第二節(jié)一次函數(shù)第一部分基礎(chǔ)復(fù)習(xí)·突破核心第三章函數(shù)鏈接教材基礎(chǔ)過(guò)關(guān)考點(diǎn)一一次函數(shù)的定義1．一次函數(shù)的定義：若兩個(gè)變量x，y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示成y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)的形式，則稱(chēng)y是x的一次函數(shù)(x為自變量，y為因變量)．2．正比例函數(shù)的定義：對(duì)于一次函數(shù)，當(dāng)______時(shí)，一次函數(shù)就變?yōu)開(kāi)_______(k≠0)，這時(shí)，稱(chēng)y是x的正比例函數(shù)．b＝0y＝kx考點(diǎn)二正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)正比例函數(shù)k的符號(hào)k__0k__0圖象的大體位置經(jīng)過(guò)的象限第______象限第______象限性質(zhì)y隨x的增大而____y隨x的增大而____＞<

一、三二、四增大減小一次函數(shù)k，b的符號(hào)k__0，b__0k__0，b__0k__0，b__0k__0，b__0圖象的大體位置經(jīng)過(guò)的象限第___________象限第__________象限第_________象限第___________象限性質(zhì)y隨x的增大而____y隨x的增大而____y隨x的增大而____y隨x的增大而____＞＞＞<

<

＞<

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一、二、三一、三、四一、二、四二、三、四增大增大減小減小考點(diǎn)三確定一次函數(shù)的表達(dá)式1．常用方法：待定系數(shù)法，其一般步驟為(1)設(shè)：設(shè)函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_________(k≠0)；(2)代：將____________代入函數(shù)表達(dá)式，解方程或方程組；(3)解：求出______的值，得到函數(shù)表達(dá)式．y＝kx＋b已知點(diǎn)的坐標(biāo)k與b2．常見(jiàn)類(lèi)型(1)已知兩點(diǎn)確定表達(dá)式；(2)已知兩對(duì)函數(shù)對(duì)應(yīng)值確定表達(dá)式；(3)平移轉(zhuǎn)化型：如已知函數(shù)是由y＝2x平移所得到的，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，則可設(shè)要求函數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)_________，再把點(diǎn)________代入即可．y＝2x＋b(0，1)3．一次函數(shù)的平移(1)一次函數(shù)圖象平移前后k值不變，或兩條直線可以通過(guò)平移得到，則可知它們的k值相同．(2)若向上平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，則b值增大h；若向下平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，則b值減小h．

kx＋b＝0y＝k1x＋b1y＝k2x＋b2上方下方考點(diǎn)五一次函數(shù)應(yīng)用的常見(jiàn)題型1．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中給出的數(shù)量關(guān)系直接列出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，解決實(shí)際問(wèn)題．2．利用一次函數(shù)對(duì)實(shí)際問(wèn)題中的方案進(jìn)行比較．3．結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)圖象解決實(shí)際問(wèn)題．

√C

[自變量次數(shù)為2，不是一次函數(shù)，故A不符合題意；分母中含有未知數(shù)，不是一次函數(shù)，故B不符合題意；自變量次數(shù)為1，是一次函數(shù)，故C符合題意；分母中含有未知數(shù)，不是一次函數(shù)，故D不符合題意．故選C．]2．若一次函數(shù)y＝(k－2)x＋1的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則(

)A．k＜2 B．k＞2C．k＞0 D．k＜0√B

[由題意，得k－2＞0，解得k＞2．故選B．]3．一根蠟燭長(zhǎng)20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃5cm，則剩下長(zhǎng)度y(cm)與燃燒時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系可用下列哪個(gè)圖象表示(

)√B

[由題意，得y＝20－5x．∵0≤y≤20，∴0≤20－5x≤20，∴0≤x≤4，∴y＝20－5x的圖象是一條線段．∵k＝－5＜0，∴y隨x的增大而減小．故選B．]4．(魯教版七上P162議一議改編)如圖所示，一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象與x軸相交于點(diǎn)(2，0)，與y軸相交于點(diǎn)(0，4)，結(jié)合圖象可知，關(guān)于x的方程ax＋b＝0的解是________．x＝2

