《圓錐曲線大題全攻略》目錄

1.或軌跡方程冏敦

2.圓儺曲狡中的笑點問敢

3.圖雄曲狡中的范值冏莖

4.圓舞曲俵中的*倡同敢

5.點差法解決中克核問駁

6.召見幾何關系的代熬化方彼

7.圖儺曲狡中的薇對稱“布達定理”問來處理技巧

8.圖雄曲俵中的三支易俵冏敢

9.巧用曲餞系方程斛決（D儺曲狡中的四點共圓同鼎

10.擷物殘中阿基來德三角形的召見桃質及應用

11.圖雒曲俵中的以初餞散型

1

園錐曲線中的求軌跡方程問題

解題技巧

求動點的軌跡方程這類問題可難可易是高考中的高頻題型，求軌跡方程的主要方法有直譯法、

相關點法、定義法、參數法等。它們的解題步驟分別如下：

1.直譯法求軌跡的步驟：

（1）設求軌跡的點為P（x,y）;

（2）由已知條件建立關于九,y的方程；

（3）化簡整理。

2.相關點法求軌跡的步驟：

（1）設求軌跡的點為尸（x,y）,相關點為

（2）根據點的產生過程，找至此招丁）與（％,外）的關系，并將％,如用x和y表示；

（3）將（x0,y。）代入相關點的曲線，化簡即得所求軌跡方程。

3,定義法求軌跡方程：

（1）分析幾何關系；

（2）由曲線的定義直接得出軌跡方程。

2

4.參數法求軌跡的步驟:

(1)引入參數;

(2)將求軌跡的點(x,y)用參數表示;

(3)消去參數;

(4)研究范圍。

【例1.1已知平面上兩定點M(0,-2),M0,2),點P滿足MP?MN=PN?MN,求點P的

軌跡方程。

無2

【例2.】已知點P在橢圓1+V=1上運動，過p作y軸的垂線，垂足為。，點/滿足

---?1--*

PM=-PQ,求動點M的軌跡方程。

3

【例3.】已知圓4:（》+2）2+/=36,3（2,0）,點尸是圓A上的動點，線段P5的中垂線交

PA于點Q,求動點。的軌跡方程。

【例4.］過點（。,1）的直線/與橢圓/+?=1相交于A］兩點‘求”中點”的軌跡方

程。

專題練習

1.在平面直角坐標系X。》中，點A（0,l）,B（0,4）,若直線2x—y+m+0上存在點尸，使得

PM=耳則實數m的取值范圍為.

2.已知尸（4,—2）,Q為圓0:/+/=4上任意一點，線段PQ的中點為則的取值

范圍為.

3.拋物線C:/4x的焦點為尸，點A在拋物線上運動，點尸滿足瓦=—2夙則動點尸的

軌跡方程為.

4

4.已知定圓M:x2+(y+4)2=100,定點打0,4),動圓尸過定點E且與定圓M內切，則動

圓圓心尸的軌跡方程為.

5.已知定直線/:%=-2,定圓A:(x—4)2+/=4,動圓〃與直線/相切，與定圓A外切,

則動圓圓心H的軌跡方程為.

6.直線/:及+y—3f+3=0與拋物線/=4x的斜率為1的平行弦的中點軌跡有公共點，

則實數t的取值范圍為.

7.拋物線/=4y的焦點為過點M(0,-1)作直線/交拋物線于兩點，以A居3歹為

鄰邊作平行四邊形FARB,求頂點R的軌跡方程。

22

8.如圖，在平面直角坐標系X。》中，已知直線/與橢圓C:g+g=l相交于兩點,

。為坐標原點。

(1)若直線/的方程為x+2y—6=0,求血?萬的值；

(2)若蘇?怎=—12,求線段的中點M的軌跡方程。

5

直線過定點問題

解題技巧

證明動直線在一定的條件下過定點是解析幾何中的一類重要題型，這類問題解題一般有兩

種解法.

