八年級數學（下冊）知識點總結二次根式【知識回顧】1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。2.最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：⑴被開方數中不含開方開的盡的因數或因式；⑵被開方數中不含分母；⑶分母中不含根式。3.同類二次根式：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。（＞0）（＞0）（＜0）0（=0）；（1）（）2=（≥0）；（2）5.二次根式的運算：（1）因式的外移和內移：如果被開方數中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術根代替而移到根號外面；如果被開方數是代數和的形式，那么先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面．（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數并將運算結果化為最簡二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理數的加法交換律、結合律，乘法交換律及結合律，乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用于二次根式的運算．【典型例題】1、概念與性質例1下列各式（1），其中是二次根式的是_________（填序號）．例2、求下列二次根式中字母的取值范圍（1）；（2）例3、在根式1)，最簡二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)例4、已知：例5、（2009龍巖）已知數a，b，若=b－a，則(

)A.a>b

B.a<b

C.a≥b

D.a≤b2、二次根式的化簡與計算例1.將根號外的a移到根號內，得(

)A.；

B.－；

C.－；

D.例2.把（a－b）eq\r(－\f(1,a－b))化成最簡二次根式例3、計算：例4、先化簡，再求值：，其中a=，b=．例5、如圖，實數、在數軸上的位置，化簡：4、比較數值（1）、根式變形法當時，=1\*GB3①如果，則；=2\*GB3②如果，則。例1、比較與的大小。（2）、平方法當時，=1\*GB3①如果，則；=2\*GB3②如果，則。例2、比較與的大小。（3）、分母有理化法通過分母有理化，利用分子的大小來比較。例3、比較與的大小。（4）、分子有理化法通過分子有理化，利用分母的大小來比較。例4、比較與的大小。（5）、倒數法例5、比較與的大小。（6）、媒介傳遞法適當選擇介于兩個數之間的媒介值，利用傳遞性進行比較。例6、比較與的大小。（7）、作差比較法在對兩數比較大小時，經常運用如下性質：=1\*GB3①；=2\*GB3②例7、比較與的大小。（8）、求商比較法它運用如下性質：當a>0，b>0時，則：=1\*GB3①；=2\*GB3②例8、比較與的大小。5、規律性問題例1.觀察下列各式及其驗證過程：

，驗證：；驗證:.（1）按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想的變形結果，并進行驗證；（2）針對上述各式反映的規律，寫出用n(n≥2，且n是整數)表示的等式，并給出驗證過程.勾股定理

1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2。2.勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2＋b2=c2。，那么這個三角形是直角三角形。

3.經過證明被確認正確的命題叫做定理。

我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）4.直角三角形的性質（1）、直角三角形的兩個銳角互余。可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°（2）、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。∠A=30°可表示如下：BC=AB∠C=90°（3）、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半∠ACB=90°可表示如下：CD=AB=BD=ADD為AB的中點5、攝影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項∠ACB=90°CD⊥AB6、常用關系式由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC7、直角三角形的判定1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關系，那么這個三角形是直角三角形。8、命題、定理、證明1、命題的概念判斷一件事情的語句，叫做命題。理解：命題的定義包括兩層含義：（1）命題必須是個完整的句子；（2）這個句子必須對某件事情做出判斷。2、命題的分類（按正確、錯誤與否分）真命題（正確的命題）命題假命題（錯誤的命題）所謂正確的命題就是：如果題設成立，那么結論一定成立的命題。所謂錯誤的命題就是：如果題設成立，不能證明結論總是成立的命題。3、公理人們在長期實踐中總結出來的得到人們公認的真命題，叫做公理。4、定理用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。5、證明判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。6、證明的一般步驟（1）根據題意，畫出圖形。（2）根據題設、結論、結合圖形，寫出已知、求證。（3）經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。9、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構成一個新的三角形。（2）要會區別三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用：位置關系：可以證明兩條直線平行。數量關系：可以證明線段的倍分關系。常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。10數學口訣.平方差公式:平方差公式有兩項，符號相反切記牢，首加尾乘首減尾，莫與完全公式相混淆。

