第15講拓展三：三角形周長（邊長）與面積問題

題型01三角形周長（邊）定值問題

【典例1】（2023上·山東·高三濟南一中校聯考期中）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知

cosBcosC1

，且a22,cab．

bca

(1)求bc的值；

(2)若ABC的面積S7，求b,c的值．

【答案】(1)bc8

(2)b2,c4

a2c2b2a2b2c2cosBcosC1

【詳解】（1）由題意，將cosB,cosC代入，

2ac2abbca

a2c2b2b2a2c212a212

，即，所以bca2228．

2abc2abca2abca

故bc8.

17

（2）由于SbcsinA4sinA7，sinA，

ABC24

3

又cab,A為銳角，即cosA.

4

22

b2c2a2bc3bcbc243

cosA，bc6.

2bc2bc164

bc8b2

所以，結合cab解得.

bc6c4

故b2,c4.

【典例2】（2023上·廣東揭陽·高三統考期中）在ABC中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

acosC3asinCbc0.

(1)求A；

(2)若a22，ABC的面積為23，求bc的值.

π

【答案】(1)

3

(2)42

【詳解】（1）由acosC3asinCbc0及正弦定理得

sinAcosC3sinAsinCsinBsinC0，

因為sinBsinπACsinACsinAcosCcosAsinC，

所以3sinAsinCcosAsinCsinC0，

由于0Cπ，所以sinC0，所以3sinAcosA10，

π1π

所以sinA，又0Aπ，故A.

623

1

（2）由題得ABC的面積SbcsinA23，故bc8①，

2

而a2b2c22bccosA，且a22，故b2c216②，

2

由①②得bcb2c22bc32，bc0，

所以bc42.

【典例3】（2024上·陜西安康·高三校聯考階段練習）在ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且

__________.

c1cosCsinAsinCsinAsinB

在①；②兩個條件中任選一個，填入上面橫線處，并解決下列問

3asinAbcabac

題.

注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分.

(1)求C；

(2)若ABC外接圓的半徑為23,ABC的面積為3，求ABC的周長.

π

【答案】(1)C

3

(2)436

c1cosC

【詳解】（1）若選①：由及正弦定理，得

3asinA

sinCsinA3sinA1cosC.sinA0,sinC3cosC3，

π3

sinC.

32

ππ4π

又0Cπ,C，

333

π2ππ

C,C.

333

sinAsinCsinAsinB

若選②：由，得asinAcsinCbsinAbsinB.

bcabac

由正弦定理，得a2b2c2ab.

a2b2c2ab1

由余弦定理，得cosC.

2ab2ab2

π

因為C0,π，所以C.

3

π

（2）設ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理，得c2RsinC223sin6.

3

113

又SabsinCab3，所以ab4.

ABC222

1

由c2a2b22abcosC(ab)22ab2ab，

2

可得36(ab)212，解得ab43，

所以ABC的周長為abc436.

【變式1】（2023下·上海松江·高一統考期中）在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且

acosCc2bcosA0．

(1)求cosA的值；

(2)若ABC的面積為23，且bc2，求a的值．

1

【答案】(1)

2

(2)23

【詳解】（1）由acosCc2bcosA0及正弦定理得sinAcosC(sinC2sinB)cosA0，

得sin(AC)2sinBcosA0，得sinB2sinBcosA0，

1

因為0Bπ，所以sinB0，所以cosA.

2

13

（2）由（1）知，cosA，又0Aπ，所以sinA，

22

13

因為ABC的面積為23，所以S△bcsinAbc23，得bc8，

ABC24

1

由余弦定理得a2b2c22bccosA(bc)22bc2bc4bc4812，

2

所以a23.

πAπ2

【變式2】（2024·全國·高三專題練習）已知函數fx122cosxsinx,f.

4283

(1)求cosA；

(2)若ABC的面積為102且sinBsinC2，求ABC的周長.

