第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形變化之旋轉(zhuǎn)》專項(xiàng)測試卷（帶答案）學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．如圖，在中，，，D是的中點(diǎn)，E是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），連接．F是的中點(diǎn)，線段繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段，連接．(1)求的大小；(2)連接，判斷與的位置關(guān)系，并證明．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，的坐標(biāo)分別為，，，

(1)以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將旋轉(zhuǎn)后得到，請?jiān)趫D中畫出．(2)求的面積．(3)在軸上求一點(diǎn)，使得最小，在圖中作出點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為______．3．如圖，在中，，，，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，且點(diǎn)D恰好為的中點(diǎn)．(1)旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)___________；旋轉(zhuǎn)角=___________°；(2)求出線段的長．4．如圖①是某型號家用轎車后備箱開啟側(cè)面示意圖，將其簡化成如圖②所示模型，其中，，箱蓋開啟過程中，點(diǎn)B，E繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)相同角度，分別至點(diǎn)，的位置，且點(diǎn)在線段的延長線上，．(1)求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；(2)若，求的長度．5．如圖，在中，，，正方形的邊長為2，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，連接、、．(1)猜想：的值是，直線與直線相交所成的銳角度數(shù)是；(2)探究：直線與垂直時(shí)，求線段的長；(3)拓展：取的中點(diǎn)，連接，直接寫出線段長的取值范圍．6．一副三角板如圖1擺放，，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且平分，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)），設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．(1)當(dāng)秒時(shí)，；當(dāng)秒時(shí)，；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，與的交點(diǎn)記為，若有兩個(gè)內(nèi)角相等，求的值；(3)當(dāng)邊與邊、分別交于點(diǎn)、時(shí)，如圖2，連接，設(shè)，，，請求出的值．7．在中，，，是邊上一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，是延長線上一點(diǎn)，與垂直，求證：；(2)如圖2，過點(diǎn)作，為垂足，連接并延長交于點(diǎn)，求證：；(3)如圖3，將（1）中的以點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，，對應(yīng)點(diǎn)分別是，為上任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，若，，最大值為，最小值為，求的值．8．如圖，在中，于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，連接并延長交線段于點(diǎn)F，．(1)如圖1，若，求的長；(2)如圖2，過點(diǎn)B作交延長線于點(diǎn)H，連接，若．求證：．9．如圖，在和中，，且點(diǎn)A在上，連接．(1)求證：；(2)已知，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．10．四邊形，是完全相同的兩個(gè)矩形，按照如圖1所示，放置在平面直角坐標(biāo)系中，，將矩形繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，當(dāng)與相交于點(diǎn)G，若時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)D恰好落在上時(shí)，與y軸交于點(diǎn)K，求的值；(3)當(dāng)所在的直線恰好經(jīng)過的中點(diǎn)M，連接，，，請直接寫出的面積．11．【問題探究】（1）如圖1，在正方形中，連接、，點(diǎn)E在對角線上，點(diǎn)F在邊上，且滿足，求證：；（2）如圖2，在中，，作于點(diǎn)D，將線段繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到線段，連接．若，，求的長；【問?解決】（3）如圖3，某貨運(yùn)場為一個(gè)矩形場地，其中米，米，對角線為該場地內(nèi)的一條小路，頂點(diǎn)A，B為兩個(gè)入口，頂點(diǎn)D為出口．管理人員計(jì)劃對該場地進(jìn)行改造，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，準(zhǔn)備在線段上找一點(diǎn)E（分撥場），將繞點(diǎn)A須時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，F(xiàn)為貨物中轉(zhuǎn)站，沿修建專用車道，為了控制成本，管理人員要求專用車道的長度盡可能的短，若不考慮其他因素，求專用車道的最短長度．12．已知如圖，在等邊中，點(diǎn)，分別是邊，上兩點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且，與相交于點(diǎn)．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，連接交于點(diǎn)，猜想、、三者的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，當(dāng)最小時(shí)，請直接寫出的值．13．綜合與實(shí)踐：在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)對“對等垂美四邊形”進(jìn)行研究．定義：對角線相等且垂直的四邊形叫作對等垂美四邊形．