[∵一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象與x軸相交于點(diǎn)(2，0)，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0，即2a＋b＝0，∴關(guān)于x的方程ax＋b＝0的解是x＝2．]x＝2考點(diǎn)突破對(duì)點(diǎn)演練命題點(diǎn)1一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】

(2024·甘肅臨夏州)一次函數(shù)y＝kx－1(k≠0)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，它的圖象不經(jīng)過(guò)的象限是(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限√A

[∵一次函數(shù)y＝kx－1(k≠0)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴k＜0，b＝－1＜0，∴該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第一象限．故選A．]歸納總結(jié)

解決一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題，關(guān)鍵是明確一次函數(shù)y＝kx＋b中系數(shù)的作用：k的正負(fù)決定圖象的傾斜方向及函數(shù)的增減性，|k|決定圖象的傾斜程度．b決定圖象與y軸的交點(diǎn)的位置(或圖象的上下位置)．

√B

[因?yàn)檎壤瘮?shù)的表達(dá)式為y＝3x，所以y隨x的增大而增大．又因?yàn)閤1＜x2，所以y1＜y2．故選B．]2．(2024·山西)已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函數(shù)y＝3x的圖象上，若x1＜x2，則y1與y2的大小關(guān)系是(

)A．y1＞y2 B．y1＜y2C．y1＝y(tǒng)2 D．y1≥y2√

√A

[∵點(diǎn)A(2，m)和點(diǎn)B(n，－6)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴m＝6，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，6)．設(shè)正比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝kx(k≠0)，∵點(diǎn)A(2，6)在正比例函數(shù)y＝kx的圖象上，∴6＝2k，解得k＝3，∴正比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝3x．故選A．]歸納總結(jié)

本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)以及待定系數(shù)法求正比例函數(shù)表達(dá)式，由點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)是關(guān)鍵．[對(duì)點(diǎn)演練]1．[圖表信息題]已知y是x的一次函數(shù)，下表列出了部分對(duì)應(yīng)值，則m＝________．x012y1m53

2．(人教版八下例題)已知一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(3，5)與(－4，－9)，求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式．

命題點(diǎn)3一次函數(shù)與方程(組)、不等式的關(guān)系【典例3】

(2024·福建廈門(mén)二模)如圖，函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(m，0)(m＞1)，與函數(shù)y＝2x的圖象交于點(diǎn)A，則不等式kx＋b＜2x的解集為(

)A．x＜2 B．x＜1C．x＞1 D．x＞2√C

[在y＝2x中，令y＝2時(shí)，則2x＝2，∴x＝1，∴A(1，2)，由圖可得：不等式kx＋b＜2x的解集為x＞1．故選C．]歸納總結(jié)

一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝ax＋b的值大于(或小于)0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx＋b在x軸上(或下)方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．[對(duì)點(diǎn)演練]1．(2024·廣東)已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，則一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象大致是(

)√B

[A．不等式kx＋b＜0的解集是x＞－2，故本選項(xiàng)不符合題意；B．不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，故本選項(xiàng)符合題意；C．不等式kx＋b＜0的解集是x＜－2，故本選項(xiàng)不符合題意；D．不等式kx＋b＜0的解集是x＞2，故本選項(xiàng)不符合題意．故選B．]2．(2024·江蘇揚(yáng)州)如圖，已知一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象分別與x，y軸交于A，B兩點(diǎn)，若OA＝2，OB＝1，則關(guān)于x的方程kx＋b＝0的解為_(kāi)_______．x＝－2x＝－2

[∵OA＝2，∴一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A(－2，0)，∴關(guān)于x的方程kx＋b＝0的解為x＝－2．]命題點(diǎn)4一次函數(shù)的應(yīng)用【典例4】

(2024·陜西)我國(guó)新能源汽車(chē)快速健康發(fā)展，續(xù)航里程不斷提升，王師傅駕駛一輛純電動(dòng)汽車(chē)從A市前往B市．他駕車(chē)從A市一高速公路入口駛?cè)霑r(shí)，該車(chē)的剩余電量是80kW·h，行駛了240km后，從B市一高速公路出口駛出．已知該車(chē)在高速公路上行駛的過(guò)程中，剩余電量y(kW·h)與行駛路程x(km)之間的關(guān)系如圖所示．(1)求y與x之間的關(guān)系式；(2)已知這輛車(chē)的“滿電量”為100kW·h，求王師傅駕車(chē)從B市這一高速公路出口駛出時(shí)，該車(chē)的剩余電量占“滿電量”的百分之多少．

