萬有引力定律與天體運動第1頁兩體問題僅有兩個質(zhì)點組成孤立系統(tǒng)，兩個質(zhì)點質(zhì)量為m1、m1，相互作用力大小為f，從m1至m2矢徑為.對m2，由牛頓第二定律有將（1）代入（2）：則有（3）式表明，若取m1為參考系（普通不是慣性系，在此系中牛頓第二定律不成立），則在此參考系中m2運動完全相同于質(zhì)量為μ質(zhì)點在中心力作用下按牛頓第二定律所形成運動，而無須考慮慣性力作用.取二者質(zhì)心C為參考系（慣性系）.設(shè)C到m1矢徑為.有第2頁“衛(wèi)星怪象”問題

衛(wèi)星（質(zhì)量為m）與地球（質(zhì)量為M）系統(tǒng)總能量為即于是可知對兩端改變量有即第3頁一、對宇宙中復(fù)雜天體受力運動簡化（1）天體通常相距很遠，故可將天體處理為質(zhì)點.（2）很多時候，某天體所受其它諸天體引力中僅有一個是主要：a、可將該兩天體作為二體問題處理.b、施力天體因為一些原因（如質(zhì)量相對很大）在某慣性系中可認為幾乎不動，這時問題很簡單（我們通常討論就是這種情況）.二、引力問題基本動力學(xué)方程如圖，行星m在太陽M有心引力作用下運動.行星橫向加速度等于零.有徑向動力學(xué)方程解題知識與方法研究在太陽慣性參考系中，由牛頓運動定律和引力定律第4頁此式改變后即得開普勒第二定律：表明：開普勒第二定律是角動量守恒定律特殊表現(xiàn).開普勒第二定律不但適合用于行星橢圓運動也將適合用于有心引力作用下任何行星軌道運動.又因萬有引力為保守力，故“太陽+行星”系統(tǒng)機械能守恒當(dāng)然，此方程也不限于行星做橢圓軌道運動！因為引力為有心力，故行星對太陽參考軸角動量守恒第5頁三、天體繞日運動軌道與能量依據(jù)萬有引力定律和其它牛頓力學(xué)定律（角動量守恒、機械能守恒等）可導(dǎo)出在如圖極坐標下繞日運動天體軌道方程：軌道方程為一圓錐曲線方程：（1）（即開普勒第一定律）；總能量為：（2）總能量為：第6頁（3）總能量為：第7頁

例1（天體軌道判定）如圖，太陽系中星體A做半徑為R1圓運動，星體B作拋物線運動.B在近日點處與太陽相距為R2=2R1，且兩軌道在同一平面上，兩星體運動方向也相同.設(shè)B運動到近日點時，A恰好運動到B與太陽連線上.A、B隨即發(fā)生某種強烈相互作用而快速合并成一個新星體.其間質(zhì)量損失可忽略.試證實新星體繞太陽運動軌道為橢圓.解計算新星體C機械能.在徑向：可認為在A、B靠攏過程中質(zhì)心未動.所以C到太陽距離為在切向：A、B合并過程中動量也守恒，②則有研究②式中vA、vB：因A作圓運動，例題解答①第8頁所以利用①③，C星體機械能為所以，新星體C軌道為橢圓.EA<0，EB=0，EA+EB=？EC與(EA+EB)誰大誰小？C軌道是什么？

將vA、vB代入②得③B作拋物線運動，機械能為零.因而有①思索

本題能不能直接判斷？第9頁

例2（利用引力作用下質(zhì)點運動求橢圓曲率半徑）行星繞太陽作橢圓運動，已知軌道半長軸為A，半短軸為B，太陽質(zhì)量記為MS.試用物理方法求橢圓各定點處曲率半徑.解行星運動情況如圖.由頂點1、2、3處機械能守恒和面積速度相等可得由圖可知代入②式得③由①③解得據(jù)①②第10頁求頂點1處曲率半徑ρ1：將前面得到v1代入，求頂點3處曲率半徑ρ3：將前面得到v3代入，

題后小結(jié)與思索橢圓上其它點曲率半徑能不能用此方法得到？求拋物線任意點曲率半徑、正弦曲線頂點曲率半徑.即得即得第11頁

例3（衛(wèi)星怪象問題）

質(zhì)量為m人造衛(wèi)星在繞地球（質(zhì)量為Me）飛行過程中，因為受到微弱摩擦阻力f（常量），不能嚴格按圓周軌道運動，而是遲緩地沿一螺旋形軌道靠近地球.因f很小，軌道半徑改變十分遲緩，每一周均可近似處理為半徑為r圓周軌道，但r將逐周縮短.試求在r軌道上旋轉(zhuǎn)一周，r改變量及衛(wèi)星動能EK改變量.解衛(wèi)星動能、勢能、總機械能為在運行中萬有引力作為向心力將此代入EK、E表示式，可得到衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周摩擦力做功為第12頁所以衛(wèi)星每旋轉(zhuǎn)一周，r改變量為動能改變量為由功效關(guān)系，當(dāng)衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周時，有即第13頁

