松江區(qū)2024學(xué)年度第二學(xué)期模擬考質(zhì)量監(jiān)控試卷高三數(shù)學(xué)（滿分150分，完卷時(shí)間120分鐘）2025.04考生注意： 1.本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，做在試卷上一律不得分。 2.答題前，務(wù)必在答題紙上填寫(xiě)座位號(hào)和姓名。 3.答題紙與試卷在試題編號(hào)上是一一對(duì)應(yīng)的，答題時(shí)應(yīng)特別注意，不能錯(cuò)位。一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）1.已知集合A={?1,0,2.拋物線C:3.若復(fù)數(shù)z滿足1+iz=i4.已知空間向量a=(2,λ,3)5.3x26.根據(jù)右表所示的樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法求得線性回歸方程為y=ax7.有4輛車(chē)停放在5個(gè)并排車(chē)位上，客車(chē)甲車(chē)體較寬，停放時(shí)需要占兩個(gè)車(chē)位，并且乙車(chē)與客車(chē)甲相鄰?fù)７牛瑒t共有____種不同的停放方法。8.在定向越野活動(dòng)中，測(cè)得甲在乙北偏東80°的方向，甲乙兩人間的距離為2km，丙在乙北偏西40°的方向，甲丙兩人間的距離為7km9.已知點(diǎn)P為直線l:x+y+1=0上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓N10.如圖在三棱錐P?ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，定義f(M)=(m,n,11.設(shè)向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，記12.設(shè)a∈R，若函數(shù)f(x)=二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13~14題每題4分，第15~16題每題5分)每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號(hào)涂黑。13.設(shè)a,b,c,d∈R，則“a+c>b+d”是“a14.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上為嚴(yán)格增函數(shù)的奇函數(shù)的是（）

A.y=ln|x|B.y=|x?1|15.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=A.四棱錐P?A1ABB1 B.四棱錐P?A1AC16.定義在(0,+∞)上的函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)=f(x)?x，當(dāng)0<x≤1A.①是真命題，②是假命題 B.兩個(gè)都是真命題

C.①是假命題，②是真命題 D.兩個(gè)都是假命題

三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟。17.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。已知函數(shù)y=Asin(2x+φ)，A>0，0<φ<π，當(dāng)x=π6時(shí)函數(shù)取得最大值4，記y=f(x)。

（1）求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式；

（2）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a2=f(0)，a4=f18.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。已知梯形PBCD中，PD∥BC，E為PD上的一點(diǎn)且BE?PD，PE=BE=1，BC=12ED，將△PBE沿BE翻折使得二面角P?BE?C的平面角為θ，連接PC、PD，F(xiàn)為棱PD19.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。某校組織學(xué)生在周末時(shí)間利用DeepSeek等人工智能平臺(tái)進(jìn)行線上學(xué)習(xí)，但要求學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間不超過(guò)4小時(shí)。現(xiàn)從該校高三學(xué)生某周末的線上學(xué)習(xí)時(shí)間統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取100個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行分析，繪制成如下頻率分布直方圖。以抽取的100個(gè)學(xué)生該周末線上學(xué)習(xí)時(shí)間作為樣本，估計(jì)該校高三年級(jí)全體學(xué)生周末線上學(xué)習(xí)時(shí)間的情況。

（1）試估計(jì)該校高三學(xué)生周末線上學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)x及中位數(shù)x0（注：為了計(jì)算均值，可用區(qū)間的中點(diǎn)值給區(qū)間內(nèi)的每個(gè)數(shù)據(jù)賦值）

（2）現(xiàn)從全部高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取n人。若其中有4人周末線上學(xué)習(xí)的時(shí)間不小于3小時(shí)的可能性最大，求n的值。

20.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分。

已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上下頂點(diǎn)分別為B1、B2。ΔB1F1F2是面積為3的正三角形，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓Γ于P、Q兩點(diǎn)（21.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分。

