第01講相交線【題型1鄰補角】【題型2對頂角及其性質】【題型3垂線的定義】【題型4垂線的畫法】【題型5垂線段的性質】【題型6點到直線的距離】【題型7同位角、內錯角和同旁內角】考點1：相交線1.相交線的定義在同一平面內，如果兩條直線只有一個公共點，那么這兩條直線叫做相交線，公共點稱為兩條直線的交點。如圖1所示，直線AB與直線CD相交于點O。圖1圖2圖32.對頂角的定義若一個角的兩條邊分別是另一個角的兩條邊的反向延長線，那么這兩個角叫做對頂角。如圖2所示，∠1與∠3、∠2與∠4都是對頂角。注意：兩個角互為對頂角的特征是：（1）角的頂點公共；（2）角的兩邊互為反向延長線；（3）兩條相交線形成2對對頂角。3.對頂角的性質：對頂角相等。4.鄰補角的定義如果把一個角的一邊反向延長，這條反向延長線與這個角的另一邊構成一個角，此時就說這兩個角互為鄰補角。如圖3所示，∠1與∠2互為鄰補角，由平角定義可知∠1＋∠2＝180°。【題型1鄰補角】【典例1】（2023秋?南崗區校級期中）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，若∠AOD＝100°，則∠BOE＝（）A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】C【解答】解：∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣100°＝80°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝40°，故選：C．【變式1-1】（2023春?鐵西區期末）下列圖形中，∠1和∠2是鄰補角的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A．∠1與∠2是對頂角，故A選項不符合題意；B．∠1與∠2是鄰補角，故B選項符合題意；C．∠1與∠2不存在公共邊，不是鄰補角，故C選項不符合題意；D..∠1與∠2是同旁內角，故D選項不符合題意；故選：B．【變式1-2】（2023春?太和區期中）如圖，直線AB經過點O，若OC⊥OD，則圖中∠1與∠2的關系是（）A．對頂角 B．互為余角 C．互為鄰補角 D．互為補角【答案】B【解答】解：∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠1與∠2的關系是互為余角．故選：B．【變式1-3】（2023春?湯陰縣期中）如圖所示，直線AB，CD相交于點O，若∠AOD＝126°，則∠BOD的度數為（）A．26° B．74° C．54° D．36°【答案】C【解答】解：∵∠AOD＝126°，∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣126°＝54°，故選：C．【題型2對頂角及其性質】【典例2】（2023春?興隆縣期中）如圖，直線AB、CD相交于點O，若∠1+∠2＝120°，則∠AOD＝（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】A【解答】解：∵∠1+∠2＝120°，且∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝60°，∴∠AOD＝180°﹣∠1＝120°，故選：A．【變式2-1】（2023春?天河區期中）下面四個圖形中，∠1與∠2是對頂角的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：根據對頂角的定義可知：只有C圖中的∠1與∠2是對頂角，其它都不是．故選：C．【變式2-2】（2023春?阜南縣校級期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，若∠AOC增大12°27′，則∠BOD的大小變化是（）A．減少12°27′ B．增大167°33′ C．不變 D．增大12°27′【答案】D【解答】解：∵線AB，CD相交于點O，若∠AOC增大12°27′，∴∠BOD的大小變化是12°27′，故選：D考點2：垂線1．垂線的定義：如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那么這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．如下圖，兩條直線互相垂直，記作或AB⊥CD垂直于點O.注意：垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質，即有：CD⊥AB．2．垂線的畫法：過一點畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經過已知點，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．注意：(1)如果過一點畫已知射線或線段的垂線時，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上．(2)過直線外一點作已知直線的垂線，這點與垂足間的線段為垂線段．3．垂線的性質：（1）在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．簡單說成：垂線段最短．4．