云南省宣威市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題注意事項(xiàng):1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷.草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知四邊形中，，并且，則四邊形是()A.菱形 B.正方形 C.等腰梯形 D.長方形2.平面向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.9 C. D.73.在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，則△ABC為（）A.等腰三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形4.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.5.如果，那么復(fù)數(shù)的三角形式是()A. B.

C. D.6.直三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若則此球的表面積為（）A. B. C. D.7.以下說法正確的是（）A.是平面外的一條直線，則過且與平行的平面有且只有一個(gè)B.若夾在兩個(gè)平面間的三條平行線段長度相等，則這兩個(gè)平面平行C.平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則D.空間中三點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正三角形，則與這三點(diǎn)距離均為1的平面恰有兩個(gè)8.已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為，則（）A.該圓錐的側(cè)面積為 B.該圓錐的體積為

C.的面積為 D.二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.下列命題正確的是（）A.若向量共線，則必在同一條直線上B.若為平面內(nèi)任意三點(diǎn)，則C.若點(diǎn)為的重心，則D.已知向量，若，則10.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線上D.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為11.正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（）A.直線與直線垂直B.平面截正方體所得的截面面積為C.三棱錐的體積為2D.點(diǎn)與點(diǎn)G到平面的距離相等三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若，且，那么是____________三角形.13.已知的內(nèi)角所對的邊分別為a、b、c，，為邊上一點(diǎn)，滿足，且．則的最小值為______．14.如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為4的正方形，點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面上的動(dòng)點(diǎn)，若存在唯一的點(diǎn)P滿足，則________.四、解答題:本題共5小題，其中第15題13分，第16、17題15分,第18、19題17分，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.在中，是重心，直線過點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求；（2）若為正實(shí)數(shù)，求的最小值.16.對任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)，定義集合．.（1）設(shè)是方程的一個(gè)根，試用列舉法表示集合；（2）若復(fù)數(shù)，求證．17.已知正三棱錐中，點(diǎn)在線段上，且．（1）求邊長；（2）求正三棱錐內(nèi)切球的半徑．18.已知四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是腰長為的等腰三角形，點(diǎn)為的重心.（1）求證：；（2）經(jīng)過點(diǎn)及直線作截四棱錐的截面，設(shè)截面平面，請畫出直線，判斷直線與平面的位置關(guān)系，并進(jìn)行證明；（3）求二面角的余弦值.如圖，點(diǎn)，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).按照這種表示方法，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對應(yīng)，反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對應(yīng).一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，即其中為復(fù)數(shù)的模，叫做復(fù)數(shù)的輻角（以非負(fù)半軸為始邊，所在射線為終邊的角），我們規(guī)定范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記作叫做復(fù)數(shù)的三角形式．復(fù)數(shù)三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中.（1）已知，求的三角形式；（2）已知為定值，，將復(fù)數(shù)化為三角形式；（3）設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正二十邊形的20個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為，求復(fù)數(shù)所對應(yīng)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)．答案一、單選題1.【正確答案】A由題意，四邊形中，因?yàn)椋傻们遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，又因?yàn)?，可得，所以四邊形為菱?故選：A.2.【正確答案】B由題意得，因?yàn)?，所以即，解?故選：B.3.【正確答案】D因?yàn)椋捎嘞叶ɡ恚玫?，整理化簡，得，即，所以為等腰三角形，，且A、B均為銳角，又因?yàn)椋山祪绻降玫?，所以，因?yàn)椋裕?，所以，解得，所以，所?綜上訴述，為等腰直角三角形.