【法1】設直線，求解參數，一般的解題步驟為：

⑴.設出直線的方程y=kx+b或x=沖+/；

(2).通過題干所給的已知條件，進行正確的運算，找到左和仇機和f的關系，或者解出b,t

的值；

6

⑶根據(2)中得出的結果，找出直線過的定點.

【法2】求兩點，猜定點，證向量共線。一般的解題步驟為：

(1).通過題干條件，求出直線上的兩個點4,3的坐標(含參)；

(2).取兩個具體的參數值，求出對應的直線并求出它們的交點尸，該點即為直線過的

定點；

⑶證明麗與麗共線，得出直線過定點尸。

注：上面的兩個解法中，解法2的計算量通常要大一些，故一般首選解法1.當解法1失效

或處理起來較為復雜時再考慮解法2.

7

【例一】已知橢圓C:1+與=l（a〉6〉o）的半焦距為C,離心率為,，左頂點A到直線

ab2

2

x=L拄距離為6,點P,Q是橢圓上的兩個動點。

c

（1）求橢圓。的方程；

（2）若直線APLAQ,求證：直線PQ過定點R,并求出R點的坐標。

【例二.】已知一動圓經過點M（2,0）,且在y軸上截得的弦長為4,設該動圓圓心的軌跡為曲

線C。

（1）求曲線。的方程;

8

（2）過點N（1,O）任意作兩條互相垂直的直線小右，分別交曲線。于不同的兩點和

E,設線段AB,DE的中點分別為P,Q.

①求證：直線P。過定點R,并求出定點R的坐標；

②求的最小值。

專題練習

1.設橢圓石：5+25=1（。＞人＞0）的右焦點到直線x—y+2jI=0的距離為3,且過點

ao

（1）求E的方程；

（2）設橢圓E的左頂點是A,直線/:%一沖一/=0與橢圓E交于不同的兩點M,N（均

不與A重合），且以為直徑的圓過點A。試判斷直線/是否過定點，若是，求出定點坐

標；若否，說明理由。

9

2.橢圓C:=+T=l(a>b>0)的上頂點為6,右焦點為E,點3/都在直線

ao

,\[3x+y--\/3—0上o

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)為橢圓。上的兩點，且直線的斜率之積為,，證明：直線MN過定

4

點，并求定點坐標。

10

3.拋物線。：丁2=2。乂〃>0）上一點”（1,即*%>0）滿足|“典=2,其中尸為拋物線

的焦點。

（1）求拋物線C的方程；

（2）設直線和Mfi分別與拋物線C交于不同于"點的A,3兩點，若證

明：直線過定點，并求此定點的坐標。

4.已知直線/的方程為y=x+2,點尸是拋物線y2=4x上距離直線/最近的點，點A是

拋物線上異于點P的點，直線AP與直線/交于點Q,過點。與x軸平行的直線與拋物線交

于點8O

11

(1)求尸點的坐標；

(2)證明：直線A3恒過定點，并求這個定點的坐標。

園錐曲線中的定值問題

解題技巧

1.在圓錐曲線問題中，定值問題是常考題型,解題的一般步驟為:

12

(1)設出直線的方程y=kx+〃或％=沖+八點的坐標；

(2)通過題干所給的已知條件，進行正確的運算,將需要用到的所有中間結果(如弦長、距

離等)表示成直線方程中引入的變量，通過計算得出目標變量為定值

2.解析幾何大題計算過程中經常用到弦長公式,下面給出常用的計算弦長的公式：

(1)若直線AB的方程設為y=kx+m,％),B(x2,y2\則

—

|A5|=Jl+k??[X]x2|=Jl+，2?J(X1+)2-4X/2=Jl+，2?

