第八章二元一次方程組

本/章/整/體/說/課

'、教學目標

修知識寫技能」

1.了解二元一次方程（組）的有關概念.

2.掌握代入消元法和加減消元法解二元一次方程組.

3.能解簡單的三元一次方程組.

4.在具體的情境中，能從數學的角度發現、提出和解決問題.

■過程與第k

1.了解解二元一次方程組和三元一次方程組的“消元思想”，初步理

解化未知為已知和化復雜問題為簡單問題的化歸思想.

2.注重“消元”和“化歸”這兩種重要的數學思想的滲透.

「情思踱與儕薊1

經歷從實際問題中抽象出二元一次方程（組）的過程,體會方程的模型

思想，發展靈活運用有關知識解決實際問題的能力，培養良好的數學應用

意識.

?教材分析

本章通過實際問題引入了二元一次方程（組），又引導學生通過觀察、

思考、探究等活動,體會解二元一次方程組的基本方法一一代入法和加減

法,然后順理成章地給出現實問題的解答.在此基礎上，學習了簡單的三元

一次方程組及其解法.

二元一次方程組是繼學生學習了一元一次方程之后所研究的一類最

簡單的線性方程組,其代入消元和加減消元的思想和方法,不僅是解二元

一次方程組的最基本的方法，也是解三元一次方程組和二元二次方程組的

基本方法.同時，也是學習其他數學知識乃至物理、化學等學科知識的重要

基礎.

?教學重難點

【重點】

1.利用消元法解二元一次方程組.

2.利用建立方程的數學模型解決實際問題.

【難點】

1.二元一次方程解的不定性.

2.方程組解的意義.

3.列方程組解應用題.

a教學建議

1.強化二元一次方程組概念的形成和應用過程.在學生已有的解一元

一次方程經驗的基礎上,通過認識實際問題中的兩個未知量應同時適合兩

個方程,從而理解需將這兩個方程聯立,這樣便很自然地建立起二元一次

方程組的概念.借助于問題情境，引導學生理解實際問題，探究實際問題中

各種數量的意義和相互關系，能用恰當的式子表示這種關系，正確地列出

二元一次方程組并解決問題.

2.注重轉化思想的滲透.代入消元法和加減消元法都是解二元一次方

程組的基本方法,教師在教學過程中應注意引導學生分析這兩種方法的目

的都是消元,即通過消去一個未知數，把“二元”轉化為“一元”，并鼓勵

學生用自己的語言概括解方程組的主要步驟.

?課時劃分

8.1二元一次方程組1課時

8.2消元一一解二元一次

4課時

方程組

8.3實際問題與二元一次

3課時

方程組

8.4三元一次方程組的解

1課時

法

單元概括整合1課時

課/時/教/學/詳/案

8.1二元一次方程組

區L整體設計

（事教學目標

以口識寫技能E

理解二元一次方程、二元一次方程組和它們的解的含義,并會檢驗一

對數是不是某個二元一次方程組的解.

?過程行—

學會用類比的方法遷移知識;體驗二元一次方程組在處理實際問題中

的優越性.

隨解度與僑商n

通過學習，感受數學與生活的聯系,感受學習數學的樂趣.

（學教學重難點

【重點】二元一次方程、二元一次方程組及其解的含義.

【難點】二元一次方程組解的含義.

￥教學準備

【教師準備】教學導入過程的情境圖片.

【學生準備】復習一元一次方程的相關知識.

舊教學過程

E新課導入

導入一：

“今有雞兔同籠,上有三十五頭，下有九十四足.問雞、兔各幾何？”這

是我國古代數學著作《孫子算經》中記載的數學名題.

一一一』.A：中,已

你能用哪些方法解決這個問題呢?如果設兩個未知數,能解決這個問

題嗎？

［設計意圖］通過古代數學經典習題,可以提升學生對中華傳統文化

成就的自豪感.學生會用多種方法解決問題,提出設兩個未知數解決問題，

對于學生來說還是新的方法,這就為引入二元一次方程的學習做好了過渡

的銜接.

導入二：

每塊餅干的質量是X克,每顆糖果的質量是y克,小明拿了一個等臂天

平,在左邊秤盤里放兩塊餅干,右邊秤盤里放三顆糖果,結果天平兩臂平衡,

當在左邊秤盤里又放了三塊餅干,右邊秤盤里又放了四顆糖果時，天平并

沒有平衡，只好在右邊秤盤里又加了1克的祛碼才使得天平平衡.

上面的例子中，可以得到兩個方程是2x=3y和5x=7y+l,怎樣看待這兩

個方程呢?它們的解有什么實際意義？

［設計意圖］學生對方程的理解暫時還是“一元一次”的程度,提出

與“一元一次”性質不同的方程,能夠喚起學生的好奇心,激起學生解決

問題的欲望.

導入三:

籃球聯賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝1場得2分，負1場得1

分.某隊在10場比賽中得到16分,那么這個隊勝、負場數分別是多少？

在上面的問題中，要求的是兩個未知數.如果用一元一次方程來解決,

列方程時,要用一個未知數表示另一個未知數.能不能根據題意直接設兩

個未知數，使列方程變得容易呢?我們從這個想法出發,開始本章的學習.

［設計意圖］借助于教材情境直接提出用含有兩個未知數的方程解

決問題,為直接引入二元一次方程的概念做了鋪墊.也讓學生感受到要提

高解決生活中的數學問題的能力，必須持續地進行學習.

