離散型隨機變量【教學目標】1.理解隨機變量的意義；2.學會區分離散型與非離散型隨機變量，并能舉出離散性隨機變量的例子；3.理解隨機變量所表示試驗結果的含義，并恰當地定義隨機變量.【教學重難點】教學重點：隨機變量、離散型隨機變量、連續型隨機變量的意義教學難點：隨機變量、離散型隨機變量、連續型隨機變量的意義【教學過程】一、復習引入：展示教科書章頭提出的兩個實際問題(有條件的學校可用計算機制作好課件輔助教學)，激發學生的求知欲某人射擊一次，可能出現命中0環，命中1環，…，命中10環等結果，即可能出現的結果可能由0，1，……10這11個數表示；某次產品檢驗，在可能含有次品的100件產品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出現的結果可以由0，1，2，3，4這5個數表示在這些隨機試驗中，可能出現的結果都可以用一個數來表示．這個數在隨機試驗前是否是預先確定的?在不同的隨機試驗中，結果是否不變?觀察，概括出它們的共同特點二、講解新課：思考1：擲一枚骰子，出現的點數可以用數字1,2，3，4，5，6來表示．那么擲一枚硬幣的結果是否也可以用數字來表示呢？擲一枚硬幣，可能出現正面向上、反面向上兩種結果．雖然這個隨機試驗的結果不具有數量性質，但我們可以用數1和0分別表示正面向上和反面向上（圖2.1一1).在擲骰子和擲硬幣的隨機試驗中，我們確定了一個對應關系，使得每一個試驗結果都用一個確定的數字表示．在這個對應關系下，數字隨著試驗結果的變化而變化．定義1：隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量（randomvariable)．隨機變量常用字母X,Y，，，…表示．思考2：隨機變量和函數有類似的地方嗎？隨機變量和函數都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結果映為實數，函數把實數映為實數．在這兩種映射之間，試驗結果的范圍相當于函數的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數的值域．我們把隨機變量的取值范圍叫做隨機變量的值域．例如，在含有10件次品的100件產品中，任意抽取4件，可能含有的次品件數X將隨著抽取結果的變化而變化，是一個隨機變量，其值域是｛0,1,2,3,4}.利用隨機變量可以表達一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品”,{X=4｝表示“抽出4件次品”等．你能說出｛X<3｝在這里表示什么事件嗎？“抽出3件以上次品”又如何用X表示呢？定義2：所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量(discreterandomvariable).離散型隨機變量的例子很多．例如某人射擊一次可能命中的環數X是一個離散型隨機變量，它的所有可能取值為0，1，…，10；某網頁在24小時內被瀏覽的次數Y也是一個離散型隨機變量，它的所有可能取值為0,1,2，….思考3：電燈的壽命X是離散型隨機變量嗎？電燈泡的壽命X的可能取值是任何一個非負實數，而所有非負實數不能一一列出，所以X不是離散型隨機變量．在研究隨機現象時，需要根據所關心的問題恰當地定義隨機變量．例如，如果我們僅關心電燈泡的使用壽命是否超過1000小時，那么就可以定義如下的隨機變量：與電燈泡的壽命X相比較，隨機變量Y的構造更簡單，它只取兩個不同的值0和1，是一個離散型隨機變量，研究起來更加容易．連續型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以取某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續型隨機變量.如某林場樹木最高達30米，則林場樹木的高度是一個隨機變量，它可以取（0，30]內的一切值4.離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系:離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續性隨機變量的結果不可以一一列出注意：（1）有些隨機試驗的結果雖然不具有數量性質，但可以用數量來表達.如投擲一枚硬幣，=0，表示正面向上，=1，表示反面向上（2）若是隨機變量，是常數，則也是隨機變量三、講解范例：例1．寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果.(1)一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號為1，2，3，4，5現從該袋內隨機取出3只球，被取出的球的最大號碼數ξ；(2)某單位的某部電話在單位時間內收到的呼叫次數η.解：(1)ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3個球的編號為1，2，3；ξ=4，表示取出的3個球的編號為1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3個球的編號為1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5 （2）η可取0，1，…,n，… η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,… 例2．拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數的差為ξ，試問：“ξ>4”表示的試驗結果是什么？答：因為一枚骰子的點數可以是1，2，3，4，5，6六種結果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是說“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚為6點，第二枚為1點例3某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km，則按10元的標準收租車費若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計費(超出不足1km的部分按lkm計)．從這個城市的民航機場到某賓館的路程為15km．某司機常駕車在機場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉換成行車路程(這個城市規定，每停車5分鐘按lkm路程計費)，這個司機一次接送旅客的行車路程ξ是一個隨機變量，他收旅客的租車費可也是一個隨機變量(1)求租車費η關于行車路程ξ的關系式；(Ⅱ)已知某旅客實付租車費38元，而出租汽車實際行駛了15km，問出租車在途中因故停車累計最多幾分鐘?解：(1)依題意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租車在途中因故停車累計最多15分鐘．四、課堂練習：1.①某尋呼臺一小時內收到的尋呼次數；②長江上某水文站觀察到一天中的水位；③某超市一天中的顧客量其中的是連續型隨機變量的是（）A．①；B．②；C．③；D．①②③２.隨機變量的所有等可能取值為，若，則（）A．；B．；C．；D．不能確定3.拋擲兩次骰子，兩個點的和不等于8的概率為（）A．；B．；C．；D．4.如果是一個離散型隨機變量，則假命題是()A.取每一個可能值的概率都是非負數；B.取所有可能值的概率之和為1；C.取某幾個值的概率等于分別取其中每個值的概率之和；D.在某一范圍內取值的概率大于它取這個范圍內各個值的概率之和答案：1.B2.C3.B4.D五、小結：隨機變量離散型、隨機變量連續型隨機變量的概念隨機變量ξ是關于試驗結果的函數，即每一個試驗結果對應著一個實數；隨機變量ξ的線性組合η=aξ+b(其中a、b是常數)也是隨機變量六、課后作業：