完全平方公式:完全平方有三項，首尾符號是同鄉，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括號帶平方，尾項符號隨中央。四邊形1．四邊形的內角和與外角和定理：（1）四邊形的內角和等于360°；（2）四邊形的外角和等于360°.2．多邊形的內角和與外角和定理：（1）n邊形的內角和等于(n-2)180°；（2）任意多邊形的外角和等于360°.3．平行四邊形的性質：因為ABCD是平行四邊形4.平行四邊形的判定：.5.矩形的性質：因為ABCD是矩形 6.矩形的判定：四邊形ABCD是矩形.7．菱形的性質：因為ABCD是菱形8．菱形的判定：四邊形四邊形ABCD是菱形.9．正方形的性質：因為ABCD是正方形（1）（2）（3）10．正方形的判定：四邊形ABCD是正方形.(3)∵ABCD是矩形又∵AD=AB∴四邊形ABCD是正方形11．等腰梯形的性質：因為ABCD是等腰梯形12．等腰梯形的判定：四邊形ABCD是等腰梯形(3)∵ABCD是梯形且AD∥BC ∵AC=BD∴ABCD四邊形是等腰梯形14．三角形中位線定理：三角形的中位線平行第三邊，并且等于它的一半.15．梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.一基本概念：四邊形，四邊形的內角，四邊形的外角，多邊形，平行線間的距離，平行四邊形，矩形，菱形，正方形，中心對稱，中心對稱圖形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位線，梯形中位線.二定理：中心對稱的有關定理※1．關于中心對稱的兩個圖形是全等形.※2．關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分.※3．如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱.三公式：1．S菱形=ab=ch.（a、b為菱形的對角線,c為菱形的邊長，h為c邊上的高）2．S平行四邊形=ah.a為平行四邊形的邊，h為a上的高）3．S梯形=（a+b）h=Lh.（a、b為梯形的底，h為梯形的高,L為梯形的中位線）四常識：※1．若n是多邊形的邊數，則對角線條數公式是：.2．規則圖形折疊一般“出一對全等，一對相似”.3．如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關系.4．常見圖形中，僅是軸對稱圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等腰梯形……；僅是中心對稱圖形的有：平行四邊形……；是雙對稱圖形的有：線段、矩形、菱形、正方形、正偶邊形、圓…….注意：線段有兩條對稱軸.一次函數一.常量、變量：在一個變化過程中,數值發生變化的量叫做變量；數值始終不變的量叫做常量。二、函數的概念：函數的定義：一般的，在一個變化過程中,如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數．三、函數中自變量取值范圍的求法：（1）用整式表示的函數，自變量的取值范圍是全體實數。（2）用分式表示的函數，自變量的取值范圍是使分母不為0的一切實數。（3）用寄次根式表示的函數，自變量的取值范圍是全體實數。用偶次根式表示的函數，自變量的取值范圍是使被開方數為非負數的一切實數。（4）若解析式由上述幾種形式綜合而成，須先求出各部分的取值范圍，然后再求其公共范圍，即為自變量的取值范圍。（5）對于與實際問題有關系的，自變量的取值范圍應使實際問題有意義。四、函數圖象的定義：一般的，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么在坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象．五、用描點法畫函數的圖象的一般步驟1、列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值。）注意：列表時自變量由小到大，相差一樣，有時需對稱。2、描點：（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點。3、連線：（按照橫坐標由小到大的順序把所描的各點用平滑的曲線連接起來）。六、函數有三種表示形式：（1）列表法（2）圖像法（3）解析式法七、正比例函數與一次函數的概念：一般地，形如y=kx(k為常數，且k≠0)的函數叫做正比例函數.其中k叫做比例系數。一般地，形如y=kx+b(k,b為常數，且k≠0)的函數叫做一次函數.當b=0時,y=kx+b即為y=kx,所以正比例函數，是一次函數的特例.八、正比例函數的圖象與性質：（1)圖象:正比例函數y=kx(k是常數，k≠0))的圖象是經過原點的一條直線，我們稱它為直線y=kx。(2)性質:當k>0時,直線y=kx經過第三，一象限，從左向右上升，即隨著x的增大y也增大；當k<0時,直線y=kx經過二,四象限，從左向右下降，即隨著x的增大y反而減小。九、求函數解析式的方法:待定系數法：先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知的系數，從而具體寫出這個式子的方法。一次函數與一元一次方程：從“數”的角度看x為何值時函數y=ax+b的值為0．求ax+b=0(a,b是常數，a≠0)的解，從“形”的角度看，求直線y=ax+b與x軸交點的橫坐標一次函數與一元一次不等式：解不等式ax+b＞0(a，b是常數，a≠0)．從“數”的角度看，x為何值時函數y=ax+b的值大于0．4.解不等式ax+b＞0(a，b是常數，a≠0)．從“形”的角度看，求直線y=ax+b在x軸上方的部分（射線）所對應的的橫坐標的取值范圍．十、一次函數與正比例函數的圖象與性質一次函數概念如果y=kx+b（k、b是常數，k≠0），那么y叫x的一次函數.當b=0時，一次函數y=kx（k≠0）也叫正比例函數.圖像一條直線性質k＞0時，y隨x的增大(或減小)而增大(或減小)；k＜0時，y隨x的增大(或減小)而減小(或增大).直線y=kx+b（k≠0）的位置與k、b符號之間的關系.（1）k>0，b＞0圖像經過一、二、三象限；（2）k>0，b＜0圖像經過一、三、四象限；（3）k>0，b＝0圖像經過一、三象限；（4）k＜0，b＞0圖像經過一、二、四象限；（5）k＜0，b＜0圖像經過二、三、四象限；（6）k＜0，b＝0圖像經過二、四象限。一次函數表達式的確定求一次函數y=kx+b（k、b是常數，k≠0）時，需要由兩個點來確定；求正比例函數y=kx（k≠0）時，只需一個點即可.5.一次函數與二元一次方程組：解方程組從“數”的角度看，自變量（x）為何值時兩個函數的值相等．并求出這個函數值解方程組從“形”的角度看，確定兩直線交點的坐標.第十七章