1

【答案】(1)

3

(2)20

222

【詳解】（1）fx122cosxsinxcosx12sinxcosx2cosx

22

π

sin2xcos2x2sin2x，

4

Aπ2

因為f，

283

Aπππ2

所以2sin22sinA2cosA，

28423

1

解得cosA；

3

π22

（2）在ABC中，由（1）可得0A，sinA1cos2A，

23

1

∵S△bcsinA102，即bc30，

ABC2

sinBsinC23

因為sinBsinC2，則sinA222，

3

bc33

由正弦定理可得，即bca，

a22

198

由余弦定理得a2b2c22bccosA(bc)22bc2bca230，

343

∴a8，則bc12，

∴三角形周長l△ABCabc20.

【變式3】（2023·全國·模擬預測）已知平面四邊形ABCD，AB6，AC219，BCAB，ABC的面

積為63．

(1)求ABC；

(2)若S△ABC3S△BCD，AD2BD，求CD的長度．

2π

【答案】(1)ABC

3

(2)CD2

1

【詳解】（1）ABC的面積為63，即6219sinBAC63，

2

57

解得sinBAC．

19

π

因為BCAB，所以BAC0,，

2

419

所以cosBAC，由余弦定理得，

19

BCAB2AC22ABACcosBAC4，

AB2BC2AC2

所以cosABC

2ABBC

2

22

642191

．

2642

2π

又ABC0,π，所以ABC．

3

（2）方法一：

2π

設DBC0，設BDx，則AD2x．

3

13

由S△ABC3S△BCD，得S△BCDBDBCsin23，所以sin．

2x

在△ABD中，由余弦定理得，

2222π

ADBDAB2BDABcos，

3

22213

即2xx626xcossin

22

3x26

將sin代入得cos．

x2x

由sin2cos21得x23或2．

12π

當x2時，cos，與0不符，

23

3

故x23，所以cos．

2

23

在△BCD中，由余弦定理得CD234222342．

2

方法二：

以B為坐標原點，BC為x軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系．

由題意知A3,33，B0,0，C4,0，

由S△ABC3S△BCD得S△BCD23，

則點D到BC的距離為3，設Dx,3，x0．

因為AD3BD，

22

22

所以x3234x3，

2

解得x3，即D3,3，所以CD1232．

題型02三角形周長（邊）最值問題

【典例1】（2023上·重慶·高三重慶市育才中學校聯考階段練習）記ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，

已知c2acosAcosBbcos2A（AB）.

(1)求A；

(2)若AD是角A的內角平分線，且AD2，求ABC周長的最小值.

π

【答案】(1)；

3

(2)43.

【詳解】（1）因為c2acosAcosBbcos2A，

由正弦定理可得：2RsinC22RsinAcosAcosB2RsinBcos2A,

所以sinC2sinAcosAcosBsinBcos2A

因為在ABC內，有ABCπ,所以sinCsinAB，

所以sinABsin2AcosBsinBcos2Asin2AB,

所以AB2AB,或AB2ABπ，

ππ

即A2B，或A，由AB，故A.

33

（2）因為AD是角A的內角平分線，且AD2，

1π1π1π

所以SSS,即bcsin2csin2bsin，

ABCABDACD232626

3232316

整理得：bcbc，所以bcbc2bc，所以bc，

2333

43

當且僅當bc時，上式取到最小值，

3

π

在ABC中由余弦定理可得：a2b2c22bccosb2c2bc，

3

所以ABC周長：

33

C=a+b+c=b2+c2-bc+bc32bc-bc+bc343，

ABC22

43

當且僅當bc時，等號成立，所以ABC周長的最小值為43.

3

【典例2】（2023上·廣東東莞·高三東莞市東莞中學校聯考期中）在ABC中，角A、B、C所對的邊分別

為a、b、c，且bcosAacosB2ccosA.

(1)求角A的值；

(2)已知點D為BC的中點，且AD2，求a的最大值.

2π

【答案】(1)A

3

(2)43

【詳解】（1）解：因為A、C0,π，則sinC0，

由正弦定理可得2cosAsinCsinBcosAsinAcosBsinABsinC，

12π

所以，cosA，故A.