區新知構建

一、二元一次方程

思路一

［過渡語］(針對導入三)前面提到的兩個未知數的方程是什么方程

呢?與我們學過的一元一次方程有什么不同呢？

問題

(1)情境中包含哪兩個等量關系？

(2)如果設勝的場數是x,負的場數是y,你能用方程把這些條件表示

出來嗎？

(3)你能把上述等量關系整理在下面的表格中嗎？

勝負合計

場數

積分

方程：

⑷新列出的方程有什么特點?與一元一次方程有什么不同？

（5）你能總結什么是二元一次方程嗎？

（解析）情境中包含這樣兩個等量關系:勝的場數+負的場數=總場

數,勝場積分+負場積分=總積分.列表如下:

勝負合計

場數Xy10

積分2xy16

方程：2x+y=16

x+y=10

認識新列出的兩個方程的特點，可以從未知數的數量和未知數的次數

兩個方面進行分析.方程x+y=10與2x+y=16都含有兩個未知數x和y,并

且含有未知數的項的次數都是1.這兩個方程中都含有兩個未知數,而一

元一次方程中只含有一個未知數.

［處理方式］學生討論交流后共同總結以上五個問題的答案.

定義:上面兩個方程中，每個方程都含有兩個未知數（x和y）,并且含

有未知數的項的次數都是1,像這樣的方程叫做二元一次方程.

例1（補充）下列方程中，是二元一次方程的是（）

A.7x+3y=2B.xy=9

C.x+2y2=11D.」一二2

2x-y

（解析）本題考查二元一次方程的定義,B選項的次數為2,C選項

的最高次數為2,D選項不是整式方程,故都不是二元一次方程.故選A.

［解題策略］從以下三個方面整體理解二元一次方程的定義：（1）有

兩個未知數；⑵含有未知數的項的次數為1；（3）是整式方程.

［知識拓展］1.二元一次方程還可以定義為:在方程中有兩個未知數,

未知數與未知數之間沒有乘法、除法運算,并且未知數的次數都是1,像這

樣的方程叫做二元一次方程.

2.理解二元一次方程的概念要特別注意對次數的要求是“含有未知

數的項的次數為1”，不能理解為“每個未知數的次數都是1"，如xy+2=0

就不是一個二元一次方程.

思路二

［過渡語］（針對導入一）同學們想一想,怎樣求出有多少只雞和多少

只兔子呢？

［處理方式］學生用各自的方法計算，然后討論交流.

算法展示：

（1）算數方法:把兔子和雞的腳數看成“相等”，則多出94-35X2=24

只腳,每只兔子比雞多出兩只腳，由此可先求出兔子有24+2=12（只），隨

后可算出雞有35-12=23（只）.

類似地也可以先求雞的數量：35X4-94=46（只），46+2=23（只）.

（2）列一元一次方程：

設有x只雞，則有（35-x）只兔子.

根據題意，得2x+4（35-x）=94.

解方程可求出x=23.35-23=12（只）.

所以有23只雞，12只兔子.

［過渡語］剛才同學們用了不同的方法解決了古代的數學問題.我們

還有沒有其他的解決辦法呢？

如果我們設有x只雞,有y只兔子,依題意得這樣兩個方程：

x+y=35,2x+4y=94.

同學們比較這兩個方程與前面學過的一元一次方程,有什么不同呢？

（老師提示學生從未知數數量和未知數的次數進行比較.）

結合學生的回答,教師板書定義：

含有兩個未知數,并且含有未知數的項的次數都是1的方程，叫做二

元一次方程.

二、二元一次方程組

［過渡語］如果把上面的兩個方程放在一起,我們怎么稱呼這樣的方

程呢？

上面的問題中包含兩個必須同時滿足的條件,也就是未知數x,y必須

同時滿足方程：

x+y=10,①

2x+y=16.②

把這兩個方程合在一起,寫嘮;二1%就組成了一個方程組?這

個方程組中有兩個未知數，含有每個未知數的項的次數都是1,并且一共

有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組.

［知識拓展］二元一次方程組的概念是一個描述性定義,兩個未知數

不是兩個方程中每個方程都含有兩個未知數,可以是一個方程中含有一個

未知數,也可以是兩個方程中含有不同的兩個未知數.

例2

八+3y=5(m+n=5

,12%-3z=3'-mn+n=6

(m+3n=1(2x-3y=10

C.\m2n1D.仁u

匕+m=15y=6

〔解析〕本題主要考查二元一次方程組的定義.A選項共含有三個

未知數;B選項中的未知數的最高次數是2;D選項中不全是整式方程，故都

不是二元一次方程組.故選C.

三、二元一次方程組的解

［過渡語］同學們知道一元一次方程解的定義,那么二元一次方程組

的解和一元一次方程的解之間是否存在著一定的聯系呢？

(結,面列出的方用方;黑)

問題1

下面哪些解既適合方程x+y=10,又符合問題的實際意義？

x012345678910

y109876543210

（解析）由上表可知x=0,y=10;x=l,y=9;???;x=10,y=0使方程x+y=10

兩邊的值相等,它們都是方程x+y=10的解.如果不考慮方程x+y=10與上面

實際問題的聯系,那么x=-1,y=ll;x=0.5,y=9.5;…也都是這個方程的解.

