第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年重慶市大一名校聯盟高二下學期期中考試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若Cn2=CnA.48 B.108 C.114 D.1262.若limΔx→0f(1+Δx)?f(1)3Δx=3，則A.27 B.9 C.3 D.13.函數f(x)=x?xlnx的單調遞增區間為(

)A.(?∞,1) B.(0,1) C.(0,e) D.(1,+∞)4.小明用3D打印機制作了一個底面各邊邊長均不相等的四棱錐模型，現將此模型的每一個面都涂上一種顏色，其中有公共邊的兩個面異色，現有5種顏色可供使用，則有(????)種不同的涂色方法A.320 B.360 C.420 D.4805.若函數f(x)=ex?12ax2A.(0,1) B.(0,e] C.[e,+∞) D.(e,+∞)6.某單位在5月1日——5月5日這5天假期期間，實行每日一人值班制度，以確保各項工作的日常運轉與應急事務的及時處理。現計劃從4名員工中每天派1名員工值班，則每位員工至少值一天班的概率是(

)A.1564 B.15128 C.241257.《孫子算經》是中國南北朝時期重要的數學著作，書中的“中國剩余定理”對同余除法進行了深入的研究.設a，b，m(m>0)均為整數，若a和b被m除得的余數相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b(modm)，如8和14被3除得的余數都是2，則記8≡14(mod3).若a≡b(mod10)，且a=C200+CA.2021 B.2023 C.2025 D.20278.已知函數f(x)=alnx，不等式f(ax)≤ex在x∈(0,+∞)上恒成立，則實數aA.(0,1] B.(?∞,1] C.(0,e] D.(?∞,e]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知二項式(ax?1x)A.展開式中二項式系數之和為64

B.展開式中有理項的個數為3

C.若a=2，則展開式的常數項為60

D.若展開式中各項系數之和為64，則a=310.若函數y=?(x)的圖象上至少存在兩個不同的點M，N，使得曲線y=?(x)在這兩點處的切線垂直，則稱函數y=?(x)為“類正交函數”.下列函數中為“類正交函數”的是(

)A.y=x2 B.y=ex C.11.已知函數f(x)=2x3?3xA.當a=1且x∈(0,π)時，f(sinx)<f(sin2x)

B.當b=0時，若f(x)有兩個極值點，則a的取值范圍是(?12,+∞)

C.若f(x)滿足f(1?x)+f(x)=2，則a2+b2的最小值為4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設函數f(x)=e3x+a，若f′(0)=3，則a=

．13.已知函數y=x+lnx在點(1,1)處的切線與二次函數y=ax2+(a+2)x+1相切，則實數14.在如圖所示的九宮格中填入數字和字母，已知三個字母A，B，C都填到九宮格中且不能在同一行同一列，其他每格只能從數字1，2，3中選擇一個填入，有公共邊的兩個格數字不相同，則不同的填法種數為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)某中學為表彰在過去一學期在“德智體美勞”等方面表現突出且優異的同學，特設“為校爭光獎”，獲得該獎項的一共七名同學，其中3名男生與4名女生。為了紀錄下這榮耀時刻，攝影師要求獲獎同學進行排隊拍照，排隊按照下列不同的要求進行，求不同的方案的方法總數，按要求列出式子，再計算結果，用數字作答．(1)全體站成一排，男生互不相鄰;(2)若排成一排照，甲、乙必須相鄰，且不站兩端;(3)若排成一排照，其中甲不站最左面，乙不站最右面．16.(本小題15分)已知函數f(x)=(1)求f(x)在x=1處的切線方程;(2)若函數y=f(x)?a有3個不同的零點，求實數a的取值范圍．17.(本小題15分)

禮嘉智慧公園旨在打造智能化體驗示范區，將人工智能、大數據、物聯網等現代信息技術與優美環境有機結合，從公園設施到衣食住行，多方面引領智慧新生活，讓百姓切身感受科技的魅力。公園為了再次升級，擬將一塊在半徑為20米的半圓形綠化地擴建成一個新型文化廣場(如圖所示的陰影部分)，同時為了擁有更好地體驗試將該廣場分休閑健身和兒童活動兩個功能區，圖中矩形ABCD區域是休閑健身區，以CD為底邊的等腰三角形PCD區域是兒童活動區，P，C，D三點在圓弧上，AB中點恰好在圓心O.設∠COB=θ，新型文化廣場的面積為S．