點到直線的距離：定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離．圖4如圖4所示，m的垂線段PB的長度叫做點P到直線m的距離。注意：點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數量，不能說垂線段是距離；（2）求點到直線的距離時，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計算或度量垂線段的長度．【題型3垂線的定義】【典例3】（2023春?雙柏縣期中）如圖，直線BC與DE相交于點O，∠AOB＝90°，∠AOE＝116°，則∠BOE的度數為（）A．144° B．150° C．154° D．164°【答案】C【解答】解：∵直線BC與DE相交于點O，∠AOB＝90°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOE＝116°，∴∠COE＝116°﹣90°＝26°，∴∠BOE＝180°﹣26°＝154°．故選：C．【變式3-1】（2023春?晉安區期末）如圖，∠1＝20°，則∠2的度數是（）A．40° B．60° C．70° D．80°【答案】C【解答】解：由題意可得：∠1+∠2＝90°，∵∠1＝20°，∴∠2＝90°﹣20°＝70°．故選：C．【變式3-2】（2022秋?瀘縣期末）如圖，AB⊥BC，∠BAD＝140°，則∠C的度數為（）A．30° B．40° C．60° D．50°【答案】D【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵∠BAD＝∠C+∠ABC，∴∠C＝∠BAD﹣∠ABC＝140°﹣90°＝50°．故選：D．【變式3-3】（2023?安康一模）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥CD，若∠AOE＝50°，則∠BOD的度數為（）A．30° B．40° C．45° D．50°【答案】B【解答】解：∵OE⊥CD，∴∠EOC＝90°，∴∠EOA+∠AOC＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠AOC＝90°﹣50°＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°，故選：B．【題型4垂線的畫法】【典例4】（2023春?梁平區期末）下列選項中，過點P畫AB的垂線CD，三角板放法正確的是（）A．B． C．D．【答案】C【解答】解：∵三角板有一個角是直角．∴三角板的一條直角邊與直線AB重合．∵過點P作直線AB的垂線．∴三角板的另一條直角邊過點P．∴符合上述條件的圖形只有選項C．故選：C．【變式4-1】（2023春?澄邁縣期末）過點C向AB邊作垂線段，下列畫法中正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A．此選項是過點A作BC邊的垂線段，故錯誤；B．此選項是過點B作AB邊的垂線段，故錯誤；C．此選項是過點C作AB邊的垂線段，故此項正確；D．此選項是過點B作CA邊的垂線段，故錯誤．故選：C．【變式4-2】（春?元壩區校級月考）如圖．①過P點畫AB的垂線．②過P點分別畫OA、OB的垂線．③過點A畫BC的垂線．【答案】見試題解答內容【解答】解：如圖所示．【題型5垂線段的性質】【典例5】（2022秋?連云港期末）如圖，某污水處理廠要從A處把處理過的水引入排水渠PQ，為了節約用料，鋪設垂直于排水渠的管道AB．這種鋪設方法蘊含的數學原理是（）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間，線段最短 C．過一點可以作無數條直線 D．垂線段最短【答案】D【解答】解：根據題意可知這種鋪設方法蘊含的數學原理是垂線段最短．故選：D．【變式5-1】（2023?撫松縣二模）如圖，斑馬線的作用是為了引導行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現的數學依據是（）A．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 B．垂線段最短 C．兩點之間，線段最短 D．兩點確定一條直線【答案】B【解答】解：A、垂線的一條性質，故A不符合題意；B、直線外一點到這條直線上各點的連線中，垂線段最短，故B符合題意；C、連接兩點的所有線中，線段最短，故C不符合題意；D、兩點確定一條直線，是直線的性質，故D不符合題意．故選：B．【變式5-2】（2023春?文昌期末）如圖，在鐵路旁有一李莊，現要建一火車站，為了使李莊人乘車最方便，請你在鐵路線上選一點來建火車站，應建在（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】A【解答】解：根據垂線段最短可得：應建在A處，故選：A．【變式5-3】（2023春?壽陽縣期中）如圖，河道l的同側有M、N兩地，現要鋪設一條引水管道，從P地把河水引向M、N兩地．下列四種方案中，最節省材料的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：依據垂線段最短，以及兩點之間，線段最短，可得最節省材料的是：故選：D．【題型6點到直線的距離】【典例6】（2023春?