第02講7.1.2復數的幾何意義

課程標準學習目標

①理解可以用復平面內的點或以原點為起

1..理解可以用復平面內的點或以原點為起點的向量來

點的向量來表示復數及它們之間的一一對

表示復數及它們之間的一一對應關系；

應關系。

2.掌握實軸、虛軸、模、共軛復數等概念；

②掌握實軸、虛軸、模、共軛復數等概念。

3.掌握用向量的模來表示復數的模的方法；

③.掌握用向量的模來表示復數的模的方

法。

知識點01：復平面

建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面

①x軸——實軸

②y軸——虛軸

③實軸上的點都表示實數；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數

知識點02：復數的幾何意義

（1）復數的幾何意義——與點對應

復數的幾何意義1：復數zabia,bR復平面內的點Z(a,b)

（2）復數的幾何意義——與向量對應

復數的幾何意義2：復數zabia,bR平面向量OZ(a,b)

知識點03：復數的模

向量OZ的模叫做復數zabia,bR)的模，記為|z|或|abi|

公式：|z||abi|a2b2，其中a,bR

復數模的幾何意義：復數zabi在復平面上對應的點Z(a,b)到原點的距離；

特別的，b0時，復數zabi是一個實數，它的模就等于|a|(a的絕對值).

【即學即練1】（2024上·江蘇揚州·高二統考學業考試）已知復數z2i（i是虛數單位），則z為（）

A．5B．1C．2D．3

【答案】A

【詳解】z22125.

故選：A

知識點04：共軛復數

（1）定義

一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數；虛部不等于0的兩

個共軛復數也叫共軛虛數.

（2）表示方法

表示方法：復數z的共軛復數用z表示，即如果zabi，則zabi.

【即學即練2】（2023上·上海浦東新·高三校考期中）已知復數z1i（其中i為虛數單位），則z.

【答案】1i/i1

【詳解】z1i，z1i.

故答案為:1i.

題型01復數的坐標表示

2

【典例1】（2023上·河北滄州·高三校聯考階段練習）若復數zm3i2i，其中m1，則復數z

3

在復平面內對應的點在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【詳解】因為zm3i2i3m2m1i，實部為3m2，虛部為m1，

2

因為m1，所以03m21，m10，

3

所以復數z在復平面內對應的點為3m2,m1位于第四象限.

故選：D

【典例2】（2023下·新疆哈密·高一校考期末）四邊形ABCD是復平面內的平行四邊形，A,B,C三點對應的

復數分別是13i，2i，3i，則點D對應的復數為．

【答案】45i/5i4

【詳解】依題意，因為A,B,C三點對應的復數分別是13i，2i，3i，

所以A1,3,B2,1,C3,1，

因為ABCD是平行四邊形，所以ABDC，設Dx,y，

3x1x4

則1,43x,1y，故，解得，

1y4y5

所以D4,5，則點D對應的復數為45i.

故答案為:45i.

【變式1】（2023·高一課時練習）復平面上給定四個點O,A,B,C可以構成一個平行四邊形，其中四個點對

應的復數分別為zO0，zA1i，zC32i，則zB．

【答案】4+3i或2i或2i

【詳解】因為zO0，zA1i，zC32i,又因為O,A,B,C可以構成一個平行四邊形,分情況可得

當OABC為平行四邊形,則zBzAzC1+i+3+2i=4+3i;

當OBAC為平行四邊形,則zAzBzC,即zBzAzC1i32i2i

當OBCA為平行四邊形,則zCzBzA,即zBzCzA32i1i2i

故答案為:4+3i或2i或2i

【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習）在復平面內作出表示下列復數的點：

(1)12i；

22

(2)i；

22

(3)3i；

(4)5．

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

(3)答案見解析

(4)答案見解析

【詳解】（1）解：如圖所示，根據復數的幾何意義，可得復數12i在復平面對應的點為Z1(1,2).

2222

（2）解：如圖所示，根據復數的幾何意義，可得i在復平面對應的點為Z(,).

22222

（3）解：如圖所示，根據復數的幾何意義，可得復數3i在復平面對應的點為Z3(0,3)

（4）解：如圖所示，根據復數的幾何意義，可得復數5在復平面對應的點為Z4(5,0)

題型02在各象限內點對應復數的特征

【典例1】（2023下·遼寧大連·高一大連八中校考期中）復數z2sinicosR對應的點在第四象限，

則角是（）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

【答案】B

sin0

【詳解】因為復數z2sinicosR對應的點在第四象限，則，

cos0

因此，角是第二象限角.

