第12講6.4.3第3課時余弦定理、正弦定理應用舉例

課程標準學習目標

①會用正弦定理、余弦定理解決生產實踐中

有關距離、高度、角度的測量問題。

②培養提出問題、正確分析問題、獨立解決1.進一步理解三角形面積公式的推導過程，掌握三角形

問題的能力。的面積公式；

③理解三角形面積公式的推導過程，掌握三2.了解正弦、余弦定理在平面幾何中的應用.在了解的基

角形的面積公式。礎上熟練應用是關鍵；

④.了解正弦、余弦定理在平面幾何中的應3.掌握正弦、余弦定理與三角函數的綜合應用；

用。

⑤掌握正弦、余弦定理與三角函數的綜合應

用。

知識點1：基線

在測量過程中,我們把根據測量的需要而確定的線段叫做基線.為使測量具有較高的精確度,應根據實

際需要選取合的基線長度.一般來說,基線越長,測量的精確度越高.

知識點2：仰角與俯角

在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內)所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰

角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角

【即學即練1】（2023上·四川遂寧·高三統考期中）某數學興趣小組到觀音湖濕地公園測量臨仙

閣的高度.如圖所示，記OT為臨仙閣的高，測量小組選取與塔底O在同一水平面內的兩個測量點A,B.現測

得OAB45.OBA105，AB75m，在B點處測得塔頂T的仰角為30°，則臨仙閣高OT大致為（）

m（參考數據：62.45）

A．31.41mB．51.65mC．61.25mD．74.14m

【答案】C

【詳解】依題意，AOB中，AOB1804510530，

ABOB75OB

所以由正弦定理得，即，

sinAOBsinOABsin30sin45

解得OB752，

OT3

在BOT中，tanOBTtan30，即OTOBtan30752256252.4561.25m．

OB3

故選：C.

知識點3：方位角

從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角的范圍是

0360.

【即學即練2】（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度

沿著方位角（指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平轉角）為140°的方向航行，為了確定船位，船在B

點觀測燈塔A的方位角為110°，航行半小時后船到達C點，觀測燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達C點時，

與燈塔A的距離是多少.

【答案】AC102（km）

1

【詳解】由題設可得ABC30，BC4020（km），

2

而ACB4065105，故A1803010545，

AC20

由正弦定理可得，故AC102（km）.

sin30sin45

知識點4：方向角

正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)，

例：(1)北偏東：(2)南偏西：

知識點5：坡角與坡比

坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即

h

itan.

l

題型01測量距離問題

【典例1】（2023上·全國·高三專題練習）某地為響應習近平總書記關于生態文明建設的號召，大力開展“青

山綠水”工程，造福于民，擬對該地某湖泊進行治理，在治理前，需測量該湖泊的相關數據.如圖所示，測得

∠C＝120°，BC40米，AC603米，則A，B間的直線距離約為（）

A．60米B．130米C．150米D．300米

【答案】B

【詳解】由題設，在ABC中，

由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosC124002400316557，

所以AB130米.

故選：B.

【典例2】（2023上·江蘇無錫·高一江蘇省南菁高級中學校考階段練習）如圖，位于我國南海海域的某直徑

為55海里的圓形海域上有四個小島，已知小島B與小島C相距為5海里（小島的大小忽略不計，測量誤

2

差忽略不計），經過測量得到數據：cosBAD．小島C與小島D之間的距離為海里．

3

【答案】10105

3

【詳解】由于A,B,C,D四點共圓，

25

所以πBADCcosC,sinC1cos2C，

33

BD25

由正弦定理可知55BD，

sinC3

20400

在△BCD中，BD2CD2BC22cosCCDCBCD2CD0，

39

20205

解之得10105，

CD33

233

10105

顯然0不合題意.

3

10105

故答案為：.

