第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年浙江省寧波市三鋒教研聯盟高一（下）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知向量e1，e2是平面上兩個不共線的單位向量，且AB=e1+2e2A.A、B、C三點共線 B.A、B、D三點共線

C.A、C、D三點共線 D.B、C、D三點共線2.在△ABC中，已知a=2，b=23，A=π6，則A.π6 B.π3 C.π6或5π6 3.已知水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖為矩形A′B′C′D′，已知A′B′=2，B′C=1，則四邊形ABCD的面積為(

)A.22 B.42 C.4.已知點M，兩條不同的直線l，m和兩個不同的平面α，β，下列說法正確的是(

)A.若m//l，l//α，則m//α

B.若l//β，m//β，l?α，m?α，則α//β

C.若l//m，l?α，m?β，則α//β

D.若l//β，m//β，l?α，m?α，l∩m=M，則α//β5.如圖，已知直角梯形ABCD，AB//CD，AB⊥AD，AB=2AD=2CD=2，點F是CD中點，點E是線段BC靠近B點的三等分點，則AF?AE=(

)A.56

B.76

C.546.在△ABC中，已知b2+c2?bc=a2，且A.直角三角形 B.等腰直角三角形

C.有一個角為60°的直角三角形 D.等邊三角形7.如圖，在△ABC中，已知BD=12DC，AE=2EC，P是線段AD與的值為(

)A.37

B.67

C.1

8.如圖所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=BC=2，BB1=22，∠ABC=90°，E，F分別是AA.11

B.7+22

C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a，b，c滿足a=(1,1)，b=(?1,2)，c=(2m,n?1)，則A.|a?b|=5 B.當b//c時，4m+n=1

C.當(2a+b10.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，下列說法正確的是(

)A.若sinA>sinB，則A>B

B.若A=24°，b=5，a=3，則△ABC有兩解

C.若AB?AC>0，則△ABC為銳角三角形

D.若a11.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知M，N，P分別是棱C1D1，AA1A.PQ//平面ADD1A1

B.若Q，M，N，P四點共面，則λ=14

C.若λ=13，點F在側面BB1C1C內，且A1F//平面APQ，則點F的軌跡長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知三棱錐P?ABC，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，PA=PB=PC=1cm，則三棱錐P?ABC的外接球的體積是______cm3．13.如圖，測量河對岸的塔高AB，可以選取與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點C與D，現測得∠BCD=30°，∠BDC=105°，CD=32m，在C點測得塔頂A的仰角為60°，則塔的總高度為______米.14.在△ABC中，AB=25，AC=210，∠BAC為鈍角，P，Q是BC邊上的兩個動點，且PQ=2，若AP?AQ的最小值為3四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a與b的夾角θ=3π4，且|a|=3，|b|=22．

(1)求a?b，16.(本小題15分)

如圖，梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，BC=2AD=2，∠DCB=60°，在平面ABCD內以過AB的直線l為軸旋轉一周.求旋轉體的表面積和體積．17.(本小題15分)

已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，acosC+3asinC?b?c=0．

(1)求A；

(2)若a=2，求18.(本小題17分)

如圖已知四棱錐S?ABCD，底面ABCD為梯形，AD//BC，SA=AB=BC=2，AD=3，P、Q為側棱SD上的點，且DP：PQ：QS=3：2：4，點M為SA上的點，且3AM=AS．

(1)求證：CP//平面SAB；

(2)求證：平面BMQ//平面ACP；

(3)平面BMQ與側棱SC相交于點E，求SEEC19.(本小題17分)

“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題，該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數學家托里拆利給出了解答：當△ABC的三個內角均小于120°時，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點O即為費馬點；當△ABC有一個內角大于或等于120°時，最大內角的頂點為費馬點.已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，|AB?AC|=|AB+AC|．

(1)求A；

(2)若b=1，c=2，且點P為△ABC的費馬點，求PA?PB+PB?PC參考答案1.C

2.D

3.B

4.D

5.B

6.D

7.B

8.C

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.313.48+1614.?15.解：(1)a?b=|a|?|b|cos<a，b>=3×22×cos3π4=?6，

|a+b|=16.解：由題意梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，BC=2AD=2，∠DCB=60°，

在平面ABCD內以過AB的直線l為軸旋轉一周后形成的幾何體為圓臺．

上、下底面圓半徑分別是1、2，圓臺的高為3，母線長為2；

∴圓臺的側面積S1=π(1+2)×2=6π，

圓臺的上下底面積S2=π?12+π?22=5π，17.解：(1)由acosC+3asin

C?b?c=0及正弦定理得：sinAcosC+3sinAsin

C?sinB?sinC=0，

因為B=π?A?C，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA，

所以3sinAsinC?cosAsinC?sinC=0．

由于sin

C≠0，

所以：3sinA=cosA+1

可得：sin(A?π6)=12．

又0<A<π，

故A=π3．

(2)由a=2，A=π3，及余弦定理得：a2=b2+c2?2bccosA=b218.解：(1)證明：連接MP，

在三角形SAD中，因為SMSA=23=SPSD，所以MP//AD，且MP=23AD=2，

又因為AD//BC，BC=2，所以MP//BC且MP=BC，

所以四邊形MPCB為平行四邊形，所以CP//BM，

又因為BM?平面SAB，CP?平面SAB，

因此CP//平面SAB．

(2)證明：根據第一問得CP//BM，又因為CP?平面BMQ，BM?平面BMQ，

所以CP//平面BMQ，

在三角形SAD中，因為DP：PQ：QS=3：2：4，所以SQSP=23=SMSA，所以MQ//AP，

又因為AP?平面BMQ，MQ?平面BMQ，所以AP//平面BMQ，

又由于AP∩CP=P且AP，CP均在平面ACP中，

所以平面ACP//平面BMQ．

(3)根據第一問知BM//CP，又因為BM?面SCD，CP?面SCD，所以BM//平面SCD，

又因為BM?平面BMQ19.解：(1)∵|AB+AC|=|AB?AC|，則|AB+AC|2=|AB?AC|2，

∴AB2+2AB?AC+AC2=AB2?2AB?AC+AC2，

∴4AB?AC=0??AB⊥AC，故A=π2；

(2)若b=1，c=2，且點P為△ABC的費馬點，

由(1