反比例函數

1.定義：形如y＝（k為常數，k≠0）的函數稱為反比例函數。其他形式xy=k

2.圖像：反比例函數的圖像屬于雙曲線。反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。有兩條對稱軸：直線y=x和y=-x。對稱中心是：原點3.性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小；

當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大。

4.|k|的幾何意義：表示反比例函數圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形的面積。5.反比例函數雙曲線，待定只需一個點，正k落在一三限，x增大y在減，圖象上面任意點，矩形面積都不變，對稱軸是角分線x、y的順序可交換。

1、反比例函數的概念一般地，函數（k是常數，k0）叫做反比例函數。反比例函數的解析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實數，函數的取值范圍也是一切非零實數。2、反比例函數的圖像反比例函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關于原點對稱。由于反比例函數中自變量x0，函數y0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。3、反比例函數的性質反比例函數k的符號k>0k<0圖像yOxyOx性質①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當k>0時，函數圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內，y隨x的增大而減小。①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當k<0時，函數圖像的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內，y隨x的增大而增大。4、反比例函數解析式的確定確定及誒是的方法仍是待定系數法。由于在反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要一對對應值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、反比例函數中反比例系數的幾何意義如下圖，過反比例函數圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=。。數據的分析數據的代表：平均數、眾數、中位數、極差、方差1．解統計學的幾個基本概念

總體、個體、樣本、樣本容量是統計學中特有的規定，準確把握教材，明確所考查的對象是解決有關總體、個體、樣本、樣本容量問題的關鍵。

2.平均數

當給出的一組數據，都在某一常數a上下波動時，一般選用簡化平均數公式，其中a是取接近于這組數據平均數中比較“整”的數;當所給一組數據中有重復多次出現的數據，常選用加權平均數公式。

3.眾數與中位數

平均數、眾數、中位數都是用來描述數據集中趨勢的量。平均數的大小與每一個數據都有關，任何一個數的波動都會引起平均數的波動，當一組數據中有個數據太高或太低，用平均數來描述整體趨勢則不合適，用中位數或眾數則較合適。中位數與數據排列有關，個別數據的波動對中位數沒影響；當一組數據中不少數據多次重復出現時，可用眾數來描述。4.極差

用一組數據中的最大值減去最小值所得的差來反映這組數據的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，極差＝最大值－最小值。5.方差與標準差