23

111

（2）解：因為D為BC的中點，則ADABBDABBCABACABABAC，

222

所以，2ADABAC，

2222π

所以，4ADACAB2ACABb2c22bccosb2c2bc16，

3

2π

由余弦定理可得a2b2c22bccosb2c2bc，

3

a216

所以，b2c2，2bca216，

2

a216

由基本不等式可得b2c22bc，即a216，解得0a43，

2

bc

當且僅當22時，即當bc4時，等號成立，

bcbc16

故a的最大值為43.

【典例3】（2023上·安徽·高三校聯考階段練習）記ABC的角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且

sinCsinAsinB

．

3cbca

(1)求A；

c

(2)若b23，求a的最小值．

2

π

【答案】(1)A

6

(2)3

sinCsinAsinBcab

【詳解】（1）因為，由正弦定理得：，

3cbca3cbca

即b2c2a23bc，

b2c2a23bc3

由余弦定理得：cosA，

2bc2bc2

π

因為A0,π，所以A；

6

1

23

（2）由正弦定理：abcbsinA3，

,a2

sinAsinBsinCsinBsinBsinB

5π

23sinB

bsinC23sinC63cosB3sinB，

c

sinBsinBsinBsinB

c33cosB3sinB32cosB

則a3，

2sinB2sinB22sinB

BB

2

BB2tanBB1tan

又因為sinB2sincos2,cosBcos2sin22代入得：

BB

221tan2221tan2

22

B

1tan2

22

BBB

1tan2tan23tan

c3333

a3232323，

BBB

224tan24tan44tan2

222

B

1tan2

2

B

tan

3B2π

當且僅當2，即tan3,B時取等號，

B

44tan23

2

c

所以a的最小值為3．

2

【典例4】（2023上·廣東江門·高三統考階段練習）在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且

3c

tanAtanB.

acosB

(1)求角A：

BDc

(2)已知D為邊BC上一點，AD5，且，求bc的最小值.

DCb

2π

【答案】(1)A

3

(2)45

3csinAsinB3c

【詳解】（1）由tanAtanB，得，

acosBcosAcosBacosB

sinAcosBcosAsinB3csinAB3c

于是，

cosAcosBacosBcosAcosBacosB

ac

由sinABsinπCsinC及正弦定理，

sinAsinC

sinC3sinC

得，

cosAcosBsinAcosB

π

因為C0,π，sinC0，B，cosB0，

2

所以tanA3，

2π

由A0,π，得A.

3

BDc

（2）方法一：因為，

DCb

cbc

則ADABBDABBCABAC

cbcbcb

2

2bc

所以ADABAC

cbcb

22

2b2c2bc

AD2AB2AC22ABAC，

cbcbcb

b2c2b2c22b2c22π

則5cos，

(bc)2(bc)2(bc)23

2

化簡得：b2c25bc

1

∵b0，c0，∴bcbc

5

111

則，

bc5

11cb

故bc5bc5245，

bcbc

當且僅當bc25時，等號成立.

故bc的最小值是45.

BDc

方法二：因為，

DCb

如圖，可設BDmc，CDmbm0，ADB，

在ADB中，由余弦定理c25c2m225cmcos①，

在△ADC中，由余弦定理b25b2m225bmcos(π)，

即：b25b2m225bmcos②，

①b②c得：

bc2cb25bcc2m2bb2m2c，

化簡得，bc5m2bc()，

22π

在ABC中，由余弦定理bcm2b2c22bccos，

3

2bc

2222

即bcmbcbc，則m12代入()得，

bc

bc222

bc512bc，整理得bc5bc，

bc

1

∵b0，c0，∴bcbc

5

111

即，

bc5

11cb

所以bc5bc5245，

bcbc

當且僅當bc25時，等號成立.

故bc的最小值是45.

【變式1】（2023上·重慶·高三西南大學附中校考期中）已知ABC內角A、B、C的對邊為a、b、c（其

中bc），若3bcosAacosBb2ccosA.

(1)求角A的大小；

(2)若點D是邊BC上的一點，a3，DC2BD，求AD的最大值.

