湖南省長沙市2023-2024學年高一數學下學期5月階段考試試卷時量：120分鐘滿分：150分命題：高一數學備課組審定：高一數學備課組注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知復數，若的共軛復數為，則（）A. B.5 C. D.10【答案】B【解析】【分析】利用復數運算法則和模長的性質計算即可.【詳解】.故選：B2.在以下調查中，適合用普查的是（）A.調查一批小包裝餅干的衛生是否達標B.調查一批袋裝牛奶的質量C.調查一批繩索的抗拉強度是否達到要求D.調查一個班級的學生每天完成家庭作業所需要的時間【答案】D【解析】【分析】根據普查的適用前提，結合各項描述確定適用普查的對象.【詳解】普查適用總體數量較少以及破壞性不大的情況，顯然A、B、C的調查對象不適用，對于D，一個班級的學生人數相對較少，適用普查方式.故選：D.3.已知不等式成立的充分條件是，則實數的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意知，根據子集關系列式解得參數范圍即可.【詳解】由題意得，所以，且等號不能同時成立，解得.故選：D.4.已知菱形的邊長為2，，G是菱形ABCD內一點，若，則（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】由題設，先求出，再由推理得到是中線的一個三等分點，從而將用的線性組合表示，再代入所求式，即可求得【詳解】如圖，由,因，則，又因菱形，則；由可得，,取的中點為，則有,即,故.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦函數圖象的對稱性得，再根據誘導公式和二倍角的余弦公式可求出結果.【詳解】因為，所以，即，，所以.故選：B6.坡屋頂是我國傳統建筑造型之一，蘊含著豐富的數學元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面ABCD的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（）A.117m B.120m C.127m D.135m【答案】A【解析】【分析】分別取的中點，連接過點作交于點，作交于點，連接,證明平面，推得題中兩個二面角的平面角，依次求出，即得該五面體的所有棱長之和.【詳解】如圖，分別取的中點，連接過點作交于點，作交于點，連接.因該五面體兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形，則易得，即四點共面，因，，故，依題意，是平面內兩條相交直線，故平面，因平面，則因，且,平面，則平面.因平面，平面，則，即即平面與平面ABCD的夾角，同理即平面與平面ABCD的夾角.依題意，，易證由平面，平面EFMN，則，故則,，，由等腰梯形的性質，.于是，該五面體的所有棱長之和為.故選：A.7.已知函數，則關于方程的根個數不可能是（）A0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】C【解析】【分析】將原問題轉化為直線與函數的圖象交點的個數，作出的圖象，分、、三種情況，結合圖象求解即可．【詳解】作出函數的圖象，如圖所示：將原問題轉化為直線（過定點）與函數的圖象交點的個數，由圖可知，當時，直線與函數的圖象只有一個交點；當時，直線與函數的圖象沒有交點；當時，直線與函數的圖象有三個交點；所以直線與函數的圖象不可能有兩個交點．故選：C．8.如圖，一塊三角形鐵片ABC，已知，，，現在這塊鐵片中間發現一個小洞，記為點D，，.如果過點D作一條直線分別交AB，AC于點E，F，并沿直線EF裁掉，則剩下的四邊形EFCB面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設，，運用面積相等得到，利用基本不等式求出的最小值，即可求得四邊形EFCB面積的最大值.【詳解】設，，，則，化簡得：，由基本不等式，，解得，，當且僅當，即時取等號，即此時，即的面積最小值為，而，因,故當面積的最小時，剩下的四邊形面積最大，最大值為.故選：C.【點睛】思路點睛：本題主要考查三角形面積公式和基本不等式的應用，屬于較難題.解題思路在于根據題設條件，選設未知數，并利用圖形特征，利用等面積建立未知量之間的關系式，結合所求利用基本不等式即可求得.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知空間兩條異面直線所成的角等于60°，過點與所成的角均為的直線有且只有一條，則的值可以等于（）A.30° B.45° C.75° D.90°【答案】AD【解析】【分析】過點作，求得直線與所成角的范圍為或，結合選項，即可求解.【詳解】過點作，從兩對角的角平分線開始，直線與所成角的范圍為或，而均為的直線有且僅有一條，根據對稱性，可得或.故選：AD.10.已知（），若方程在區間上恰有3個實根，則的取值可能是（）A. B.1 C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據給定條件，求出的值，再由給定范圍求出，進而建立不等式求解即得.【詳解】由，得，解得或，當時，，則的可能取值為，，，，…，由在上恰有3個實根，得，解得，所以的取值范圍是，的取值可能是1，.故選：BC11.已知函數與相交于A，B兩點，與相交于C，D兩點，若A，B，C，D四點的橫坐標分別為，，，，且，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據，分別代入，即可判斷A,B，根據，關于直線的對稱，因此可知對稱，對稱，即可根據對稱性判斷CD.【詳解】由題意可知是方程的一個根，則，將代入得，所以也是方程的一個根，所以，故，故A正確，由題意可知是方程的一個根，則，則，所以也是方程的一個根，所以，故，故B正確，設點在函數上，則滿足，即點關于直線的對稱點為，將代入得，即可，因此可知在函數上，即關于直線的對稱，又關于直線的對稱，因此可知對稱，對稱，故和，所以，，故D正確，由于，故C錯誤，故選：ABD第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一組數據1，2，4，5，m的平均數為4，則這組數據的方差為____________.