3

【典例3】（2023·遼寧撫順·校考模擬預測）如圖，某鄉鎮綠化某一座山體，以地面為基面，在基面上選取

A，B，C，D四個點，使得AD22BC，測得BAD30o，BCD45，ADC120．

(1)若B，D選在兩個村莊，兩村莊之間有一直線型隧道，且BD102km，CD20km，求A，C兩點間距

離；

(2)求tanBDC的值．

【答案】(1)207km

43

(2)

13

CDBD

【詳解】（1）在△BCD中，由正弦定理得，

sinCBDsinBCD

20102

即，

sinCBDsin45

解得sinCBD1，所以CBD90，

則△BCD為等腰直角三角形，所以BC102，

則AD22BC40．

在ACD中，由余弦定理得

2221

ACADCD2ADCDcosADC1600400240202800，

2

故AC207．

故A，C兩點間距離為207km．

（2）設BDC，則由題意可知，ADB120，ABD30．

BDADAD

在△ABD中，由正弦定理得，即2sin30，

sinBADsinABDBD

BCBDBC

在△BCD中，由正弦定理得，即2sin，

sinBDCsinBCDBD

13

又AD22BC，所以2sin30222sincossin2sin，

22

4343

解得tan，所以tanBDC．

1313

【變式1】（2023上·北京·高三北京四中校考期中）如圖，為了測量湖兩側的A，B兩點之間的距離，某觀

測小組的三位同學分別在B點，距離A點30km處的C點，以及距離C點10km處的D點進行觀測.甲同學在

B點測得DBC30，乙同學在C點測得ACB45，丙同學在D點測得BDC45，則A，B兩點間

的距離為km.

【答案】105

【詳解】DBC30，ACB45，BDC45，AC30，CD10，

CDBCCDsinBDC10sin45

△BCD中，由正弦定理，有，則BC102，

sinDBCsinBDCsinDBCsin30

ABC中，由余弦定理，

22

有AB2BC2AC22BCACcosACB102302210230500，

2

得AB105，即A，B兩點間的距離為105.

故答案為：105.

【變式2】（2023上·全國·高三專題練習）如圖，A、B兩點都在河的對岸(不可到達)，若在河岸選取相距20

米的C、D兩點，測得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此時A，B兩點間的距

離是多少？

【答案】106米

【詳解】根據正弦定理，

CDsin456020(sin45cos60cos45sin60)

在ACD中，有AC10(13)(米)，

sin180304560sin45

CDsin45

BC20

在△BCD中，有(米)．

sin180304560

在ABC中，由余弦定理得AB＝AC2BC22ACBCcosBCA＝106(米)．

所以A，B兩點間的距離為106米．

【變式3】（2023下·遼寧·高二鳳城市第一中學校聯考階段練習）如圖，某濕地為拓展旅游業務，現準備在

π

濕地內建造一個觀景臺D，已知射線AB，AC為濕地兩邊夾角為的兩條公路（長度均超過4千米），在

3

兩條公路AB，AC上分別設立游客接送點E，F，且AEAF23千米．若要求觀景臺D與兩接送點所

成角EDF與BAC互補，且觀景臺D在EF的右側，并在觀景臺D與接送點E，F之間建造兩條觀光線

路DE和DF，求觀光線路之和最長是多少千米，此時DA為多少千米？

【答案】觀光線路之和最長是4千米，此時DA為4千米

π

【詳解】在△AEF中，因為AEAF23，EAF，所以EF23，

3

2π

又EDF與EAF互補，所以EDF，

3

在DEF中，由余弦定理得EF2DE2DF22DEDFcosEDF，

2

即DE2DF2DEDF12，即DEDFDEDF12，

12

又因為DEDFDEDF，所以DEDF4，

4

當且僅當DEDF2時取等號，

此時由于DEDF，AEAF，ADAD，所以VADE≌△ADF，

π

又EDF與EAF互補，所以AED，所以AD4.

2

所以觀光線路之和最長是4千米，此時DA為4千米.

題型02測量高度問題

【典例1】（2023上·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市第70中校考階段練習）高郵鎮國寺是國家3A級旅游景

區地處高郵市京杭大運河中間，東臨高郵市區，西近高郵湖實屬龍地也，今有“運河佛城”之稱某同學想知道

鎮國寺塔的高度MN,他在塔的正北方向找到一座建筑物AB,高約為7.5m，在地面上點C處（B，C，N三點

共線）測得建筑物頂部A鎮國寺塔頂部M的仰角分別為15和60在A處測得鎮國寺塔頂部M的仰角為30°，

鎮國寺塔的高度約為（）（參考數據：21.41，31.73）

A．31.42mB．33.26mC．35.48mD．37.52m

【答案】C

【詳解】如圖所示：

由題意MAC153045，MCA1801560105，

AMC180MACMCA1804510530，

因為在Rt△ABC中，有AB7.5，ACB15，ABC90，

ABAB15

所以AC，

sinACBsin152sin15

ACMC

在AMC中，運用正弦定理有，

sinAMCsinMAC

15

152

即MC，化簡得MC，

2sin15

sin30sin452sin15

152

又因為在Rt△MNC中，有MC，MCN60，MNC90，

2sin15

1521523156

所以有MNMCsin60sin60，

2sin152sin1524sin15

232162

因為sin15sin4530，

22224

156156156621533

所以MN，

4sin156262622

由題意21.41，31.73，

15331531.73

所以MN35.47535.48，

22

綜上所述：鎮國寺塔的高度約為35.48m.

