2024年高二年級5月聯考數學試題B卷時長：120分鐘滿分：150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.計算的值為（）.A.1B.0C.20D.212.已知等差數列，等比數列，滿足，，則（）.A.B.C.2D.43.已知函數，則（）.A.2B.1C.0D.4.設隨機變量的分布列為，則的值為（）A.B.C.D.5.的展開式中含項的系數為（）.A.B.C.50D.106.設某批產品中，由甲?乙?丙三個車間生產的產品分別占50%，30%，20%，已知甲?乙車間生產的產品的次品率分別為3%，5%.現從該批產品中任取一件，若取到的是次品的概率為3.8%，則推測丙車間的次品率為（）.A.4%B.3%C.6%D.5%7.在數學中，自然常數.小布打算將自然常數的前6位數字2，7，1，8，2，8進行排列得到密碼.如果排列時要求8不排最后一個，兩個2相鄰，那么小布可以設置的不同的密碼個數為（）.A.30B.32C.36D.488.已知函數，對任意，，且，都有成立，則實數a的取值范圍是（）.A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分.9.已知是等比數列，是其前n項和，，下列說法中正確的是（）.A.若是正項數列，則是單調遞增數列B.，，一定是等比數列C.若存在，使對都成立，則是等差數列D.若對任意，總存在使成立，則可能是單調遞減數列10.甲?乙?丙?丁四名同學報名參加假期社區服務活動，社區服務活動共有“關懷老人”?“環境檢測”?“圖書義賣”這三個項目，每人都要報名且限報其中一項.記事件A為“恰有兩名同學所報項目相同”，事件B為“只有甲同學一人報‘關懷老人’項目”，則（）.A.四名同學的報名情況共有64種B.“每個項目都有人報名”的報名情況共有36種C.“四名同學最終只報了兩個項目”的概率是D.11.已知函數，則下列說法正確的是（）.A.若在上單調遞增，則B.若，則過點能作兩條直線與曲線相切C.若有兩個極值點，，且，則a的取值范圍為D.若，且的解集為，則三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量，且期望，則方差__________.13.若定義域都為的函數及其導函數，滿足對任意實數x都有，則__________.14.各數位數字之和等于6（數字可以重復）的四位數個數為__________（請用數字作答）.四?解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區域內作答.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知一個袋內有4只不同的紅球，5只不同的白球.（1）若取一只紅球記2分，取一只白球記1分，現從袋中任取5只球，且兩種顏色的球都要取到，使總分不小于8分的取法有多少種？（用數字作答）（2）在條件（1）下，當總分為8分時，先取球再將取出的球隨機排成一排，求紅球互不相鄰的不同排法有多少種？（用數字作答）16.（本小題滿分15分）在的展開式中，前3項的系數的絕對值成等差數列.（1）求展開式中二項式系數最大的項及各項系數和；（2）求展開式中所有的有理項.17.（本小題滿分15分）某校為了解高二學生每天的作業完成時長，在該校高二學生中隨機選取了100人，對他們每天完成各科作業的總時長進行了調研，結果如下表所示：時長t（小時）人數34334218用表格中的頻率估計概率，且每個學生完成各科作業時互不影響，（1）從該校高二學生中隨機選取1人，估計該生可以在3小時內完成各科作業的概率；（2）從樣本“完成各科作業的總時長在2.5小時內”的學生中隨機選取3人，其中共有X人可以在2小時內完成各科作業，求X的分布列和數學期望；（3）從該校高二學生（學生人數較多）中隨機選取3人，其中共有人可以在3小時內完成各科作業，人在3小時及以上完成各科作業，試寫出數學期望，并比較其大小關系.18.（本小題滿分17分）已知等差數列與正項等比數列滿足，且，20，既是等差數列，又是等比數列.（1）求數列和的通項公式；（2）若，數列的前n項和，滿足對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.19.（本小題滿分17分）已知函數，其導函數為.（1）求函數的極值點；（2）若直線是曲線的切線，求的最小值；（3）證明：.2024年云學名校聯盟高二年級5月聯考數學評分細則命題學校：黃岡中學命題人：胡小琴鄭齊愛審題人：襄陽五中曹標平咸寧高中陳小燕一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【答案】D【解析】計算得，故選D.2.【答案】B【解析】數列是等差數列，，可得，即，數列是等比數列，，可得，可得，則.故選B.3.【答案】A【解析】由題設得，，從而.故選A.4.【A卷】【答案】C【解析】.故選C.【B卷】【答案】C【解析】由題意得：，解得：.故選C.5.【答案】D【解析】的展開式通項為，令，3，則的展開式中含項的系數為.故選D.6.【答案】A【解析】設丙車間的次品率為P，由題全概率公式知%%%，解得%.故選：A.7.【答案】C【解析】根據題意，分兩種情況：①2排在第一位，則第二位也是2，再從剩下4個位置選出2個，安排兩個8，最后安排7和1，此時有個不同的密碼；②2不排成第一位，則第一位安排7或1，將兩個2看成一個整體，與兩個8和7或1中剩下的數排列，此時有個不同的密碼；則一共有個不同的密碼.