(1)定義理解圖中，、、三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請?jiān)诟顸c(diǎn)上確定點(diǎn)，使四邊形為對等垂美四邊形．(2)深入探究如圖2，在對等垂美四邊形中，對角線與交于點(diǎn)，且，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角），、的對應(yīng)點(diǎn)分別為、，如圖3，請判斷四邊形是否為對等垂美四邊形，并說明理由．（僅就圖的情況證明即可）(3)拓展運(yùn)用在（2）的條件下，若，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，直接寫出四邊形的面積．14．已知為等邊三角形，D，E分別為線段，上一點(diǎn)，，與交于點(diǎn)F．(1)如圖1，求證；(2)如圖1，若，，求的長；(3)如圖2，H為射線BC上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，若，求證：．15．如圖，在中，，，，點(diǎn)P沿折線向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），把線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，連接．(1)______；(2)當(dāng)點(diǎn)Q落在邊上時(shí)，求線段的長；(3)當(dāng)點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在不添加輔助線的情況下，當(dāng)圖中線段圍成的三角形中，存在兩個(gè)相似三角形的相似比為時(shí)，求的長；(4)當(dāng)時(shí)，直接寫出與重疊部分的面積．參考答案1．(1)(2)，證明見解析【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半，圓周角定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）利用等腰三角形的定義即可解答；（2）連接，連接，可得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，再連接并延長交于點(diǎn)，證明即可解答．【詳解】（1）解：F是的中點(diǎn)，線段繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段，，；（2）解：，理由如下：如圖，連接，連接，D是的中點(diǎn)F是的中點(diǎn)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，如圖，連接并延長交于點(diǎn)∵，，D是的中點(diǎn)，即．2．(1)見解析(2)(3)圖見解析，【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—軸對稱和旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）連接并延長到使得，同理作出，再順次連接即可；（2）根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求解即可；（3）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E，連接交y軸于P，則點(diǎn)P即為所求；可證明垂直平分，得到，再證明，得到，則，據(jù)此根據(jù)兩點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：由題意得，（3）解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E，連接交y軸于P，則點(diǎn)P即為所求；