故選：D.4.【正確答案】D因?yàn)閺?fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是，所以復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是.5.【正確答案】A因?yàn)?，，所?故選：A.6.【正確答案】A在中，由余弦定理可得：，故.設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理得:,故由于直三棱柱的外接球的球心位于上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)，且球心到各頂點(diǎn)的距離相等。已知，設(shè)該直三棱柱的外接球的半徑為，所以其外接球半徑，得外接球的半徑.故球的表面積為.故選：A.7.【正確答案】D當(dāng)與相交時(shí)，則過的平面必與平交，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；三條平行線段共面時(shí)，兩平面可能相交也可能平行，當(dāng)三條平行線段不共面時(shí)，兩平面一定平行，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)與相交時(shí)，也存在平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)(可以分布在平面的兩側(cè)，但點(diǎn)都在平面內(nèi))到平面的距離相等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D：空間中三點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正三角形，與這三點(diǎn)距離均為1的平面恰有兩個(gè)，且這兩個(gè)平面分別在的兩側(cè)，故選項(xiàng)D正確.故選：D.8.【正確答案】D依題意，，，則，對于選項(xiàng)A，圓錐的側(cè)面積為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，圓錐的體積為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C、D，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，則是二面角的平面角，則，所以，故，則，，所以故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.故選：D.二、多選題9.【正確答案】BC對于A選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄靠梢匀我馄揭疲粝蛄?，共線，A，B，C，D不一定在同一直線上，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，由向量線性運(yùn)算法則，故B正確；對于C選項(xiàng)，由重心性質(zhì)知，故C正確；對于D選項(xiàng)，∵，，∴，整理得，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.【正確答案】BC已知，分母實(shí)數(shù)化.A項(xiàng)，共軛復(fù)數(shù)，A錯(cuò).B項(xiàng)，，B對.C項(xiàng)，對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)，而，故在直線上，C對.D項(xiàng)，，對應(yīng)點(diǎn)軌跡是以原點(diǎn)為圓心為半徑的圓，對應(yīng)點(diǎn)，到原點(diǎn)距離，最大值為，D錯(cuò).綜上，答案是BC.11.【正確答案】BD如圖1：對于A：正方體的棱長為2，且，，分別為，，的中點(diǎn)，.若，又,平面,又平面.在正方體中，面,則過A點(diǎn)有兩條直線AB、AE與面垂直，這“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直”相矛盾，則A錯(cuò)誤；對于B：連結(jié),，，分別為，的中點(diǎn)，面截正方體所得的截面為等腰梯形,由正方體邊長為2，得則等腰梯形的高為,故等腰梯形的面積為，則B正確；對于C：三棱錐的體積：,則C錯(cuò)誤；對于D:取的中點(diǎn)H，連結(jié),,平面AEF,平面AEF,平面AEF；同理可證：平面AEF.因?yàn)?所以平面平面AEF，所以點(diǎn)與點(diǎn)G到平面的距離相等.則D正確.故選：BD.三、填空題12.【正確答案】等邊三角形由，整理得，，故，又A為的內(nèi)角，所以，又，由正弦定理得到：，所以，整理得，即，所以該三角形是等邊三角形．13.【正確答案】9因?yàn)椋云椒郑忠驗(yàn)?，所以在中由，則，化簡得，即，所以．因?yàn)椋剩?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為9．故答案為9．14.【正確答案】4直四棱柱的底面是邊長為4的正方形，以線段為球直徑構(gòu)造球，則點(diǎn)與球上任意一點(diǎn)（除外）均能構(gòu)成直角，因此該球與平面有且只有唯一P點(diǎn)相切，使得，取線段中點(diǎn)，連接，則平面，而平面，由線面垂直的性質(zhì)定理得，且，，在直角梯形中，,，，則，所以.故4.四、解答題15.【正確答案】解：（1）由題意設(shè)重心，由重心坐標(biāo)公式得：，又因?yàn)椋?，進(jìn)而.（2）由，得，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以.則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為6.16.【正確答案】解：（1）由，得，由求根公式得，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，．綜上所述，.（2），存在，使得．于是對任意，，由于是正奇數(shù)，，.17.【正確答案】解：（1）由三棱錐為正三棱錐得，∵，∴，又∵，∴，設(shè)，∵，∴，∴，整理得，解得，∴．（2）由（1）得，設(shè)點(diǎn)為△的重心，則，∴，設(shè)正三棱錐內(nèi)切球的半徑為，設(shè)為正三棱錐內(nèi)切球的球心，由圖得∴，∴，∴．18.【正確答案】解：（1）連接，，連接，四邊形為正方形，，且為中點(diǎn)，又，，，平面，且，平面，而平面，；（2）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的平行線，即為所求的直線，且平面．證明如下：，，，則與確定唯一平面；則所畫直線即為截面與平面的交線，平面，平面，