故選：C.

【典例2】（2023上·全國·高三專題練習）消防車是救援火災的主要裝備，圖①是一輛登高云梯消防車的實

物圖，圖②是其工作示意圖，起重臂AC（20米AC30米）是可伸縮的，且起重臂AC可繞點A在一定

范圍內上下轉動張角CAE90≤CAE≤150，轉動點A距離地面的高度AE為4米．當起重臂AC的長

度為24米，張角CAE120時，云梯消防車最高點C距離地面的高度CF的長為米．

【答案】16

【詳解】如圖，過點A作AGCF，由題意的：EAG90，GFAE4，

CAE120，CAG30，

在RtACG中，AC24，CGACsin3012，

CFCGGF12416米．

故答案為：16

【變式1】（2023上·河北承德·高三校聯考期中）河北省正定縣的須彌塔是中國建筑寶庫的珍貴遺產，是我

國建筑之精品，是中國古代高超的建筑工程技術和建筑藝術成就的例證．一名身高1.7m的同學假期到河北

省正定縣旅游，他在A處仰望須彌塔尖，仰角為45，他沿直線（假設他的行走路線和塔底在同一條直線上）

向塔行走了17m后仰望須彌塔尖，仰角為60，據此估計該須彌塔的高度約為m．（參考數

據：21.414,31.732，結果保留整數）

【答案】42

【詳解】如圖，A1B117，因為CA1D145,CB1D160，所以A1CB115，

ABCB

111

在A1B1C中，由正弦定理得，

sinA1CB1sinCA1D1

A1B1sinCA1D117sin45

所以CB1，

sinA1CB1sin15

321262

其中sin15sin6045sin60cos45cos60sin45，

22224

2

17

17sin4534234262

2

故CB11731，

sin1562626262

4

1733174.732

又，且，所以，

CDCBsin6031.732CD140.2

1122

又該同學身高1.7m，所以塔高約為40.21.741.9m42m.

故答案為：42.

【變式2】（2023上·河北邢臺·高三校聯考階段練習）邯鄲叢臺又名武靈叢臺，相傳始建于戰國趙武靈王時

期，是趙王檢閱軍隊與觀賞歌舞之地，是古城邯鄲的象征.如圖，某學習小組為了測量邯鄲叢臺的高度AB，

選取了與臺底在同一水平面內的兩個測量基點C，D，現測得BCD30，BDC86，CD40米，在

點D處測得叢臺臺頂的仰角為50，則叢臺的高度為米（結果精確到0.1米，取tan501.19，

sin640.90）.

【答案】26.4

CDBD

【詳解】在△BCD中，CBD180308664，，

sin64sin30

20200AB

則BD米.在ABD中，tanADB1.19，

0.99BD

238

則AB1.19BD26.4米.

9

故答案為：26.4.

題型03測量角度問題

【典例1】（2023上·全國·高三專題練習）一艘游輪航行到A處時看燈塔B在A的北偏東75，距離為126

海里，燈塔C在A的北偏西30，距離為123海里，該游輪由A沿正北方向繼續航行到D處時再看燈塔B在

其南偏東60方向，則此時燈塔C位于游輪的（）

A．正西方向B．南偏西75方向C．南偏西60方向D．南偏西45方向

【答案】C

ADAB126

242,AD24

【詳解】如圖，在△ABD中，B45，由正弦定理得sin45sin603，

2

在ACD中，由余弦定理得CD2AC2AD22ACADcos30，

因為AC123,AD24，所以解得CD12，

CDAC3

由正弦定理得,sinCDA，故CDA60或CDA120，

sin30sinCDA2

因為ADAC，故CDA為銳角，所以CDA60，

此時燈塔C位于游輪的南偏西60方向.

故選：C

【典例2】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船

上．在小艇出發時，輪船位于港口O北偏西30方向且與該港口相距20nmile的A處，并以30nmile/h的航行

速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以vnmile/h的航行速度勻速行駛，經過th與輪船相遇.

