PAGEPAGE1課下層級訓練(四十七)直線與橢圓的綜合問題[A級基礎強化訓練]1．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，且|AB|＝3，則C的方程為()A．eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【答案】C[設橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則c＝1.因為過F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點，且|AB|＝3，所以eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2)，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.]2．(2024·山東棗莊檢測)過橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為()A．eq\f(4,3) B．eq\f(5,3)C．eq\f(5,4) D．eq\f(10,3)【答案】B[由題意知橢圓的右焦點F的坐標為(1,0)，則直線AB的方程為y＝2x－2.聯立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,y＝2x－2，))解得交點坐標為(0，－2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(4,3)))，不妨設A點的縱坐標yA＝－2，B點的縱坐標yB＝eq\f(4,3)，∴S△OAB＝eq\f(1,2)·|OF|·|yA－yB|＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2－\f(4,3)))＝eq\f(5,3).]3．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點坐標是M(－4,1)，則橢圓的離心率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(5),5)【答案】C[設直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程，由點差法可知yM＝－eq\f(b2,a2k)xM，代入k＝1，M(－4,1)，解得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(3),2).]4．已知橢圓E的左、右焦點分別為F1，F2，過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P，Q兩點，若△PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為()A．eq\f(\r(5),3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)【答案】A[由題意可知，∠F1PF2是直角，且tan∠PF1F2＝2，∴eq\f(|PF2|,|PF1|)＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝eq\f(2a,3)，|PF2|＝eq\f(4a,3).依據勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a,3)))2＝(2c)2，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).]5．(2024·山東濟寧模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)及點B(0，a)，過點B與橢圓相切的直線交x軸的負半軸于點A，F為橢圓的右焦點，則∠ABF＝()A．60° B．90°C．120° D．150°【答案】B[由題意知，切線的斜率存在，設切線方程y＝kx＋a(k>0)，與橢圓方程聯立，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋a，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y整理得(b2＋a2k2)x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0，由Δ＝(2ka3)2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝eq\f(c,a)，從而y＝eq\f(c,a)x＋a交x軸于點A(－eq\f(a2,c)，0)，又F(c,0)，易知eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0，故∠ABF＝90°.]6．已知橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，點M與C的焦點不重合．若M關于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|＋|BN|＝____________．【答案】12[設MN交橢圓于點P，連接F1P和F2P(其中F1、F2是橢圓C的左、右焦點)，利用中位線定理可得|AN|＋|BN|＝2|F1P|＋2|F2P|＝2×2a＝4a＝12.]7．P為橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1上的隨意一點，AB為圓C：(x－1)2＋y2＝1的任一條直徑，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是______________．【答案】[3,15][圓心C(1,0)為橢圓的右焦點，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))·(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))·(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\o(PC,\s\up6(→))2－eq\o(CA,\s\up6(→))2＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|2－1，明顯|eq\o(PC,\s\up6(→))|∈[a－c，a＋c]＝[2,4]，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|2－1∈[3,15]．]8．橢圓Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F2，焦距為2c.若直線y＝eq\r(3)(x＋c)與橢圓Γ的一個交點M滿意∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________________．【答案】eq\r(3)－1[直線y＝eq\r(3)(x＋c)過點F1(－c,0)，且傾斜角為60°，所以∠MF1F2＝60°，從而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2．在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝eq\r(3)c，所以該橢圓的離心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2c,c＋\r(3)c)＝eq\r(3)－1.]9．(2024·山東濟南模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，其中左焦點為F(－2,0)．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線y＝x＋m與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點M在圓x2＋y2＝1上，求m的值．【答案】解(1)由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,c＝2，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(2)，,b＝2.))∴橢圓C的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1．(2)設點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點為M(x0，y0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，,y＝x＋m，))消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，Δ＝96－8m2>0，∴－2eq\r(3)<m<2eq\r(3)．