用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結果表示一組數據偏離平均值的情況，這個結果叫方差，計算公式是s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]；方差是反映一組數據的波動大小的一個量，其值越大，波動越大，也越不穩定或不整齊。一、選擇題1．一組數據3，5，7，m，n的平均數是6，則m，n的平均數是（）A.6B.7C.7.5D.152．小華的數學平時成績為92分，期中成績為90分，期末成績為96分，若按3：3：4的比例計算總評成績，則小華的數學總評成績應為（）A．92B．93C．96D．92.73.關于一組數據的平均數、中位數、眾數，下列說法中正確的是（）A.平均數一定是這組數中的某個數 B.中位數一定是這組數中的某個數C.眾數一定是這組數中的某個數 D.以上說法都不對4．某小組在一次測試中的成績為：86，92，84，92，85，85，86，94，92，83，則這個小組本次測試成績的中位數是（）A．85B．86C．92D．87.95．某人上山的平均速度為3km/h，沿原路下山的平均速度為5km/h，上山用1h，則此人上下山的平均速度為（）A.4km/hB.3.75km/hC.3.5km/hD.4.5km/h6．在校冬季運動會上，有15名選手參加了200米預賽，取前八名進入決賽.已知參賽選手成績各不相同，某選手要想知道自己是否進入決賽，只需要了解自己的成績以及全部成績的（）A.平均數B.中位數C.眾數D.以上都可以二、填空題：（每小題6分，共42分）7．將9個數據從小到大排列后，第個數是這組數據的中位數8．如果一組數據4，6，x，7的平均數是5，則x=.9．已知一組數據：5，3，6，5，8，6，4，11，則它的眾數是，中位數是.10．一組數據12，16，11，17，13，x的中位數是14，則x=.11．某射擊選手在10次射擊時的成績如下表：環數78910次數2413則這組數據的平均數是，中位數是，眾數是.12．某小組10個人在一次數學小測試中，有3個人的平均成績為96，其余7個人的平均成績為86，則這個小組的本次測試的平均成績為.13．為了了解某立交橋段在四月份過往車輛承載情況，連續記錄了6天的車流量(單位：千輛/日)：3．2，3．4，3，2．8，3．4，7，則這個月該橋過往車輛的總數大約為輛.第課時第二十章數據的分析知識點：選用恰當的數據分析數據知識點詳解：一：5個基本統計量（平均數、眾數、中位數、極差、方差）的數學內涵:平均數：把一組數據的總和除以這組數據的個數所得的商。平均數反映一組數據的平均水平，平均數分為算術平均數和加權平均數。

眾數：在一組數據中，出現次數最多的數(有時不止一個)，叫做這組數據的眾數中位數：將一組數據按大小順序排列，把處在最中間的一個數(或兩個數的平均數)叫做這組數據的中位數．極差：是指一組數據中最大數據與最小數據的差。巧計方法，極差=最大值-最小值。方差：各個數據與平均數之差的平方的平均數，記作s2

.巧計方法:方差是偏差的平方的平均數。

標準差：方差的算術平方根，記作s

。

二

教學時對五個基本統計量的分析：1

算術平均數不難理解易掌握。加權平均數，關鍵在于理解“權”的含義，權重是一組非負數，權重之和為1，當各數據的重要程度不同時，一般采用加權平均數作為數據的代表值。學生出現的問題：對“權”的意義理解不深刻，易混淆算術平均數與加權平均數的計算公式。采取的措施：弄清權的含義和算術平均數與加權平均數的關系。并且提醒學生再求平均數時注意單位。

2

平均數、與中位數、眾數的區別于聯系。聯系：平均數、中位數和眾數都反映了一組數據的集中趨勢，其中以平均數的應用最為廣泛。

區別：A

平均數的大小與這組數據里每個數據均有關系，任一數據的變動都會引起平均數的變動。B

中位數僅與數據的排列位置有關，某些數據的變動對中位數沒有影響。當一組數據中的個別數據變動較大時，可用它來描述其集中趨勢。C

眾數主要研究個數據出現的頻數，其大小只與這組數據中的某些數據有關，當一組數據中有不少數據多次重復出現時，我們往往關心眾數。其中眾數的學習是重點。

學生出現的問題：求