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？

(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30nmile/h，試設計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），

使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．

【答案】(1)航行速度為303nmile/h

(2)航行方向為北偏東30°，航行速度為30nmile/h,理由見解析

【詳解】（1）

如圖設小艇的速度為v，時間為t相遇，

則由余弦定理得:OC2AC2OA22ACOAcosOAC,

1

叩:v2t2400900t21200tcos60900t2600t400900(t)2300,

3

1

當t時，OC取得最小值，此時速度v303nmile/h，

3

此時小艇的航行方向為正北方向，航行速度為303nmile/h.

（2）要用時最小，則首先速度最高，即為:30nmile/h，

則由(1)可得:

OC2AC2OA22ACOAcosOAC,

22

即:30t400900t21200tcos60,解得:t，

3

此時BOD30,

此時，在OAB中，OAOBAB20，

故可設計航行方案如下:

航行方向為北偏東30°，航行速度為30nmile/h，小艇能以最短時間與輪船相遇.

【典例3】（2023下·河南周口·高一周口恒大中學校考期中）某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正

在航行的輪船上.在小艇出發時，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海

里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經過t小時

與輪船相遇.

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？

(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，試設計航行方案（即確定航行方向和航行速度的大小），

使得小艇能以最短時間與輪船相遇.

【答案】(1)303海里/時

(2)航行方向為北偏東30，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇

【詳解】（1）設相遇時小艇航行的距離為S海里，則

2

221

S900t400230t20cos9030900t600t400900t300，

3

103

1v303

當t時，S103（海里），此時1（海里/時）.

3min

3

∴小艇以303海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.

222

（2）設小艇與輪船在B處相遇，則vt400900t22030tcos9030，

600400

故v2900，又0v30，

tt2

600400232

∴900900，即0，解得t.

tt2t2t3

22

又t時，v30海里/時，即v30海里/時時，t取得最小值為.

33

此時，在△OAB中，有OAOBAB20海里，

故可設計航行方案：航行方向為北偏東30，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇.

【典例4】（2023下·浙江·高一校聯考期中）如圖，A，B是某海城位于南北方向相距30(13)海里的兩個

觀測點，現位于A點北偏東45，B點南偏東30的C處有一艘漁船遇險后拋錨發出求救信號，位于B點正

西方向且與B點相距100海里的D處的救援船立即前往營救，其航行速度為80海里/時.

(1)求B，C兩點間的距離；

(2)該救援船前往營救漁船時應該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達C處需要多長時間？（參考數據：

cos21.790.93，角度精確到0.01）

【答案】(1)60海里

(2)方向是南偏東68.21，需要的時間為1.75小時.

【詳解】（1）依題意得BAC45,ABC30，AB3013，

所以ACB180(BACABC)180(4530)105，

BCABBC30(13)

在ABC中，由正弦定理得,,

sinBACsinACBsin45sin105

232162

sin105sin75sin(4530),

22224

2

30(13)

故BC260（海里），

62

4

所以求B,C兩點間的距離為60海里.

（2）依題意得DBCDBAABC9030120,BD100，

在△DBC中，由余弦定理得CD21002602210060cos12019600，

所以CD140（海里），

所以救搜船到達C處需要的時間為140801.75小時，

BD2DC2BC21002140260213

在△DBC中，由余弦定理得cosBDC0.93,

2BDDC210014014

因為0BDC90,cos21.790.93，

所以BDC21.79，

所以該救援船前往營救漁船時的方向是南偏東9021.7968.21﹒

【變式1】（2023上·廣東廣州·高三校聯考階段練習）在一次海上聯合作戰演習中，紅方一艘偵察艇發現在

北偏東45方向，相距12公里的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10公里的速度沿南偏東75方向前進，

若偵察艇以每小時14公里的速度，沿北偏東45方向攔截藍方的小艇．若要在最短的時間內攔截住，則

紅方偵察艇所需的時間為小時，角的正弦值為．

535

【答案】2/3

1414

【詳解】設紅方偵查艇經過x小時后在C處追上藍方的小艇，則AC14x，BC10x，ABC120.

22

根據余弦定理得14x12210x240xcos120，解得x2，

故AC28，BC20.

BCAC20sin12053

根據正弦定理得，解得sin，

sinsin1202814

53

故答案為：2；.

