/《小數的產生與意義》教學案例“小數的產生與意義”的教學內容較為抽象，難于理解，是在分數初步認識的基礎上進行教學的，是教科書上第一次出現的學習內容。雖然四年級的小學生對小數有一定接觸與了解，如商品價格等，但較為零碎的，是生活中的數學，缺乏提升與概括。如何從生活的數學進行提煉為數學知識，我的做法是：教學實錄：在學生匯報調查商品價格并通過量身高了解小數是如何產生的之后，出示米尺。一位小數的教學：師：把1米平均分成10份，每份是幾分米？每份是幾分之幾米？生：每份是1分米，也是1/10米。師：1/10米，如何用小數來表示，該怎樣表示？有什么理由？生：可以寫為0.1米。因為1角是1元的1/10，寫為0.1元。1/10米是1分米同樣的道理寫為0.1米。師：誰有不同的想法?生：1分米就是1/10米，也就是0.1米。師：1分米就是1/10米，也就是0.1米。(出示米尺，用紅色標示:1/10米=0.1米。)師：3分米，就是幾分之幾米?用小數怎樣表示?生：3分米就是3/10米，也是0.3米。師：3/10米有()個1/10米，0.3米有()個0.1米。出示：3個0.1米=0.3米。生：3/10米有3個1/10米，0.3米有3個0.1米。師：0.3米用分數為表示可以怎樣說?生：0.3米有3個1/10米，也是3/10米。生：直接說3/10米。師：同學們，你們能自己舉例嗎?（這時同學紛紛舉手。）生：7/10米等于0.7米，就是7分米。7分米就是7/10米等于0.7米。生：2分米就是2/10米，也就是0.2米。……板書：1/10米=0.1米3/10米=0.3米7/10米=0.7米5/10米=0.5米……師：如果是1/10、3/10、7/10、5/10分別可以用什么小數來表示？生：1/10=0.1、3/10=0.3、7/10=0.7、5/10=0.5師：0.3、0.7、0.5分別有幾個0.1？誰還能例舉別的？生：（略）板書：1/10=0.13/10=0.37/10=0.75/10=0.5二位小數的教學：師：1厘米是幾分之幾米？可以用什么小數表示？生：1厘米是1/100米，1/100米=0.01米。師：1厘米是1/100米，就是0.01米。那么請你推理一下7/100米、13/100米、75/100米各是幾厘米？可以用小數怎樣表示？生：分別為0.07米、0.13米、0.75米。師：對。0.07米、0.13米、0.75米各有幾個0.01米或1/100米。生：0.07米有7個0.01米；0.13米有13個0.01米；0.75米有75個0.01米。師：如果是7/100、13/100、75/100可以用什么小數表示？生：0.07、0.13與0.75。板書：7/100=0.07、13/100=0.13、75/100=0.75師：0.07、0.13與0.75各有幾個0.01？生：（略）。師：誰能例舉象這樣百分之幾是多少的小數？并說一說它有幾個0.01或1/100？三位小數的教學：師：1毫米是1/1000米，也就是0.001米。請同學們以小組為單位確定一個毫米的刻度分別用分數與小數表示。（學生小組氣氛熱烈。）匯報：9毫米=9/1000米=0.009米；998毫米=998/1000米=0.998米；550毫米=550/1000米=0.550米；97毫米=97/100米=0.097米。……師：0.009米、0.998米、0.550米、0.097米各有幾個0.001米?生：略。師：如果是9/1000、998/1000、550/1000、97/1000用什么小數表示？各有幾個0.001？生匯報，教師板書。（略）小組討論：一位小數、二位小數、三位小數分別表示幾分之幾？小數的意義是什么？學生用自己的話表述。生：表示十分之幾的是一位小數，表示百分之幾的是二位小數，表示千分之幾的是三位小數。生：一位小數表示十分之幾，二位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾。師：如果是四位小數呢？生：表示萬分之幾，……分析：1、把生活情境中的數學抽象為純數學。荷蘭數學教育家弗賴登塔爾說：“只有用邏輯關系建立結構，它才成為數學，而這個過程就是數學化”。在實際的教學中，“當然從最低的層次開始，也就是對非數學的內容進行數學化，以保證數學的應用性，同時還應進行到下一個層次，即至少能對數學內容進行局部的組織。”在弗賴登塔爾看來，沒有數學化就沒有數學，對數學的教與學，也就圍繞著數學化來展開。執教者根據這一理論，組織了教學，讓學生親歷了數學化的過程。