這說明二元一次方程除非有實際意義的限制或者特別的限制，否則這種方

程有無數個解.

問題2

寫出方程2x+y=16的幾個解？

［解析）例如x=0,y=16;x=l,y=14;x=5,y=6...都是2x+y=16的解.

問題3

上述表格中的解，哪些或哪個是方程2x+y=16的解？

（解析）x=6,y=4.

問題4

什么是二元一次方程組的解？

1解析）一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值,

叫做二元一次方程的解.我們還發現,x=6,y=4既滿足方程①,又滿足方程

②,也就是說,x=6,y=4是方程①與方程②的公共解,我們把x=6,y=4叫做

二元一次方程組AU：的解?這個解通常記作t2一般地，二元

（2%+y=16（y=4.

一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

［設計意圖］問題1和問題2是在學生已掌握的一元一次方程解的知

識基礎上,深化對二元一次方程解的認識.問題3和問題4則引導學生發現

和總結二元一次方程組解的特點.

［知識拓展］二元一次方程組的解是一對數,要將這對數代入方程組

中的每一個方程進行檢驗,這對數只有滿足方程組中的每一個方程,才能

是這個方程組的解,而一元一次方程的解是一個數,這是它們之間的區別.

叵課堂小結

1.含有兩個未知數,并且含有未知數的項的次數都是1的方程，叫做

二元一次方程.

2.一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二

元一次方程的解.

3.一般地,二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程

組的解.

g檢測反饋

1.下列方程中，是二元一次方程的是（）

A.3x-2y=lB.xy+y=9

C.x-3=4y~D.x+|x=2

解析:本題考查二元一次方程的定義.B選項的未知數的最高次數為

2,C選項的未知數的最高次數為2,D選項不含有兩個未知數，因此它們都

不是二元一次方程.故選A.

2.下列各組數中，不是方程x+y=7的解的是（）

x=12

y=一

儼=i儼=io

匕卜=6{y=-3

解析:將四個選項分別代入方程,能使方程成立的即是方程的解.反之,

則不是方程的解.A.3+4=7,C.1+6=7,D.10+（-3）=7,均是方程的解，不符合

選擇要求;B.12+（-1）=1177,不是方程的解，符合選擇要求.故選B.

3.方程ax-y=3的解是1;則a的值是（）

A.5B.-5C.2D.1

解析:把［二）代入方程ax-y=3,得a-2=3,解得a=5.故選A.

4.請判斷下列各組數是不是二元一次方程組=乎'的解：

（2%-3y=4

解：（1）把:3,5代入方程組,發現不滿足2x-3y=4,所以［1:，

不是原方程組的解.（2）把「二j代入方程組,發現適合每一個方程,所

以「二:是原方程組的解.

區板書設計

8.1二元一次方程組

1.二元一次方程

2.二元一次方程組

3.二元一次方程組的解

國布置作業

一、教材作業

【必做題】

教材第89頁練習.

【選做題】

教材第90頁習題8.1第5題.

二、課后作業

【基礎鞏固】

1.下列方程中，是二元一次方程的是（）

A.xy=lB.y=5x-2

C.x+x2=4D.x+y+z=l

2.下列說法中正確的是（）

A.二元一次方程只有一個解

B.二元一次方程組有無數個解

C.二元一次方程組的解必是它所含的二元一次方程的公共解

D.判斷一組數是否為二元一次方程組的解，只需代入其中的一個二元一次

方程即可

3.以［二！1為解的二元一次方程組是（）

A.尸.尸…1

（x-y=1（%-y=—1

x+y=x+y=0

c.!（x-y=2y.!（%-y=—27

4.母親節那天,很多同學給媽媽準備了鮮花和禮盒.從圖中信息可知,若設

鮮花x元/束,禮盒y元/個,則可列方程組為.

￥篇講口口口

'-------------''---------V---------/

翔沅期沅

5.若t=；1，是方程組長=犯的解,求m2-n的值.

（y=，（5%+2y=n

【能力提升】

6.若3=0,n=0B.m=l,n=4

2

C.m=l,n=5D.m=-,n=4

3

7.二元一次方程組｛；；］；3,的解是（）

A.B.『二；》

C.『二5上產

8.方程?x-2y=x+5是二元一次方程，■是被污染的x的系數，請你推斷■

的值屬于下列情況中的（）

A.不可能是-1B.不可能是-2

C.不可能是1D.不可能是2

9.若關于x,y的方程組的解是｛；二;則Im-n|為（）

A.1B.3C.5D.2

10.根據下列語句，設適當的未知數,列出二元一次方程（組）：

⑴甲數的2倍與乙數的抑差等于48的3

⑵林山學校七年級共招收學生292人,其中男生人數比女生人數多35人.

【拓展探究】

11.小明在做家庭作業時，發現練習冊上一道解方程組的題目被墨水污染

了：9"二):口:“口”是被污染的內容.他很著急，翻開后面的答案，發

現這道題的解是后;)2你能幫小明補上“口”的內容嗎?說出你的方

法.

12.根據下列問題,列出關于x,y的二元一次方程組.

(1)一個兩位數的個位數字與十位數字之和為11,把它的個位數字與十位

數字對調,所得的數比原數大63,設原兩位數的個位數字為x,十位數字為

y.