【答案】(1)A60

(2)ADmax13

【詳解】（1）由正弦定理得3sinBcosAsinAcosBsinB2sinCcosA，

2sinBcosAsinCsinB2sinCcosA，

即有2cosA1sinBsinC0，

1

∵bc，∴sinBsinC，則cosA，而0A180，∴A60.

2

（2）由余弦定理有

AB2AD2BD22ADBDcosADB；

AC2AD2DC22ADDCcosADC，

而BC3，DC2BD，∴BD1，DC2，

又ADBADC180，所以3AD22AB2AC26.

又由（1）∴A60，BC3，設ACD，ABC，

則由正弦定理有AB23sin，AC23sin，且120，

所以AD28sin24sin2241cos221cos22

4cos22cos244cos22cos24024

4cos22cos1202423sin2604234，

故ADmax13，當ACD75時取到.

【變式2】（2023·上海青浦·統考一模）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足

a2c2b2ac0．

(1)求角B的大小；

(2)若b23，求ABC的周長的最大值．

2π

【答案】(1)B

3

(2)423

【詳解】（1）由a2c2b2ac0，可得a2c2b2ac，

a2c2b2ac1

所以cosB，

2ac2ac2

2π

又B0,π，所以B.

3

2π3

（2）由（1）得B，所以sinB，

32

acb

則由正弦定理可得4，

sinAsinCsinB

即a4sinA，c4sinC，

所以ABC的周長abc4sinA4sinC23，

π

又在ABC中，CABA，

3

ππ

則abc4sinA4sinA234sinA23，

33

0Aπ

π

又在ABC中，π，所以0A，

0Aπ3

3

π

所以當A時，周長取最大值為423.

6

【變式3】（2023上·遼寧·高三統考期中）如圖，已知ABC三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

且b2，c3，acosC-csinA=b-2c．

(1)求tanA；

π

(2)D是ABC外一點，連接AD，CD構成平面四邊形ABCD，若ADC，求BD的最大值．

4

【答案】(1)1

(2)3

【詳解】（1）由已知acosC-csinA=b-2c，

則sinAcosC-sinCsinA=sinB-2sinC，

所以sinAcosC-sinCsinA=sin(A+C)-2sinC，

化簡可得sinAsinC+cosAsinC=2sinC，

又在ABC中，C0,π，所以sinC0，

驏

琪ππ

則sinA+cosA=2sin琪A+=2，即sinA1，

桫琪44

π驏π5π

又A0,π，A+?琪,，

4桫琪44

πππ

所以A，A，

424

所以tanA1；

π

（2）由（1）得A，

4

驏3π3π

設DACD=琪0<<，則CAD，

桫琪44

ACAD

在ACD中，由正弦定理得，

sinADCsinACD

ACAD

即π，且，

sinsinAC2

4

即AD2sin，

在△ABD中，

由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcosBAD，

2驏

22π3π2琪π

即BD32sin232sincos34sin43sincos=4sin琪2-+5，

44桫琪6

3πππ4π

由0，所以-<2-<，

4663

πππ

所以當2，即時，BD2取得最大值為9，

623

所以BD的最大值為3.

【變式4】（2023上·廣東深圳·高三深圳中學校考階段練習）已知ABC的內角A,B,C的對邊分別為

a,b,c,c3，而且(ab)2c23ab.

(1)求C；

(2)求ABC周長的最大值.

π

【答案】(1)C

3

(2)33

【詳解】（1）解：將(ab)2c23ab整理得：a2b2c2ab，

a2b2c2ab1

由余弦定理得cosC，

2ab2ab2

因為C0,π，

π

所以C.

3

π

（2）解：由（1）可知，C，

3

在ABC中，由余弦定理得a2b22abcosC3，即a2b2ab3，

3(ab)2

所以(ab)23a2b22ab33ab，當且僅當ab3時取等號，

4

所以ab23，

所以abc33，

即ABC周長的最大值為33.

題型03三角形周長（邊）范圍問題

【典例1】（2023·全國·模擬預測）已知ABC為銳角三角形，其內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

cosBcos2A.

b

(1)求的取值范圍；

a

(2)若a1，求ABC周長的取值范圍.