∵垂直平分∴∴∵∴∴∴∴∴點(diǎn)P為的中點(diǎn)∵∴∵∴，即．3．(1)A；130(2)6【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．熟記相關(guān)結(jié)論進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵．（1）由“順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合”可得旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)，求出即可得旋轉(zhuǎn)角；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出，即可求解．【詳解】（1）解：在中，，∴即∵順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合∴旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為；故答案為：A；130；（2）解：∵順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合∴，∵點(diǎn)D恰好成為的中點(diǎn)∴∴．4．(1)；(2)的長度為．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由旋轉(zhuǎn)得，，再利用四邊形內(nèi)角和定理求解即可；（2）過點(diǎn)A作于點(diǎn)P，過點(diǎn)作于點(diǎn)H．在中，利用三角函數(shù)的定義求得，，證明，求得，進(jìn)一步計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)得，∵∴．∵∴在四邊形中，；（2）解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)P，過點(diǎn)作于點(diǎn)H．∵∴．在中，∴．∴．∴．由（1）知，，即∵∴由旋轉(zhuǎn)，得∴∴∵∴∴四邊形是矩形．∴∴．所以，的長度為．5．(1)，(2)或(3)【分析】（1）證明，相似比為，可以看做繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后放大得到，故直線與直線相交所成的銳角度數(shù)是；（2）證明，得到，分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段延長線上兩類討論，分別求出長，即可求出；（3）延長到G使得，連接，，則為等腰直角三角形，求出，證明，根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出取值范圍，問題得解．【詳解】（1）解：由題意得，，都是等腰直角三角形∴，∴∴∴，可以看作繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后放大得到，故直線與直線相交所成的銳角度數(shù)是；（2）解：∵是腰長為4的等腰直角三角形，四邊形的邊長為2的正方形∴，，∴，∴．∴∴．∵∴當(dāng)時(shí)，、、三點(diǎn)在一直線上時(shí)在中，∵∴如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)∴；如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段延長線上時(shí)∴．綜上所述，當(dāng)時(shí)，線段的長為或；（3）解：延長到G使得，連接，則為等腰直角三角形，∴∵M(jìn)為中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)∴為的中位線∴在中，∵∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．(1)5，35(2)10或25或40(3)105【分析】（1）由平行和垂直求出旋轉(zhuǎn)角，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度求出旋轉(zhuǎn)時(shí)間；（2）畫出圖形，分類討論，①；②；③，求出旋轉(zhuǎn)角，再求出值；（3）找出與，，有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，再把無關(guān)的角消去，得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖（1），當(dāng)時(shí)，平分，又為的一個(gè)外角；如圖（2），當(dāng)時(shí)，．故答案為：5，35．（2）解：①如圖（3），當(dāng)時(shí)；②如圖（4），當(dāng)時(shí)，；③如圖（5），當(dāng)時(shí)綜上所述：當(dāng)為10或25或40時(shí)，有兩個(gè)內(nèi)角相等．（3）解：是的一個(gè)外角，是的一個(gè)外角，又，．【點(diǎn)睛】本題以求三角形旋轉(zhuǎn)時(shí)間為背景，考查了學(xué)生對圖形的旋轉(zhuǎn)變換、平行的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)和求等腰三角形內(nèi)角的掌握情況，第（2）問分情況討論是解決問題的關(guān)鍵，第（3）問找到三個(gè)角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）證明，從而得出結(jié)論；（2）作交的延長線于，證明及，二者結(jié)合可證明結(jié)論；（3）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)上的高是，垂足為，則的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，運(yùn)動(dòng)的軌跡是大圓和小圓圍成的圓環(huán)，結(jié)合圖形找出點(diǎn)的最大值，然后根據(jù)垂線段最短可求出的最小值，從而確定和的比值，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：如圖1，設(shè)的延長線交于，在和中；（2）證明：如圖2作交的延長線于在和中；（3）解：如圖3點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的圓設(shè)上的高是，垂足為，則的軌跡是以為圓心，為半徑的圓運(yùn)動(dòng)的軌跡是大圓和小圓圍成的圓環(huán)當(dāng)在的延長線上時(shí)，最大，，為的中點(diǎn)，根據(jù)三角形面積可得．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，一點(diǎn)到圓上的距離的最值問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形．8．(1)1(2)見解析【分析】（1）先判斷出為等腰直角三角形，進(jìn)而證明，即可求解；（2）由（1）可知求證的實(shí)質(zhì)是求證，而等腰直角三角形中會(huì)存在此種邊的關(guān)系，考慮構(gòu)造以為直角邊的等腰直角三角形，進(jìn)而可求證．【詳解】（1）解：∵于點(diǎn)D∴∵∴是等腰直角三角形∴在中，由勾股定理得∵，又∵∴∴；（2）證明：將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接交于點(diǎn)，連接，如圖2由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，∴是等腰直角三角形∴由（1）知，，∵，∴∴∴，又∵∴點(diǎn)即點(diǎn)F∵又∵∴∵∴∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，添加合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．(1)見解析(2)或或【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，可得三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對應(yīng)角相等；（2）分類討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解答，可得答案．【詳解】（1）證明：在和中；（2）解：分情況討論，設(shè)旋轉(zhuǎn)后，的對應(yīng)點(diǎn)為當(dāng)為邊時(shí)有兩種情況當(dāng)在上方時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)如圖四邊形為平行四邊形，即旋轉(zhuǎn)；當(dāng)在下方時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)如圖旋轉(zhuǎn)的角度為；當(dāng)為對角線時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)如圖，四邊形為正方形旋轉(zhuǎn)的角度為．綜上，旋轉(zhuǎn)角度為或或，以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．10．(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)題意，得，，于是得到，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，得到，于是，得到，即得到；（2）證明，得到，故，解得，故．（3）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，設(shè)與x軸的交點(diǎn)為N，則，過點(diǎn)F作于點(diǎn)Q，過點(diǎn)D作于點(diǎn)P，則，，計(jì)算一次面積；當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)，延長與x軸的交點(diǎn)為T，則，過點(diǎn)F作于點(diǎn)W，過點(diǎn)A作于點(diǎn)R，再證明，得，于是計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵四邊形，是完全相同的兩個(gè)矩形，∴，根據(jù)題意，得，∴過點(diǎn)O作于點(diǎn)G∵∴∵∴∴．（2）解：∵∴∴∴解得故．（3）解：如圖，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)∵四邊形，是完全相同的兩個(gè)矩形，∴，，設(shè)與x軸的交點(diǎn)為N則∴∵的中點(diǎn)M∴∴∵∴∴∵∴過點(diǎn)F作于點(diǎn)Q，過點(diǎn)D作于點(diǎn)P∴，∴；如圖，當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)∵四邊形，是完全相同的兩個(gè)矩形，∴，，延長與x軸的交點(diǎn)為T則∴∵的中點(diǎn)M∴∴，∵，∴∴∵∴過點(diǎn)F作于點(diǎn)W，過點(diǎn)A作于點(diǎn)R∴，∴，∵∴∴∴；綜上所述，的面積為或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（1）見解析；（2）；（3）220米【分析】（1）證明，又由即可得到結(jié)論；（2）證明，則，．進(jìn)一步求出，在Rt中，由勾股定理得，即可求出答案；（3）證明，得到，即的最小值即為的最小值．當(dāng)時(shí)，的值最小．進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形∴∵∴∴．