回

(2)若直線AB的方程設為x=rvy+t,A(Xl,必),B(x2,%),，則

|A目=71+m2?一上|=Vl+m2?+4%%=Vl+m2?旨

注:其中。指的是將直線的方程代入圓錐曲線方程后，化簡得出的關于x或y的一元二

次方程的平方項系數，△指的是該方程的判別式.通常用|A耳=石笆.甘或

rl

|A圈=』1+而?g計算弦長較為簡便

【例1.】設拋物線。：/=羽直線/經過點(2,0)且與拋物線交于A、5兩點，證

明：次?麗為定值。

13

【例2.]已知橢圓C:，+[=l(a〉6〉0)的離心率為

ab’

J3

-y,A(a,Q),B(0,6),0(0,0),AA05的面積為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設P為。上一點，直線PA與y軸交于點直線？B與x軸交于點N.求證:

?怛為定值。

專題練習

22

Xy=l(a>b>0)的離心率為字，且過點(、歷,1)。

1.已知橢圓。：丁+

a

(1)求橢圓。的方程;

(2)設P是橢圓C長軸上的動點，過P作斜率為弓的直線/交橢圓C于A,3兩點,求證:

歸甲+儼@2為定值。

14

2.已知點P（l,o）,直線=。為平面上的動點，過尸作直線/的垂線，垂足為點。,

且灰礪=京而。

（1）求動點P的軌跡。的方程;

（2）過點尸的直線交軌跡C與A,3兩點，交/于點若阪4=44工M3=；123/，

求％+石的值。

15

3.已知拋物線C:/=2Px經過點尸（1,2）過點2（0,1）的直線/與拋物線C有兩個不同的交

點且直線？A交y軸于V,直線交y軸于N。

（1）求直線/的斜率的取值范圍；

---?------?--?11

（2）設。為原點，QM=AQO,QN=jLtQO,求證：:+一為定值。

A〃

22

4.已知橢圓￡:、+5=1（。>/7>0）的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個

a1b1

頂點，直線/:丁=一X+3與橢圓E有且只有一個公共點7\

16

（1）求橢圓E的方程及點T的坐標；

（2）設。為坐標原點，直線廠平行于。丁，與橢圓E交于不同的兩點A,5,且與直線/交

于點P,證明：存在常數4,使得伊12=川胡.歸同，并求;t的值。

22

5.在平面直角坐標系中，橢圓。：一+二=l(a>Z?>0)過點1右焦點為41,0）,

erb2

過焦點尸且與x軸不重合的直線與橢圓。交于A,3兩點，點6關于原點的對稱點為尸，直

線分別交直線％=4于V,N兩點。

（1）求橢圓。的方程；

（2）若8的坐標為,求直線？A的方程;

（3）記A/,N兩點的縱坐標分別為VM/N，問：YMYN是不是定值?

17

6.過拋物線產=4光上一定點。（2,2后）作兩條直線分別交拋物線于不與尸重合的

■（和為），夙孫為）兩點。

（1）求該拋物線上縱坐標為1的點到其焦點的距離d；

（2）當75A與的傾斜角互補時，證明直線AB的斜率為非零的常

數，并求出此常數。

18

因錐曲線中的最值問題

解題技巧

求最值（范圍）問題是圓錐曲線常考題型,這類題解題的一般步驟是：

⑴設出直線的方程y=左％+6或1="9+八點的坐標；

（2）將直線的方程代入圓錐曲線中，計算弦長、點到直線的距離等中間量;

⑶將求范圍的目標量表示成直線中引入的參數的函數關系式；

⑷運用函數、均值不等式等基本方法求出最值（范圍）.

19

【例1.】已知點A（0,-2）,橢圓E:5+當=1（。〉6〉0）的離線率為四，E是橢圓

ab2

的焦點，直線Ab的斜率為迪，O為坐標原點。

3

（1）求E方程；

（2）設過點A的直線/與E相交于P,Q兩點，當AOPQ的面積最大時，求/的方

程。

專題練習

20

1.在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0,—l）,3點在直線y=—3上，M點滿足

MBHOA^MA9~AB=MB9~BA,M點的軌跡為曲線C。

（1）求。的方程；

（2）尸為。上的動點，/為。在P點處的切線，求。點到/距離的最小值。

2.已知橢圓匕=l（a>0）的一個焦點為尸（一1,0）,左、右頂點分別為A,3經

a3

過點廠的直線/與橢圓M交于C,。兩點。

（1）求橢圓的方程；

（2）記AA5D與AABC的面積分別為防和與，求圖一S21的最大值。

21

3.已知拋物線C:九2=2py(p>0),過其焦點作斜率為1的直線/與C交于M,N兩點,

\MN\=16□

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知動圓尸的圓心在C上，且過定點。(0,4),若動圓尸與x軸交于A,3兩點，