【答案】(1)(2,3)

(2)22,33

ππ

【詳解】（1）因為ABC為銳角三角形，所以0A，0B，02Aπ.

22

又因為cosBcos2A，所以B2A，

bsinBsin2A2sinAcosA

由正弦定理得2cosA，

asinAsinAsinA

ππ

0A0A

2

2

ππ

因為ABC為銳角三角形，所以0B，即02A，

22

ππ

0C0π3A

22

ππ

解得A，

64

23

所以cosA，即22cosA3，

22

b

所以的取值范圍為(2,3).

a

（2）因為a1，由（1）知，b2cosA，

acasinCasin(π3A)sin3A

由正弦定理，得c

sinAsinCsinAsinAsinA

22

sin2AcosAcos2AsinA2sinAcosA2cosA1sinA

4cos2A1，

sinAsinA

故ABC的周長abc4cos2A2cosA，

2323

令tcosA，由（1）知cosA，則t,，

2222

2

21123

因為函數y4t2t4t在,上單調遞增，

4422

所以ABC周長的取值范圍為22,33.

【典例2】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，

c，且2bsinCcsinB3ccosB，若D為AC邊上一點，ABBD，BD2．

(1)求角B；

21

(2)求的取值范圍．

ADCD

2π

【答案】(1)B

3

3

(2),1

2

【詳解】（1）2bsinCcsinB3ccosB，由正弦定理可得2sinBsinCsinCsinB3sinCcosB，

即sinBsinC3sinCcosB，

因為0Cπ，sinC0，故sinB3cosB，tanB3，

2π

又0Bπ，故B.

3

（2）

2πππ

因為ABBD，故DBC，

326

π

DCBD2sin

在△BCD中，，得61，

sinDBCsinCCD

sinCsinC

π

ADBD2sin

在△ABD中，，得22，

sinABDsinAAD

sinAsinA

212ππ

故sinAsinC，而ABC，AC，

ADCD33

21π31π

所以sinAsinCsinCsinCcosCsinCsin(C)，

ADCD3223

πππ2π

由題意知C0,，C,，

3333

π33

21

故sinC,1，即的取值范圍為,1.

32ADCD2

【典例3】（2023·全國·模擬預測）在銳角三角形ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且

3

sin2A2sinAcosBsinCsin2C．

4

(1)求角B的值．

ac

(2)求的取值范圍．

2b

π

【答案】(1)

3

3

(2),1

2

【詳解】（1）設ABC的外接圓半徑為R．

abcabc

由正弦定理2R，得sinA，sinB，sinC．

sinAsinBsinC2R2R2R

22

223aacc3

因為sinA2sinAcosBsinCsinC，則2cosB，

44R22R2R4R24

整理得a2c22accosB3R2，

b23

由余弦定理b2a2c22accosB得b23R2，即sin2B，

4R24

π3π

又因為B0,，則sinB0，可得sinB，所以B．

223

acsinAsinC

（2）由正弦定理可得，

2b2sinB

2π

sinAsinA

則ac331π

sinAcosAsinA

2b3226

π

0A

2ππ

因為ABC是銳角三角形，則，解得A，

ππ62

A

32

ππ2π3π

則A，可得sinA1，

36326

ac3

所以的取值范圍是,1．

2b2

【典例4】（2023上·安徽·高三校聯考階段練習）在銳角ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且

a2b2bc.

(1)證明：A2B；

(2)若c2，求ABC的周長的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)33,224

【詳解】（1）由余弦定理可得，a2b2c22bccosA.

又a2b2bc，

所以有b2bcb2c22bccosA，

整理可得b2bcosAc.

由正弦定理邊化角可得，sinB2sinBcosAsinC.

又sinCsinABsinAcosBcosAsinB，

所以，sinBsinBcosAsinAcosBcosAsinB，

整理可得，sinBsinAcosBcosAsinBsinAB.

因為ABC為銳角三角形，

ππ

所以，0A，0B，

22

所以，B