∵∴．

（2）解：∵線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α得到線段∴∴．在與中，，，∴．

∴，．∵∴∵，∴．

在Rt中，由勾股定理得∴即．

（3）解：在矩形中，，∴．如圖，當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于，得到，連接，，則，∴，

∵繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到∴在和中，，，∴∴，即的最小值即為的最小值．當(dāng)時(shí)，的值最小．

過點(diǎn)T作于．延長，交于點(diǎn)H，則．∵，∴，

∴，即∴∴，即此時(shí)的最小值為220.綜上，專用車道的最短長度為220米．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．(1)(2)(3)【分析】（1）先證明，得到，結(jié)合，求得，再根據(jù)，解答即可．（2）延長到點(diǎn)H，使得，延長到點(diǎn)R，使得，連接，，先證明，判定，再證明，，代換后解答即可．（3）以為邊在的左側(cè)作等邊三角形,作的外接圓，利用四點(diǎn)共圓可以證明點(diǎn)G也在上，連接，取的中點(diǎn)I，連接設(shè)，則，過點(diǎn)O作于點(diǎn)Q確定，從而確定點(diǎn)在以點(diǎn)I為圓心，以為半徑的圓上，連接，交于點(diǎn)，根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，延長交于點(diǎn)V，取的中點(diǎn)W，，，由，則，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵為等邊三角形∴∵∴∴∵∴∴．（2）解：．理由如下：延長到點(diǎn)H，使得，延長到點(diǎn)R，使得，連接，∵等邊∴，∴，∵，∴∵∴∴，∵，∴∴∴∴∴，∴∵∴∴，∵∴∴∴∵∴∴∵∴．（3）解：根據(jù)（2）的證明，得∴，以為邊在的左側(cè)作等邊三角形,作的外接圓∴∴∴四點(diǎn)共圓∴點(diǎn)G在上連接，取的中點(diǎn)I，連接，由（2）證明得∴設(shè)則∵∴過點(diǎn)O作于點(diǎn)Q∵∴，∴∴∴點(diǎn)在以點(diǎn)I為圓心，以為半徑的圓上連接，交于點(diǎn)，根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值延長交于點(diǎn)V，取的中點(diǎn)W，，由則∴，連接，則∴∴，，∵，∴∴∴故．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定，圓的基本性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．13．(1)見詳解(2)證明見解析(3)或【分析】本題主要考查復(fù)雜作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，正確理解“對等垂美四邊形”的定義是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“對等垂美四邊形”的定義作圖即可；（2）連接，交于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，證明得，，再證明即可得出結(jié)論；（3）當(dāng)是直角時(shí)，當(dāng)為直角時(shí)，分別求解即可；【詳解】（1）解：如圖，四邊形即為所作的對等垂美四邊形；

（2）解：四邊形是對等垂美四邊形，理由如下：連接，交于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)

由題意知，，，，即在和中，又∴在四邊形中，，∴四邊形是對等垂美四邊形；（3）解：①當(dāng)是直角時(shí)，如圖

，；；當(dāng)為直角時(shí)，如圖，過點(diǎn)作的垂線，垂足為

，，，則；；綜上所述，四邊形的面積或14．(1)見解析(2)2(3)見解析【分析】（1）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，利用即可證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)作，如圖所示，由（1）可知，設(shè)，則，由，解得，由等腰直角三角形及含的直角三角形性質(zhì)，設(shè)，則，，列方程求解即可得到答案；（3）延長交于，在上取，如圖所示，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，通過構(gòu)造的、將線段轉(zhuǎn)化到一條線上即可得證；【詳解】（1）證明：在等邊三角形中，，在和中；（2）解：過點(diǎn)作，如圖所示：由（1）可知設(shè)，則，解得在中，，，則在中，設(shè)，則，由勾股定理可得，解得，則；（3）證明：延長交于，在上取，如圖所示：由（1）是的一個(gè)外角，，即又∵，則將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，在和中由知，，則，即是的一個(gè)外角是的一個(gè)外角是等邊三角形，則，在和中；【點(diǎn)睛】本題考查了，等邊三角形的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理解三角形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，構(gòu)造全等三角