PAGEPAGE1第10章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第4講A組基礎關(guān)1．(2024·廣東中山模擬)從1,2,3,4,5這5個數(shù)中任取兩個，其中：①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù)，上述事務中，是對立事務的是()A．①B．②④C．③D．①③答案C解析從1,2,3,4,5這5個數(shù)中任取兩個，有三種狀況：一奇一偶，兩個奇數(shù)，兩個偶數(shù)．其中至少有一個是奇數(shù)包含一奇一偶，兩個奇數(shù)這兩種狀況，它與兩個都是偶數(shù)是對立事務，而①②④中的事務可能同時發(fā)生，不是對立事務，故選C.2．把紅、黃、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四人，則事務“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”()A．是對立事務B．是不行能事務C．是互斥事務但不是對立事務D．不是互斥事務答案C解析“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不會同時發(fā)生，但可能都不發(fā)生，所以這兩個事務互斥但不對立．3．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率是eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35).則從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.eq\f(1,7) B.eq\f(12,35)C.eq\f(17,35) D．1答案C解析因為從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，所以從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率為eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).4．(2024·石家莊模擬)某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)狀況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%，則抽檢一件是正品(甲級)的概率為()A．0.95B．0.97C．0.92D．0.08答案C解析記抽檢的產(chǎn)品是甲級品為事務A，是乙級品為事務B，是丙級品為事務C，這三個事務彼此互斥，因而所求概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.5．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為()A．0.45B．0.5C．0.75D．0.8答案A解析數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為eq\f(2＋3＋4,20)＝eq\f(9,20)＝0.45.6．(2024·廣西欽州期中)依據(jù)某醫(yī)療探討所的調(diào)查，某地區(qū)居民血型的分布為O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.現(xiàn)有一血液為A型的病人須要輸血，若在該地區(qū)任選一人，那么能為病人輸血的概率為()A．15%B．20%C．45%D．65%答案D解析因為某地區(qū)居民血型的分布為：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.現(xiàn)在能為A型病人輸血的有O型和A型，故為病人輸血的概率為50%＋15%＝65%.故選D.7．擲一個骰子的試驗，事務A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”，事務B表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，若eq\o(B,\s\up6(－))表示B的對立事務，則一次試驗中，事務A∪eq\o(B,\s\up6(－))發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案C解析擲一個骰子的試驗有6種可能結(jié)果．依題意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，∴P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).∵eq\o(B,\s\up6(－))表示“出現(xiàn)5點或6點”的事務，因此事務A與eq\o(B,\s\up6(－))互斥，從而P(A∪eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).8．已知某臺紡紗機在1小時內(nèi)發(fā)生0次、1次、2次斷頭的概率分別是0.8,0.12,0.05，則這臺紡紗機在1小時內(nèi)斷頭不超過兩次的概率為________，斷頭超過兩次的概率為________．答案0.970.03解析斷頭不超過兩次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，斷頭超過兩次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.9．假如事務A與B是互斥事務，且事務A∪B發(fā)生的概率是0.64，事務B發(fā)生的概率是事務A發(fā)生的概率的3倍，則事務A發(fā)生的概率為________．答案0.16解析設P(A)＝x，則P(B)＝3x，又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，所以x＝0.16，則P(A)＝0.16.10．一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地隨意抽取兩次，每次只取一個，取得兩個紅球的概率為eq\f(7,15)，取得兩個綠球的概率為eq\f(1,15)，則取得兩個同顏色的球的概率為________；至少取得一個紅球的概率為________．答案eq\f(8,15)eq\f(14,15)解析(1)由于“取得兩個紅球”與“取得兩個綠球”是互斥事務，因此事務C“取得兩個同色球”，只需兩互斥事務有一個發(fā)生即可，因而取得兩個同色球的概率為P(C)＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).