已知f(x)=ln(x?1)+2ax?43，a∈R。

（1）若x=4是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)松江區(qū)2024學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控試卷高三數(shù)學(xué)答案一、填空題1.{1,2} 2.4 3.2 4.1 5.135 7.12 8.1 9.23 10.1 11.[0,二、選擇題：BDDA三、解答題17.解：(1)由題意x=π6時(shí)f(x)取得最大值4，∴A=44sin(2×π6+φ)=4，∴f(x)=4sin(2x+π6). (2)∵a2=f(0)=2，a4=f(π6數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴an=n. 則bn=2an=2所以Tn=2(1?2n)1?2=2n+118.（1）解法一：取PE的中點(diǎn)G，連接BG、FG，因?yàn)辄c(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn)，所以FG∥DE且FG=12DE，因?yàn)锽C∥DE且BC=12所以四邊形BCFG為平行四邊形，BG∥FC， 因?yàn)锽G?平面PBE，F(xiàn)C不在平面PBE上，所以FC∥平面PBE. 解法二：取ED的中點(diǎn)M，連接CM、FM，因?yàn)辄c(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn)，且BC=12ED，所以所以FM∥平面PBE，CM∥平面PBE. 因?yàn)镕M?平面CFM，CM?平面CFM，且所以平面CFM∥平面PBE. ???因?yàn)镕C?平面CFM，所以FC∥平面PBE. （2）過(guò)點(diǎn)F作FH?ED于點(diǎn)H，連接因?yàn)锽E?平面PDE，所以BE因?yàn)锽E?平面BCDE，ED?平面BCDE，且所以FH?平面BCDE. ???所以∠FCH就是直線FC和平面BCDE由題意得：二面角P?BE?由（1）解法二，易得∠FMD在Rt△FHM中，由∠FMH=π3，F(xiàn)M=12，得FH在Rt△BEG中，由EG=12，BE=1，得BG=5在Rt△FHC中，由sin∠FCH即得直線FC和平面BCDE所成角為arcsin1510. 19.解：（1）x x0=3+14×12=3.125. （2）解：樣本中線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于3小時(shí)頻率為(45+25)×記X為從n人中抽取的線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于3小時(shí)的人數(shù)，則P(n,k)=Cnk(由Cnk(35)k(25)n解得3n?25≤k≤3n+35. 由題意3n?25≤4≤3n+3所以，當(dāng)n=6或n=7時(shí)，其中有4人周末線上學(xué)習(xí)的時(shí)間不小于3小時(shí)的可能性最大. 20.（1）設(shè)橢圓C的焦距為|F1F因?yàn)閨OB1|=b又因?yàn)棣1F1F所以橢圓的離心率e=ca=12. （2）設(shè)R(由于正三角形F1F2B1得：c=1，b=3，又所以橢圓方程為：x24+y23=1. |當(dāng)0<m≤33，y=?3m時(shí)，|RM|當(dāng)m>33，y=?3時(shí)，|RM|max=m+3（3）設(shè)直線PQ為x=ty+1或y=x=ty+1x24+y記四邊形B1QPB2面積為S=則x1+x解得?33<t<33， 則S==32[t(?6t3t令43+6由于60<6+43所以S∈(835,32+3]. 21.解： （1）f′(x)=1代入得f′(4)=13?2a42=0，解得a=8將a=83代入y=f得點(diǎn)P處的切線方程為y=ln3. （2）函數(shù)y=f(x)令f′(x)=0，可得x2?2ax+2a=0，由△=4a2?8a=0，解得a=2或a=0， ①若0≤a≤2，此時(shí)△≤0所以函數(shù)y=f(②若a>2，此時(shí)△>0x1=a+a所以函數(shù)y=f(x)在(a③若a<0，此時(shí)△>0x1=a+a2?2a，綜上所述：當(dāng)a≤2時(shí)，函數(shù)y=當(dāng)a>2時(shí)，函數(shù)y=f(在(a?a2?2a,a+a2?2a （3）由題得f(x)=ln(x?1)?43，要證x1<1+kk<x2，即證x1?1<1k即證x1此式等價(jià)于1<x2?1x1?1?1lnx2?1x1?1<令t=x2?1由t>1知，lnt>0，故上式等價(jià)lnt<t?1<tlnt(t>