2．1．1離散型隨機變量課前預習學案一、預習目標通過預習了解什么是隨機變量，什么是離散型隨機變量二、預習內容1、隨機變量2、隨機變量的表示方法3、隨機變量的取值4、離散型隨機變量三、提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內容課內探究學案一、學習目標1.理解隨機變量的意義；2.學會區分離散型與非離散型隨機變量，并能舉出離散性隨機變量的例子；3.理解隨機變量所表示試驗結果的含義，并恰當地定義隨機變量.二、學習重難點：教學重點：隨機變量、離散型隨機變量、連續型隨機變量的意義教學難點：隨機變量、離散型隨機變量、連續型隨機變量的意義三、學習過程（一）隨機變量、離散型隨機變量問題1：擲一枚骰子，出現的點數可以用數字1,2，3，4，5，6來表示．那么擲一枚硬幣的結果是否也可以用數字來表示呢？問題2：：隨機變量和函數有類似的地方嗎？問題3：（電燈的壽命X是離散型隨機變量嗎？（二）歸納小結：（三）典型例題例1．寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果.(1)一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號為1，2，3，4，5現從該袋內隨機取出3只球，被取出的球的最大號碼數ξ；(2)某單位的某部電話在單位時間內收到的呼叫次數η.例2．拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數的差為ξ，試問：“ξ>4”表示的試驗結果是什么？例3某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km，則按10元的標準收租車費若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計費(超出不足1km的部分按lkm計)．從這個城市的民航機場到某賓館的路程為15km．某司機常駕車在機場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉換成行車路程(這個城市規定，每停車5分鐘按lkm路程計費)，這個司機一次接送旅客的行車路程ξ是一個隨機變量，他收旅客的租車費可也是一個隨機變量(1)求租車費η關于行車路程ξ的關系式；(Ⅱ)已知某旅客實付租車費38元，而出租汽車實際行駛了15km，問出租車在途中因故停車累計最多幾分鐘?（五）當堂檢測1.①某尋呼臺一小時內收到的尋呼次數；②長江上某水文站觀察到一天中的水位；③某超市一天中的顧客量其中的是連續型隨機變量的是（）A．①；B．②；C．③；D．①②③２.隨機變量的所有等可能取值為，若，則（）A．；B．；C．；D．不能確定3.拋擲兩次骰子，兩個點的和不等于8的概率為（）A．；B．；C．；D．4.如果是一個離散型隨機變量，則假命題是()A.取每一個可能值的概率都是非負數；B.取所有可能值的概率之和為1；C.取某幾個值的概率等于分別取其中每個值的概率之和；D.在某一范圍內取值的概率大于它取這個范圍內各個值的概率之和答案：1.B2.C3.B4.D離散型隨機變量的分布列【教學目標】知道概率分布列的概念。掌握兩點分布和超幾何分布的概念。回求簡單的離散型隨機分布列。【教學重難點】教學重點：概率分布列的概念；教學難點：兩點分布和超幾何分布的概。【教學過程】一、復習引入：1.隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量.隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示.2.離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.3．連續型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以取某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續型隨機變量.4.離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系:若是隨機變量，是常數，則也是隨機變量.并且不改變其屬性（離散型、連續型）.請同學們閱讀課本P5-6的內容，說明什么是隨機變量的分布列？二、講解新課：1.分布列:設離散型隨機變量ξ可能取得值為x1，x2，…，x3，…，ξ取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列.2.分布列的兩個性質：任何隨機事件發生的概率都滿足:，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1．由此你可以得出離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質：⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．對于離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率的和.即.3.兩點分布列:例1.在擲一枚圖釘的隨機試驗中，令如果針尖向上的概率為，試寫出隨機變量X的分布列．解：根據分布列的性質，針尖向下的概率是（)．于是，隨機變量X的分布列是ξ01P像上面這樣的分布列稱為兩點分布列．兩點分布列的應用非常廣泛．如抽取的彩券是否中獎；買回的一件產品是否為正品；新生嬰兒的性別；投籃是否命中等，都可以用兩點分布列來研究．如果隨機變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布(two一pointdistribution)，而稱=P(X=1）為成功概率．兩點分布又稱0一1分布．由于只有兩個可能結果的隨機試驗叫伯努利（Bernoulli)試驗，所以還稱這種分布為伯努利分布．，，，．4.超幾何分布列：例2．在含有5件次品的100件產品中，任取3件，試求：(1)取到的次品數X的分布列；（2）至少取到1件次品的概率．解：(1)由于從100件產品中任取3件的結果數為，從100件產品中任取3件，其中恰有k件次品的結果數為，那么從100件產品中任取3件，其中恰有k件次品的概率為。所以隨機變量X的分布列是X0123P(2)根據隨機變量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.13806+0.00588+0.00006=0.14400.一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品數，則事件{X=k｝發生的概率為,其中，且．稱分布列X01…P…為超幾何分布列．如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾何分布（hypergeometriCdistribution).例3．在某年級的聯歡會上設計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同．一次從中摸出5個球，至少摸到3個紅球就中獎．求中獎的概率．解：設摸出紅球的個數為X，則X服從超幾何分布，其中N=30,M=10,n=5．于是中獎的概率P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4）十P(X=5)=≈0.191.思考：如果要將這個游戲的中獎率控制在55%左右，那么應該如何設計中獎規則？例4.已知一批產品共件，其中件是次品，從中任取件，試求這件產品中所含次品件數的分布律。解顯然，取得的次品數只能是不大于與最小者的非負整數，