故選：B.

2

【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知復數zm6m2m3i，若在復平面內z對應的點在第二

象限，則m的取值范圍為．

【答案】,31,6

【詳解】由已知可得，zm6m22m3i.

m60

根據復數的幾何意義可得，2，

m2m30

解得m3或1m6，

所以實數m的取值范圍為,31,6.

故答案為：,31,6.

【典例3】（2023下·安徽宿州·高一統考期中）在復平面內，復數zcos1sin1sin2cos2i,(i為虛數單

位)的共軛復數對應的點在第象限.

【答案】三

【詳解】由復數zcos1sin1sin2cos2i,(i為虛數單位)的共軛復數為：

zcos1sin1sin2cos2i，

所以對應的點為cos1sin1,sin2cos2，

ππ

因為1，

42

所以sin1cos1，所以cos1sin10，

π

因為2π，

2

所以sin2cos2，所以sin2cos20，

故復數z的共軛復數對應的點在第三象限，

故答案為：三.

【變式1】（2023下·貴州黔東南·高三校考階段練習）若復數aa1i在復平面內對應的點位于第一象限，

則實數a的取值范圍是（）

A．a1B．a0C．a1D．0a1

【答案】C

a0

【詳解】由題意可得a1.

a10

故選：C

【變式2】（2021·高一課時練習）當0m1時，復數z1mm2mi在復平面上對應的點位于（）．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【詳解】∵0m1，

∴1m0，m2mmm10，

∴復數z1mm2mi在復平面上對應的點位于第四象限．

故選：D.

【變式3】（2022上·北京·高二北京二中校考階段練習）已知i為虛數單位，復數z3mimR且z5，

z在復平面內的對應點位于第四象限，則z的虛部為.

【答案】4

【詳解】z3mimR，

z32m25，解得m4，

z在復平面內的對應點位于第四象限，m0，m4.

故答案為：4.

題型03實軸，虛軸上點對應復數

【典例1】（2023下·高一單元測試）若復數zm2m2m23m2i在復平面內對應的點位于虛軸上，

則實數m的取值集合為.

【答案】1,2

【詳解】因為m為實數，且復數zm2m2m23m2i在復平面內對應的點m2m2,m23m2

位于虛軸上，

所以m2m20，解得m2或m1.

故答案為：1,2.

【典例2】（2022上·廣東東莞·高二東莞市東華高級中學校考階段練習）已知復數

zm22m3m24m3imR在復平面上對應的點為Z，

(1)求點Z在實軸上時，實數m的取值；

(2)求點Z在虛軸上時，實數m的取值；

(3)求點Z在第一象限時，實數m的取值范圍.

【答案】(1)m=1或m=3；

(2)m=3或m1；

(3)m3或m1.

【詳解】（1）因為點Z在實軸上，所以虛部m24m30，

解得m=1或m=3.

（2）點Z在虛軸上時,復數的實部為0，

所以m22m30，解得m=3或m1.

（3）點Z在第一象限，復數的實部與虛部都大于0，

m22m3>0

即，解得或

2m3m1.

m4m+3>0

【典例3】（2022下·重慶北碚·高一西南大學附中校考期中）mR，復數zm2m2m21i在復平面

內對應的點Z.

(1)點Z位于第二象限，求m的取值范圍；

(2)復數z是純虛數，求m的值.

【答案】(1)(2,1)

(2)m2

【詳解】（1）因為復數zm2m2m21i在復平面內對應的點Z位于第二象限，

m2m202m1

所以，即，

2

m10m1或m1

解得2m1，即m的取值范圍為(2,1)

（2）因為復數z是純虛數，

m2m20

所以，解得，

2m2

m10

所以當m2時，復數z是純虛數

【變式1】（2022·高一課時練習）若復數za22aa2a2i對應的點在虛軸上，求實數a應滿足的

條件．

【答案】a＝0或2

【詳解】∵復數za22aa2a2i對應的點在虛軸上，

∴a22a0，解得a2或a0.

【變式2】（2023下·陜西榆林·高一校考期中）求實數m的值或取值范圍，使得復數zm2m2m21i

分別滿足：

(1)z是實數；

(2)z是純虛數；

(3)z在復平面中對應的點位于第三象限.