在結合一些實際生活經驗，如物價、量身高等內容讓學生感受小數是如何產生的之后，運用課件這較為直觀的手段，引導學生觀察米尺的1分米，也就是1/100米，化為小數0.1米,進而引出1/10米=0.1米、3/10米=0.3米、7/10米=0.7米、5/10米=0.5米……接著抽象出1/10=0.1、3/10=0.3、7/10=0.7、5/10=0.5……這種數學活動，讓學生親歷了從生活數學抽象出純數學，也就是學習者從自己的數學現實出發，經過自己的思考，得出有關數學結論的過程。這樣學生從具體內容中抽象出的數學知識，理解深刻，掌握牢固。2、在數學化中掌握學習方法。教是為了不教，要達到不教目的，就得讓學生獲得知識的同時掌握學習方法。執教者在讓學生學習幾個特殊的小數后就由學生運用推想來舉例，并通過課件來驗證；在讓學生學習三位小數時，講清三位小數的計數單位之后，由學生自主地選定一個毫米的刻度用小數表示，并表述其意義，接著讓學生概括小數的意義，在一定的程度上體現了自主學習的特點。整個過程，讓學生在直觀感知——推想——例證——概括中學習，學得主動，掌握了知識，獲得了聯想、例舉、推理概括的學習方法。3、在數學化中獲取數學思想。數學思想是數學知識的“靈魂”，它隱形于知識的形成過程之中，是數學活動中的根本想法，是對數學內在規律的理性認識，是數學知識與數學方法的高度概括總結。學生在掌握數學概念、原理的過程中建立數學思想，反過來數學思想又幫助了學生理解與解決數學問題。不管是以實物操作上升到模型化，還是由模型化的知識回到現實中，我想要有一個適合小學生探究學習的數學情境，在這情境中探究學習，獲取知識的同時獲取了數學思想方法。如上述小數意義的教學是以“米尺”為情境，采用課件顯示：3/10米=0.3米，9/1000米=0.009米等，這樣直觀形象，便于學生理解由分數轉換為小數，感受等值替換的數學思想。這樣，為今后學習用“等量關系”思想來解決實際問題奠定基礎。這里情境創設也有人持不同的看法：認為小學生對“人民幣”較有生活經驗基礎，應以“元、角、分”為情境。如何創設一個有利于小學生進行數學化的學習情境，值得探討？我想不管以什么為情境，小學數學進行數學化教學，首先應遵循“由感性到理性”、“由特殊到一般再到特殊”認識規律進行教學。顧泠沅先生提出：實現數學化要經歷三個階段，即實物操作、表象操作和符號操作，表象操作是一個中介，借助這個表象操作，實現了從動手操作到算式表示的過渡，越過了形式化的難關。由此可見，借助數學情境建立數學表象是數學化的關鍵；再者，要從學生的已有知識經驗出發，創設一個“最近發展區”數學情境，引導小學生自主探索學習。正如《標準》指出的“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。”這樣才能使數學化教學更有實際意義。《乘法分配律》教學案例教學目標：1、經歷發現乘法分配律的過程，理解和掌握乘法分配律（含用字母表示）。2、在自主合作交流的學習過程中，調動學生積極的情感，培養他們的數學興趣及數學應用意識。3、初步感受運用乘法分配律能進行一些簡便運算。教學重點：發現、理解并掌握乘法分配律教學難點：能運用規律進行簡便運算教學過程：一、談話導入：數學課上，我們要經常進行計算，計算時不僅要計算得快，而且要做得——正確。引入：老師手中有1組題目，南北兩小組分別進行比賽出示：1、（12＋18）×1612×16＋18×16公平嗎？那我們再來一次2、（125+8）×8125×8+8×8（1）學生依次回答，師把答案寫在算式旁邊。（2）剛才我們做的這些題目，為什么他們算得比較快，你發現了嗎？（3）你們能不能仿照老師的形式來出兩道題。二、歸納驗證規律1、學生匯報自己發現的規律。2、教師小結規律，并提問：是不是類似這樣的等式都成立呢？3、提問：你能不能用一條算式表示這所有的等式呢？4、得出規律，揭示課題。5、練習：（1）、在□里填上合適的數，在○里填上運算符號。（42＋35）×2=42×□＋35×□27×12＋43×12=（27＋□）×□15×26＋15×14=□○（□○□）72×（30＋6）=□○□○□○□☆×△＋☆×6=□×（□＋□）（2）、橫著看，在得數相同的兩個算式后面畫“√”（28＋16）×1728×7＋16×7（）15×39＋45×39（15＋45）×39（）74×（20＋1）74×20＋74（）40×50＋50×9040×（50＋90）（）（3）、解決實際問題：用兩種不同的64米方法計算長方形菜地的周長。26米三、質疑猜想，深化認識。1、同學們，我們在剛才接觸到的等式中，都是兩個數的和去乘以一個數，那么除了兩個數的和去乘以一個數有這樣的規律以外，你還想到了什么？2、學生匯報，板書猜想。（1）（a－b）×c=a×c－b×c（2）（a×b）×c=（a×c）×(b×c)（3）（a÷b）×c=（a×c）÷（b×c）（4）（a＋b＋c）×d=a×d＋b×d＋c×d（5）（a＋b）÷c=a÷c＋b÷c……3、驗證猜想，得出不成立的。