惠東縣期中）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，則點C到AB的距離是（）A．3 B．4 C．5 D．2.4【答案】D【解答】解：在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴，∴，故選：D．【變式6-1】（2023春?寶坻區校級月考）P為直線m外一點，A，B，C為直線m上三點，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，則點P到直線m的距離（）A．等于5cm B．等于4cm C．小于4cm D．不大于4cm【答案】D【解答】解：根據垂線段最短得出點P到直線m的距離是不大于4cm，故選D．【變式6-2】（2022秋?江北區期末）在下列圖形中，線段PQ的長表示點P到直線MN的距離的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，∴線段PQ是P到直線MN的垂線段，PQ⊥MN，選項B，C，D中PQ與MN不垂直，選項A符合題意．故選：A．【變式6-3】（2023春?千山區期中）如圖，P是直線l外一點，A，B，C三點在直線l上，且PB⊥l于點B，∠APC＝90°，則下列結論中正確的是（）①線段BP的長度是點P到直線l的距離；②線段AP是A點到直線PC的距離；③在PA，PB，PC三條線段中，PB最短；④線段PC的長度是點P到直線l的距離A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④【答案】C【解答】解：∵PB⊥l于點B，∴線段BP的長度是點P到直線l的距離，故①正確，④錯誤；∵∠APC＝90°，∴線段AP的長度是A點到直線PC的距離，故②錯誤；根據垂線段最短，在PA，PB，PC三條線段中，PB最短，故③正確；故選C．考點3：三線八角兩條直線被第三條線所截，可得八個角，即“三線八角”，如圖5所示。（1）同位角：可以發現∠1與∠5都處于直線的同一側，直線、的同一方，這樣位置的一對角就是同位角。圖中的同位角還有∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8。（2）內錯角：可以發現∠3與∠5都處于直線的兩旁，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是內錯角。圖中的內錯角還有∠4與∠6。（3）同旁內角：可以發現∠4與∠5都處于直線的同一側，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是同旁內角。圖中的同旁內角還有∠3與∠6。圖5【題型7同位角、內錯角和同旁內角】【典例7】（2022秋?南陽期末）如圖，下列判斷：①∠A與∠1是同位角；②∠A與∠B是同旁內角；③∠4與∠1是內錯角；④∠1與∠3是同位角．其中正確的是（）A．①、②B．①、②、④C．②、③、④D．①、②、③、④【答案】A【解答】解：①由同位角的概念得出：∠A與∠1是同位角；②由同旁內角的概念得出：∠A與∠B是同旁內角；③由內錯角的概念得出：∠4與∠1不是內錯角，錯誤；④由內錯角的概念得出：∠1與∠3是內錯角，錯誤．故正確的有2個，是①②．故選：A．【變式7-1】（2022秋?堯都區期末）圖中∠1與∠2是同位角的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：第一個圖：∠1和∠2是同位角；第二個圖：∠1的兩邊所在的直線沒有任何一條和∠2的兩邊所在的直線公共，∠1和∠2不是同位角；第三個圖：∠1和∠2不是同位角；第四個圖：∠1和∠2是同位角．∴∠1與∠2是同位角的有2個．故選：B．【變式7-2】（2022秋?閩清縣期末）下列四個圖形中，∠1與∠2是內錯角的是（）A．B． C．D．【答案】D【解答】解：A、∠1與∠2是同位角，選項錯誤，不符合題意；B、∠1與∠2是同旁內角，選項錯誤，不符合題意；C、∠1與∠2不是內錯角，選項錯誤，不符合題意；D、∠1與∠2是內錯角，選項正確，符合題意；故選：D．【變式7-3】（2023春?上城區校級期中）如圖所示，兩只手的食指和拇指在同一平面內，它們構成的一對角可以看成（）A．同位角 B．同旁內角 C．內錯角 D．對頂角【答案】B【解答】解：兩只手的食指和拇指在同一個平面內，兩個拇指所在的兩條直線被兩個食指所在的直線所截，并且形成的兩角位于兩直線之間且在截線同側，因而構成的一對角可看成是同旁內角．故選：B一．選擇題（共10小題）1．（2023春?荊門期末）下列四個圖形中，∠1與∠2是對頂角的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、∠1的兩邊不是∠2的兩邊的反向延長線，不是對頂角，不合題意；B、∠1的兩邊不是∠2的兩邊的反向延長線，不是對頂角，不合題意；C、∠1的兩邊是∠2的兩邊的反向延長線，是對頂角，符合題意；D、∠1與∠2沒有公共頂點，不是對頂角，不合題意；故選：C．2．（2023?白云區二模）如圖，點P是直線l外一點，且PC⊥l，點C是垂足，點A，B，D在直線l上，下列線段中最短的是（）A．PA B．PB C．PC D．PD【答案】C【解答】解：點P是直線l外一點，且PC⊥l，點C是垂足，點A，B，D在直線l上，最短的線段是PC．故選：C．3．（2023春?