【答案】(1)1

(2)2

(3)1m1

22

【詳解】（1）因為復數zmm2m1i是實數，所以m210，所以m1；

m210

（）因為復數22是純虛數，所以，

2zmm2m1i2

mm20

所以m2；

（3）復數zm2m2m21i在復平面中對應的點為m2m2,m21，

m2m20

因為該點位于第三象限，所以，所以1m1

2.

m10

【變式3】（2023下·天津河北·高一統考期中）已知復數zm21m2m2i，mR.

(1)若z是實數，求m的值；

(2)若z是純虛數，求m的值；

(3)若z在復平面內對應的點在第四象限，求m的取值范圍.

【答案】(1)m1或m2；

(2)m1；

(3)1m2

【詳解】（1）解：zm21m2m2i，且z是實數，

m2m20，

解得m1或m2；

（2）解：z是純虛數，

m210

，

2

mm20

解得m1；

（3）解：z在復平面內對應的點在第四象限，

m210

，

2

mm20

解得1m2.

題型04求復數的模

【典例1】（2023·全國·模擬預測）若aR，z為純虛數，且2a1i2azi，則az（）

37

A．5B．5C．D．3

3

【答案】A

【詳解】因為z為純虛數，

所以設zmimR,m0，

由2a1i2azi得2a1im2ai，

2ma1

所以，解得，

a12am2

所以z2i，則az12i5，

故選：A．

17

【典例2】（2023下·遼寧·高一校聯考期末）已知zi，則z（）

55

A．1B．2C．3D．5

【答案】B

1717

【詳解】因為zi，所以z()2()22.

5555

故選：B

【典例3】（2022·全國·高二專題練習）已知zm3m1imR在復平面內對應的點在第四象限，

則復數z的模的取值范圍是（）

A．22,4B．2,4C．22,4D．2,4

【答案】A

【詳解】解：因為zm3m1imR在復平面內對應的點在第四象限，

m30

所以，解得3m1，

m10

222

zm3m12m24m102m18，

22

因為3m1，所以m10,2，則2m1822,4，

所以復數z的模的取值范圍是22,4.

故選：A.

【變式1】（2023上·安徽·高三安徽省懷遠第一中學校聯考階段練習）若a2ib12i43i，其中a，

bR，i是虛數單位，則abi（）

A．2B．5C．3D．5

【答案】B

【詳解】若a2ib12i43i，即2aba2bi43i，

2ab4a1

得，解得，

a2b3b2

所以abi12i5．

故選：B

【變式2】（2023下·高一單元測試）已知復數z68i，則z（）

1416

A．5B．10C．D．

99

【答案】B

【詳解】復數z68i，則|z|628210，

故選：B

【變式3】（多選）（2022上·山東青島·高三統考期末）已知復數za1a2i，i為虛數單位，aR，

則下列正確的為（）

A．若z是實數，則a1B．復平面內表示復數z的點位于一條拋物線上

3

C．zD．若z2z1，則a1

2

【答案】BC

2

【詳解】選項A：由復數za1ai是實數可知1a20，解之得a1.選項A判斷錯誤；

選項B：復數za1a2i在復平面內對應點Z(a,1a2)，其坐標滿足方程y1x2，即點Z(a,1a2)位于

拋物線y1x2上.判斷正確；

選項C：由za1a2i，可得

2

222422133

za1aaa1a.判斷正確；

242

22

選項D：z2z1即a1ai=2a121ai

a2a1

可得22，解之得a1.選項D判斷錯誤.

1a21a

故選：BC

題型05根據復數的模求參數

【典例1】（2023下·廣東河源·高二龍川縣第一中學校考期中）已知復數zababi為純虛數（a,bR，

i是虛數單位），且z2，則（）

A．a1且b1B．a1且b=-1C．a1或b=-1D．b1或b=-1

【答案】D

ab0

【詳解】復數zababi為純虛數，則，即ab0，故z2bi，

ab0

2

由z2b2b2，則b1或b=-1．

故選：D．

ππ

【典例2】（2023上·上海虹口·高三校考期中）設復數zcos2sin（ii為虛數單位）且,0，

22

若z1，則tan2．

【答案】22

2

【詳解】由題設zsin2sini，則|z|(sin)22sin1，

21π36

所以sin，又,0，則sin，cos，

3233

2tan

2

所以tan，則tan2222.