⑵七(2)班買了35張電影票,共用250元,其中甲種票每張8元，乙種票每

張6元,則甲、乙兩種票各買了多少張?設甲種票買了x張，乙種票買了y

張.

【答案與解析】

1.B(解析:二元一次方程只含有兩個未知數，且含未知數的項的次數為1,

滿足條件的是y=5x-2.故選B.)

2.C(解析:A.二元一次方程有無數個解，故本選項錯誤;B.當兩個方程不同

時,有一個解，當兩個方程相同時,有無數個解,故本選項錯誤;C.二元一次

方程組的解必是它所含的二元一次方程的公共解,故本選項正確;D.判斷

一組數是否為二元一次方程組的解,需代入兩個二元一次方程,故本選項

錯誤.故選C.)

3.C(解析:將｛；二:'1代入各個方程組,可知｛：+；二;,滿足條件.故選

C.)

(x+2y=55,

(2%+3y=90

5.解:把卮二11'代入方程2,把1'代入方程52-n=42-(-

1)=16+1=17.

6.C(解析:本題主要考查二元一次方程與一元一次方程的綜合應用.因為

3=1,n=5.故選C.)

7.D(解析:將各選項代入即可.)

8.C(解析:如果被污染的x的系數是1,那么這個方程就是x-2y=x+5,即-

2y=5.與題意:二元一次方程矛盾,所以被污染的x的系數不可能是1.)

9.D(解析:把仔—:代入方程2y+m=n,得2+m=n,所以|m-n|=2.故選D.)

10.解：⑴設甲數為X,乙數為y,根據題意得2x-|y=48x|.(2)設男生

為x人,女生為y人,根據題意得產+丫

y=35.

口.解：把｛；192代入方程組，得2x-y=2Xl-(-

2)=4,3x+4y=3Xl+4X(-2)=-5.所以被污染的數字是4和-5.

12.解：(1)等量關系:①個位數字與十位數字之和為11;②把它的個位數

字與十位數字對調,所得的數比原數大63.由題意可列方程組為

花AX'（g++63.⑵等量關系:①共買了35張電影票:②共

用250元.由題意可列方程組為J^50.

目—教學反思

（K成功之處

本課時在設計理念上圍繞著類比的思路展開,充分借助于學生已掌握

的一元一次方程知識,通過與一元一次方程的比較，引入二元一次方程的

定義.通過類比一元一次方程的解,延伸到二元一次方程組的解.在這種設

計理念的指導下,順利地實現了本課時的教學目標.

河）不足之處

本課時的教學重點和難點集中在二元一次方程組的解的問題上，在處

理這個問題時，除了強調一般的檢驗方法外,沒有特別強調需要對方程組

中兩個方程分別去驗證.

o再教設計

由于本課時的三個概念，即二元一次方程、二元一次方程組、二元一

次方程組的解都是描述性的概念，因此可以讓學生通過對知識的理解，自

己去總結和描述相關定義.

目教材習題解答

練習（教材第89頁）

(

解:設第一道工序安排X人,第二道工序安排y人,則有｛/9，0+0J尸=17.2②00V,P由②

得｛；二狀二C二::將這些解分別代入①，可得｛；二:'是該方程組

的解.答:第一道工序安排4人，第二道工序安排3人.

習題8.1(教材第90頁)

1.解：

1152

~633

2.C(解析:把各選項分別代入方程組驗證.)

18090

3.解:(l)x,y滿足的關系式為x+2y=180.(2)當x=90時，y=~=45.

⑶當y=60時，x=180-2X60=60.

/上+v=35?(D

4.解:設有雞x只，兔y只，根據題意，得⑶口尸4②由①得

｛；Z34;｛y二;3;…｛；;?，把這些解代入②，得=穹：答:有雞23只，兔

12只.

5.解:設截2nl長的鋼管x段，1m長的鋼管y段,根據題意,得2長的1段.

S備課資源

$經典例題

1解析)本題考查的是二元一次方程的定義,根據二元一次方程的

定義:含未知數的項的次數為1,系數不等于0,求得m,n的值.

解：由二次一元方程的定義可得m-1=1,1-2n=1.由此可得m=2,n=0.

nh，

例2已知方程（m-3）x+己+2）/Yr是關于,門的值.

解：由題意得|n|-1=1,m7^3,m2-8=1,nW-2,解得n=2,m=-3.

例3已知二元一次方程組1+2-9,②下面說法正確的是（）

A.同時適合方程①和方程②的x,y的值是方程組的解

B.適合方程①的x,y的值是方程組的解

C.適合方程②的x,y的值是方程組的解

D.適合方程①或方程②的X,y的值一定是方程組的解

〔解析）方程組的解必須是同時滿足兩個方程的解.故選A.

易錯辨析

（y—1-y=7?（D

檢驗｛二-'5是不是方程組J…

例4的解.

（錯解）把二15代入①中，左邊"XI-（-5）=7,右邊=7.?左

邊=右邊,5是方程組Ri4的解?

［易錯辨析］二元一次方程組的解應滿足方程組中全部方程，因此在

檢驗方程組的解時應該對每一個方程都進行檢驗.若只滿足其中部分方程,

將不能作為方程組的解.初學者往往受一元一次方程的解的檢驗的習慣的

影響，只對一個方程進行檢驗,而忽略對另外的方程進行檢驗.錯解的主要

原因是沒有將\$代入方程②進行檢驗，因為二元一次方程組的解是

其中所有方程的公共解.