r)A

\DA\<\DB\,求防的最小值。

22

4.已知橢圓C:'+'=l(a>b>0)的左、右焦點分別為與，為，左頂點為4,離心

a1b1

J?J?-1

率為三，點B是橢圓上的動點，AAB瓦面積的最大值為七一。

(1)求橢圓。的方程；

(2)設經過點的直線苴的直線/與橢圓。相交于不同的兩點M,N,線段MN的中垂

線為若直線/'與/相交于點P,與直線x=2相交于點Q,的最小值。

23

5.設圓P+y2+2九-15=0的圓心為A,直線/過點3(1,0)且與X軸不重合，/交圓A

于C,。兩點，過B作AC的平行線交于點E。

(1)證叫￡4|+|班|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

(2)設點E的軌跡為曲線Q,直線/交G于M,N兩點，過8且與/垂直的直線與圓A

交于P,。兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

6.已知橢圓G:亍+y2=1,過點(m,0)作圓/+廿=1的切線/交橢圓G與A,8兩點。

(1)求橢圓G的焦點坐標和離心率；

(2)將表示為m的函數，并求|A同的最大值。

24

7.如圖，已知點M1，O)為拋物線V=2py(p>0)的焦點，過廠的

直線交拋物線與4,3兩點，點。在拋物線上，使得AABC的重心G

在x軸上，直線AC交x軸于點。，且。在點E右側，記

AAFG,ACQG的面積分別為,S?。

(1)求p的值及拋物線的準線方程;

(2)求區的最小值及此時點G的坐標。

52

25

常見幾何關系的代數化方法

解題技巧

解析幾何的基本思想是用代數的方法研究幾何問題，因此，積累一些

常見的幾何關系的代數化方法是有必要的，本專題歸納了一些常見的

幾何關系的處理方法：

26

(1)以AB為直徑的圓過點PoR4?尸3=0;

(2)點P在以AB為直徑的圓內o西.而＜0;

(3)點P在以AB為直徑的圓外o西?麗〉0;

(4)四邊形PQRS為平行四邊形o對角線PR與QS互相平分；

(5)四邊形PQRS為菱形o對角線PR與QS互相垂直平分；

(6)四邊形PQRS為矩形o對角線PR與QS互相平分且相等；

(7)|尸曰=|尸目=而?Q=0,其中M為AB的中點；

(8)直線AB與直線MN關于水平線或豎直線對稱o*+GN=。；

(9)F為APQM的垂心。麗?麗=0、礪?瓦7=0且加?而=0.

27

【例一】已知圓C：(X+1)2+V=12及點F(l,0),點P在圓上，M,N分別為PF,

PC上的點，且滿足河江=而，加?而=0.

(1)求N的軌跡W的方程；

(2)是否存在過點F(1,0)的直線/與曲線W相交于A,B兩點，并且與曲線W

上一點Q,使得四邊形0AQB為平行四邊形？若存在，求出直線/的方程；若不存

在，說明理由。

一X

【例二】在直角坐標系xOy中，曲線C:y=1與直線I:=kx+a(a>0)交于M,N

兩點。

(1)當上=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

(2)在y軸上是否存在點P,使得當k變動時，總有NOPM=NOPN?說明理由。

28

專題練習

1.已知A,B,C是橢圓亞：一+丫2=1上的三個點，。是坐標原點。

4'

（1）當點B是W的右頂點，且四邊形。43C為菱形時，求此菱形的面積；

（2）當點B不是W的頂點，判斷四邊形。45c是否可能為菱形，并說明理由;