14

【變式2】（2023·全國·高一課堂例題）一顆人造地球衛星在地球上空1600km處沿著圓形的軌道運行，每

2h沿軌道繞地球旋轉一圈．假設衛星于中午12點正通過衛星跟蹤站A點的正上空，地球半徑約為6400km．

(1)求人造衛星與衛星跟蹤站在12：03時相隔的距離是多少．

(2)如果此時跟蹤站天線指向人造衛星，那么天線瞄準的方向與水平線的夾角的余弦值是多少？（參考數據：

cos90.988，sin90.156）

【答案】(1)1950km

(2)0.64．

3

【詳解】（1）解：如圖所示，設人造衛星在12:03時位于C點，其中AOC，則3609，

120

在△ACO中，OA6400km，OC640016008000km，9，

由余弦定理得AC26400280002264008000cos93.79106，

解得AC1.95103，

因此，在12:03時，人造衛星與跟蹤站相距約1950km．

（2）解：如圖所示，設此時天線的瞄準方向與水平線的夾角為，則CAO90，

sin90sin90

由正弦定理得，

19508000

8000

故sin90sin90.64，即cos0.64，

1950

因此，天線瞄準方向與水平線的夾角的余弦值約為0.64．

【變式3】（2023下·貴州銅仁·高一校考期中）信陽南灣湖以源遠流長的歷史遺產，濃郁豐厚的民俗風情而

著稱；以幽、樸、秀、奇的獨特風格，山、水、林、島的完美和諧而聞名，是融自然景觀、人文景觀、森

林生態環境、森林保健功能于一體，是河南省著名的省級風景區．如圖，為迎接第九屆開漁節，某漁船在

湖面上A處捕魚時，天氣預報幾小時后會有惡劣天氣，該漁船的東偏北方向上有一個小島C可躲避惡劣

天氣，在小島C的正北方向有一航標燈D距離小島25海里，漁船向小島行駛50海里后到達B處，測得

DBC45，BD2562海里．

(1)求A處距離航標燈D的距離AD；

(2)求cos的值；

【答案】(1)502（海里）

(2)31

【詳解】（1）∵AB50，BD2562，DBC45，

∴在△ABD中由余弦定理得AD2AB2BD22ABBDcos135，

22

2

50256225025625000

2

∴AD502（海里）．

BDDC

（2）∵BCD90，由正弦定理得，

sin90sin45

BDsin45

∴cossin9031．

DC

【變式4】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯考期末）某海岸的A哨所在凌晨1點15分

發現哨所北偏東30方向20nmile處的D點出現可疑船只，因天氣惡劣能見度低，無法對船只進行識別，

所以將該船雷達特征信號進行標記并上報周圍哨所．早上5點15分位于A哨所正西方向20nmile的B哨

所發現了該可疑船只位于B哨所北偏西30方向60nmile處的E點，并識別出其為走私船，立刻命令位于B

哨所正西方向30nmile處C點的我方緝私船前往攔截，已知緝私船速度大小為30nmile/h．（假設所有船

只均保持勻速直線航行）

(1)求走私船的速度大小；

(2)緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船，并求出截獲走私船的具體時間．

【答案】(1)103nmile/h

(2)緝私船沿北偏西30方向行駛，3小時后即早上8點15分可截獲走私船．

【詳解】（1）D點位于A哨所北偏東30方向20nmile處，

BAD9030120,AD20,

AB20,BDAD2AB22ADABcos120203,

ABAD,ABDADB30,

E點位于B哨所北偏西30方向60nmile處，

DBE90303090，

DEBD2BE2403，

403

v103nmile/h，

4

走私船的速度大小為103nmile/h.

（2）設在F點處截獲走私船，截獲走私船所需時間為t，

BE60,BC30,CBE60，

CEBE2BC22BEBCcos60303，

BE2BC2CE2,BCE90,BEC30，CEF120，

走私船速度為103nmile/h，緝私船速度為30nmile/h，

EF103t,CF30t，

在△CEF中，根據余弦定理，CF2CE2EF22CEEFcos120，

900t22700300t22303103tcos120，

3

化簡得2t23t90，t(舍去)，或t3，

2

此時CEEF303，ECF30，

緝私船沿北偏西30方向行駛，3小時后即早上8點15分可截獲走私船．

題型04綜合應用題

【典例1】（2023上·廣東江門·高三統考階段練習）氣象臺A在早上8:00觀測到一臺風，臺風中心在氣象臺

A正西方向3002km處，它正向東北方向移動，移動速度的大小為40km/h；距離臺風中心10010km以內

的地區都將受到影響.若臺風中心的這種移動趨勢不變，該氣象臺受到臺風影響的時段為（）

A．12:0017:00B．13:0018:00C．13:0017:00D．14:0018:00

【答案】B

【詳解】如圖，由余弦定理，得

AB2OB2OA22OBOAcos45，

于是OB2600OB800000，

解得OB200或OB400，

200400

所以，臺風從O到B用時5小時，臺風從O到C用時10小時.