故選C.8.【答案】B【解析】當時，易知函數在上是增函數，不妨設，則.由，所以.所以，即.設，則在區間上是減函數.所以在時恒成立，因為，所以在時恒成立，即在時恒成立，即.而在區間上是增函數，所以的最大值為，所以，又，所以.故答案為：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的或不選的得0分.9.【答案】ACD【詳解】A中，，所以是單調遞增數列，B中反例當，n為偶數，，，為零的常數列，故B錯；C中，則是等差數列，C正確；D中由題設，若，則是單調遞減數列，故D正確.故答案為：ACD.10.【答案】BCD【詳解】解：對于A，由題意可知，甲?乙?丙?丁四名同學每人有3種選擇，故四名同學的報名情況共有種，A錯誤；對于B，現將四名志愿者分為2，1，1三組，共有種情況，再將其分到三個活動中，共有種，由分步乘法計數原理得到種，故“每個項目都有人報名”的報名情況共有36種，B正確；對于C，“四名同學最終只報了兩個項目”的概率是，C正確；對于D，由已知有：，，所以，D正確.故選：BCD.11.【答案】AC【解析】對于A，對求導得：，因為函數在上單調遞增，所以恒成立，即恒成立，記，則，因為，當時，，即函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，因此，函數在處取得最大值，所以，即，故選項A正確；對于B，時，，，設圖象上一點，則，故過點的切線方程為，將代入上式得，整理得，構造函數，則，構造函數，則，令得，令得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，所以函數單調遞增，又，，即方程在區間僅有一解，從而在上也僅有一解，所以過點只能作一條直線與曲線相切，B選項錯誤.對于C，因為函數有兩個極值點，，所以有兩個零點，，即方程有兩個解為，，記，因為，當時，，即函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，因此，函數在處取得最大值，方程有兩個解為，等價于與圖像有兩個不同公共點，所以，所以，C選項正確；對于D，由，得，等價于，即，當時，，，又，故，所以，當時，，無解，故的解集為，此時，當時，，，從而D錯誤.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】2.1【詳解】，則有，.13.【答案】2024【詳解】對，兩邊同時求導導數得，則，，…，，從而.故答案為：2024.14.【答案】56【詳解】設，，，對應個位到千位上的數字，則，且，相當于6個相同的球排成一排，先拿一個球裝入，轉化為5個球裝入4個盒子，每盒可空，等價于9個球用3個隔板分成4組（各組不可為空），故共有種.故答案為：56.四?解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區域內作答.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.解：（1）設取出x個紅球y個白球，，因為，所以或，∴符合題意的取法種數有種.（2）總分為8分，則取的個數為紅球3個，白球2個，將取出的球排成一排分兩步完成，第一步先取球，共有種，第二步再排，先把兩個白球全排列，再將3個紅球插空，共有，根據分步乘法計數原理可得，4種.【只回答的給到9分】.【評分細則】15題.所以或.16.解：（1）展開式的通項為，因為前3項的系數絕對值成等差數列，且前三項系數為，，，所以，即，所以.（或舍去）.因為，所以展開式中二項式系數最大的項為第5項，即.令得，即展開式各項系數和為.（2）由（1）知通項公式：，，，欲求有理項，令，∴，4，8，即當=?4?8時對應的項為有理項，所以所有有理項為：；；.16.（1）展開式的通項為，因為前3項的系數絕對值成等差數列，且前三項系數為，，，所以，即，所以.（或舍去）.因為，所以展開式中二項式系數最大的項為第5項，即.令得，即展開式各項系數和為.此處學生把展開式中所有項的都加起來得到的結果正確不扣分，結果不正確不得分.（2）由（1）知通項公式：，，，欲求有理項，令，∴，4，8，即當?4?8時對應的項為有理項，所以所有有理項為：；；17.解：（1）設“從該校高二學生中隨機選取1人，這個學生可以在3小時內完成各科作業”為事件A，所以.（2）因為樣本中“完成各科作業的總時長在2.5小時內”的學生有（人），其中可以在2小時內完成的有3人，若從這7人中隨機取3人，則X的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以X的分布列為：X0123P所以X的數學期望為.（3）由題意可知，，，所以，，所以.18.解：（1）因為，20，既是等差數列，又是等比數列，所以.又，設公差為d?公比為，則，解得或（舍去），所以，.（2）由（1）可得，所以，解法一（錯位相減法），，所以，所以.解法二（裂項相消法），.因為對任意的，不等式恒成立，即對任意的，不等式恒成立，所以對任意的，不等式恒成立，令，則，所以，…，從而對，，所以，即實數的取值范圍為.19.解：（1），，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所