試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級中考數學三輪沖刺訓練圓中切線證明專題訓練1．如圖，是的直徑，是的切線，切點為，連接、、，且，、的延長線相交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，，求實數的值．2．如圖，內接于為的直徑，于點，將沿所在的直線翻折，得到，點的對應點為，延長交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積．3．如圖，是的直徑，點是上一點，過點作弦于，點是弧上一點，交于點，過點作一條直線交的延長線于．(1)求證：是的切線；(2)延長相交于點，若，求的長．4．如圖，已知是的外接圓，是的直徑，是延長線上的一點，交的延長線于，于，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．5．如圖，在四邊形中，，，于點G，以為直徑的分別交，于點，，連接．(1)求證：是的切線．(2)若，求的度數．6．如圖，是的直徑，是的弦，，垂足是點H，過點C作直線分別與，的延長線交于點E，F，且．(1)求證：是的切線．(2)如果，①求的長．②求的面積．7．如圖，內接于，，是的直徑，交于點，過點作，交的延長線于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)已知，，求的長．8．如圖，為的切線，為切點，過點作，垂足為，交于點，延長與的延長線交于點．(1)求證：為的切線．(2)若，求線段的長．9．如圖，直線經過點，且，，交直線于點．(1)求證：直線是的切線；(2)若的半徑為2，，求陰影部分的面積（結果保留根號和）．10．如圖，是的直徑，射線交于點D，E是劣弧上一點，且平分，過點E作于點F，延長和的延長線交于點G．(1)證明：是的切線；(2)若，，求的半徑．11．如圖點A、B、D、E在上，弦、的延長線相交于點C．若是的直徑，D是的中點，過D作的垂線，垂足為F．(1)求證：是圓O的切線；(2)若，，求圓O的直徑．12．如圖，是的外接圓，為的直徑，過點作，交于點，過點作的垂線交的延長線于點，連接并延長與的延長線交于點．(1)求證：是的切線：(2)若，，求陰影部分的面積．13．如圖，為的直徑，和相交于點F，平分，點C在上，且，交于點P．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)已知，，求的值．14．如圖1，在菱形中，，的半徑為，與菱形的兩邊相切于點E，F，交菱形的兩邊于點M，N，延長交于點D，連接．(1)求證：是的切線；(2)求的面積；(3)如圖2，連接并延長，交延長線于點P，求線段的長度．15．如圖，四邊形為矩形，E為邊的中點，連接，以為直徑的交于點F，連接，，交于點G．(1)若，，求的長；(2)求證：四邊形是平行四邊形；(3)求證：是的切線．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級中考數學三輪沖刺訓練圓中切線證明專題訓練》參考答案1．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，則，由是的切線，可得，證明，得到，即可得證；（2）連接，由，，可得，，根據勾股定理可得，證明，得到，在中，根據勾股定理可得：，即，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，則，是的切線，，則，在和中，，，，即，是的半徑，是的切線；（2）解：，，，，由（1）知，是的切線，．在中，，如圖，連接，是的直徑，，則．，，，，，，，，在中，，即，則．，，，，．【點睛】本題考查了切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理，掌握相關知識是解題的關鍵．2．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，如圖所示，先證明，再由旋轉性質及平行線性質得到，由切線的判定即可得證；（2）由等腰直角三角形的判定與性質求出相關角度與邊長，間接表示出不規則的圖形面積，最后由扇形面積公式及三角形面積公式代值求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：，，，，∵將沿所在的直線翻折，得到，，，，，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：由（1）知，，，，由（1）知，，則，即為等腰直角三角形，，，，，∴圖中陰影部分的面積．【點睛】本題考查圓綜合，涉及垂直定義、等腰三角形性質、翻折性質、平行線的判定與性質、切線的判定、等腰直角三角形的判定與性質、不規則面積的求法、扇形面積公式等知識，熟記圓的相關性質、基本幾何性質是解決問題的關鍵．3．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，通過得到，即可證明是的切線；（2）連接OC、OF，通過平行得到，根據得出，在中求得，中，利用三角函數即可求得的值．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示，，，，，，，，，即，，又∵是的半徑，是的切線（2）解：連接、，如圖所示，，，，，∴設半徑為，則，中，，，解得，，是的切線，，，設，則即，，【點睛】本題考查了圓切線的判定、平行線的性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理、三角函數等知識點，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．4．(1)見解析(2)3【分析】本題考查了切線的判定與性質，角平分線的判定與性質，30度所對的直角邊是斜邊的一半，等邊對等角，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）根據角平分線的判定得，結合等邊對等角得，得．故．得，即可作答．（2）因為，所以，得，得，在中，，得．【詳解】（1）證明：如圖，連接．∵，，，∴．∵，∴，∴．∴．∴．∵是圓的半徑，∴是的切線．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴．5．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了切線的判定和性質，圓周角定理等知識點．（1）根據和證明得出，根據，可得，進而即可得證；（2）連接，由已知進而求出，再根據直徑所對圓周角等于，得出，，根據同弧所對圓周角相等可得．【詳解】（1）證明：∵在四邊形中，，∴．∵，∴，∴．又∵，∴，即．∵為的半徑，∴是的切線．（2）解：如圖，連接，∵，∴，∴．∵為的直徑，∴，∴，∵．∴．6．(1)證明過程見詳解(2)①；②【分析】（1）連接、，根據垂徑定理得到平分弦，平分，即有，再根據，證得，即有，則有，即可得，即有，則問題得證；（2）①利用勾股定理求出、、，在中，，在中，，即可得到，則問題得解；②過F點作，交的延長線于點P，先證，再證明，即可求出，則的面積可求．【詳解】（1）連接、，如圖_2∵是的直徑，∴，，∵，∴平分弦，平分，∴，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的切線；（2）①∵，，∴在（1）的結論中有，，∴在中，，同理利用勾股定理，可求得，，∴，，即，在中，，∵是的切線，∴，∴在中，，∴，解得：，∴，②過F點作，交的延長線于點P，如圖，∵，，∴，∴，即，∴，∵，，∴，∴，即，∵，，，，∴，解得：，∴，故的面積為．【點睛】本題主要考查了垂徑定理、切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識，掌握垂徑定理是解答本題的關鍵．利用相似三角形的性質是解題的難點．7．(1)證明見解析；(2)．【分析】（）由圓周角定理得，即，再由等腰三角形的性質和圓周角定理得，，則，然后由平行線的性質得，則，即，即可得出結論；（）證，得，則，即可求解；本題考查了圓的切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質，相似三角形的判定及性質，綜合性強，熟練掌握相似三角形的判定及性質是解題的關鍵．【詳解】（1）證明:∵是的直徑，∴，即，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；（2）∵，，∴，∵，，∴，∴∴，∴．8．(1)見解析(2)6【分析】（1）連接，由垂徑定理得是的中垂線，推出，再證，可得，即可證明為的切線．（2）先用勾股定理解，再證，根據相似三角形對應邊成比例列式，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，為的切線，為切點，，，O為圓心，是的垂直平分線，，在和中，，，，，為的半徑，為的切線．（2）解：為的切線，，，，，，，，，，解得．【點睛】本題考查垂徑定理，全等三角形的判定和性質，切線的性質定理和判定定理，相似三角形的判定和性質，勾股定理等，能夠綜合應用上述知識點是解題的關鍵．9．(1)詳見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定和性質、直角三角形的性質和勾股定理、扇形面積的計算等知識，解題的關鍵是掌握切線的判定與性質．（1）利用等腰三角形的性質證得，利用切線的判定定理即可得到答案；（2）在中，利用直角三角形的性質和勾股定理求得，，再根據，計算即可求解．【詳解】（1）證明：連接，∵在中，，，∴，又∵是的半徑，∴直線是的切線；（2）解：由（1）知，∵，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴，．10．(1)見詳解(2)【分析】本題考查了切線的判定，圓的定義，等腰三角形的判定及性質，勾股定理等；（1）連接，由圓的定義得，由等腰三角形的性質得，由平行線的判定方法得，從而可得，即可得證；（2）由勾股定理，即可求解；掌握相關的性質，切線的判定方法：“連半徑，證垂直”是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：連接，，，平分，，，，，，是的切線；（2）解：設半徑為，，，，，，解得：；故的半徑為．11．(1)見解析(2)5【分析】（1）連結，如圖，先證明為的中位線，根據三角形中位線性質得，由于，則，于是根據切線的判定定理得是的切線；（2）作于H，如圖，易得四邊形為矩形，得到，設，則，根據垂徑定理得到，在中利用勾股定理得到，則，解得