【答案】6【解析】【分析】根據平均數與方差的概念，進行計算即可．【詳解】數據的平均數是4，∴，解得；∴這組數據的方差為．故答案為：．13.已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，該正四棱臺的體積為時，側棱與底面所成的角為____________.【答案】【解析】【分析】由條件，結合棱臺體積公式可求棱臺的高，由線面角的定義確定側棱與底面所成的角，再根據棱臺的結構特點解三角形，求角的大小.【詳解】如圖，作正四棱臺，由已知，設分別為底面的中心，則，平面，所以正四棱臺的高為，因為正四棱臺的體積為，所以，所以，作，則平面，，所以為側棱與底面所成的角的平面角，所以，又，所以，即側棱與底面所成的角為.故答案為：.14.設集合，（，）且A中任意兩數之和不能被5整除，則n的最大值為____________.【答案】16【解析】【分析】先根據中的數除以的余數將集合進行分組，然后根據整除的知識求得正確答案.【詳解】根據除以5余數，可將A集合分為5組：，則，，則，，則，，則，，則，A中的任何兩個數之和不能被5整除，故和，和中不能同時取數，且中最多取一個，∴最多的取法是取和中的一個元素，，故n的最大值為16.故答案為：【點睛】兩數之和能被整除，則兩數分別除以的余數之和能被整除.本題的分析方法是先求得中所有數除以的余數，從而進行分組，分組之后根據和能被整除的知識來求得正確答案.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.“一帶一路”是“絲綢之路經濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱，某市為了了解人們對“一帶一路”的認知程度，對不同年齡和不同職業的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分.現從參賽者中抽取了x人，按年齡分成5組，第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有6人.（1）求x；（2）求抽取的x人的年齡的第80百分位數（保留小數）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據頻率分布直方圖求出第一組頻率，由此能求出．（2）利用百分位數的計算公式求解即可．【小問1詳解】根據題中頻率分布直方圖得第一組的頻率為，所以，所以；【小問2詳解】設第80百分位數，而，所以所求分位數在區間，則，所以16.已知在平面直角坐標系，向量.（1）求與垂直的單位向量的坐標；（2）若向量，且與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）設單位向量為，根據數量積的坐標表示和向量的幾何意義建立方程組，解之即可求解；（2）根據數量積、模的坐標表示求出，當與反向共線時解得，由與的夾角為鈍角得，解之即可求解.小問1詳解】設與垂直的單位向量為，則，解得或，所以或.【小問2詳解】因為，所以.當與反向共線時，，解得.若與的夾角為鈍角，則，即，即，解得且所以的取值范圍是.17.已知等式（1）若x、y均為正整數，求x、y的值；（2）設，，、分別是等式中的x取（）時y所對應的值，試比較p、q的大小，說明理由.【答案】（1）或（2），理由見解析【解析】【分析】（1）將條件等式寫成的形式，再根據都是正整數，確定其值即得；（2）將表示成，設整體元，，用表示，再運用作差法比較大小即得.【小問1詳解】由得：，即，∵x，y為正整數，∴可知y只能為1或2，∴當時，，當時，，即x，y的值為：或；【小問2詳解】，理由如下：由題設條件可知，，∵，∴，設，，∵，∴，即，∵，，即，，即，由∵，，即，∴.18.如圖1，設半圓的半徑為2，點、三等分半圓，點、分別是、的中點，將此半圓以為母線卷成一個圓錐（如圖2）．在圖2中完成下列各題：（1）求在圓錐中的線段的長；（2）求四面體的體積；（3）求三棱錐與三棱錐公共部分的體積．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先求出圓錐的底面圓半徑，再利用正弦定理求出，進而可得出答案；（2）根據求解即可；（3）連接交于點，連接并延長交于點，則三棱錐與三棱錐公共部分即為三棱錐，再確定點的位置即可得解.【小問1詳解】在圖中，設圓錐的底面圓半徑為，則，解得，因為在圖1中，點、三等分半圓，所以在圖中，點、為圓錐的底面圓周的三等分點，所以為等邊三角形，所以，所以，又因為點、分別是、的中點，所以；【小問2詳解】，圓錐的高，所以，所以，即四面體的體積為；【小問3詳解】連接交于點，連接并延長交于點，則三棱錐與三棱錐公共部分即為三棱錐，因為點、分別是、的中點，所以為的中點，且，所以，所以三棱錐與三棱錐公共部分的體積為．【點睛】方法點睛：求空間幾何體體積的方法如下：（1）求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解．19.函數.（1）若的定義域為，求實數a的取值范圍；（2）當時，為定義域為的奇函數，且時，，①求的解析式②若關于x的方程恒有兩個不同的實數根，求t的取值范圍.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）由函數定義域為，推得恒成立，只需求的值域即得.（2）①先求出時的的解析式，再利用函數奇偶性求得時的解析式，結合，即得分段函數的解析式；②結合的解析式，將方程等價轉化成，再利用在上的單調性，并化簡得到，最后利用雙勾函數的值域求得的取值范圍.【小問1詳解】因的定義域為，故恒成立，即恒成立，設，則，在上單調遞增，則，即，故，即.【小問2詳解】①因，則當時，；若，則，，又因