21tan

故答案為：22

【典例3】（2021·全國·模擬預測）已知復數zaa4iaR（i為虛數單位），若z22，則實數

a的值為（）

A．2B．0C．1D．2

【答案】D

【詳解】由題意zaa4iaR，z22，

22

可得a2a422，整理得a20，所以a20，所以a2，

故選：D．

【典例4】（2022·上海·統考模擬預測）已知是實系數一元二次方程x2(2m1)xm210的一個虛數根，

且||5，若向量a(2m1,3m)，則向量|a|的取值范圍為

513

【答案】5,

4

【詳解】不妨設abi，abi，

因為是實系數一元二次方程x2(2m1)xm210的一個虛數根，

22

所以也是x(2m1)xm10的一個虛數根，

從而a2b2||2m215①，

又因為x2(2m1)xm210無實根，

所以[(2m1)]24(m21)0②，

3

由①②可得，m2，

4

因為a(2m1,3m)，所以|a|2(2m1)2(3m)25(m1)25，

由一元二次函數性質易知，

32325

當m1時，2有最小值5；當m時，|a|；當m2時，2，

|a|416|a|10

32325513

故當m2時，5|a|，即5|a|，

4164

513

故向量|a|的取值范圍為：5,.

4

513

故答案為：5,.

4

【變式1】（2023下·北京海淀·高一清華附中校考期末）已知復數z3ai(a0)的模為5，則a.

【答案】4

【詳解】由題意，可得a9a25，且a0，解得a4.

故答案為：4.

【變式2】（2022下·河南·高二校聯考階段練習）設復數zacos2asini(i為虛數單位)，若對任

意實數，z2，則實數a的取值范圍為（）

555

A．1,B．1,1C．0,2D．,

555

【答案】D

【詳解】解：由zacos2asini，得zcosisina2ai2，

由復數模的幾何意義知，cosisina2ai表示復平面上的點Pcos,sin與點Aa,2a間的距

離，

而點P在單位圓x2y21上，要使PA2恒成立，則點A必在圓x2y21上或其內部，故

2255

a2a1，解得a.

55

故選：D.

【變式3】（2023下·福建·高一校聯考期中）已知復數z的實部為3，且z2，則復數z的虛部為．

【答案】1

【詳解】由復數z的實部為3，可設復數z3bi,bR，

因為z2，可得(3)2b22，可得b21，解得b1.

故答案為：1.

【變式4】（2023下·河南南陽·高一統考期末）已知復數zm2m6m2m2i(mR)在復平面內所

對應的點為A.

(1)若點A在第二象限，求實數m的取值范圍；

(2)求|z|的最小值及此時實數m的值.

【答案】(1)3m2或1m2

117

(2)|z|的最小值為22，m

2

m2m60

【詳解】（）由，解得或

123m21m2.

mm20

22

（2）|z|2m2m6m2m2，

2

2199

令mm2t，∵tm，∴t,，

244

2

則|z|22t28t162t28，

117

所以當t2，即m時，有最小值22.

2

題型06判斷復數對應點所在象限

【典例1】（2023上·江蘇徐州·高三統考學業考試）復數z1i在復平面上對應的點位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【詳解】根據復數的幾何意義，可得復數z1i在復平面內對應的點Z(1,1)位于第四象限.

故選：D.

【典例2】（2022下·高一校考單元測試）歐拉公式eixcosxisinx（i為虛數單位）將指數函數的定義域擴

大到復數集，建立了三角函數和指數函數的關系．當xπ時，eiπ10.根據歐拉公式可知，e4i對應的點

在復平面內位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C

4i

【詳解】解析：因為eixcosxisinx，所以ecos4isin4,

3

π4π，所以cos40,sin40，

2

故e4i對應的點在復平面中位于第三象限．

故選：C.

【典例3】（多選）（2023·高一單元測試）設mR，復數z3m25m21mi，則z在復平面內對應

的點可能在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】ABD

【詳解】由題意得：復數z在復平面內對應的點為3m25m2,1m；

令fm3m25m23m2m1，

①當1m0，即m1時，

22

若m，則fm0，3m5m2,1m位于第一象限；

3

2

若m1，則fm0，3m25m2,1m在第二象限；

3

②當1m0，即m1時，fm0，3m25m2,1m位于第四象限；

綜上所述：z在復平面內對應的點可能在第一、第二和第四象限.

故選：ABD.

【變式1】（2023上·四川成都·高二校考階段練習）若復數z33i，則z在復平面上的點在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【詳解】復數z33i在復平面上的對應的點為3,3，

所以z在復平面上的點在第四象限.

故選：D.

