第2講空間點、線、面位置關系1/27考情分析2/27總綱目錄考點一

空間線、面位置關系判斷考點二空間線面平行、垂直關系證實考點三平面圖形翻折問題3/27考點一

空間線、面位置關系判斷經典例題(課標全國Ⅱ,14,5分)α,β是兩個平面,m,n是兩條直線,有以下四個命

題:①假如m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②假如m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③假如α∥β,m?α,那么m∥β.④假如m∥n,α∥β,那么m與α所成角和n與β所成角相等.其中正確命題有

.(填寫全部正確命題編號)4/27答案②③④解析對于命題①,可利用長方體舉反例證實其錯誤:如圖,不妨設AA'為直線m,CD為直線n,ABCD所在平面為α,ABC'D'所在

平面為β,顯然這些直線和平面滿足題目條件,但α⊥β不成立.命題②正確,證實以下:設過直線n某平面與平面α相交于直線l,則l∥n,

由m⊥α知m⊥l,從而m⊥n,結論正確.由平面與平面平行定義知命題③正確.由平行傳遞性及線面角定義知命題④正確.5/27方法歸納判斷空間線、面位置關系慣用方法(1)依據空間線面平行、垂直判定定理和性質定理逐項判斷處理問

題;(2)必要時能夠借助空間幾何模型,如從長方體、四面體等模型中觀察

線、面位置關系,并結合相關定理進行判斷.6/27跟蹤集訓1.(湖南湘中名校高三聯考)已知m,n是兩條不一樣直線,α,β,γ是三個

不一樣平面,以下命題中正確是

()A.若m∥α,n∥α,則m∥nB.若m∥α,m∥β,則α∥βC.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥βD.若m⊥α,n⊥α,則m∥n答案

D對于選項A,兩直線可能平行,相交或異面;對于選項B,兩平面

可能平行或相交;對于選項C,兩平面可能平行或相交;對于選項D,由線

面垂直性質定理可知結論正確.7/272.(新疆第二次適應性檢測)設m,n是不一樣直線,α,β,γ是不一樣平

面,有以下四個命題:①若α∥β,α∥γ,則β∥γ;②若α⊥β,m∥α,則m⊥β;③若m⊥α,m∥β,則α⊥β;④若m∥n,n?α,則m∥α.其中正確命題序號是

()A.①③

B.①④

C.②③

D.②④答案

A對于①,因為平行于同一個平面兩個平面相互平行,所以①

正確;對于②,當直線m位于平面β內,且平行于平面α,β交線時,滿足條

件,但顯然此時m與平面β不垂直,所以②不正確;對于③,在平面β內取直

線n平行于m,則由m⊥α,m∥n,得n⊥α,又n?β,所以有α⊥β,③正確;對于

④,直線m可能位于平面α內,顯然此時m與平面α不平行,所以④不正確.

總而言之,正確命題序號是①③,故選A.8/27考點二

空間線面平行、垂直關系證實1.直線、平面平行判定及其性質(1)線面平行判定定理:a?α,b?α,a∥b?a∥α.(2)線面平行性質定理:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b.(3)面面平行判定定理:a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?α∥β.(4)面面平行性質定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.2.直線、平面垂直判定及其性質(1)線面垂直判定定理:m?α,n?α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n?l⊥α.(2)線面垂直性質定理:a⊥α,b⊥α?a∥b.(3)面面垂直判定定理:a?β,a⊥α?α⊥β.(4)面面垂直性質定理:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β.9/27經典例題(山東,18,12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得

到幾何體如圖所表示.四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD交點,E為

AD中點,A1E⊥平面ABCD.(1)證實:A1O∥平面B1CD1;(2)設M是OD中點,證實:平面A1EM⊥平面B1CD1.

10/27證實(1)取B1D1中點O1,連接CO1,A1O1,因為ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,所以四邊形A1OCO1為平行四邊形,所以A1O∥O1C.又O1C?平面B1CD1,A1O?平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.

11/27(2)因為AC⊥BD,E,M分別為AD和OD中點,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以A1E⊥BD,因為B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1,又A1E,EM?平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1?平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.12/27方法歸納平行關系及垂直關系轉化空間平行、垂直關系證實主要思想是轉化,即經過判定定理、性質定理將線線、線面、面面之間平行、垂直關系相互轉化.

