試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025屆廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（二）數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆在答題卡的相應(yīng)位置填涂考生號(hào).2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．12．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為A．0 B．1 C．2 D．33．聲強(qiáng)級(jí)（單位：dB）由公式給出，其中為聲強(qiáng)（單位：）.輕柔音樂(lè)的聲強(qiáng)一般在之間，則輕柔音樂(lè)的聲強(qiáng)級(jí)范圍是（

）A． B．C． D．4．的展開式中的系數(shù)為（

）A．24 B． C． D．5．已知，則（

）A． B． C．2 D．36．已知函數(shù)若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與相交于兩點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)在上的所有極值點(diǎn)從小到大依次記為，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)位于一條直線附近，它的樣本相關(guān)系數(shù)（其中），由最小二乘法求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程（其中），則（

）A．若，則B．若，則成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)等于C．若，則成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)大于D．若，則成對(duì)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程10．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.若的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，其“歐拉線”為，圓，則（

）A．過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為4B．若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則C．若圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到的距離都為1，則D．存在，使圓上有三個(gè)點(diǎn)到的距離都為111．已知是球的球面上兩點(diǎn)，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，球的半徑為4，，二面角的大小為，則（

）A．是鈍角三角形B．直線與平面所成角為定值C．三棱錐的體積的最大值為D．三棱錐的外接球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若函數(shù)（，且）是偶函數(shù)，且，則.13．一個(gè)袋子里有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，從中有放回地隨機(jī)取球，每次取1個(gè)球，共取4次，把每次取出的球的標(biāo)號(hào)排成一列數(shù)，則這列數(shù)中恰有3個(gè)不同整數(shù)的概率為.14．在平面四邊形中，，若的面積是的面積的2倍，則的長(zhǎng)度為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且是和8的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.16．如圖，直四棱柱的底面是菱形，為銳角，分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在直線上.(1)證明：平面；(2)若直四棱柱的體積為，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求的長(zhǎng).17．已知函數(shù)（，且）.(1)若，直線與曲線和曲線都相切，求的值；(2)若，求的取值范圍.18．已知雙曲線的右焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在的右支上，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，一條與的左支交于點(diǎn)，另一條與的右支交于點(diǎn)（異于點(diǎn)）.（ⅰ）證明：；（ⅱ）當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線和直線的方程.19．設(shè)，集合（為向量），若，定義.(1)若，且，寫出所有的；(2)若，且，設(shè)滿足的的個(gè)數(shù)為，求的值；(3)從集合中任取兩個(gè)不同的向量，記，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．B【分析】由題意可知，可求交集，進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】由，可得，所以.故的元素個(gè)數(shù)為3.故選：B.2．B【詳解】分析：設(shè)，根據(jù)，可得的軌跡方程，代入，即可得出．詳解：設(shè)，，∴，∴，∴，則==≥．當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：B．點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式、一次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3．C【分析】依題意可得，即可求出的范圍，從而得解.【詳解】依題意可得，所以，所以，所以，即輕柔音樂(lè)的聲強(qiáng)級(jí)范圍是.故選：C4．D【分析】求出展開式的通項(xiàng)，即可求出的系數(shù).【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，所以的系數(shù)為．故答案為：.5．A【分析】根據(jù)角的范圍利用二倍角公式將表達(dá)式化簡(jiǎn)計(jì)算可得，即求出結(jié)果.【詳解】由可得，所以，又易知，因此可得，即可得，所以，解得.故選：A6．B【分析】當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，大致畫出分段函數(shù)的圖象，再由數(shù)形結(jié)合即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】易知當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且;當(dāng)時(shí)，函數(shù)，易知,顯然當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖象大致如下圖所示：

若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，由上圖可知；當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；此時(shí)其圖象大致如下圖：

顯然函數(shù)的圖象與沒(méi)有交點(diǎn)，不合題意；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B7．D【分析】設(shè)，利用橢圓的定義可得，在，中，由余弦定理可得，可求離心率.【詳解】由題意作出圖形如圖所示：