29

22

2.已知橢圓=+二=l（a〉6〉0）的右焦點為尸，上頂點為M,。為坐標原點，若

ab

△ONE的面積為工，且橢圓的離心率為遮。

22

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在直線/交橢圓于P,。兩點，且E點恰為APQM的垂心？若存在，

求出直線/的方程；若不存在，說明理由。

30

3.直線/:x+y+8=0,圓0:爐+/=36,其中。是坐標原點，橢圓

4+￡=1(°>“0)的離心率為e="，直線/被圓。截得的弦長與橢圓C的長軸

ab2

長相等。

(1)求橢圓。的方程；

(2)過點(3,0)的直線r與橢圓C交于A,3兩點，設函=而+方.是否存在

直線/'，使|OS|=|A目？若存在，求出直線/'的方程；若不存在，說明理由。

31

22

4.設耳,工分別是橢圓E:=+1=l(a>b>0)的左、右焦點，過與作斜率為1的

ab

直線/與E相交于A,3兩點，且|A片A耳忸閭成等差數列。

(1)求橢圓E的離心率；

(2)設點尸(0,-1)滿足|叫=|尸耳求E的方程。

5.已知橢圓C:9x?+_/=根2(根〉0),直線/不過原點。且不平行于坐標軸，/與。

有兩個交點A,3,線段A3的中點為

(1)證明：直線的斜率與/的斜率的乘積為定值；

(2)若/過點［/即)，延長線段與。交于點尸四邊形OAP5能否為平行四

32

邊形？若能，求此時/的斜率；若不能，說明理由。

22

6.設分別為橢圓二+當=1(“＞匕＞0)的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦

ab

距，且過點血，手;

(1)求橢圓的方程；

(2)設P為直線％=4上不同于點(4,0)的任意一點，若直線AR5P分別與

橢圓相交于異于的點證明：點6在以MN為直徑的圓內。

33

點差法解決中點弦問題

解析技巧

設直線與圓錐曲線交于A,3兩點，中點為這類與圓錐曲線的弦和弦中點有關

的問題，一般叫做中點弦問題，點差法是解決中點弦問題的重要方法。其解題的一般步

驟是：

（1）設兩點的坐標分別為A（無］,?）、3（X2，、2）；

（2）代入圓錐曲線的方程；

yM=力+-2

（3）將所得方程作差，結合中點公式［”2、斜率公式3B='二2等化簡，

尤_'+-2刈一冏

改-2

得出結果。

34

【例一】已知雙曲線＞2=1,點尸（4,1）是雙曲線一條弦的中點，則該弦所在直

線的方程為.

X01

【例二】已知橢圓一+產=1上兩個不同的點43關于直線y=m+—對稱，求實數

22

m的取值范圍。

專題練習

22

1.過橢圓器+Y=1內一點“（2,1）引一條弦AB，使弦A3被〃點平分，則直線AB的

方程為.

2.已知拋物線C:y2=6x,過點尸（4,1）引拋物線C的一條弦AB，使該弦被P點平分，

35

則這條弦所在直線的方程為.

3.已知拋物線C的頂點在原點，準線方程為x=—1,直線/與拋物線C交于M,N兩點"

線段的中點為（1,1）,則直線/的方程為.

4.橢圓_?+今2=36的弦43被點（4,2）平分，則直線的方程為.

5.已知拋物線。：/=2*（；?>0）的焦點為尸，過點R（2,l）的直線/與拋物線。交于

+=5

兩點，>|7M|=|7?4IMIFSI-則直線/的斜率為（）

A.-B.lC.2D.-

22

22

6.橢圓C:二+”=1的斜率為3的弦的中點"的軌跡方程為.

42

7.拋物線C:y2=龍上存在不同的兩點關于直線/:y=/”（x-3）對稱，則實數機的

取值范圍為.