4、教師小結：剛才大家發現了乘法分配律，但是我們通過自己的猜想卻得到了另外的一些規律，但是不是所有的猜想都是成立的，我們還要進行驗證，從而來證明自己的猜想是否成立。（板書：猜想——驗證）四、綜合練習，應用規律。和平路小學四、五、六年級的學生人數情況如下表。年級四五六班級數332每班人數454848（1）五年級和六年級一共有多少人？（2）四年級比五年級少多少人？五、總結回顧今天你掌握了什么新的知識？六、課堂作業：《補充習題》第26頁分析：乘法分配律是在學生學習了加法交換律、結合律和乘法交換律、結合律的基礎上教學的。乘法分配律也是學生較難理解和敘述的定律。因此在本節課教學設計上，我結合新課標的一些基本理念和本地區的具體情況，注重從學生的實際出發，把數學知識和實際生活緊密聯系起來，讓學生在不斷的感悟和體驗中學習知識。《數學課程標準》指出：“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的。”數學教育家波利亞曾經說過：“數學教師的首要責任是盡其一切可能，來發展學生解決問題的能力。”而我們過去的教學往往比較重視解決書上的數學問題，學生一旦遇到實際問題就束手無策。因此，我在一開始設計了比一比誰的計算能力強開場,極大地激發了學生的學習欲望。學生很快地按要求用兩種不同的方法列出算式，并且能夠輕而易舉地證明兩式相等。接著要求學生通過觀察這個等式看看能否發現什么規律。在此基礎上，我并沒有急于讓學生說出規律，而是繼續為學生提供具有挑戰性的研究機會：“請你再舉出一些符合自己心中規律的等式”，繼續讓學生觀察、思考、猜想，然后交流、分析、探討，感悟到等式的特點，驗證其內在的規律，從而概括出乘法分配律。這樣既培養了學生的猜想能力，又培養了學生驗證猜想的能力。學生通過自主探索去發現、猜想、質疑、感悟、調整、驗證、完善，主體性得到了充分的發揮。與此同時，我還十分注重合作與交流，多向互動。倡導課堂教學的動態生成是新課程標準的重要理念。在數學學習中，每個學生的思維方式、智力、活動水平都是不一樣的。因此，為了讓不同的學生在數學學習中都得到發展，我在本課教學中立足通過生生、師生之間多向互動，特別是通過學生之間的互相啟發與補充來培養他們的合作意識，實現對“乘法分配律”的主動建構。學生在這樣一個開放的環境中博采眾長，共同經歷猜想、驗證、歸納知識的形成過程，共同體驗成功的快樂。既培養了學生的問題意識，又拓寬了學生思維，學生也學得積極主動。應用規律，解決實際問題是數學學習的目的所在。在練習題型的設計上，它們并不孤立，而是有機地聯系在一起，由基本題到變式題，由一般題到綜合題，有一定的梯度和廣度。使學生逐步加深認識，在弄清算理的基礎上，學生能根據題目的特點，靈活地運用所學知識進行簡便運算和拓展練習。不僅要求學生會順向應用乘法分配律，而且還要求學生會反向應用。通過正反應用的練習，加深學生對乘法分配律的理解。從課堂反饋來看，學生熱情較高，能夠學以致用。學生通過自己的努力以及和同學的交流合作，解題速度和準確性都很理想。只有這樣才能真正提高學生的計算能力。本節課有一定的亮點，但其中出現了不少問題：學生參與的積極性沒有預想中那么高。可能與我相對缺乏激勵性語言有關。也有可能今天的題材學生不太感興趣。但學生不感興趣的材料，教師應該想辦法使呈現的這個材料變得能讓學生感興趣。另外，在回答問題時，個別學生的語言不夠流利、準確。對乘法分配律的敘述稍顯羅嗦，不夠堅定、自信。在這方面有待今后加強訓練和提高。數學廣角-植樹問題的教學案例（一）教學內容：人教版義務教育課程標準實驗教材四年級（下冊）第117118頁例1、例2。（二）教材簡析：“植樹問題”是人教版新課程標準實驗教材四年級下冊“數學廣角”的內容。在本節課里，學生第一次接觸到“植樹問題”，根據課程標準的精神，學習的主要任務定位在“能將植樹問題推廣到生活中的其他問題中，學會通過畫線段圖來分析理解題意。”數學的思想方法是數學的靈魂。本冊安排“植樹問題”的目的就是向學生滲透復雜問題從簡單入手的思想。（三）設計思路：本課教學分四大環節：一、談話導入，明確課題二、引導探究，發現“兩端要種”的規律1．創設情境，提出問題。通過創設在公路中間綠化帶中植樹的現實問題情境，提出“共需多少棵樹苗的問題”。學生在解答的過程中出現了三種不同的答案，到底哪種答案對呢？引導學生通過畫圖實際種一種去檢驗。通過模擬種學生體驗到一棵一棵種到1000米太麻煩了，于是老師介紹研究復雜問題的方法：遇到復雜問題想簡單的，從簡單問題入手去研究。（說明：為了使學生對復雜問題簡單化的思想體驗得更深刻，教材原題是在100米的小路的一側植樹我們將100米改為了1000米。）2．簡單驗證，發現規律。在舉簡單例子畫一畫這個環節，安排了兩個小層次：①