設(shè)，又，所以，又，，所以，所以，又因?yàn)椋裕獾茫裕谥校捎嘞叶ɡ砜傻茫谥校捎嘞叶ɡ砜傻茫驗(yàn)椋裕淼茫裕獾?故選：D.8．B【分析】題可得極值點(diǎn)滿足或，由此畫出圖象，可得極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得，據(jù)此可得答案.【詳解】，則或.如圖，畫出圖象，結(jié)合圖象可知在兩側(cè)附近正負(fù)相反，可得極值點(diǎn)有8個(gè).則互為相反數(shù)，因，則，又注意到，則.故選：B9．ABD【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義判斷ABC，利用線性回歸方程的求法判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，變量正相關(guān)，所以，故A正確；因?yàn)椋猿蓪?duì)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)相當(dāng)于把成對(duì)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向下平移2個(gè)單位，不改變變量的相關(guān)性，故B正確；因?yàn)椋瑒t成對(duì)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)相當(dāng)于把成對(duì)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，故變量間的相關(guān)性不變，故C錯(cuò)誤；當(dāng)，由可知，新的回歸直線方程中斜率變?yōu)椋瑒t成對(duì)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，故D正確.故選：ABD10．BC【分析】A項(xiàng)，利用勾股定理寫出的表達(dá)式，即可求出的最小值；B項(xiàng)，求出直線的解析式，得出圓的位置，即可得出結(jié)論；C項(xiàng)，根據(jù)圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到的距離，得出圓心到直線的距離小于直徑，結(jié)合距離公式即可得出結(jié)論；D項(xiàng)，由幾何知識(shí)即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，在圓中，，半徑，A項(xiàng)，過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)為，如圖所示，∴,在中，由勾股定理得，∴∴當(dāng)時(shí)，取最小值，，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，重心坐標(biāo)即,所在直線，即線段的中點(diǎn),∴的垂直平分線為：，同理可得，的垂直平分線為：，，解得：，∴外心由幾何知識(shí)得，垂心與外心重合，∴過(guò)和，，即，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，恰好為圓的直徑，∴直線過(guò)圓心，∴，即，B正確；C項(xiàng)，圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到的距離都為1，∴圓心到直線即的距離小于直徑.∴，解得：，故C正確；D項(xiàng)，由幾何知識(shí)得，圓上不可能有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離均為半徑1，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11．ABD【分析】根據(jù)題意可得固定平面，求出各線段長(zhǎng)度，結(jié)合圓內(nèi)接四邊形可求得，即A正確，利用線面角定義作出其平面角可得B正確，由三棱錐錐體體積公式計(jì)算可得可判斷C錯(cuò)誤，求得三棱錐的外接球的球心位置和半徑即可求得D正確.【詳解】如下圖所示：易知，由可得；固定平面，由二面角的大小為可知為一個(gè)與平面夾角為的平面與的交點(diǎn)（在的右側(cè)），如圖中過(guò)平面的虛線形成的劣弧所示：取的中點(diǎn)為，作平面，則有，又易知，如下圖所示：在劣弧上運(yùn)動(dòng)，對(duì)于A，易知，因此可得是鈍角三角形，即A正確；對(duì)于B，設(shè)直線與平面所成的角為，則，為定值，即B正確；對(duì)于C，作，易知三棱錐的體積的最大值為，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，如下圖：由于是的外心，則平面，因此三點(diǎn)共線，設(shè)，在中由勾股定理可得，解得；因此三棱錐的外接球的表面積為，即D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)題目條件固定平面，再根據(jù)二面角大小求得線段長(zhǎng)度得出點(diǎn)軌跡，再結(jié)合線面角、外接球等進(jìn)行計(jì)算即可.12．【分析】利用偶函數(shù)的定義可求得，進(jìn)而可得，計(jì)算可求得的值.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則，可得，所以，所以或，則（舍去）或，所以，又，所以，所以，又，解得.故答案為：.13．【分析】求得總的取法數(shù)，進(jìn)而求得符合條件的取法數(shù)，利用古典概型概率公式可求解.【詳解】每次均有4種不同的取法，故總的取法數(shù)有種，這列數(shù)中恰有3個(gè)不同整數(shù)，則必有一個(gè)數(shù)取了2次，故這列數(shù)中恰有3個(gè)不同整數(shù)的取法數(shù)有種，故這列數(shù)中恰有3個(gè)不同整數(shù)的概率為.故答案為：.14．【分析】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AC，BD交點(diǎn)為E，由的面積是的面積的2倍可得E坐標(biāo)，然后由B，E，D三點(diǎn)共線結(jié)合可得B點(diǎn)坐標(biāo)，即可得答案.【詳解】如圖，以D點(diǎn)為原點(diǎn)，取AC中點(diǎn)為F，以DF所在直線為x軸，以過(guò)D點(diǎn)，垂直于DF直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.又則.過(guò)C，A兩點(diǎn)作DB垂線，垂足為G，H，則.又注意到，則.設(shè)，則，則.注意到B，E，D三點(diǎn)共線，則，則.又則或，又由圖可得，則.則.故答案為：