8.已知橢圓C:9_?+y2=m2（m>0）,直線/不過原點。且不平行于坐標軸，/與C有

兩個交點線段AB的中點為V。證明：直線。河的斜率與/的斜率的乘積為定

值。

36

9.已知雙曲線”一千=1,是否存在過點尸（1,1）的直線/與雙曲線交于A,3兩點，且P

恰為的中點？

10.已知橢圓E:+卷=1（。＞人＞0）的半焦距為c,原點。到經

a1b1

過兩點（c,0）,（0,b）的直線的距離為；。

（1）求橢圓E的離心率;

37

(2)如圖，是圓M:(x+2)2+(y—l)2=g的一條直徑，若橢圓E經過兩點,

求橢圓E的方程。

圓錐曲線中的非對稱韋達定理問題處理技巧

解析技巧

在圓錐曲線問題中，將直線的方程與圓錐曲線方程聯立，消去工或丁，得到關鍵方程(不

妨設方程的兩根為刈和弱)，結合韋達定理來進行其他的運算是常見的解題方法。能

X]+—---1---

夠利用韋達定理計算的量一般有修等，但在某些

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問題中，可能會涉及需計算兩根系數不相同的代數式，例如，運算過程中出現了

勺-2X2,2丑+3均等結構，且無法直線通過合并同類項化為系數相同的情況處理，像這

種非對稱的韋達定理結構，通常是無法根據韋達定理直接求出的，那么一般的處理方法

是局部計算、整體約分。需要通過適當的配湊，將分子和分母這種非對稱的結構湊成一

致的，剩下的一般可以轉化為對稱的韋達定理加以計算，最后通過計算，發現分子、分

母可以整體約分，從而解決問題。下面通過幾個例題來詳細介紹這類的解題方法。

1.平面內有兩定點A(O,-1),5(0,1),曲線C上任意一點M(x,y)都滿足直線AM與直線

的斜率之積為-g,過點F(l,0)的直線/與橢圓交于兩點，并與y軸交于點P,

直線AC與6D交于點Q.

(1)求曲線C的軌跡方程；

(2)當點P異于兩點時，求證：麗?麗為定值。

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【例1.】已知橢圓C:工+斗=1(。〉6〉0)過點P(2,石，且離心率為先.

ab2

(1)求橢圓。的方程；

(2)設橢圓C的上、下頂點分別為A3,過點(0,4)斜率為左的直線與橢圓。交于V,N

兩點。求證：直線5M與AN的交點G在定直線上。

【例2.】橢圓有兩個頂點A(-1,0),5(1,0),過其焦點廠(0,1)的直線/與橢圓交于C,。兩點，

并與尤軸交于點P,直線AC與交于點Q.

(1)當|C"=半時，求直線/的方程;

（2）當p點異于兩點時，證明：OP?OQ為定值。

專題練習

1.已知A,3分別是橢圓彳+V=1的右頂點和上頂點，C,。在橢圓上，且CD〃A瓦

設直線AC,5。的斜率分別為的和42,證明：后左2為定值。

41

2.已知橢圓C:、+5=l(a>b>0)的左、右焦點分別為用(―c,0),為(c,O),M,N分

abz

V3

別為左、右頂點，直線/:x=)+l與橢圓。交于A,3兩點，當/=—：-時，A是橢圓C

的上頂點，且AA?約的周長為6.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設直線AM,5N交于點T,求證：點T的橫坐標打為定值。

42

3.已知產為橢圓?+q=1的右焦點，A,3分別為其左、右頂點，過E作直線/交橢

圓于不與4,3重合的監N兩點，設直線AM,3N的斜率分別為月和心，求證：與為

一比2

定值。

43

園錐曲線中的三點共線問題

解題技巧

平面解析幾何中三點共線相關問題

44

三點共線問題是高考的熱點問題，大題小題都有涉及。這類題處理的方法一般來說有兩個:

