高二年級期中考試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設為可導函數，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是（）A. B. C. D.2.設點，點C關于面對稱的點為D，則線段的中點P到點D的距離為（）A.2 B. C. D.3.在四棱錐中，底面是平行四邊形，為的中點，若，，則用基底表示向量為（）A. B.C. D.4.已知函數（a是常數）在上有最大值3，那么它在上最小值為（）A. B. C. D.5.設，若函數在區間有極值點，則取值范圍為（）A. B. C. D.6.如圖，在空間直角坐標系中，正方形與矩形所在平面互相垂直(與原點重合)，在上，且平面，則點的坐標為（）A B.C D.7.已知棱長為2的正方體中，，，分別是的中點，則直線與平面之間的距離為（）A.1 B. C. D.8.已知函數有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是（）A B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項}符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，分別為直線，方向向量（，不重合），，分別為平面，的法向量（，不重合），則下列說法中，正確的是（）．A. B.C. D.10.如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點，則以為原點，所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，則下列結論正確的是（）A.平面B.C.是平面的一個法向量D.點到平面的距離為11.已知函數，下列說法正確的有（）A.曲線在處的切線方程為B.的單調遞減區間為C.的極大值為D.方程有兩個不同的解三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間中三點，設，若，且，則向量______13.如圖，在直三棱柱中，，、分別為棱、的中點，則______.14.某商戶銷售、兩種小商品，當投資額為千元時，在銷售、商品中所獲收益分別為千元與千元，其中，如果該商戶準備共投入5千元銷售、兩種小商品，為使總收益最大，則商品需投入______千元四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，三棱柱中，M，N分別是上的點，且．設，，．（1）試用，，表示向量；（2）若，求MN的長．16.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，E為PC上一點，且．（1）求證：平面PBC；（2）求證：平面BDE．17.如圖，在直三棱柱中，，為的中點．（1）求點到平面的距離.（2）求平面與平面所成角的余弦值．18.已知函數在點處的切線方程為．（1）求函數的單調區間，（2）若函數有三個零點，求實數m的取值范圍．19.已知函數，（，為自然對數的底數）.（1）求函數的極值；（2）若對，恒成立，求的取值范圍.高二年級期中考試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設為可導函數，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據導數值的定義算出，由導數的幾何意義，即為在點處的切線的斜率.【詳解】，則根據導數值的定義：，由導數的幾何意義可知，在點處的切線的斜率為.故選：B2.設點，點C關于面對稱的點為D，則線段的中點P到點D的距離為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出對稱點和中點坐標，由兩點間距離公式計算．【詳解】點C，D關于面對稱,則有，由中點坐標公式得的中點的坐標為，所以．故選：C．3.在四棱錐中，底面是平行四邊形，為的中點，若，，則用基底表示向量為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據空間向量基本定理結合向量的線性運算，用基底表示即可.【詳解】連接，如圖，因為是的中點，所以.故選：B4.已知函數（a是常數）在上有最大值3，那么它在上的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導得到函數的單調區間得到函數最大值為，再比較端點值的大小得到最小值.【詳解】，由得或，故函數在上單調遞增；由得，故函數在上單調遞減，故函數的最大值為．故．又，，故當時，函數取得最小值為-37．故選：D.5.設，若函數在區間有極值點，則取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先對函數求導，根據函數在區間有極值點，轉化為導函數有零點，再由零點存在定理列出不等式求解即可.【詳解】，為單調函數，所以函數在區間有極值點，即，代入解得，解得取值范圍為，故選：B．6.如圖，在空間直角坐標系中，正方形與矩形所在平面互相垂直(與原點重合)，在上，且平面，則點的坐標為（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】設，交于點，連接，利用線面平行的性質定理得，從而得是的中點，即可求解點的坐標.【詳解】設，交于點，連接，因為正方形與矩形所在平面互相垂直，點在上，且平面，又平面平面，平面，所以，又，所以平行四邊形，故，所以是的中點，因為，所以，所以.故選：C7.已知棱長為2的正方體中，，，分別是的中點，則直線與平面之間的距離為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，先利用向量法證明平面EMN，根據線面距離的定義把直線AC到平面EMN的距離轉化為點A到平面EMN的距離，再利用點面距離的向量公式求解即可.【詳解】如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為，則令，可得，所以，即，又平面，所以平面，故點到平面的距離即為直線到平面的距離，又，所以點到平面的距離為，即直線與平面之間的距離為.故選：B8.已知函數有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡，采用換元法，將問題轉化為有兩個不同的零點問題，分離參數，從而將問題轉化為直線與的圖象有兩個不同交點，數形結合，可得答案.【詳解】由題意得,令，，該函數在R上為單調增函數，且，故函數有兩個不同的零點，即有兩個不同的零點，令即直線與的圖象有兩個不同交點，又，當時，遞增，當時，遞減，則，當時，，作出其圖象如圖：由圖象可知直線與的圖象有兩個不同交點，需有，故選：A.