2023—2024學年高一（下）第三次月考數學注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內容：人教A版必修第二冊第六章至第九章。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．樣本數據12，11，7，15，9，10，12，8的中位數是（）A．12 B．11 C．10 D．10.52．為了提升學生的文學素養，某校將2024年5月定為讀書月，要求每個學生都只選擇《平凡的世界》與《麥田里的守望者》中的一本．已知該校高一年級學生選擇《平凡的世界》的人數為450，選擇《麥田里的守望者》的人數為550．現采用按比例分層隨機抽樣的方法，從高一學生中抽取20名學生進行閱讀分享，則被抽到的這20名學生中選擇了《平凡的世界》的人數為（）A．9 B．10 C．11 D．123．已知在R軟件的控制臺中，輸入“sample（1：20，4，replace＝F）”，按回車鍵，得到的4個1～20范圍內的不重復的整數隨機數為12，6，10，4，則這4個整數的標準差為（）A． B． C．40 D．104．如圖所示，，，則（）A． B．C． D．5．一個樣本容量為600的頻數分布表不小心被損壞了一部分．若樣本中數據在內的頻率為0.75，則樣本中數據在內的個數為（）A．225 B．295 C．235 D．3056．已知樣本數據，，…，的平均數為14，樣本數據，，…，的平均數為，若樣本數據，，…，，，，…，的平均數為，則（）A．12 B．10 C．2 D．117．已知，且，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．8．是內一點，，，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．若，則下列結論正確的是（）A．若為實數，則B．若，則C．若在復平面內對應的點位于第一象限，則D．若，則10．已知某省2023年各地市地區生產總值的占比如圖所示，則根據圖中關于該省2023年各地市地區生產總值占比的統計情況，下列結論正確的是（）A．A市2023年地區生產總值比B市2023年地區生產總值多B．圖中11個地市2023年地區生產總值占比的40%分位數為5.92%C．圖中11個地市2023年地區生產總值占比的70%分位數為4.58%D．若該省2024年各地市地區生產總值的增長率相等，則該省2024年各地市地區生產總值的占比不變11．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正方體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，，，點的曲率為，，，分別為，，的中點，則（）A．直線平面B．在三棱柱中，點的曲率為C．在四面體中，點的曲率小于D．二面角的大小為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．復數的虛部為_________．13．已知向量，，．若，則_________；若，則向量與的夾角為_________．14．為促進學生德、智、體、美、勞全面發展，河北廊坊市某校開發出文化藝術課程、科技課程、體育課程等多類課程．為了解該校各班參加科技課程的人數，從全校隨機抽取5個班級，設這5個班級參加科技課程的人數分別為，，，，（，，，，，）．已知這5個班級參加科技課程的人數的平均數為9，方差為4，則_________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知第10～19屆亞運會中國隊獲得的金牌數如下圖所示．（1）求第10～19屆亞運會中國隊獲得的金牌數的極差；（2）剔除第12屆亞運會中國隊獲得的金牌數數據，求剩余9屆亞運會中國隊獲得的金牌數的平均數；（3）設第10～12屆亞運會中國隊獲得的金牌數的方差為，第13～15屆亞運會中國隊獲得的金牌數的方差為，不通過計算，試比較與的大小，并說明理由．16．（15分）在中，．（1）求角的大??；（2）若在邊上，，且，，求的面積．17．（15分）已知某高速服務區餐廳的窗口有四類：①自選快餐，平均每份取餐時長為1分鐘；②商務套餐，平均每份取餐時長為0.5分鐘；③現炒現做，平均每份取餐時長為5分鐘；④自動售貨機，平均每份取餐時長為1分鐘．已知該高速服務區餐廳的取餐窗口（每臺自動售貨機按1個取餐窗口計算）一共有18個，就餐高峰期時有400名消費者在等待就餐．為了提高消費者的用餐滿意度，該高速服務區工作人員選取了100名用餐的消費者進行問卷調查，其中有50人選擇了自選快餐，30人選擇了商務套餐，15人選擇了現炒現做，5人選擇了自動售貨機．（注：為了方便計算，若某消費者選擇兩類或多類就餐類別，則按該消費者的主要就餐類別歸類，每名消費者只統計為其中一類）．（1）根據以上的調查統計，用樣本估計總體，如果設置10個自選快餐窗口，就餐高峰期時，假設大家在排隊時自動選擇較短的隊伍等待（即各類取餐的窗口前隊伍長度各自相等），試問選擇自選快餐的消費者最長等待時長是多少分鐘？（2）根據以上的調查數據統計，用樣本估計總體，從等待時長和公平的角度上考慮，要求每個隊伍的最長等待時長大致相等，應如何設置各類取餐窗口數（結果采用四舍五入法保留整數）？