①斜率相等；②向量共線。

證明三點共線問題的解題步驟：

（1）求出要證明共線的三點的坐標；（如果已給出，則無需這一步）

（2）運用斜率相等或向量共線來證明三點共線。

特別提醒：三點共線問題的兩個處理方法中，向量共線往往更方便，因為無需考慮斜率不存

在的情形，所以大題一般用向量共線，小題用斜率相等。

1丫，

【例1.1拋物線G：y=——/（〃〉0）的焦點與雙曲線c,：上—/=1的右焦點的連線交

2p3

G于第一象限的點"，若G在點”處的切線平行于的一條漸近線，則〃=（）

【例2.】已知拋物線V=4x的焦點為過尸的直線交拋物線于A,8兩點，設中點

為M,A,B,M在拋物線的準線上的射影分別為C,D,M

（1）求直線尸N與直線AB所成的夾角。的大小；

（2）證明：3,0,。三點共線。

45

專題習題

O?22

1.拋物線G：/=京'的焦點廠與雙曲線。2：?—方=1出〉0）的右焦點丁的連線交

G于第一象限的點四，若G在點/處的切線平行于02的一條漸近線，則沙=（）

A.2B.V3C.V2DA

22

2,已知橢圓土+匕=1的右焦點為E，設直線/:x=5與X軸的交點為E,過點尸的直

54

線4與橢圓交于A,3兩點，/為線段￡歹的中點。

（1）若直線4的傾斜角為45°,求的面積S；

（2）過點8作直線3N，/與點N,證明：A,M,N三點共線。

46

3.已知橢圓E：I+當=1（。〉6〉0）的右焦點為橢圓的上頂點和兩焦點的連線構成

ab

一個等邊三角形，且面積為

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）若直線/:%="y+q（根wO）與橢圓E1交于不同的兩點設點A關于橢圓長軸的

對稱點為A，試求A,尸,B三點共線的充要條件。

4,已知橢圓M:=+當=1（。〉6〉0）的離心率為—,焦距為2JL斜率為k的直線I與

a~b3

橢圓/有兩個不同的交點A,Bo

（1）求橢圓M的方程；

（2）若左=1,求目的最大值；

（3）設P（-2,0）,直線PA與橢圓〃的另一個交點為C,直線P5與橢圓M的另一個交點

47

71

為。，若C,。和點。（-一,一）共線，求左.

44

5.已知曲線C:（5—根）/+（加一2）/=8（根eR）.

（1）若曲線。是焦點在x軸上的橢圓，求的取值范圍；

（2）設機=4,曲線C與y軸的交點分別為A,3（點A位于點8的上方），直線y=kx+4

與曲線C交于不同的兩點”,N,直線y=l與直線交于點G,求證：A,G,N三點共線。

48

6.已知兩個定點M（—1,O）,N（1,O）,動點P滿足戶用=四忸2。

（1）求動點尸的軌跡。的方程；

（2）過點〃的直線/與曲線C交于不同的兩點A,3,設點A關于x軸的對稱點為。

（A,Q兩點不重合），證明：3,N,。三點在同一直線上。

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50

巧用曲線系方程解決圓錐曲線中的四點共圓問題

解題技巧

圓錐曲線中的四點共圓問題在高考中是一大難點，應用曲線系方程可以很好地解決這類問題。

1.曲線系方程：設/(x,y)=O和g(x,y)=O分別表示平面上的兩條曲線，則經過兩曲線

交點的曲線系方程可以為"(x,y)+g(x,y)=0.