召陵區期中）如圖所示，直線AB、CD被直線EF所截，直線EF與AB、CD分別交于點E、F，下列結論正確的是（）①∠1與∠2互為同位角；②∠3和∠4互為內錯角；③∠1＝∠4；④∠4+∠5＝180°．A．②③ B．②④ C．①③ D．③④【答案】A【解答】解：①∠1與∠2是鄰補角，故原題說法錯誤；②∠3和∠4互為內錯角，故原題說法正確；③∠1＝∠4，說法正確；④∠4+∠5＝180°，說法錯誤；故選：A．4．（2022秋?南關區校級期末）如圖，某同學在體育課上跳遠后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠距離，能正確解釋這一現象的數學知識是（）A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線 C．垂線段最短 D．經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】C【解答】解：由題意得，解釋這一現象的數學知識是“垂線段最短”，故選：C．5．（2023春?武宣縣期末）如圖，直線a，b被直線c所截，下列說法中不正確的是（）A．∠1與∠2是對頂角 B．∠1與∠4是同位角 C．∠2與∠5是同旁內角 D．∠2與∠4是內錯角【答案】C【解答】解：A、∠1與∠2是對頂角，故原題說法正確；B、∠1與∠4是同位角，故原題說法正確；C、∠2與∠5是同旁內角，故原題說法錯誤；D、∠2與∠4是內錯角，故原題說法正確；故選：C．6．（2023?高新區校級三模）如圖，直線AB與CD相交于點O，射線OE在∠AOD內部，且OE⊥CD于點O，若∠AOC＝35°，則∠BOE的度數為（）A．125° B．135° C．65° D．55°【答案】A【解答】解：∵OE⊥CD，∴∠EOD＝90°，∵∠AOC＝35°，∴∠AOC＝∠BOD＝35°，∴∠BOE＝∠EOD+∠DOB＝125°，故選：A．7．（2023春?邯鄲期末）點P為直線l外一點，點A，B，C在直線l上，若PA＝4cm，PB＝6cm，PC＝8cm，則點P到直線l的距離是（）A．4cm B．5cm C．不大于4cm D．6cm【答案】C【解答】解：∵4＜6＜8，∴根據從直線外一點到這條直線上所有點連線中，垂線段最短，可知點P到直線l的距離是4cm或比4cm小的數，即不大于4cm，故選：C．8．（2023春?費縣期末）如圖所示，已知OA⊥BC，垂足為點A，連接OB，下列說法：①線段OB是O、B兩點的距離；②線段AB的長度表示點B到OA的距離；③因為OA⊥BC，所以∠CAO＝90°；④線段OA的長度是點O到直線BC上點的最短距離．其中錯誤的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【解答】解：線段OB的長度是O、B兩點的距離，故①錯誤；線段AB的長度表示點B到OA的最短距離，故②正確；∵OA⊥BC，∴∠CAO＝90°，故③正確；線段OA的長度是點O到直線BC上點的最短距離，故④正確；錯誤的有①，共1個，故選：A．9．（2023春?圍場縣期末）過點A畫線段BC所在直線的垂線段，其中正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：根據垂線段的定義，僅D選項符合要求．故選：D．10．（2023春?潮安區期末）如圖，與∠1是同旁內角的是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【答案】D【解答】解：根據內錯角、同位角、同旁內角的概念可得：∠1和∠2是對頂角；∠1和∠3是同位角；∠1和∠4是內錯角；∠1和∠5是同旁內角．故選：D．二．填空題（共4小題）11．（2023春?石景山區期末）為了測量一座古塔外墻底部的底角∠AOB的度數，李瀟同學設計了如下測量方案：作AO，BO的延長線OD，OC，量出∠COD的度數，從而得到∠AOB的度數．這個測量方案的依據是對頂角相等．【答案】見試題解答內容【解答】解：這個測量方案的依據是：對頂角相等；故答案為：對頂角相等．12．（2022秋?漢臺區期末）如圖，直線AB和CD相交于O點，OM⊥AB，∠BOD：∠COM＝1：3，則∠AOC的度數為22.5°．【答案】22.5°．【解答】解：∵OM⊥AB，∴∠BOM＝90°．∴∠COM+∠BOD＝180°﹣∠BOM＝90°．又∵∠BOD：∠COM＝1：3，∴∠BOD＝22.5°．又∵∠AOC與∠BOD是對頂角，∴∠AOC＝∠BOD＝22.5°．故答案為：22.5°．13．（2023春?龍江縣期末）如圖，現要從幸福小區M修建一條連接街道AB的最短小路，過點M作MC⊥AB于點C，沿MC修建道路就能滿足小路最短，這樣做的依據是垂線段最短．【答案】垂線段最短．【解答】解：過點M作MC⊥AB于點C，沿MC修建道路就能滿足小路最短，這樣做的依據是：垂線段最短．故答案為：垂線段最短．14．（2022秋?泗洪縣期末）如圖，∠1＝133°25′，AO⊥OB于點O，點C、O、D在一條直線上，則∠2的度數等于43°25'．【答案】43°25′．【解答】解：∵∠1＝133°25′，∴∠AOD＝180°﹣∠1＝46°35′，∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠2＝∠AOB﹣∠AOD＝43°25′，故答案為：43°25′．三．解答題（共3小題）15．（2023春?富川縣期末）如圖，直線AB、CD相交于O，∠2﹣∠1＝15°，∠3＝130°．（1）求∠2的