(2)由于事務A“至少取得一個紅球”與事務B“取得兩個綠球”是對立事務，則至少取得一個紅球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).B組實力關(guān)1．在一次隨機試驗中，彼此互斥的事務A，B，C，D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的是()A．A∪B與C是互斥事務，也是對立事務B．B∪C與D是互斥事務，也是對立事務C．A∪C與B∪D是互斥事務，但不是對立事務D．A與B∪C∪D是互斥事務，也是對立事務答案D解析由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一個必定事務，故其事務的關(guān)系可由如圖所示的Venn圖表示，由圖可知，任何一個事務與其余3個事務的和事務必定是對立事務，任何兩個事務的和事務與其余兩個事務的和事務也是對立事務．2．若隨機事務A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實數(shù)aA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))答案D解析由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<PA<1，,0<PB<1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<4a－5<1，,3a－3≤1，))解得eq\f(5,4)<a≤eq\f(4,3).3．已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采納隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為________．答案0.25解析20組隨機數(shù)中表示三次投籃恰好有兩次命中的是191,271,932,812,393，其頻率為eq\f(5,20)＝0.25，以此估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為0.25.4．(2024·湖北七市聯(lián)考)某電子商務公司隨機抽取1000名網(wǎng)絡購物者進行調(diào)查．這1000名購物者2024年網(wǎng)上購物金額(單位：萬元)均在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi)，樣本分組為：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，購物金額的頻率分布直方圖如下：電子商務公司確定給購物者發(fā)放實惠券，其金額(單位：元)與購物金額關(guān)系如下：(1)求這1000名購物者獲得實惠券金額的平均數(shù)；(2)以這1000名購物者購物金額落在相應區(qū)間的頻率作為概率，求一個購物者獲得實惠券金額不少于150元的頻率．解(1)購物者的購物金額x與獲得實惠券金額y的頻率分布如下表：這1000名購物者獲得實惠券金額的平均數(shù)為eq\f(1,1000)×(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.(2)由獲得實惠券金額y與購物金額x的對應關(guān)系及(1)知P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，從而，獲得實惠券金額不少于150元的概率為P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.C組素養(yǎng)關(guān)1．(2024·北京高考)電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(2)隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；(3)電影公司為增加投資回報，擬變更投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變更．假設表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變更，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率削減0.1，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大？(只需寫出結(jié)論)解(1)由表知，電影公司收集的電影部數(shù)為140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，獲得好評的第四類電影部數(shù)為200×0.25＝50，所以所求概率為eq\f(50,2000)＝0.025.(2)解法一：記“隨機選取的1部電影沒有獲得好評”為事務A，由表知，沒有獲得好評的電影部數(shù)為140×(1－0.4)＋50×(1－0.2)＋300×(1－0.15)＋200×(1－0.25)＋800×(1－0.2)＋510×(1－0.1)＝1628，所以P(A)＝eq\f(1628,2000)＝0.814，即所求概率為0.814.解法二：記“隨機選取的1部電影獲得好評”為事務A，則“隨機選取的1部電影沒有獲得好評”為事務eq\o(A,\s\up6(－))，由表知，獲得好評的電影部數(shù)為140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝372，所以P(A)＝eq\f(372,2000)＝0.186，所以P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝0.814，即所求概率為0.814.(3)由表及已知，第五類電影的好評率增加0.1，其次類電影的好評率削減0.1，符合要求．2．拋擲一枚質(zhì)地不勻稱的骰子，出現(xiàn)向上點數(shù)為1,2,3,4,5,6的概率依次記為p1，p2，p3，p4，p5，p6，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)覺，數(shù)列{pn}恰好構(gòu)成等差數(shù)列，且p4是p1的3倍．(1)求數(shù)列{pn}的通項公式；(2)甲、乙兩人用這枚骰子玩嬉戲，并規(guī)定：擲一次骰子后，若向上的點數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝，請問這樣的規(guī)則對甲、乙二人是否公允？請說明理由；(3)甲、乙、丙三人用這枚骰子玩嬉戲，依據(jù)擲一次后向上的點數(shù)確定勝出者，并制定了公允的嬉戲方案，試在下面的表格中列舉出兩種可能的方案(不必證明)．解(1)設數(shù)列{pn}的公差為d，由p4是p1的3