1正解)把5代入①中，左邊=2義1一(-5)=7,右邊=7.?.?左

邊=右邊，???｛：:1：5是方程①的解?再把后二-5代入②中，左邊

=1+2X(-5)=-9,右邊=-4.\?左邊#右邊，.?.｛：：)5不是方程②的解，

.??［：：’5不是方程組公：4的解.

8.2消元一一解二元一次方程組

(第)教學目標

B知識寫技能7

掌握代入法和消元法兩種基本的解二元一次方程組的方法.

喳程百k

通過類比、轉化的思想幫助學生領會解方程組的基本思路.

培養學生通過探索嘗試解決問題的意識.

(T)教學重難點

【重點】代入法、加減法解二元一次方程組.

【難點】選用靈活的方法解二元一次方程組.

第TI課時

——整體設計

⑥教學目標

■知識寫―

用代入消元法解二元一次方程組.

得過程的法’

理解代入消元法的基本思想體現的化未知為已知的化歸思想方法.

.輟漉耳希前"

向學生滲透轉化的數學思想，培養勇于克服困難的思想意識.

q教學重難點

【重點】用代入消元法解二元一次方程組.

【難點】代入消元法的基本思想.

(G教學準備

【教師準備】例題演示的詳細板書.

【學生準備】復習二元一次方程組解的概念.

日教學過程

反新課導入

導入一：

體育節要到了.拔河是七年級⑴班的優勢項目.為了取得好名次，他

們想在全部22場比賽中得到40分.已知每場比賽都要分出勝負，勝隊得2

分,負隊得1分.那么七年級⑴班應該勝、負各幾場？

你會用二元一次方程組解決這個問題嗎？

根據問題中的等量關系設勝x場，負y場,可以更容易地列出方程組

匕+尸畋②那么有哪些方法可以求得二元一次方程組的解呢？

［設計意圖］導入情境是學生喜聞樂見的體育活動,可以增強學生的

求知欲，使學生對所學知識產生親切感.

導入二：

在8.1節中我們已經看到,直接設兩個未知數:勝x場、負y場，可以

列方程組表示本章引言問題中的數量關系?如果只設一個未

知數:勝x場，那么這個問題也可以用一元一次方程2x+(10-x)=16來解.

思路

上面的二元一次方程組和一元一次方程有什么關系？

［設計意圖］比較方程2x+(10-x)=16和方程組。=%之間的

關系,是引入代入法的關鍵所在.

陷新知構建

一、代入法

［過渡語］(針對導入二)建立二元一次方程組求未知數，目的是求適

合兩個方程的未知數,也就是說兩個方程的未知數取值是一樣的.我們從

這個認識出發,探究怎樣解二元一次方程組？

(1)消元思想.

問題1

能否借助于一元一次方程解二元一次方程組？

〔解析)我們發現,二元一次方程組中第一個方程x+y=10可以寫為

y=10-x.由于兩個方程中的y都表示負的場數,因此我們把第二個方程

2x+y=16中的y換為10-x,這個方程就化為一元一次方程2x+(10-x)=16.

解這個方程,得x=6.把x=6代入y=10-x,得y=4.從而得到這個方程組的

解.

問題2

在上面的方程組中，第一個方程x+y=10是否可以寫為x=10-y,然后

再把x=10-y代入到方程2x+y=16中？

〔解析)從思路上講，問題1和問題2的思路是一樣的，只是選擇哪

個字母代入的問題.

總結:二元一次方程組中有兩個未知數,如果消去其中一個未知數,那

么就可以把二元一次方程組轉化為我們熟悉的一元一次方程.我們可以先

求出一個未知數,然后再求另一個未知數.這種將未知數的個數由多化少、

逐一解決的思想，叫做消元思想.

(2)代入法.

問題3

在上述的消元過程中，是怎樣實現消元的?這種消元的方法叫什么？

總結:把二元一次方程組中一個方程的一個未知數用含另一個未知數

的式子表示出來,再代入另一個方程,實現消元,進而求得這個二元一次方

程組的解.這種方法叫做代入消元法,簡稱代入法.

二、例題講解

J*—y=3.①

例1

〔解析)方程①中X的系數是1,用含y的式子表示X,比較簡便.

解：由①,得x=y+3③,把③代入②,得3（y+3）-8y=14.解這個方程,得

x=2,

y=-1.把y=1代入③，得x=2.所以這個方程組的解是

y=-1-

追問1：把③代入①可以嗎?試試看.

提示:不可以，因為方程③是由方程①變形而來的,把③代入①后，只

能得到一個恒等式.

追問2:把y=-1代入①或②都可以嗎?

提示:可以.二元一次方程組消元后化為一元一次方程,求出一個未知

數的解,代入方程①、方程②或方程③都可以求出另一個未知數的值，但代

入變形后的方程③更簡便一些.

［知識拓展］1.當方程組中含有用一個未知數表示另一個未知數的

關系式時,用代入法比較簡單.

2.若方程組中未知數的系數為1（或-1）,選擇系數為1（或-1）的方程

進行變形,用代入法也比較簡便.

3.如果未知數系數的絕對值不是1,一般選擇未知數系數的絕對值最

小的方程變形.

