AON，即∠AOM＝∠BON．∵△MON和△AOB是等腰直角三角形，∴OM＝ON，OA＝OB，∴△A