按老師要求畫。②

學生任意畫。通過按老師要求畫，學生對棵樹和段數的關系已有了一定的感性認識。然后讓學生再任意畫一畫，種一種，更豐富了學生的感性材料，為學生順利發現并總結規律打下了基礎。3．應用規律，解決問題。①應用規律，驗證前面例題哪個答案是正確的。③

應用規律，解決插多少面小旗的問題。這樣一方面鞏固剛發現的規律，另一方面使學生認識到植樹問題的規律不僅僅能解決植樹的問題，還能解決生活中很多類似的問題。三、合作探究“兩端不種”的規律1．猜測“兩端不種”的規律。猜測是一種培養學生推理能力的好方法。學生已經發現了“兩端要種”的規律，這時候老師提出如果兩端不種，棵數和段數又會有怎樣的規律呢？有了前面的學習基礎，學生的思維非常活躍，想表達的欲望也很強烈。所以這時候讓學生進行猜測是很有必要的，通過驗證證明絕大多數同學的猜測是正確的，這樣學生的研究成果被認可使學生會有一種成就感，從而也更增強了學生學習數學的信心。2．獨立操作，探究規律。有了前面的學習基礎，放手讓學生先獨立探究再合作交流，通過簡單的例子驗證前面的猜測，發現兩端不種的規律。在這個過程中，學生對復雜問題從簡單入手的數學思想又有了更深刻的體驗。四、回歸生活，實際應用設計了三道題：鋸木頭、算第一個同學和最后一個同學的距離以及對算距離問題的進一步鞏固。通過解決生活中的問題，使學生感受到數學知識源于生活，用于生活，數學就在我們身邊。從而使學生深刻感受到數學的應用價值，激發了學生學習數學的興趣。（四）目標預設：1．通過探究發現一條線段上兩端要種和兩端不種兩種不同情況植樹問題的規律。2．使學生經歷和體驗“復雜問題簡單化”的解題策略和方法。3．讓學生感受數學在日常生活中的廣泛應用，嘗試用數學的方法來解決實際生活中的簡單問題，培養學生的應用意識和解決實際問題的能力。（五）教學過程：（在每個環節寫出相應的意圖）一、

談話引入，明確課題老師問：2008年我國將舉行什么盛會？學生回答：“2008年奧運會。”“為了迎接這次盛會，迎接世界各國的運動員和朋友，給全世界人民展現一個全新的中國。我們應該怎么做，怎樣改造我們的環境？（學生暢所欲言）引入植樹造林對我們的環境用什么好處？（讓學生充分發言）教師出示大量圖片讓學生欣賞。大家知道3月12日是什么日子嗎？（植樹節）你參加過植樹活動嗎？植樹不僅能美化環境，凈化空氣，而且植樹中還有很多數學問題。今天這節課，我們就一起來研究“植樹問題”。（板書課題：植樹問題）（引入從學生期盼的奧運會開始，運用多媒體課件演示創設教學情境，學生學習情緒高漲。同時對學生進行環保教育和愛國教育。）二、引導探究，發現“兩端要種”的規律1．創設情境，提出問題。①課件出示圖片。介紹：這是我市新修的一條公路。這條公路將通向奧運會帆船比賽場地青島。公路中間有一條綠化帶，現在要在綠化帶中種一行樹，怎么種呢？出示題目：這條公路全長1000米，每隔5米種一棵樹（兩端要種）。一共需要多少棵樹苗？②理解題意。指名讀題，從題中你了解到了哪些信息？b.理解“兩端”是什么意思？指名說一說，然后師實物演示：指一指哪里是這根小棒的兩端？