，上一y=-5e（D

例2（補充）用代入消元法解方程組L+2y=l。.②

〔解析）求方程組的解的過程叫做解方程組.由方程組的解的概念,

可知解方程組￡11二就是要求出同時滿足此方程組中的兩個方程

的x和y的值.

解:由①得x=y-5.③把③代入②,得3(y-5)+2y=10,解這個一元一

次方程,得y=5,把y=5代入③,得x=0,所以原方程組的解為二?

［知識拓展］用代入消元法解二元一次方程組時一,一般用含一個未知

—3y-2=0(0?

y由

①得2x-3y=2③，將③代入②得手+2y=9,解得y=4,再將y=4代入③得2x-

3X4=2,解得x=7,故方程組的解為二::這種整體代入的方法顯然比常

規方法簡單很多，但無論是用哪一種方法進行代入消元,都應該達到同一

個目的一一消元.

巨課堂小結

代入法解二元一次方程組的一般步驟為：

(1)從方程組中選一個未知數系數比較簡單的方程，將這個方程中的

一個未知數，例如y,用含x的式子表示出來，也就是化成y=ax+b的形式；

(2)將y=ax+b代入方程組中的另一個方程中，消去y,得到關于x的一

元一次方程；

(3)解這個一元一次方程,求出x的值；

(4)把求得的x值代入方程y=ax+b中(或方程組中的任意一個方程中),

求出y的值,再寫成方程組解的形式；

(5)檢驗得到的解是不是原方程組的解.

性檢測反饋

1.把方程2x-4y=l改寫成用含x的式子表示y的形式是.

解析:用含X的式子表示y,相當于把y看成未知數，把X看成已知數,

解關于y的一元一次方程,結果為y=—.故填y=?.

44

2.方程組｛筮+2羨=8的解是()

.(x=—2(X=1

,,ly=1,=2

c.1ID.卜二

(y=2(y=3

解析:將方程y=2x代入3y+2x=8得x=l,將x=l代入y=2x得y=2.故選

B.

J3*+4y=3(D.

3.用代入法解方程組7-尸2②,代入后化簡比較容易的變形是()

A.由①得x=q”

B.由①得y=匕盧

C.由②得x=^

D.由②得y=5x-2

解析:根據代入法解方程組的方法結合方程組的特征即可作出判斷.

由題意得代入后化簡比較容易的變形是由②得y=5x-2.故選D.

4.用代入法解下列方程組：

⑴I廠華氣⑵疔丁

(3%-2y=8;(3%-8y=14.

iy—Zx—3(D?

解：(I)U2尸8②.把①代入②得3x-2(2x-3)=8,解得X=-2.把x=-2

代入①得y=2X(-2)-3=-7.所以原方程組的解為二］

六一y=30.

(2)8y=ig.由①得x=y+3③,把③代入②得3(y+3)-8y=14,解得y=-1,

把y=-1代入③得x=2.所以原方程組的解為1.

區板書設計

第1課時

1.代入法

(1)消元思想

(2)代入法

2.例題講解

例1

例2

后布置作業

一、教材作業

【必做題】

教材第93頁練習第1,2題.

【選做題】

教材第97頁習題8.2第2題.

二、課后作業

【基礎鞏固】

1.用代入法解方程組匚+2尸呢)時,將方程①代入②中,所得的方程正確

的是()

A.3x+4y-3=8B.3x+4x-6=8

C.3x-2x-3=8D.3x+2x-6=8

2.方程2x-y=3與3x+2y=l的公共解是（）

%=0x=1

A.

y=3氏y=-1

(x=0—1

3.若57y是同類項,則m2-3n的值為()

A.1B.-1

C.-3D.以上都不對

4.已知方程3x-5y=2,用含x的代數式表示y,則y=,

5.解方程組.

ff+l=>.(D

(2X

l2(-r4-1)-j=6.②

【能力提升】

6.方程組『二、='的解為（）

A.尸；

（y=4（y=1

C.卜二D.1

（y=3ky=2

J2a=36.（D

7.用代入法解方程組②以下各式中代入正確的是（）

A.3a=2X*2b+lB.3a=2X-3a+l

32

2

C.3a=2X-a+lD.3a=2aX6a+l

3

8.關于x,y的方程組StI；的解是￡Z:'則Im-n|的值是（

A.5B.3C.2D.1

9.用代入法解方程組.

(2s=3t,

⑴，§=2t+5(3x~5y=6,

[x+4y=—15.

V3

【拓展探究】

10.已知關于x,y的方程組6,求出*與y的關系式.

【答案與解析】

/尸L3?①

1.D(解析：＞ir+2.v=8.?把①代入②得：3x+2(X-3)=8,去括號得:3x+2x-

6=8.故選D.)

2.B（解析:聯立方程2x-y=3與3x+2y=l,求得二元一次方程組的解為

｛；2'1故選艮）

3.B（解析：由題意得｛;;1=2解得｛:二21'則.一呼12-2=-1.故選區）

4.y=F（解析：移項，得一5y=2-3x,系數化1,得y=（A）

5.解:把①代入②得5x-3X3=1,解得x=2.把x=2代入①得y=l.因此原方

程組的解是后二:’（2）由①得x+3=3y,即x=3y-3.③由②得2x-y=4.

④把③代入④得y=2,把y=2代入③得x=3.因此原方程組的解為儼=

（y=2.