1

【變式2】（2022下·高一課時練習）復數zxx3i(xR)在復平面上對應的點不可能位于（）

x

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

【答案】B

1

【詳解】根據題意可知，復數z的實部ax，虛部bx3.

x

1

當x0時，ax0，bx3231，故點a,b可能在一、四象限；

x

1

當x0時，ax0，bx3235，故點a,b在第三象限.

x

1

綜上，復數zxx3i(xR)在復平面上對應的點不可能位于第二象限.

x

故選：B.

題型07根據復數的坐標寫出復數

【典例1】（2023下·河北石家莊·高一石家莊精英中學校考階段練習）復數z1,z2在復平面內對應的點關于虛

軸對稱，若z132i，i為虛數單位，則z2（）

A．32iB．32iC．32iD．23i

【答案】B

【詳解】z132i對應的點的坐標為3,2，

因為z1,z2在復平面內對應的點關于虛軸對稱，

所以z2對應的點的坐標為3,2，

故z232i.

故選：B.

【典例2】（2022·江蘇南通·校聯考模擬預測）在復平面內，一個正方形的3個頂點對應的復數分別是1＋

2i，－2＋i，0，則第4個頂點對應的復數為（）

1

A．－1＋2iB．－1＋3iC．3iD．3i

2

【答案】B

【詳解】復數1＋2i，－2＋i，0所對應的點分別是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），

由題意可知ABOD，正方形以OA,OB為鄰邊，設另一點為D（x，y），

所以AB(3,1),OD(x,y),OA(1,2),BD(x2,y1),

ABOD03xy0x1

則，解得，

OABD1(y1)2(x2)y3

∴z13i.

故選：B．

【典例3】（2022下·陜西西安·高二統考期中）在復平面內，平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C對應的

復數分別是1+3i,-i,2+i,則點D對應的復數為

【答案】3+5i

【詳解】試題分析：A,B,C三點對應的復數分別是13i,i,2i，A(1,3),B(0,1),C(2,1)，

設D(x,y)，則：AB(1,4),DC(2x,1y)，

在平行四邊形ABCD中，有ABDC，即(1,4)(2x,1y)，

2x1x3

{{，即D(3,5)對應的復數為：35i.

1y4y5

故答案應填：35i．

【變式1】（2022上·廣西·高二統考學業考試）復數abia,bR與復平面內的點a,b一一對應，則復平

面內的點2,3對應的復數是（）

A．23iB．1iC．4iD．5i

【答案】A

【詳解】復平面內的點2,3對應的復數為23i.

故選：A

【變式2】（2022下·山東棗莊·高一統考期末）在復平面內，點A，B對應的復數分別為35i，32i.若C

為靠近點B的線段AB的三等分點，則點C對應的復數是（）

A．13iB．13iC．5iD．14i

【答案】A

【詳解】解：設C(x,y)，點A，B對應的復數分別為35i，32i，

A(3,5)，B(3,2)，則AC(x3,y5)，AB(6,3)，

C為靠近點B的線段AB的三等分點，

2x34x1

ACAB，，解得，

3y52y3

C(1,3)，對應復數為13i．

故選：A．

【變式3】（2022·高一課時練習）已知復數z112i,z22i,z312i在復平面上對應的點是一個正方

形的3個頂點，求這個正方形的第4個頂點對應的復數.

【答案】2i

【詳解】設復數z112i,z22i,z312i在復平面上分別對應點

A1,2,B2,1,C1,2

設正方形的第四個頂點對應的坐標是D(x,y),則其對應的復數為xyi,則ADBC,

又AD(x1,y2),BC(1,3)

(x1,y2)(1,3)

x11,y23

x2,y1

故這個正方形的第四個頂點對應的復數是2i

題型08根據復數對應坐標的特點求參數

22

【典例1】（2022下·廣東清遠·高一校聯考期中）已知mR，復平面內表示復數m2m3m4mi的

點位于第三象限內，則m的取值范圍是.

【答案】0,3

【詳解】由題意可知，復數對應點的坐標為(m22m3,m24m)，該點位于第三象限內，

m22m30

則滿足

2,

m4m0

1m3

得,所以0m3,

0m4

故答案為：0,3

【典例2】（2022·全國·高一專題練習）已知z1cosisin2,z23sinicos，當θ為何值時，

(1)z1z2；

(2)z1,z2對應點關于x軸對稱；

(3)z22．

【答案】(1)2k(kZ)

6

7

(2)2k(kZ)

6

(3)kk(kZ)

44

【詳解】（1）解：因為z1z2，

3

3tan

cos3sintan3

所以，即3，則，

sin2cos1

2sincoscossin

2

所以2k(kZ)；

6

（2）解：因為z1,z2對應點關于x軸對稱，

3

3tan

cos3sintan3

所以，即3，則，

sin2cos1

2sincoscossin

2

7

所以2k(kZ)；

6

（3）解：由z22，

2

得3sincos22，

即3sin2cos22，

2122

所以sin，所以sin，

222

所以kk(kZ).