歸納總結(jié)

解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是結(jié)合題中信息讀懂函數(shù)圖象上關(guān)鍵點(diǎn)的實(shí)際意義，找出各個(gè)量之間的關(guān)系，獲取相關(guān)信息，通過(guò)分析、計(jì)算得出所求問(wèn)題的答案，常常用到待定系數(shù)法．[對(duì)點(diǎn)演練][圖表信息題](2024·廣東廣州)一個(gè)人的腳印信息往往對(duì)應(yīng)著這個(gè)人某些方面的基本特征．某數(shù)學(xué)興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長(zhǎng)數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的整理和分析，發(fā)現(xiàn)身高y和腳長(zhǎng)x之間近似存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：腳長(zhǎng)x/cm…232425262728…身高y/cm…156163170177184191…

(3)當(dāng)x＝25.8時(shí)，y＝7×25.8－5＝175.6(cm)．答：腳長(zhǎng)約為25.8cm時(shí)，估計(jì)這個(gè)人的身高為175.6cm．題號(hào)13524687910111213141516(說(shuō)明：選擇題每題3分，填空題每題3分，本試卷共65分)

1．(2024·新疆)若一次函數(shù)y＝kx＋3的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則k的值可以是(

)A．－2 B．－1

C．0

D．1D

[由題意，得k＞0，觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)D符合題意．故選D．]課時(shí)分層評(píng)價(jià)卷(十)一次函數(shù)√題號(hào)135246879101112131415162．下列各點(diǎn)中，在函數(shù)y＝－2x的圖象上的點(diǎn)是(

)A．(1，－2) B．(1，1)

C．(－2，1) D．(1，4)√A

[當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－2×1＝－2，∴點(diǎn)(1，－2)在函數(shù)y＝－2x的圖象上；當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝－2×(－2)＝4，∴點(diǎn)(－2，1)不在函數(shù)y＝－2x的圖象上．故選A．]題號(hào)135246879101112131415163．已知一次函數(shù)y＝kx－2的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝2x＋k的圖象大致是(

)√題號(hào)13524687910111213141516B

[∵一次函數(shù)y＝kx－2的函數(shù)值y隨x的增大而增大，∴k＞0，∵一次函數(shù)y＝2x＋k的一次項(xiàng)系數(shù)大于0，常數(shù)項(xiàng)大于0，∴一次函數(shù)y＝2x＋k的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限．故選B．]題號(hào)13524687910111213141516

√x1n＋m4y32n9題號(hào)13524687910111213141516

題號(hào)13524687910111213141516

√題號(hào)13524687910111213141516

題號(hào)135246879101112131415166．[跨學(xué)科](2024·山西)生物學(xué)研究表明，某種蛇在一定生長(zhǎng)階段，其體長(zhǎng)y(cm)是尾長(zhǎng)x(cm)的一次函數(shù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示，則y與x之間的關(guān)系式為(

)

A．y＝7.5x＋0.5 B．y＝7.5x－0.5C．y＝15x D．y＝15x＋45.5√尾長(zhǎng)x/cm6810體長(zhǎng)y/cm45.560.575.5題號(hào)13524687910111213141516

題號(hào)135246879101112131415167．[開(kāi)放性試題](2024·甘肅)已知一次函數(shù)y＝－2x＋4，當(dāng)自變量x＞2時(shí)，函數(shù)y的值可以是

________________(寫(xiě)出一個(gè)合理的值即可)．－2(答案不唯一)－2(答案不唯一)

[當(dāng)x＝3時(shí)，y＝－2×3＋4＝－2(答案不唯一)．]題號(hào)135246879101112131415168．(2024·上海)若正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(7，－13)，則y的值隨x的增大而________．(選填“增大”或“減小”)減小

題號(hào)135246879101112131415169．將直線y＝kx＋3向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，4)，則k的值是________．－2