【點睛】方法點睛：解決函數有兩個不同的零點的問題，要將函數式變形為，實質是采用換元法，令，將問題轉化為有兩個不同的零點，然后分離參數，利用導數判斷函數單調性，數形結合，解決問題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項}符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，分別為直線的，方向向量（，不重合），，分別為平面，的法向量（，不重合），則下列說法中，正確的是（）．A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據直線的方向向量與平面的法向量的定義判斷．【詳解】兩直線的方向向量平行，而兩直線不重合，則它們平行，A錯；兩直線的方向向量垂直，則它們也垂直，B正確；兩個平面法向量平行，則這兩個不重合的平面平行，C錯．兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直，D正確．故選：BD．10.如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點，則以為原點，所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，則下列結論正確的是（）A.平面B.C.是平面的一個法向量D.點到平面的距離為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，由線面平行的判定定理證明即可；對于B，由空間向量判斷異面直線垂直即可；對于C，由平面法向量求解即可；對于D，由點到平面的距離公式計算即可.【詳解】對于A，由于，分別是的中點，所以平面平面，所以平面，故A正確；對于B，，故，，故與不垂直，進而可得與不垂直，故B錯誤；對于C，由，所以，設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量，故C正確；對于D，，點到平面的距離為，故D正確.故選：ACD．11.已知函數，下列說法正確的有（）A.曲線在處的切線方程為B.的單調遞減區間為C.的極大值為D.方程有兩個不同的解【答案】AB【解析】【分析】利用導數，結合切線、單調區間、極值、方程的解等知識確定正確答案.【詳解】的定義域為，.A選項，，所以曲線在處的切線方程為，A選項正確.B選項，令解得，所以在區間，單調遞減，B選項正確.C選項，在區間，單調遞增，所以有極小值，無極大值，C選項錯誤.D選項，的極小值為，當時，；當時，，方程有一個解，D選項錯誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間中三點，設，若，且，則向量______【答案】或【解析】【分析】根據向量共線、模等知識求得.【詳解】，，由于，所以存在實數使，所以，所以或.故答案為：或13.如圖，在直三棱柱中，，、分別為棱、的中點，則______.【答案】【解析】【分析】分析可知，，利用空間向量數量積的運算性質可求得的值.【詳解】因為平面，平面，則，同理可知，所以，.故答案為：.14.某商戶銷售、兩種小商品，當投資額為千元時，在銷售、商品中所獲收益分別為千元與千元，其中，如果該商戶準備共投入5千元銷售、兩種小商品，為使總收益最大，則商品需投入______千元【答案】1【解析】【分析】由題意列收益函數，然后利用導數法求得最大值，即可得解.【詳解】設投入經銷商品的資金為千元，則投入經銷商品的資金為千元，所獲得的收益千元，則，可得，當時，可得，函數單調遞增；當時，可得，函數單調遞減，所以當時，函數取得最大值，最大值為，所以當投入商品的資金為4千元，投入商品的資金為1千元時，此時總收益最大為千元.故答案為：1四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，三棱柱中，M，N分別是上的點，且．設，，．（1）試用，，表示向量；（2）若，求MN的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量的線性運算即可求解.（2）根據空間向量的數量積以及向量模的求法即可求解.【小問1詳解】解：，∴；【小問2詳解】解：，，，，，即MN的長為.16.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，EPC上一點，且．（1）求證：平面PBC；（2）求證：平面BDE．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）以A為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，證明，，原題即得證；（2）設平面BDE的法向量為，證明即得證.【小問1詳解】證明：如圖，以A為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，因為，所以，所以，所以，，所以，，即，，又因為，平面PBC．所以平面PBC．【小問2詳解】證明：由（1）可得，，．設平面BDE的法向量為，則，即令，得，，則是平面BDE的一個法向量，因為，所以，因為平面BDE，所以平面BDE．17.如圖，在直三棱柱中，，為的中點．（1）求點到平面的距離.（2）求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）.（2）．【解析】【分析】(1)證明后，建立空間直角坐標系，然后利用點到面的距離公式；(2)通過法向量，算出二面角的余弦值.【小問1詳解】在中，由余弦定理得:，，．又平面，以為原點，為、、軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系．，．設平面的法向量為，不妨取，點到平面的距離．【小問2詳解】設平面的法向量為，.且取，則，則平面的法向量為．設平面的法向量為，，且，取，則．則，，平面與平面所成角的余弦值為．18.已知函數在點處的切線方程為．（1）求函數的單調區間，（2）若函數有三個零點，求實數m的取值范圍．【答案】（1）單調遞減區間是，單調遞增區間是（2）【解析】【分析】（1）根據題意，列出方程組求得，得到，進而求得函數的單調區間；（2）由題意得到，結合條件列出不等式組，即得.【小問1詳解】由題可得，由題意得，解得，所以，由得或，由得，所以的單調遞減區間是，單調遞增區間是；【小問2詳解】因為，由（1）可知，在處取得極大值，在處取得極小值，的單調遞減區間是，單調遞增區間是，依題意，要使有三個零點，則，即，解得，經檢驗，，根據零點存在定理，可以確定函數有三個零點，所以m的取值范圍為．19.已知函數，（，為自然對數的底數）.（1）求函數的極值；（2）若對，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）極大值為，無極小值（2）【解析】【分析】（1）求導后，根據的正負可求得的單調性，根據極值的定義可求得結果；（2）分離變量可將問題轉化為在上恒成立；求導