(1)求出新型文化廣場的面積為S關于θ的函數解析式;(2)當角θ取何值時，新型文化廣場的面積S最大?其最大面積是多少?18.(本小題17分)已知函數f(n,x)=(2(1)當m=2時，求f(5,x)的展開式中二項式系數最大的項;(2)若f(10,x)=a0+?①求a1+2?②求ai(0≤i≤10,i∈N)19.(本小題17分)定義運算：pqst(1)若a=1時，求f(x)的極值;(2)若a∈(0,1]，函數g(x)=x?1ln(3)設n∈N?，證明：e1+參考答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.D

6.A

7.A

8.C

9.AC

10.ACD

11.BCD

12.0

13.8

14.5184

15.解：(1)先將女生全排有A44種，

再從5個空隙中選出3個將3個男生插入到3個空隙中有A53種，

由分步乘法原理共有A44A53=1440種排法；

(2)若排成一排照，甲、乙必須相鄰，且不站兩端，

則采用插空法，將其余的5人排好，5人中間有4個空，

把甲乙當做一個整體插入，方法有A22?A55?A41=960種；

(3)分四類：

(a)當甲排在最右面，同時乙排在最左面：A55=120種16.解：(1)易知函數的定義域為(0,+∞)，

所以f′(x)=x?3+2x=x2?3x+2x=(x?1)(x?2)x，

則k=f′(1)=1?3+21=0，

當x=1時，f(1)=12?3=?52，即切點為(1,?52)

所以切線方程為y=?52；

(2)有題意知，轉化為方程f(x)=a有3個不等的實根，

即函數y=f(x)與直線y=a圖像上有3個不同的交點

令f′(x)>0，得x<1或x>2，令f′(x)<0，得1<x<2，

故函數f(x)在(0,1)和(2,+∞)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減，

即f(x)在x=1時取得極大值f(1)=?52，f(x)在x=2時取得極小值f(2)=2ln2?4

當x→0+時，lnx→?∞，12x2?3x→0，即f(x)→?∞，

當x=417.解：(1)由已知得BC=20sinθ，OB=20cosθ，

等腰△PCD底邊CD上的高為20?20sinθ，

所以S=2×20cosθ×20sinθ+12×40cosθ(20?20sinθ)

=800sinθcosθ+400(cosθ?cosθsinθ)

=400(2sinθcosθ+cosθ?sinθcosθ)

=400(sinθcosθ+cosθ)，

所以S=400(sinθcosθ+cosθ),(0<θ<π2)；

(2)設f(θ)=sinθcosθ+cosθ，

則f′(θ)=cos2θ?sin2θ?sinθ

=?2sin2θ?sinθ+1

=?2(sinθ?12)(sinθ+1)，

令f′(θ)>0，由0<θ<π2，可得0<θ<π6，

18.解：(1)當m=2時，f(5,x)=(1+2x)5的展開式共有6項，

二項式系數最大的項為第三項或第四項，

所以T3=C52(2x)2=40x2或T4=C53(2x)3=80x3；

(2)?①f(10,x)=(2m+mx)10的通項公式為T②

f(10,x)=(1+2x)10

的通項公式為

Tr+1=C10r設

ar=2rC10r

為

a即

，即

，

∴(a

19.解：(1)由題意知：當a=1時f(x)=x?1?lnx(x>0)，

∴f′(x)=1?1x=x?1x，

當0<x<1時，f′(x)<0;當x>1時，f′(x)>0，

即f(x)在(0,1)上單調遞減，f(x)在(1,+∞)上單調遞增，

所以，當x=1時，f(x)取得極小值f(1)=0;f(x)無極大值；

(2)g(x)=(x?1)ex?ealnx?1+a，

要證g(x)≥0，即證x?1ea≥lnx?1+aex，即證(x?1)ex?a?lnx+1?a≥0，

令μ(x)=(x?1)ex?a?lnx+1?a(x>0)，

∴μ′(x)=xex?a?1x，