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文檔簡介

——線性方程組的解線性代數線性方程組設含有個未知數,

個線性方程的方程組稱為線性方程組.(1)系數矩陣若記未知量矩陣常數項矩陣則上述方程組可寫成矩陣形式稱為線性方程組的增廣矩陣．為方程組的解或解向量.或注01若

可以使方程組中的m個等式都成立，則稱02如果兩個方程組的解集相等，則稱兩個方程組同解.方程組解的全體稱為方程組的解集.若方程組（1）中m=n，即方程個數與未知量個數相等，且系數行列式不等于0時，方程組的解可用克拉默法則求解，且解唯一．03定理線性方程組（1）有解的充分必要條件是：它的系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等．即注當時，方程組有解：若

，則方程組有唯一解；1若

，則方程組有無窮多解．2

齊次線性方程組1齊次線性方程組一般形式為

推論1即齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是：系數矩陣的秩小于未知量個數．當A

為n

階方陣，即m=n

時，Ax=0有非零解特別地齊次線性方程組故Ax=0的求解方法：利用初等變換把系數矩陣A

化為行最簡形矩陣，從而確定矩陣A

的秩．1若R（A）<n

，則方程組一定有非零解，由行最簡形矩陣對應的同解方程組即可寫出通解形式．2若R（A）=n

，則方程組只有零解．例1求解線性方程組對系數矩陣A

施行初等行變換變為行最簡形矩陣：解即從而得與原方程組同解的方程組：則通解：通解的向量形式：其中為任意實數．非齊次線性方程組2

一般形式為

推論2即系數矩陣A

的秩等于增廣矩陣

的秩n

元非齊次線性方程組有解的充分必要條件是1當時，方程組沒有自由未知量，只有唯一解．

故

2當時，方程組有個自由未知量，此時方程組有無窮多個解．3當時，方程組無解．例2對增廣矩陣施行初等行變換．解求解非齊次線性方程組得

從而方程組無解．求解非齊次線性方程組對增廣矩陣施行初等行變換：解例3得方程組有無窮多解，可得同解方程組：可得通解的形式為：思考

方程組有唯一解、無解或有無窮多解？并在有無窮多解時，求通解．小結1.線性方程組

是否有解的判定2.齊次方程組的解；（系數矩陣）3.非齊次方程組的解.（增廣矩陣）利用初等行變換，化為行最簡型矩陣確定

,再根據

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