2.高考中常見的四點共圓問題是兩條直線與圓錐曲線交于不同的四點，判斷四點是否在同

一圓上，如果是，需求出圓的方程。應用曲線系方程求解這類四點共圓問題的解題步驟是：

(1)設經過圓錐曲線和兩直線交點的曲線系方程為"(x,y)+g(x,y)=0.,其中

f(x,y)=0表示圓錐曲線方程，g(x,y)=0表示兩直線構成的曲線的方程；

(2)將"(x,y)+g(x,y)=0.展開，合并同類項，與圓的一般方程

/+/+以+或+/=()比較系數，求出；I的值；

(3)將2反代回方程4(左,丁)+8(%,y)=0.的展開式，化為圓的標準方程，從而得出四點

共圓且求出了圓的方程。

3.圓錐曲線中四點共圓問題的結論：設兩條直線和圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)交

于四點，則四個交點在同一個圓上的充要條件是兩直線的傾斜角互補。

【例1.】已知拋物線C:/=4x的焦點為經過點p且斜率為1的直線/與拋物線C交

于4,3兩點，線段A3的中垂線和拋物線C交于兩點，證明A,5,M,N四點共圓，

并求出該圓的方程。

51

【例2.]設橢圓E:]+/=l的右焦點為經過點E且斜率為左的直線/與橢圓C交

于A,3兩點，直線y=2x與橢圓E交于C,。兩點，若A,dC,。四點共圓，求左的值以及

該圓的方程。

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【例3.］已知T(g,O),Q是圓尸：(x+0)2+/=16上一動點，線段。T的中垂線與直線

PQ交于點S.

(1)求動點S的軌跡的E方程；

(2)過點(1,0)且斜率為2的直線4與軌跡E交于A,3兩點,過原點且斜率為-2的直線6與

軌跡E交于M,N兩點，判斷A,5,四點是否在同一圓上，若是，求出圓的方程。

專題練習

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1.已知拋物線E:V=8x的焦點為R,過E作兩條互相垂直的直線分別與拋物線E交于

和3,。.問：A,3,C,￡>四點是否共圓？若是，求出圓的方程；若不是，說明理由。

2.已知雙曲線。：三—[=1（。〉0,6〉0）的一條漸近線方程為百》—2>=0,且過點

ab

（4,3）.

（1）求雙曲線。的方程；

（2）斜率為-；的直線4過點（-1,0）且與雙曲線C交于A,3兩點，斜率為左的直線4過原

點且與雙曲線。交于M,N兩點，若四點是否在同一圓上，求左的值及該圓的

方程。

54

3.已知拋物線C:/=2px(p〉0)的焦點為尸，直線y=4與y軸的交點為P,與C的交

點為。，且耳=：|尸@

(1)求C的方程；

(2)過尸的直線/與C相交于A,3兩點，若的垂直平分線與C相交于M,N兩點，且

A,M,3,N四點在同一圓上，求/的方程。

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拋物線中的阿基米德三角形

解題技巧

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阿基米德三角形：如圖，拋物線的一條弦以及弦端點處的兩條切線所圍成的三角形，叫做拋

物線中的阿基米德三角形。下面給出阿基米德三角形的一些常見性質。

如圖，不妨設拋物線為；？=2py（夕>0）,拋物線上A,3兩點處的切線交于點P,則

（1）設43中點為河，則平行（或重合）于拋物線的對稱軸；

（2）的中點S在拋物線上，且拋物線在S處的切線平行于弦A5；

（3）若弦A3過拋物線內的定點。，則點尸的軌跡是直線；特別地，若弦A6過定點

（0,>0）,則點P的軌跡是直線y=—m；

（4）若弦A3過拋物線內的定點Q,則以。為中點的弦與（3）中P點的軌跡平行；

（5）若直線/與拋物線沒有交點，點P在直線/上運動，則以尸為頂點的阿基米德三角形

的底邊過定點；

（6）若過焦點/，則P點的軌跡為拋物線準線，PAI.PB,PF±AB,且APA5面積

的最小值為p2；

（7）NPFA=NPFB；

（8）\AF\-\BF\=\PF^.

很多高考試題都以阿基米德三角形為背景命制，熟悉這些性質對解題是有必要的，下面通過

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實例來證明上面的部分結論。

【例一】已知拋物線C:九2=4y的焦點為尸，拋物線上A,3兩點處的切線交于點尸，AB

中點為河O

(1)證明：尤軸；

(2)設尸M的中點為S,證明：S在拋物線上，且拋物線在S處的切線平行于直線AB；

(3)證明：NPFA=NPFB；

(4)證明：斗忸耳=歸葉

(5)若A3過點求點尸的軌跡E的方程；當。恰為A6中點時，判斷與軌跡

E的位置關系；

(6)若過點尸，求點尸的軌跡方程，并證明以_1。5,。/_1_4區求出八以5面積的

最小值。

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【例二】已知拋物線C:x2=4y的焦點為尸，點尸是直線/:y=x—