4040

故，A點受到臺風影響的時間是早上8:00后的5小時至10小時之間，即13:00-18:00.

故選：B.

【典例2】（2023上·湖北武漢·高三華中師大一附中校考期中）某城市平面示意圖為四邊形ABCD（如圖所

示），其中ACD內的區域為居民區，ABC內的區域為工業區，為了生產和生活的方便，現需要在線段AB

和線段AD上分別選一處位置，分別記為點E和點F，修建一條貫穿兩塊區域的直線道路EF，線段EF與

線段AC交于點G，EG段和GF段修建道路每公里的費用分別為10萬元和20萬元，已知線段AG長2公

π

里，線段AB和線段AD長均為6公里，ABAC,CAD，設AEG.

6

(1)求修建道路的總費用y（單位：萬元）與的關系式（不用求的范圍）；

(2)求修建道路的總費用y的最小值.

2020

y

【答案】(1)sinπ

sin

3

(2)80萬元

AGAG2

【詳解】（1）在Rt△AEG中，因為sinAEG，可得EG，

EGsinAEGsin

π

在AFG中，可知AFG，

3

AGsinGAF1

GFAGGF

由正弦定理，可得sinAFGπ，

sinGAFsinAFGsin

3

2020

y10EG20GF

所以sinπ.

sin

3

2020204020sin203cos

y

（2）由（1）可知：sinπsin3cossin3sincossin2

sin

3

ππ

80sin80sin

33

，

2π2π

2cos214sin3

33

πππ2π

因為0，則,，

3333

80t80

π3y

令tsin,1，則4t233，

324t

t

3333

且y4t,y在,1上單調遞增，可知y4t在,1上單調遞增，

t2t2

80t80

y3

所以4t233在,1上單調遞減，

4t2

t

π

當t1，即時，修建道路的總費用y取到最小值80萬元.

6

【典例3】（2023下·云南曲靖·高一校考期中）夏季來臨，氣溫升高，是學生溺水事故的高發期．為有效預

防學生溺水事件的發生，增強學生防溺水的安全防范意識，提高學生的自護自救能力，減少安全事故的發

生，切實保護學生的生命安全，學校組織各班召開了防溺水安全教育主題班會．某地一河流的岸邊觀測站

位于點C處（離地面高度忽略不計），觀察到位于點C西南方向且距離為1003m的點A處有一名釣友，正

目不轉睛地盯著其東偏北15方向上點B處一個正在岸邊玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知BC的距

離為100m，假設A,B,C三點在同一水平面上．

(1)求此時釣友與小孩之間的距離．

(2)若此時釣友到點C處比到點B處的距離更近，且在孩子落水的瞬間釣友跳進河里開始以2.8m/s的速度救

援，與此同時孩子在水流的作用下以2m/s的速度沿北偏東15方向移動，由于釣友平時缺乏鍛煉受耐力限制，

最多能持續游600m，試問釣友這次救援是否有成功的可能？若有可能，求釣友救援成功的最短時間；若不

能，請說明原因．

【答案】(1)距離為100或200米；

500

(2)釣友這次救援有成功的可能，救援成功的最短時間為s.

3

【詳解】（1）由題意得CAB451530，BC100，AC1003，

在三角形ABC中，根據余弦定理有BC2AC2AB22ACABcos30，

23

即10021003AB221003AB，解得AB200或100，

2

故釣友與小孩之間的距離為100或200米.

（2）因為釣友到點C處比到點B處的距離更近，則AB200m，

設釣友在最短時間內救援到地點為點Q，ABQ159015120,AQxm，

25

則BQxxm，

2.87

5

2002(x)2x2

1

所以cosABQ7，

5

2200x2

7

1400

整理得24x27000x140020，解得x（負根舍去），

3

1400

因為600，所以釣友這次救援有成功的可能，

3

1400500

且成功的最短時間為2.8s.

33

【變式1】（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）重慶市某區政府計劃在一處梔子花種植地修