第一章不等關系與基本不等式§4不等式證實第一課時比較法、分析法、綜正當1/39學習目標重點難點1.了解比較法證實不等式意義及分析法與綜正當數學思想．2．了解比較法、分析法、綜正當解題步驟及書面表示．3．能夠應用比較法、分析法、綜正當證實簡單不等式.1.重點是比較法、分析法、綜正當數學思想．2．難點是綜合利用比較法、分析法、綜正當證實簡單不等式.2/393/39閱讀教材P16～P18相關內容，完成以下問題：1．比較法(1)作差比較法我們已經知道a＞b?a－b＞0，a＜b?a－b＜0，所以，要證實a＞b，只要證實____________即可，這種方法稱為作差比較法．a－b＞04/395/391．(1)作差比較法主要適用類型是什么？實質是什么？(2)作商比較法主要適用類型是什么？提醒：(1)作差比較法主要適合用于含有多項式結構特征不等式證實．實質是把判斷兩個數(或式子)大小問題轉化為判斷一個數(或式子)與0大小問題．(2)作商比較法主要適合用于積(商)、冪(根式)、指數式形式不等式證實．6/392．分析法從所要證實結論入手向已知條件反推直至到達已知條件為止，這種證法稱為分析法，即“____________”證實方法．執果索因7/398/399/393．綜正當從已知條件出發，利用不等式性質(或已知證實過不等式)，推出所要證實結論，即“____________”方法，這種證實不等式方法稱為綜正當．由因尋果10/392．試分析綜正當與分析法證實不等式邏輯關系．提醒：綜正當A(已知)?B1?B2?…?Bn?B(結論)，逐步推演不等式成立必要條件．分析法B(結論)?Bn?Bn－1?…?B1?A(已知)，步步尋求不等式成立充分條件．11/3912/39用比較法證實不等式

(1)已知a≠b，則a4＋6a2b2＋b4________4ab(a2＋b2)．(選填“＞”“＜”或“＝”)13/39(1)解析：a4＋6a2b2＋b4－4ab(a2＋b2)＝a4－2a2b2＋b4＋8a2b2－4ab(a2＋b2)＝(a2－b2)2－4ab(－2ab＋a2＋b2)＝(a－b)2[(a＋b)2－4ab]＝(a－b)2(a－b)2＝(a－b)4.因為a≠b，所以(a－b)4＞0.所以a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．答案：＞14/3915/39【點評】比較法是證實不等式一個最基本、最慣用方法．當被證實不等式兩端是多項式、分式或對數式，普通使用作差比較法，當被證實不等式(或變形后)兩端都是正數且為積形式或冪指數形式時，普通使用作商比較法．16/391．(1)已知a≥b＞0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.(2)已知a＞2，求證：loga(a－1)＜log(a＋1)a.證實：(1)2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因為a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0.從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.17/3918/3919/39用分析法證實不等式

20/3921/39【點評】用分析法證題時，語氣總是假定，慣用“欲證A只需證B”表示，說明只要B成立，就一定有A成立，所以B必須是A充分條件才行，當然B是A充要條件也可．22/3923/39有[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)，由x≥1，y≥1，得(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.從而所要證實不等式成立．24/39用綜正當證實不等式

25/3926/3927/393．已知a，b，c是互不相等正數，且abc＝1.求證：(1＋a＋b)(1＋b＋c)(1＋c＋a)＞27.28/39因為a，b，c是互不相等正數，所以上述不等式中等號不成立．因為abc＝1，所以(1＋a＋b)(1＋b＋c)(1＋c＋a)＞27.29/39分析法與綜正當結合起來證實不等式

已知a，b，c∈(0，＋∞)，且ab＋bc＋ca＝1.

30/3931/3932/3933/39【點評】在證實不等式過程中，分析法、綜正當經常是不能分離．使用綜正當證實不等式難以入手時慣用分析法探索證題路徑，之后用綜正當形式寫出它證實過程，以適應人們習慣思維規律．有時問題證實難度較大，常使用分析綜正當，實現從兩頭往中間靠以到達證題目標．34/3935/3936/3937/393．分析法與綜正當(1)分析法與綜正當相輔相成，對于較復雜問題，經