6.D（解析：1+>=5.②由①得x=y+l,③把③代入②得y=2,把y=2代入

③得x=3,.?.原方程組的解為后二故選D.）

7.C（解析：由四個選項的特點可知，方程①變形代入②中,①可變形為b=y,

代入②得3a=2義爭1.故選C.）

8.D(解析:把匕=：'代入Stm：得671=m，解得伊藍所以

|m-n|=|-1|=1.或把｛；；：'代入方程組中的第二個方程-n=-1,所以|m-

n|=1.故選D.)

p=3r(D.

9.解：⑴J駕"?由①得s=|t③,把③代入②得*=等,解得t=2,把t=2

代入③得s=3.所以方程組的解為｛:"石(2)由②得x=-4y-

15③.把③代入①得3(-4y-15)-5y=6,解得y=-3,把y=-3代入③得

x=-4X(-3)-15=-3.所以方程組的解為后;二I

10.解：由x+m=6得m=6-,得到關于x,y的關系式為x+y=9.

區)_教學反思

(‘。成功之處

本課時首先利用較多的時間幫助學生領會消元的思想，為學生學習解

方程組做好思路的指導,加上例題的詳細解題過程的演示,較好地實現了

本課時的學習目標.

O不足之處

在用哪種方法進行代入的問題上,沒有注意提示學生代入的方法是多

種的，也沒有注意比較各種代入方法中有簡繁之分.

G再教設計

加強對學生解題過程的指導，示范學生在解題過程中要有明確的思路.

補充的例題可以讓學生與上一個例題進行比較，在比較的過程中發現解題

的要領和共同之處.

0備課資源

(f)經典例題

例

1用代入消元法解方程組朦+54

〔解析)先對第一個二元一次方程進行變形,用含X的代數式表示

y,然后把此關系式代入第二個二元一次方程,把y用含x的代數式換掉,

得到一個關于X的一元一次方程,解一元一次方程求得X的值,最后把X

的值代入關于y的關系式中，求得y的值.

J3“一y=7①.

解：1+2k8②.由①可得y=3x-7③,把③代入②得5x+2(3x-7)=8,解

得x=2,把x=2代入③得y=-1,由此可得二元一次方程組的解是

例2下列解方程組的步驟是否有錯誤?如果有,請指出來,并改正.

/+y=一①

解方程組區-3尸8.②

解：由①得y=-1-x.③A

把③代入①，得x+(-x-1)=-1.B

x-x-1=-1,0,x=0,C

所以x是任意實數.D

同理,y也是任意實數.

所以這個方程組有無數個解.E

解:解方程組的步驟是有錯誤的.錯誤開始于步驟B.因為利用代入消

元法解二元一次方程組時,把其中一個系數較簡單的方程變形為用含其中

一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式,再代入到這個方程組中的

另一個方程中去,而不能代入到變形前的那一個方程中去,例如本題中③

是由①變形而來的，因此需把③代入②中，而非①中.改正如下：由①得

y=-1-x.③把③代入②，得2x-3(-1-x)=8,解得x=l.把x=l代入③,

得y=-2.所以原方程組的解為［2.

第②課時

一整體設計

教學目標

嘴只身蠢一

在熟練掌握用代入法解二元一次方程組的基礎上，初步體驗用方程組

解決實際問題.

噎博的孝

通過情境問題使學生進一步理解代入消元法所體現的化歸意識.

體會方程組是刻畫現實世界的有效數學模型.

G教學重難點

【重點】學會用代入法解未知數系數的絕對值不為1的二元一次方

程組.

【難點】進一步理解在用代入消元法解方程組時所體現的化歸意

識.

士教學準備

【教師準備】結合例題呈現的解方程組過程框圖.

【學生準備】回顧總結代入法解二元一次方程組的步驟.

舊教學過程

反新課導入

導入一：

J-yx—??=3><D

解方程組1酎-8>=".②

通過觀察,發現方程①中y的系數為-1,因此,可先將方程①變形,用

含x的代數式表示y,再代入方程②求解.除了這種方法之外,還有別的方

法嗎？

［設計意圖］這個方程組是用代入法解方程組中比較復雜的一種情

形,意在引導學生在先前探索的基礎上,嘗試解比較復雜的二元一次方程

組,進而總結解方程組的一般過程.

導入二：

解方程組：M+l&v=-1.②

一位同學的解法是：由①得x=*空.③把③代入②，….

這種方法計算量較大,容易出錯.

提出疑問：是否還有更好的解答方法？

［設計意圖］這個方程組意在引導學生在解方程組前要仔細分析方

程的特點,選取簡捷有效的方法.對本題而言,把6y看作一個整體，代入消

元,則會使解方程組變得簡單許多.

國新知構建

［過渡語］當方程組的未知數的系數不為1的時候,如何運用代入法

解二元一次方程組呢？

一、例題講解

思路一

酗(教材P92例2)根據市場調查,某種消毒液的大瓶裝(500g)和小

瓶裝(250g)兩種產品的銷售數量(按瓶計算)比為2：5.某廠每天生產這

種消毒液22.5t,這些消毒液應該分裝大、小瓶兩種產品各多少瓶？

〔解析)本題中含有兩個未知量,一個是分裝的大瓶數，另一個是分

裝的小瓶數.以這兩個未知數為數量關系，可以建立起相關的兩個等式，即:

大瓶數：小瓶數=2：5,大瓶所裝消毒液+小瓶所裝消毒液=總生產量.在此

基礎上通過列二元一次方程組可求解.