說明：如把這根小棒看作是這條綠化帶，在綠化帶的兩端要種就是在綠化帶的兩頭要種。③算一算，一共需要多少棵樹苗？④反饋答案。

方法一：1000÷5=200（棵）方法二：1000÷5=200（棵）200+2=202（棵）方法三：1000÷5=200（棵）200+1=201（棵）師：現在出現了三種答案，而且每種答案都有不少的支持者，到底哪種答案是正確的呢？咱們可不可以畫圖模擬實際種一種？如果從圖上一棵一棵種到1000米，數一數，是不是就能知道到底誰的答案是正確的了呢？2.簡單驗證，發現規律。①畫圖實際種一種。演示：我們用這條線段表示這條綠化帶。“兩端要種”，我們從綠化帶的這頭開始，先在頭兒上種上一棵，然后隔5米再種一棵，再隔5米再種一棵，再隔5米再種一棵，照這樣一棵一棵的種下去……師：大家看，已經種了多少米？（45米）這么長時間才種了45米，一共要種多少米？（1000米）要一棵一棵一棵一直種到1000米呀？！同學們，你有什么想法？（太累了，太麻煩了，太浪費時間了）師：老師也有同感，一棵一棵種到1000米確實太麻煩了。其實，像這種比較復雜的問題，在數學上還有一種更好的研究方法，大家想知道嗎？這種方法可不是一般的方法。大家聽好嘍，這種方法就是：遇到比較復雜的問題先想簡單的，從簡單的問題入手來研究。比如：1000米的路太長了，我們可以先在短距離的路上種一種，看一看怎樣種？②畫一畫，簡單驗證，發現規律。a.先種15米，還是每隔5米種一棵，畫圖種一種，看種了多少棵？比一比，看誰畫得快種的好。（板書：3段4棵）b.跟上面一樣，再種25米看一看，這次你又分了幾段，種了幾棵？（板書：5段6棵）c.任意選擇一段距離再種一種，看這次你又分了幾段，種了幾棵？從中你發現了什么？（板書：2段3棵；7段8棵；10段11棵。）d.你發現了什么？小結：你們真了不起，發現了植樹問題中非常重要的一個規律，那就是：（板書：兩端要種：棵樹=段數+1）④

應用規律，解決問題。a.

出示：前面例題問：應用這個規律，前面這個問題，能不能解決了？那個答案是正確的？1000÷5=200這里的200指什么？200+1=201為什么還要+1？師：這個“秘方”好不好？通過簡單的例子，發現了規律，應用這個規律解決了這個復雜的問題。以后，再遇到“兩端要種”求棵樹，知道該怎么做了嗎？b.

解決實際問題運動會上，在筆直的跑道的一側插彩旗，每隔10米插一面（兩端要插）。這條跑道長100米，一共要插多少面彩旗？(學生獨立完成。)

問：這道題是不是應用植樹問題的規律解決的？師：看來，應用植樹問題的規律，不僅僅能解決植樹的問題，生活中很多類似的現象也能用植樹問題的規律來解決。小結：剛才，我們應用發現的規律，解決了一個實際問題。我們已經知道，“兩端要種”求棵樹用段數+1;如果“兩端不種”棵樹和段數又會有怎樣的關系呢？（本環節通過為學生設計困難，讓學生想出有復雜問題從簡單入手，從學生已有的生活經驗出發，讓學生自由設計，然后引導學生自主探索、合作交流，得出“兩端要栽：棵數=間隔數+1“的關系，體現教學方法的開放性。）二、

合作探究，“兩端不種”的規律1．

猜測“兩端不種”的規律。猜測結果是：兩端不種：棵樹=段數－1師：到底同學們的猜測是不是正確呢？我們還是用前面學習的方法，舉簡單的例子畫一畫，種一種。要求：每人獨立