，然后計算即可．【詳解】（1）證明：連結，如圖，∵是的中點，而，∴為的中位線，∴，∵，∴，∴是圓的切線；（2）解：作于，如圖，則四邊形為矩形，∴，∵，∴設，，∵，∴，在中，∵，，∴，∴，解得，∴，即的直徑為．【點睛】本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理，三角形中位線的性質．12．(1)詳見解析(2)【分析】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、等邊對等角、切線的判定定理、等邊三角形的判定與性質、扇形面積公式，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）連接，證明，由垂徑定理得：為的中點，得出，由等邊對等角得出，即，即可得證；（2）證明是等邊三角形，得出，，求出，，再根據，計算即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，∵，∴，∵為圓的直徑，∴，∵，∴，∴，由垂徑定理得：為的中點，∴垂直平分，∴，∴，又∵，∴，∴，∴半徑，∴是的切線；（2）解：∵，

∴，又∵，

∴，由（1）知，是的切線，∴，

∴，

∴，，又∵，

∴是等邊三角形，

∴，，∴，∴，即的半徑為6．∴，∴在中，∴∴∴．13．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接，由等腰三角形的性質得，再證，則，然后證，即可得出結論；（2）證明，得，即可得出結論；（3）先證明，求出，進而得出，設，，列方程求出，結合（2）中結論即可得出結論．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切線；（2）∵為的直徑，∴，∵平分，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）解：∵，，∴，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，設，，在中，，解得．∴，．∴．由（2）得，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、切線的判定、相似三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、等腰三角形的性質、角平分線的性質以及三角形面積等知識，本題綜合性強，熟練掌握圓周角定理和切線的判定，證明三角形相似是解題的關鍵．14．(1)見解析(2)1(3)【分析】（1）連接，證明，得到，即可得證；（2）證明，進而得到的面積等于的面積，進而求出的面積即可；（3）勾股定理求出的長，連接，利用圓周角定理，結合角的和差關系，推出，進而推出，利用相似三角形的性質，求解即可．【詳解】（1）解：連接，則：，∵是的切線，∴，∴，∵菱形，∴，∴，，∵，又∵，，∴，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；（2）∵是的切線，∴，∵，∴，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴，∵菱形，∴，∴，∴；（3）∵，，，∴，，，∴，∵，∴，∴，由（2）知，，，∴，，∴，∴，連接，由（1）知，，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查切線的判定和性質，圓周角定理，菱形的性質，等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，綜合性強，難度較大，熟練掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．15．(1)(2)證明見解析(3)證明見解