5.2.1等差數列(1)

第五章

數

列學習目標1.理解等差數列的概念,并能利用等差數列的定義判斷或證明一個數列是否為等差數列.2.掌握等差數列的通項公式和等差中項的概念.3.掌握等差數列的性質,并能在具體問題中正確應用.4.了解等差數列與一次函數的關系.嘗試與發現觀察下列現實生活中的數列，回答后面的問題。

我國有用12生肖紀年的習慣，例如.2017年是雞年，從2017年開始，雞年的年份為2017

，2029，

2041，2053，2065

，2077，…；①

我國確定鞋號的腳長使用毫米來表示，常用確定鞋號腳長值按從大到小的順序可排列為275，270，265，260，255，250。…；②

2019年1月中，每個星期日的日期為6，13

，20，

27.③

（1）數列①②③在數學中都稱為等差數列，它們有什么共同點？你能給等差數列下一個定義嗎？

（2）你能總結出數列①②③的通項公式并得出一般等差數列的通項公式嗎？問題探究不難看出，上述數列①②③的共同特點是：從第2項起，每一項與它的前一項之差都等于同一個常數.具體地，數列①從第2項起每一項與它前一項之差都等于12；數列②從第2項起每一項與它前一項之差都等于-5；數列②從第2項起每一項與它前一項之差都等于7.

2前一項同一個常數常數d

概念解析問題探究探究1.你能根據等差數列的定義推導它的通項公式嗎？

2.等差數列的通項公式一般地,若等差數列{an}的首項為a1,公差為d,則通項公式為：an=a1+(n-1)d.概念解析點睛：

等差數列的通項公式an中共含有四個變量,即a1,d,n,an,如果知道了其中任意三個量,就可由通項公式求出第四個量.例1.判斷以下數列是否是等差數列？如果是，指出公差；如果不是，說明理由.（1）7,13,19,25,31；（2）2,4,7,11；（3）-1,-3,-5,-7.

典例解析典例解析例2.已知等差數列10,7,4，…（1）求這個數列的第10項；（2）-56是不是這個數列中的項？-40呢？如果是，求出是第幾項；如果不是，說明理由.

1.等差數列通項公式的求法(1)等差數列的通項公式有兩個基本量:首項a1和公差d,故求通項公式主要是利用方程思想解a1,d.(2)等差數列通項公式的另兩種形式:①an=am+(n-m)d;②an=kn+b(k,b是常數).2.方程思想的應用等差數列的通項公式是一個等式,且含有a1,an,n,d四個字母,當把任何一個字母看作未知數時,就構成一個方程,從而可以通過解方程的方法求出這四個字母中的任何一個.歸納總結跟蹤訓練2.已知數列{an}為等差數列，a15＝8，a60＝20，求a75.跟蹤訓練

嘗試與發現

d

從函數角度認識等差數列{an}歸納總結

典例解析

典例解析

典例解析

嘗試與發現

典例解析

嘗試與發現

例7.如圖所示，已知某梯子共有5級，從上往下數，第1級的寬為35cm，第5級的寬為43cm，且各級的寬度從小到大構成等差數列，求其余三級的寬度.典例解析

等差數列的常用性質等差數列有很多條性質,但常用的主要有兩條:若{an}為等差數列,則(1)當m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)時,總有am+an=ap+aq.(2)當m+n=2k(m,n,k∈N+)時,總有am+an=2ak.歸納總結跟蹤訓練4.(1)在等差數列{an}中,已知a1,a2021為方程x2-10x+21=0的兩根,則a2+a2020等于(

)A.10 B.15 C.20 D.40(2)在等差數列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+a7=

.

解析:(1)根據根與系數的關系及等差數列的性質可得a2+a2

020=a1+a2

021=10.(2)因為數列{an}是等差數列,所以由等差數列的性質,得a3+a8=a5+a6=a4+a7=10,a4+a6=2a5,所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2×10=20.答案:(1)A

(2)20跟蹤訓練當堂達標3.已知m和2n的等差中項是4,2m和n的等差中項是5,則m和n的等差中項是(

)A.2 B.3 C.6 D.9解析:由題意,得

解得m+n=6.故m和n的等差中項是3.答案:B解析:在等差數列{an}中,a3=7,a5-a2=6,∴3d=6.∴a6=a3+3d=7+6=13.答案:134.在等差數列{an}中,a3=7,a5=a