∵x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(2m,3)，∴y0＝x0＋m＝eq\f(m,3)．∵點M(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2m,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,3)))2＝1，∴m＝±eq\f(3\r(5),5)．10．如圖，已知橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1的左焦點為F，O為坐標原點，設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍．【答案】解設直線AB的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0．因為直線AB過橢圓的左焦點F，所以方程有兩個不等實根，記A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點N(x0，y0)，則x1＋x2＝－eq\f(4k2,2k2＋1)，x0＝eq\f(1,2)(x1＋x2)＝－eq\f(2k2,2k2＋1)，y0＝k(x0＋1)＝eq\f(k,2k2＋1)，所以AB的垂直平分線NG的方程為y－y0＝－eq\f(1,k)(x－x0)．令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－eq\f(2k2,2k2＋1)＋eq\f(k2,2k2＋1)＝－eq\f(k2,2k2＋1)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,4k2＋2)．因為k≠0，所以－eq\f(1,2)<xG<0，所以點G橫坐標的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))．[B級實力提升訓練]11．(2024·遼寧沈陽模擬)已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為4eq\r(3)，離心率為eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓C的方程；(2)設直線l經過點M(0,1)，且與橢圓C交于A，B兩點，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，求直線l的方程．【答案】解(1)設橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，因為c＝2eq\r(3).e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝4，b＝2，所求橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1．(2)由題得直線l的斜率存在，設直線l方程為y＝kx＋1，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,16)＋\f(y2,4)＝1))得(1＋4k2)x2＋8kx－12＝0，且Δ＞0．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，得x1＝－2x2，又x1＋x2＝－eq\f(8k,1＋4k2)，x1x2＝－eq\f(12,1＋4k2)，所以－x2＝－eq\f(8k,1＋4k2)，－2xeq\o\al(2,2)＝－eq\f(12,1＋4k2)，消去x2解得k2＝eq\f(3,20)，k＝±eq\f(\r(15),10)，所以直線l的方程為y＝±eq\f(\r(15),10)x＋1．12．(2024·山東東營月考)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)過點(0，－1)，離心率e＝eq\f(\r(2),2)．(1)求橢圓的方程；(2)已知點P(m,0)，過點(1,0)作斜率為k(k≠0)直線l，與橢圓交于M，N兩點，若x軸平分∠MPN，求m的值．【答案】解(1)因為橢圓的焦點在x軸上，過點(0，－1)，離心率e＝eq\f(\r(2),2)，所以b＝1，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以由a2＝b2＋c2，得a2＝2，所以橢圓C的標準方程是eq\f(x2,2)＋y2＝1，(2)因為過橢圓的右焦點F作斜率為k直線l，所以直線l的方程是y＝k(x－1)．聯立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,2)＋y2＝1))消去y，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，明顯Δ＞0，設點M(x1，y1)，N(x1，y1)，所以x1＋x2＝eq\f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2k2－2,1＋2k2)，因為x軸平分∠MPN，所以∠MPO＝∠NPO．所以kMP＋kNP＝0，所以eq\f(y1,x1－m)＋eq\f(y2,x2－m)＝0，所以y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝0，所以k(x1－1)(x2－m)＋k(x2－1)(x1－m)＝0，所以2kx1x2－(k＋km)(x1＋x2)＋2km＝0，所以2·eq\f(2k2－2,1＋2k2)－(1＋m)·eq\f(4k2,1＋2k2)＋2m＝0所以eq\f(－4＋2m,1＋2k2)＝0，所以－4＋2m＝0，所以m＝2．13．(2024·山東德州模擬)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，過橢圓右焦點F作兩條相互垂直的弦AB與CD．當直線AB斜率為0時，AB＝4．(1)求橢圓的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝eq\f(48,7)，求直線AB的方程．【答案】解(1)由題意知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．(2)①當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|＋|CD|＝7，不滿意條件．②當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線CD的方程為y＝－eq\f(1,k)(x－1)．將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，則x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1·x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，所以|AB|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\r(k2＋1)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(12k2＋1,3＋4k2)．同理，|CD|＝eq\f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1)),3＋\f(4,k2))＝eq\f(12k2＋1,3k2＋4)．所以|AB|＋|CD|＝eq\f(12k2＋1,3＋4k2)＋eq\f(12k2＋1,3k2＋4)＝eq\f(84k2＋12,3＋4k23k2＋4)＝eq\f(48,7)，解得k＝±1，所以直線AB的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0．14．(2024·湖北荊州模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，且橢圓C過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，直線l過橢圓C的右焦點F且與橢圓C交于M，N兩點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知點P(4,0)，求證：若圓Ω：x2＋y2＝r2(r＞0)與直線PM相切，則圓Ω與直線PN也相切．【答案】(1)解設橢圓C的焦距為2c(c＞0)，依題意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，,