15．(1)(2)證明見解析【分析】（1）解法1：由題意可求得，當(dāng)時(shí)，求得，當(dāng)時(shí)，，可得，可求通項(xiàng)公式；解法2：由題意可得，先求得前幾項(xiàng)，猜想通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；（2）由題意可得，可求得，可證結(jié)論.【詳解】（1）解法1：因?yàn)槭呛?的等差中項(xiàng)，所以，即.①當(dāng)時(shí)，，得.當(dāng)時(shí)，，②①－②得，得，即.所以數(shù)列是以首項(xiàng)為8，公比為2的等比數(shù)列.所以.解法2：因?yàn)槭呛?的等差中項(xiàng)，所以，即.當(dāng)時(shí)，，得.當(dāng)時(shí)，，得.當(dāng)時(shí)，，得.猜想：.（下面用數(shù)學(xué)歸納法證明）1當(dāng)時(shí)，可知猜想成立，2假設(shè)時(shí)，猜想成立，即，依題意，得，得，又，得，則，得.即當(dāng)時(shí)，猜想也成立.由1，2可知猜想成立，即.（2）因?yàn)椋茫?由于，得，得，所以.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，進(jìn)而可證四邊形是平行四邊形，可得，由已知可證，可得，可證結(jié)論；（2）解法1：由已知可求得，分別以直線為軸，以的邊上的高線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求得線面角的正弦的最大值，進(jìn)而求得的長(zhǎng).解法2：由已知可求得，連接，設(shè)，連接，設(shè)，以為原點(diǎn)，分別以直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求得線面角的正弦的最大值，進(jìn)而求得的長(zhǎng).解法3：由已知可求得，由（1）知平面且點(diǎn)在直線上，，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且.又，且，則，且.所以四邊形是平行四邊形.所以.因?yàn)椋瑒t為的中點(diǎn).又為的中點(diǎn)，則所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（2）解法1：由于直四棱柱的體積為，得，得，由于為銳角，則.分別以直線為軸，以的邊上的高線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角為，由，即，取，則平面的一個(gè)法向量為.則.當(dāng)時(shí)，取得最大值.此時(shí).所以的長(zhǎng)為.解法2：由于直四棱柱的體積為，得，得，由于為銳角，則.連接，設(shè)，連接，設(shè)，以為原點(diǎn)，分別以直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，.設(shè)，即，則.設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角為，由，即，令，則，則平面的一個(gè)法向量為，,為，則.當(dāng)時(shí)，取得最大值.此時(shí).所以的長(zhǎng)為.解法3：由于直四棱柱的體積為，得，得，由于為銳角，則.由（1）知平面且點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到平面的距離為定值.設(shè)直線與平面所成角為，則.當(dāng)最小時(shí)，取得最大值.如圖，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，由于，，則平面.又平面，則.則為所求.在中，.，在中，.17．(1)8(2)【分析】（1）解法1：設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的意可求得，進(jìn)而求得切線方程，聯(lián)立切線與，利用可求解；解法2：設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的意可求得，進(jìn)而求得切線方程，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求解；（2）解法1：當(dāng)時(shí)，計(jì)算可得，不符合題意，當(dāng)時(shí)，由題意可得，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得的最小值，可求解.解法2：由題意可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值即可.【詳解】（1）解法1：設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，則，解得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為.直線，即.由得，由，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，得，符合題意，所以.解法2：設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，則，解得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為.直線，即.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，得.得，即，則.解得.（2）解法1：①當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的定義域?yàn)?由于，則，不符合題意.所以不符合題意.②當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的定義域?yàn)?顯然.當(dāng)時(shí)，由，得，即.令，則.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.則當(dāng)時(shí)，取得最小值，其值為.則，即.綜上所述，的取值范圍為.解法2：當(dāng)時(shí)，由，得，即，得.令，則.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.則當(dāng)時(shí)，取得最小值，其值為.則，即.綜上所述，的取值范圍為.18．(1)(2)（i）證明見解析；（ii），【分析】（1）由點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合題意可得，據(jù)此可得答案；（2）（ⅰ）設(shè)切線的方程為，由圓心到切線的距離，可得，再將切線方程與雙曲線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理結(jié)合可得，據(jù)此可完成證明；（ⅱ）方法1，注意到，由（ⅰ）可得，據(jù)此可得答案；方法2，設(shè)切線與圓的切點(diǎn)為，則可得，據(jù)此可得答案；方法3，由題可得，又設(shè)切線與圓的切點(diǎn)為，由，結(jié)合，可得，由基本不等式可得，據(jù)此可得答案.【詳解】（1）解：由于雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以.雙曲線的漸近線方程為，即為，由于點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，則.解得所以的方程為.（2）（ⅰ）證明：顯然圓的切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，由于切線不平行的漸近線，則.由圓心到切線的距離，得.由消去得，由題意知.設(shè)，則，而.則，則.所以，即.（ⅱ）解法1：由（ⅰ）同理可得，所以三點(diǎn)共線.則的面積.設(shè)切線與圓的切點(diǎn)為，則，.由（ⅰ）得，又，則.當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，直線平行軸，則的縱坐標(biāo)絕對(duì)值為圓的半徑.得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，直線的方程為.解法2：由（ⅰ）同理可得，所以三點(diǎn)共線.則的面積.設(shè)切線與圓的切點(diǎn)為，則.在中，，在中，，則，當(dāng)時(shí)，，即的面積的最小值為3.此時(shí)，直線平行軸，則的縱坐標(biāo)絕對(duì)值為圓的半徑.得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，直線的方程為.解法3：由（ⅰ）同理可得，所以三點(diǎn)共線.則的面積.設(shè)切線與圓的切點(diǎn)為，則.在中，，在中，，由于，則，根據(jù)基本不等式得，得，則，即的面積的最小值為3.當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，根雙曲線的對(duì)稱性知，直線平行軸，則的縱坐標(biāo)絕對(duì)值為圓的半徑.得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，直線的方程為.

19．(1)(2)，，(3)分布列見解析，【分析】（1）設(shè)設(shè)，，，根據(jù)定義列方程求，由此可得結(jié)論；（2）方法一：根據(jù)定義，由條件可得，由二項(xiàng)式