并說明理由．18．（17分）已知某工廠一區生產車間與二區生產車間均生產某種型號的零件，這兩個生產車間生產的該種型號的零件尺寸的頻率分布直方圖如圖所示（每組區間均為左開右閉）．尺寸大于的零件用于大型機器中，尺寸小于或等于的零件用于小型機器中．（1）若，試分別估計該工廠一區生產車間生產的500個該種型號的零件和二區生產車間生產的500個該種型號的零件用于大型機器中的零件個數．（2）若，現有足夠多的來自一區生產車間與二區生產車間的零件，分別用于大型機器、小型機器各5000臺的生產，每臺機器僅使用一個該種型號的零件．方案一：直接將一區生產車間生產的零件用于大型機器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型機器每臺會使得工廠損失200元；直接將二區生產車間生產的零件用于小型機器中，其中用了尺寸大于的零件的小型機器每臺會使得工廠損失100元．方案二：重新測量一區生產車間與二區生產車間生產的零件尺寸，并正確匹配型號，重新測量的總費用為35萬元．請寫出采用方案一，工廠損失費用的估計值（單位：萬元）的表達式，并從工廠損失的角度考慮，選擇合理的方案．19．（17分）如圖，在四棱臺中，平面，底面為平行四邊形，，且，，分別為線段，，的中點．（1）證明：．（2）證明：平面平面．（3）若，，，當與平面所成的角最大時，求四棱臺的體積．2023—2024學年高一（下）第三次月考數學參考答案1．D將數據從小到大排列：7，8，9，10，11，12，12，15．故這組數據的中位數是．2．A依題意，被抽到的這20名學生中選擇了《平凡的世界》的人數為．3．B這4個整數的平均數為，則這4個整數的標準差為．4．C．5．C因為數據在內的頻率為0.75，所以數據在內的頻數為，故樣本中數據在內的個數為．6．B根據題意可得，解得．7．A如圖，依題意可得點為的外心．因為，所以，所以，則四邊形為菱形．設，則．因為，所以在上的投影向量為．8．D設，因為，所以．由正弦定理可得，，則，則，解得．9．AD若為實數，則，A正確．若，則，則解得，B錯誤．若在復平面內對應的點位于第一象限，則解得，C錯誤．若，則，解得，，則，D正確．10．ABD由圖中統計數據，可得A市2023年地區生產總值比B市2023年地區生產總值多，A正確．因為，所以圖中11個地市2023年地區生產總值占比的分位數為，B正確．因為，所以圖中11個地市2023年地區生產總值占比的分位數為，C錯誤．若該省2024年各地市地區生產總值的增長率相等，則該省2024年各地市地區生產總值的占比不變，D正確．11．ABD取的中點，連接，．因為，，分別為，，的中點，所以可證平面平面，因為平面，所以直線平面，A正確．在直三棱柱中，平面，則，，所以點的曲率為，解得，因為，所以，所以點的曲率為，B正確．連接，易證平面，則，所以，又，所以，在四面體中，點的曲率為，C錯誤．過作的延長線，垂足為，連接，則，則為二面角的平面角，通過計算得，則，所以，D正確．12．2因為，所以復數的虛部為2．13．3；若，則，得．若，則，即，解得，則，．設向量與的夾角為，則，因為，所以．14．0依題意得，，化簡得，．易知，，得．又因為，所以，，，，這5個數的絕對值不超過4．當時，，無解；當時，，由，，，，，，得這四個平方數只能為0，1，1，9，則，，，，符合題意，此時；當時，，無解．綜上，．15．解：（1）第10～19屆亞運會中國隊獲得的金牌數的極差為．（2）剩余9屆亞運會中國隊獲得的金牌數的平均數為．（3）．理由如下：因為第10～12屆亞運會中國隊獲得的金牌數的波動性比第13～15屆亞運會中國隊獲得的金牌數的波動性大，所以．16．解：（1）由題意得，即，由正弦定理得，由余弦定理得．因為，所以．（2）因為，所以，在中，由正弦定理得，解得，則或（舍去），得，則．故．17．解：（1）由題意得，就餐高峰期時選擇自選快餐的總人數為，這200人平均分布在10個自選快餐窗口，平均每個窗口等待取餐的人數為，所以選擇自選快餐的消費者的最長等待時長為分鐘．（2）設自選快餐窗口個，商務套餐窗口個，現炒現做窗口個，自售貨機臺．自選快餐高峰期就餐總人數為，每個窗口等待人數為，最長等待時長為分鐘；商務套餐高峰期就餐總人數為，每個窗口等待人數為，最長等待時長為分鐘；現炒現做高峰期就餐總人數為，每個窗口等待人數為，最長等待時長為分鐘；自動售貨機高峰期就餐總人數為，每臺售貨機等待人數為，最長等待時長為分鐘．依題意，從等待時長和公平的角度上考慮，要求每個隊伍的最長等待時長大致相等，則可得，即有．因為．所以，，，．故應設置自選快餐、商務套餐、現炒現做的取餐窗口分別為6個，2個，9個，自動售貨機1臺．18．解：（1）一區生產車間生產的零件尺寸大于60的頻率為，則該工廠一區生產車間生產的500個該種型號的零件用于大型機器中的零件個數為；二區生產車間生產的零件尺寸大于60的頻率為，則該工廠二區生產車間生產的500個該種型號的零件用于大型機器中的零件個數為．（2）一區生產車間生產的零件尺寸小于或等于的頻率為．二區生產車間生產的零件尺寸大于的頻率為．故．因為，所以．又因為采用方案二重新測量的總費用為35萬元，所以從工廠損失的角度考慮，應選擇方案