教學設計教學課題等腰三角形教學目標（1）會用數學的眼光觀察現實世界：通過探索等腰三角形判定定理，學生能夠從幾何圖形中發現數學規律，理解等腰三角形的判定條件，并將其應用于實際問題中。（2）會用數學的思維思考現實世界：通過反證法的學習，學生能夠運用邏輯推理和逆向思維，理解并掌握反證法的基本思路，提升數學思維的嚴謹性和批判性。（3）會用數學的語言表達現實世界：學生能夠運用數學語言準確描述等腰三角形的判定定理及反證法的證明過程，并通過書面和口頭表達清晰闡述數學推理過程。重難點（1）理解并掌握等腰三角形的判定定理，能夠靈活運用“等角對等邊”進行證明。（2）初步掌握反證法的基本思路，能夠在簡單的情境中運用反證法進行推理和證明。教學方式與策略講授法、實驗法、討論法、發現法教學活動設計一、情景導入，初步認知問題1.等腰三角形性質定理的內容是什么？這個命題的題設和結論分別是什么？（生：等腰三角形性質定理是說，在一個三角形中，如果有兩條邊相等，那么這兩條邊所對的角也相等。題設是一個三角形有兩條邊相等，結論是這兩條邊所對的角相等。）問題2.我們是如何證明上述定理的？（學生回憶并描述上節課的證明方法，老師可以提示學生注意輔助線的使用以及全等三角形的應用。）【教學說明】通過問題回顧等腰三角形的性質定理及其證明思路，鼓勵學生獨立思考后再進行小組交流討論。二、思考探究，獲取新知1.探索等腰三角形的判定定理問題：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等嗎？（學生分組討論，嘗試構造圖形進行驗證，并記錄自己的觀察結果。）（生：我們發現，如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊確實也相等。）歸納結論：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。（簡稱：等角對等邊）（老師在黑板上畫圖并標注，引導學生理解這個定理。）【設計意圖】通過學生的自主探索和驗證，讓他們更深入地理解等腰三角形的判定定理，培養幾何直觀能力。2.了解反證法小明的想法：在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等。你認為這個結論成立嗎？如果成立，你能證明它嗎？（展示學生的推理過程）如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時AB與AC要么相等，要么不相等。假設AB=AC，那么根據“等邊對等角”定理可得∠C=∠B，但已知條件是∠B≠∠C。“∠C=∠B”與已知條件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC。進一步舉例：要證明△ABC中不可能有兩個直角，也可以采用類似的證法。假設有兩個角是直角，不妨設∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但∠A+∠B+∠C=180°,“∠A+∠B=180°”與“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有兩個直角。引導學生思考：上面兩道題的證法有什么共同的特點呢？（學生討論后回答：都是先假設命題的結論不成立，然后推導出與已知公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結論一定成立。）歸納結論：這種證明方法稱為反證法。【設計意圖】通過具體例子和學生討論，讓學生掌握反證法的基本思路和應用方法，提高邏輯推理能力。三、運用新知，深化理解例題1題目：已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2。求證：AB=AC。證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內錯角相等）。又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C。∴AB=AC（等角對等邊）。（老師詳細講解步驟，學生跟隨老師的步驟在草稿紙上繪制圖形并標記。）教師引導：在這一步驟中，我們要利用平行線的性質來得出角的關系，再結合已知條件推導出最終結論。請同學們在草稿紙上跟著繪制圖形，標記角度。例題2題目：如圖，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，設AB=12，AC=18，求△AMN的周長。解：∵BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，∴∠MBD=∠DBC,∠NCD=∠BCD。∵MN∥BC,∴∠MDB=∠DBC,∠NDC=∠BCD。∴∠MDB=∠MBD,∠NDC=∠NCD。∴MB=MD,NC=ND。∴C△AMN=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+NC=(AM+MB)+(AN+NC)=AB+AC=30。（老師逐步講解每一步的邏輯關系，強調平分線和線段比例的關系。）教師引導：在這個問題中，我們需要用到角平分線和平行線的性質來確定線段的關系，再計算△AMN的周長。請同學們仔細觀察圖形，并理解每一步的推理過程。例題3題目：如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD=CE.求證：△ABC是等腰三角形。解：∵S△ABC=(AB?CE)/2=(AC?BD)/2且BD=CE，∴AB=AC。∴△ABC是等腰三角形。（老師詳細講解面積公式和等腰三角形的定義，幫助學生理解幾何關系。）教師引導：這個問題涉及到了三角形面積的計算方法，通過面積公式我們可以得出邊的關系，從而證明△ABC是等腰三角形。請大家注意面積公式的應用和轉化。例題4題目：如圖，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，求證：△ADE是等腰三角形。證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵DE∥BC，∴∠B=∠E，∠D=∠C。∴∠D=∠E。∴△ADE是等腰三角形。（老師講解平行線的性質和等角對等邊的定理。）教師引導：在這個問題中，我們利用了平行線和平等角的關系，通過等角對等邊的定理來證明△ADE是等腰三角形。請大家注意觀察圖形和推理過程。例題5題目：垂直于同一條直線的兩條直線平行。證明：假設a、b不平行，那么a、b相交。∵a⊥c，b⊥c，∴∠1=90°，∠2=90°。∴∠1+∠2=180°。而a、b相交，則∠1+∠2≠180°與∠1+∠2=180°相矛盾。∴假設不成立。即：垂直于同一條直線的兩條直線平行。（老師通過具體例子幫助學生理解反證法的應用。）教師引導：通過反證法，我們可以證明某些幾何命題。請同學們注意這種證明方法的應用，并理解它的邏輯性。【教學說明】學生在獨立思考的基礎上再進行小組交流，逐步培養他們應用知識解決問題的能力。四、師生互動，課堂小結結合本節課的學習，談談等腰三角形性質的判定的區別和聯系：性質定理：在一個等腰三角形中，兩條邊相等，那么它們所對的角也相等。判定定理：在一個三角形中，如果兩個角相等，那么它們所對的邊也相等。（生：性質定理是從等邊得出等角，而判定定理是從等角得出等邊。兩者互為逆命題。）五、布置