例4（星體運動阻力）一個質(zhì)量為M、半徑為R星球以速度V經(jīng)過質(zhì)量密度為非常稀薄氣體,因為它引力場，此星球?qū)⑽婵拷Ｗ樱⒎@撞在它表面上全部氣體分子.設(shè)相對于速度V，分子熱運動速度可忽略.分子間相互作用不計.求作用在星體上阻力.解為方便研究問題取星球為參考系.氣體分子運動及與星球碰撞如圖所表示.在橫截面為圓柱體內(nèi)分子才能與星球相碰.研究圓截面邊緣上一個分子：設(shè)被俘獲前瞬間（A點處）速度為v.由角動量守恒得由機械能守恒得第14頁設(shè)氣體受到阻力為f（等于星球所受阻力），使氣體動量改變?yōu)橛蓜恿慷ɡ碇乔蛟讦時間內(nèi)得到第15頁

例5（飛船著陸問題）一質(zhì)量為m=12×103kg太空飛船在圍繞月球圓軌道上運動，其高度h=100km.為使飛船落到月球表面，噴氣發(fā)動機在圖中P點作一短時間發(fā)動.從噴口噴出熱氣流相對飛船速度為u=10km/s，月球半徑為R=170km，月球表面落體加速度g=1.7m/s2.飛船可用兩種不一樣方式抵達月球（如圖所表示）：（1）向前噴射氣流，使飛船抵達月球后面A點（與P點相對），并相切.（2）向外噴射氣流，使飛船得到一指向月球中心動量，飛船軌道與月球表面B點相切.試計算上述兩種情況下所需要燃料量.解噴氣后，飛船軌道由圓變成了橢圓一部分（如圖）.設(shè)飛船噴氣前速度v0，月球質(zhì)量為M，月球表面重力加速度為代入上式，便得（1）（2）則有求出噴氣前、后飛船速度問題即可處理！第16頁（1）設(shè)飛船在P點向前方噴氣后速度減為v1.抵達A處速度為vA.聯(lián)立此兩式消去vA解得對噴氣前后短暫過程，由動量守恒有解得（2）因沿圓半徑向外噴氣使飛船在向心方向獲速度vr，從而飛船速度變?yōu)橐粯佑薪莿恿亢湍芰渴睾惴匠蹋?）（2）則由角動量守恒和能量守恒得設(shè)噴出氣體質(zhì)量為Δm1,第17頁聯(lián)立此兩式消去vB解得對噴氣前后短暫過程，在沿原半徑方向上由動量守恒有解得顯然，所以選擇第一個方式登月較省燃料.

題后思索仔細研究怎樣計算噴出氣體相對月球速度！（1）（2）設(shè)噴出氣體質(zhì)量為Δm2,第18頁

例6質(zhì)量為M宇航站和已對接上質(zhì)量為m飛船沿圓形軌道繞地球運動著，其軌道半徑是地球半徑n=1.25倍.某瞬間，飛船從宇航站沿運動方向射出后沿橢圓軌道運動，其最遠點到地心距離為8nR.問飛船與宇航站質(zhì)量比m/M為何值時，飛船繞地球運行一周后恰好與宇航站相遇.解發(fā)射前后飛船、宇航站運動情況如圖.記地球質(zhì)量為ME，發(fā)射前共同速度為u.由得記分離后瞬間飛船速度為v，宇航站速度為V.由動量守恒有所求比值為①深入研究分離后飛船和宇航站運動，求v、V：第19頁研究分離后飛船：由開普勒第二定律及能量守恒定律有由此兩式解出②研究分離后宇航站：由開普勒第二定律及能量守恒定律有由此兩式解出③設(shè)遠地心點速度為v′，設(shè)近地心點速度為V′，距地心r.第20頁研究分離后相遇以求得r：設(shè)飛船周期為t，宇航站周期為T.由開普勒第三定律有即確定t/T：因飛船運行一周恰好與宇航站相遇，所以代入上式，得④故應(yīng)宇航站不能與地球相碰（只要近地點不碰，其它點便不會相碰）.將④代入，得第21頁即所以由上述①②③④式求m/M：得可見k只能取兩個值：k=10，11.對應(yīng)有

題后思索最終結(jié)果為何與u無關(guān)？若分離后v、V反向，結(jié)果又怎樣？④③②①第22頁

例7一雙星系統(tǒng)，兩顆星質(zhì)量分別為M和m（設(shè)M>m），距離為d，在引力作用下繞不動質(zhì)心作圓周運動.設(shè)這兩顆星近似為質(zhì)點.在超新星爆炸中，質(zhì)量為M星體損失質(zhì)量ΔM.假設(shè)爆炸是瞬時、球?qū)ΨQ，而且對殘余體不施加任何作用力（或作用力抵消），對另一顆星也無直接作用.試求，在什么條件下，余下新雙星系統(tǒng)仍被約束而不相互遠離.解需計算爆炸后總機械能.如圖，爆炸前兩星繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)角速度滿足爆炸后瞬間，因球?qū)ΨQ爆炸所以（M-ΔM）位置、速度均不變.無作用，故m位置、速度也不變.因爆炸對星體m也旋轉(zhuǎn)半徑滿足第23頁新系統(tǒng)