作業P88習題4.15(1).7.8(2)(4).9(1).10(3).P122綜合題:4.5.復習：P80——88預習：P89——955/7/20251第1頁應用導數研究函數性態局部性態—未定型極限函數局部近似整體性態—在某個區間上函數單調性、函數極值函數凸性、漸近性、圖形5/7/20252第2頁微分中值定理，包含：羅爾定理、拉格朗中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理微分中值定理是微分學理論基礎。是利用導數研究函數性質理論依據。微分中值定理共同特點是：在一定條件下，能夠斷定在所給區間內最少有一點，使所研究函數在該點含有某種微分性質。5/7/20253第3頁第八講微分中值定理一、費爾馬(Fermat)定理二、羅爾(Rolle)定理三、拉格朗日(Lagrange)定理四、柯西(Cauchy)定理5/7/20254第4頁一、費爾馬(Fermat)定理（一）極值定義：5/7/20255第5頁極值研究是微積分產生主要動力之一5/7/20256第6頁（二）費爾馬定理(極值必要條件)5/7/20257第7頁5/7/20258第8頁[證]5/7/20259第9頁5/7/202510第10頁微分中值定理引入(((5/7/202511第11頁5/7/202512第12頁5/7/202513第13頁

5/7/202514第14頁二、羅爾(Rolle)定理5/7/202515第15頁怎樣證實羅爾定理？先利用形象思維去找出一個C點來！想到利用閉區間上連續函數最大最小值定理！5/7/202516第16頁羅爾定理證實：5/7/202517第17頁5/7/202518第18頁三、拉格朗日(Lagrange)定理5/7/202519第19頁怎樣證實拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加條件:則收縮為羅爾定理；羅爾定理若放棄條件:則推廣為拉格朗日定理。知識擴張所遵照規律之一就是將欲探索新問題轉化為已掌握老問題。所以想到利用羅爾定理！5/7/202520第20頁滿足羅爾定理條件弦線與f(x)在端點處相等設函數5/7/202521第21頁拉格朗日定理證實：結構輔助函數拉格朗日中值公式5/7/202522第22頁拉格朗日公式各種形式有限增量公式5/7/202523第23頁5/7/202524第24頁推論1：[證]5/7/202525第25頁推論2：推論3：推論4：5/7/202526第26頁四、柯西(Cauchy)定理5/7/202527第27頁柯西中值定理證實：結構輔助函數5/7/202528第28頁費爾馬定理羅爾定理拉格朗日定理柯西定理5/7/202529第29頁零點問題以下證實恰好有三個根該方程實根個數就是兩條曲線5/7/202530第30頁首先證實最少有三個根計算表明依據介值定理所以方程最少有三個根然后證實方程最多有三個根用反證法5/7/202531第31頁依據洛爾定理矛盾！總而言之，方程恰好有三個實根355/7/202532第32頁直觀觀察能夠啟發思緒在第一個情形,都不是最小值所以最小值一定在區間內部到達5/7/202533第33頁[證]5/7/202534第34頁證實思緒直觀分析[例3]5/7/202535第35頁[證]依據連續函數最大最小值定理5/7/202536第36頁[證]5/7/202537第37頁445/7/202538第38頁[證]5/7/202539第39頁5/7/202540第40頁[證]5/7/202541第41頁5/7/202542第42頁5/7/202543第43頁[證]5/7/202544第44頁5/7/202545