44

22

【變式1】（2022下·陜西延安·高二子長市中學校考期末）已知復數zm2mmm6i，mR，i是

虛數單位．

(1)若復數z為純虛數，求m的值；

(2)若復數z在復平面內對應的點在第四象限，求m的取值范圍．

【答案】(1)0

(2)0,3

m22m0,

【詳解】（）∵復數z為純虛數，∴解得，

12m0

mm60,

∴m的值為0．

（2）∵復數z在復平面內對應的點在第四象限，

m22m0,

∴解得，

20m3

mm60,

故m的取值范圍為0,3．

【變式2】（2022下·廣西柳州·高一統考期中）已知復數zm25m6m23mimR

(1)若復數z是純虛數，求實數m的值；

(2)若復數z在復平面內的對應點在第四象限，求實數m的取值范圍．

【答案】(1)2；

(2)0m2.

m25m60

【詳解】（）復數22是純虛數，則有，

1zm5m6m3mimR2

m3m0

解得m2，

所以實數m的值是2.

（2）復數zm25m6m23mimR在復平面內的對應點在第四象限，

m25m60

于是得，解得：，

20m2

m3m0

所以實數m的取值范圍是0m2.

題型09共軛復數

【典例1】（2023下·四川內江·高一統考期末）設復數z34i，則z的共軛復數在復平面內對應的點在第

（）

A．一象限B．二象限

C．三象限D．四象限

【答案】A

【詳解】由題意可知，復數z的共軛復數為z34i，

則復數z在復平面內對應的點的坐標為3,4，位于第一象限.

故選：A.

【典例2】（多選）（2022下·江蘇連云港·高二統考期中）已知復數z43i，則下列命題中正確的為（）

A．|z|5B．z43iC．z的虛部為3iD．z在復平面上對應點在第二象限

【答案】AB

【詳解】因為z43i，

2

所以z4235，故A正確；z43i，故B正確；z的虛部是-3，故C錯誤；z在復平面上對應的

點是4,3，在第四象限，故D錯誤.

故選：AB

【變式1】（2022·全國·高三專題練習）若i為虛數單位，則復數z2i33i2的共軛復數z在復平面內對應的

點位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】B

【詳解】解：z2i33i2-3-2i，z=-32i，z在復平面內對應的點為3,2在第二象限

故選：B

【變式2】（2022下·江蘇揚州·高二揚州中學校考階段練習）已知復數z34i，那么z的虛部是.

【答案】-4

【詳解】z34i,z34i,

z的虛部是4.

故答案為：4

題型10復數與三角函數、集合的綜合問題

【典例1】（2023下·遼寧·高一校聯考期末）棣莫弗定理是由法國數學家棣莫弗發現的，由棣莫弗定理可以

2023

nnππ

導出復數乘方公式：rcosisinrcosnisinn．根據復數乘方公式，復數2cosisin

55

在復平面內對應的點位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

2023

ππ20232023π2023π20233π3π

【詳解】由題意得2cosisin2cosisin2cosisin，

555555

20233π3π

因為20，cos0，sin0，

55

2023

ππ

所以復數2cosisin在復平面內對應的點位于第四象限．

55

故選：D

2

【典例2】（2023下·山東青島·高一統考期中）在復平面內，O是原點，向量OA對應的復數z1m4mi，

mR.

(1)若點A位于第四象限，求m的取值范圍；

(2)若點A關于實軸的對稱點為點B，求向量AB對應的復數；

(3)若z22cos4sini，且z1z2，求的取值范圍.

【答案】(1)m>2

(2)24m2i

(3)[1,8]

2

【詳解】（1）由題意z1m4mi對應點A位于第四象限，

m0

故2，解得m>2，

4m0

即m的取值范圍m>2.

22

（2）點A對應的復數為z1m4mi，則關于實軸的對稱點B對應的復數為zm4mi，

222

則AB對應的復數為zz1m4mi[m4mi]24mi，

（3）z1z2，

m2cos212

2，即4sin4sin4(sin)1，

4m4sin2

1

由1sin1，可知4(sin)21[1,8]，

2

故的取值范圍為[1,8].

【變式1】（2023下·上海閔行·高一統考期末）在復平面上，設點