13/27跟蹤集訓1.(湖北七市(州)聯考)《九章算術》是我國古代內容極為豐富數

學名著,書中將底面為直角三角形直棱柱稱為塹堵,將底面為矩形

棱臺稱為芻童.在如圖所表示塹堵ABM-DCP與芻童ABCD-A1B1C1D1組

合體中,AB=AD,A1B1=A1D1.臺體體積公式:V=

(S'+

+S)h,其中S',S分別為臺體上、下底面面積,h為臺體高.(1)證實:直線BD⊥平面MAC;(2)若AB=1,A1D1=2,MA=

,三棱錐A-A1B1D1體積V‘=

,求該組合體體積.14/27解析(1)證實:由題可知ABM-DCP是底面為直角三角形直棱柱,∴AD⊥平面MAB,∴AD⊥MA,又MA⊥AB,AD∩AB=A,AD?平面ABCD,AB?平面ABCD,∴MA⊥平面ABCD,∴MA⊥BD.∵AB=AD,∴矩形ABCD為正方形,∴BD⊥AC,又MA∩AC=A,MA?平面MAC,AC?平面MAC,∴BD⊥平面MAC.(2)設芻童ABCD-A1B1C1D1高為h,則三棱錐A-A1B1D1體積V'=

×

×2×2×h=

,∴h=

,故該組合體體積V=

×1×

×1+

×(12+22+

)×

=

+

=.15/272.(廣西三市第一次聯考)在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,

∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E為PD中點,PA=2AB=2.(1)求證:PC⊥AE;(2)求證:CE∥平面PAB.

16/27證實(1)在Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,∴BC=

,AC=2,取PC中點F,連接AF,EF,∵PA=AC=2,∴PC⊥AF.∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD,∵∠ACD=90°,∴CD⊥AC,又PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,又PC?平面PAC,∴CD⊥PC,∵EF是△PCD中位線,∴EF∥CD,∴EF⊥PC.又AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.∵AE?平面AEF,∴PC⊥AE.(2)取AD中點M,連接EM,CM,則EM∥PA.17/27∵EM?平面PAB,PA?平面PAB,∴EM∥平面PAB.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2,∴∠ACM=60°,而∠BAC=60°,∴MC∥AB.∵MC?平面PAB,AB?平面PAB,∴MC∥平面PAB.∵EM∩MC=M,∴平面EMC∥平面PAB.∵CE?平面EMC,∴CE∥平面PAB.18/27考點三

平面圖形翻折問題經典例題(課標全國Ⅱ,19,12分)如圖,菱形ABCD對角線AC與BD交于點O,

點E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D'

EF位置.(1)證實:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=

,OD'=2

,求五棱錐D'-ABCFE體積.19/27解析(1)證實:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得

=

,故AC∥EF.由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(2)由EF∥AC得

=

=

.由AB=5,AC=6得DO=BO=

=4.所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(2

)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD‘,又AC⊥BD,BD∩HD’=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC

⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.又由

=

得EF=

.五邊形ABCFE面積S=

×6×8-

×

×3=

.所以五棱錐D'-ABCFE體積V=

×

×2

=

.20/27方法歸納平面圖形翻折問題求解方法(1)處理與折疊相關問題關鍵是搞清折疊前后變和不變,普通情

況下,線段長度是不變量,而位置關系往往會發生改變,抓住不變量是

處理問題突破口.(2)在處理問題時,要綜合考慮折疊前后圖形,既要分析折疊后圖形,

也要分析折疊前圖形.21/27跟蹤集訓(合肥第二次教學質量檢測)如圖,平面五邊形ABCDE中,AB∥CE,且

AE=2,∠AEC=60°,CD=ED=

,cos∠EDC=

.將△CDE沿CE折起,使點D到點P位置,且AP=

,得到四棱錐P-ABCE.(1)求證:AP⊥平面ABCE;(2)記平面PAB與平面PCE相交于直線l,求證:AB∥l.

22/27證實(1)在△CDE中,∵CD=ED=

,cos∠EDC=

,由余弦定理得CE=2.連接AC,∵AE=2,∠AEC=60°,∴AC=2.又AP=

,∴在△PAE中,PA2+AE2=PE2,即AP⊥AE.同理,AP⊥AC.而AC?平面ABCE,AE?平面ABCE,AC

∩AE=A,故AP⊥平面ABCE.(2)∵AB∥CE,且CE?平面PCE,AB?平面PCE,∴AB∥平面PCE.又AB?平面PAB,平面PAB∩平面PCE=l,∴AB∥l.23/271.(江蘇,15,14分)如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面

ABD⊥平面BCD,點E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求證:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.隨堂檢測24/27證實(1)在平面ABD內,因為AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因為EF?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因為平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC?平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因