解:設這些消毒液應該分裝x大瓶、y小瓶.根據大、小瓶數的比，以

及消毒液分裝量與總生產量的數量關系,得2yge

(500x+250y=22500000.(2)

由①,得y=|x.③把③代入②,得500x+250X|x=22500000.解這個方程，

得x=0.把x=0代入③,得y=50000.所以這個方程組的解是;靠ooo答：

這些消毒液應該分裝0大瓶和50000小瓶.

追問：在解這個方程組的時候,可以先消去x嗎?

5%=2y,①

提示:可以?解法如下:由①,得x=|y.

500%+250y=22500000.(2)

③把③代入②，得500X|y+250y=22500000,解得y=50000.把y=50000代

入③,得x=0,所以這個方程組的解為Z

—DUUUU.

二、過程框圖總結

讀圖指導:

(1)結合解方程組的過程,首先按照實線箭頭的順序觀察框圖.

(2)實線箭頭指向完成后按照虛線箭頭的指向，這個過程就是求出一

個未知數的值之后,再求另一個未知數的值,也就是求方程組解的過程.

(3)如果換一種帶入方式,這個框圖的基本流程仍然適用.

思路二

出示教材P92例2

⑴列方程組.

提示:本題包含的兩個等量關系是什么？

［處理方式］學生獨立分析,列出方程組,全班交流,這一過程中教師

要注意引導學生如何從題意入手列出方程組.展示本題所列的方程組.

解:設這些消毒液應分裝X大瓶、y小瓶，則

（5x=2y,

（500x+250y=22500000.

［設計意圖］尋找兩個等量關系是列方程組解決實際問題的前提,所

以這里就此單獨提出問題讓學生思考.

（2）解方程組.

問題思考：

問題1

此方程組與我們前面遇到的二元一次方程組有什么區別？

（兩個方程里的兩個未知數系數的絕對值均不為L）

問題2

能用代入法來解嗎？

（可以.因為方程組中的未知數的取值是一致的,所以可以用一個未知

數表示另一個未知數.）

問題3

選擇哪個方程進行變形?消去哪個未知數？

（單從代入的方法看,本方程組可有四種代入方法，但在代入的過程中,

簡繁的程度不一樣,所以需要我們考慮的是哪種代入方法更簡便.）

在師生對話交流中，完成本題的板書示范.

［知識拓展］在利用代入法解方程組時,不一定都需要將一個未知數

系數化為1,可以根據整體帶入的思想靈活地進行,最終達到消元轉化為

一元一次方程的目的.

叵課堂小結

(1)列二元一次方程組解應用題的關鍵是:找出兩個等量關系.

(2)列二元一次方程組解應用題的一般步驟為：審、設、歹!］、解、檢、

答.

陽檢測反饋

1.方程組f%一犯=『的解為()

13%=4y

(X=-4(X=-3

AJ5BJ:

y=-35(/=m

(8(

X=-X=--8

c.泣I

(y=s(y=-s

解析：［2X~3y=『①由②得x=%③把③代入①得y=-f.把

13%=4y.②35

(8

y=-《代入③得x=-|.所以原方程組的解為(:'故選D.

［y=~<

2

2.已知s=vot+1at,當t=l時，s=13;當t=2時，s=42.貝U當t=3時，s等

于()

A.106.5B.87C.70.5D.69

解析:根據已知條件：當t=l時，s=13;當t=2時，s=42組成關于Vo和a

的二元一次方程組,解方程組求出V。和a的值,再代回原來的等式,求出當

t=3時，s的值.由題意得[%+聶=13,解得=士當t=3

(2%+2a=42.⑦=16.

時，s=v()t+]at2=5t+8tJ87.故選B.

3.甲、乙兩車從相距60千米的A,B兩地同時出發，相向而行，1小時

后相遇，已知甲車比乙車每小時多行20千米,求甲、乙兩車的平均速度.

解:設甲車的平均速度為x千米/時，乙車的平均速度為y千米/時,根

據題意得修解這個方程組,得憑Z鬻答：甲、乙兩車的平均速度

1%y—zu.一乙U.

分別是40千米/時,20千米/時.

4.為了貫徹落實國家教育部制訂均衡教育規劃,某校計劃拆除部分舊

校舍建設新校舍，使得校舍面積增加30%.已知建設新校舍的面積為被拆

除的舊校舍面積的4倍,現有校舍面積為0m2,求應拆除多少平方米舊校舍,

新建校舍為多少平方米？

解:設拆除舊校舍為；由題意得已=4%，nc八解得

(0—x+y=0(1+3U%).

{y='8000?答:拆除舊校舍為此新建校舍為8000￡

.板書設計

第2課時

1.例題講解

例題

2.過程框圖總結

國布置作業

一、教材作業

【必做題】

教材第93頁練習第1題.

【選做題】

教材第93頁練習第2題.

二、課后作業

【基礎鞏固】

1.若方程組產[Q的解x與y相等，則a的值等于()

[ax+(a-l)y=3

A.4B.10C.11D.12

2.學校舉行“大家唱大家跳”文藝匯演,設置了歌唱與舞蹈兩類節目，全

校師生一共表演了30個節目，其中歌唱類節目比舞蹈類節目的3倍少2

個,則全校師生表演的歌唱類節目有