[∵直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y＝kx＋3，∴向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后新的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋3＋3＝kx＋6，∵將直線y＝kx＋3向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，4)，∴4＝k＋6，∴k＝－2．]－2題號(hào)1352468791011121314151610．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是正方形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，4)，直線y＝mx－2恰好把正方形ABCO的面積分成相等的兩部分，則m＝________．2

[∵直線y＝mx－2恰好把正方形ABCO的面積分成相等的兩部分∴直線必經(jīng)過(guò)正方形的中心．∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，4)，∴中心為(2，2)，代入y＝mx－2中，得2＝2m－2，解得m＝2．]2題號(hào)1352468791011121314151611．[情境題](2024·內(nèi)蒙古包頭)如圖是1個(gè)碗和4個(gè)整齊疊放成一摞的碗的示意圖，碗的規(guī)格都是相同的．小亮嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探究整齊疊放成一摞的這種規(guī)格的碗的總高度y(單位：cm)隨著碗的數(shù)量x(單位：個(gè))的變化規(guī)律．下表是小亮經(jīng)過(guò)測(cè)量得到的y與x之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x/個(gè)1234y/cm68.410.813.2題號(hào)13524687910111213141516(1)依據(jù)小亮測(cè)量的數(shù)據(jù)，寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并說(shuō)明理由；(2)若整齊疊放成一摞的這種規(guī)格的碗的總高度不超過(guò)28.8cm，求此時(shí)碗的數(shù)量最多為多少個(gè)？題號(hào)13524687910111213141516

題號(hào)13524687910111213141516(2)設(shè)碗的數(shù)量有x個(gè)，則2.4x＋3.6≤28.8，解得x≤10.5，∴x的最大整數(shù)解為10．答：碗的數(shù)量最多為10個(gè)．題號(hào)13524687910111213141516

題號(hào)13524687910111213141516

題號(hào)1352468791011121314151613．(2024·四川南充)當(dāng)2≤x≤5時(shí)，一次函數(shù)y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，則實(shí)數(shù)m的值為(

)A．－3或0 B．0或1C．－5或－3 D．－5或1√題號(hào)13524687910111213141516A

[當(dāng)m＋1＞0，即m＞－1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝5時(shí)，一次函數(shù)y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，∴5(m＋1)＋m2＋1＝6，解得m1＝0，m2＝－5(舍去)；當(dāng)m＋1＜0，即m＜－1時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝2時(shí)，一次函數(shù)y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，∴2(m＋1)＋m2＋1＝6，解得m1＝－3，m2＝1(舍去)．綜上，當(dāng)2≤x≤5時(shí)，一次函數(shù)y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，則實(shí)數(shù)m的值為0或－3．故選A．]題號(hào)1352468791011121314151614．(2024·四川涼山州)如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過(guò)A(3，6)，B(0，3)兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)C，則△AOC的面積為_(kāi)_______．9題號(hào)13524687910111213141516

題號(hào)1352468791011121314151615．(2024·黑龍江齊齊哈爾)領(lǐng)航無(wú)人機(jī)表演團(tuán)隊(duì)進(jìn)行無(wú)人機(jī)表演訓(xùn)練，甲無(wú)人機(jī)以a米/秒的速度從地面起飛，乙無(wú)人機(jī)從距離地面20米高的樓頂起飛，甲、乙兩架無(wú)人機(jī)同時(shí)勻速上升，6秒時(shí)甲無(wú)人機(jī)到達(dá)訓(xùn)練計(jì)劃指定的高度停止上升開(kāi)始表演，完成表演動(dòng)作后，按原速繼續(xù)飛行上升，當(dāng)甲、乙無(wú)人機(jī)按照訓(xùn)練計(jì)劃準(zhǔn)時(shí)到達(dá)距離地面的高度為96米時(shí)，進(jìn)行了時(shí)長(zhǎng)為t秒的聯(lián)合表演，表演完成后以相同的速度大小同時(shí)返回地面．甲、乙兩架無(wú)人機(jī)所在的位置距離地面的高度y(米)與無(wú)人機(jī)飛行的時(shí)間x(秒)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題：題號(hào)135246