第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年安徽省智學大聯考·皖中名校聯盟高一下學期期中檢測數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復數z=3+i3?i，則z?zA.1 B.2 C.5 D.2.m，n為空間兩條不重合直線，α為空間平面，下列命題正確的是(

)A.m⊥α，n⊥m，則n//α

B.m，n與α所成角均為90°，則m//n

C.m//α，n//α，m//n，則直線m，n到α的距離相等

D.m//α，n//α，則m//n3.“a?b=0”是“|3aA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知向量a=2,b=1,?1,A.?14,14 B.?4,4 5.如圖，矩形O′A′B′C′是用斜二測畫法畫出的水平放置的一個平面四邊形OABC的直觀圖，其中O′A.10 B.8 C.14 D.86.如圖，在?ABC中，D是BC的中點，E,F是AD上的兩個三等分點．若BA?CA=7，BF?CF=?1，則BEA.59 B.78 C.1 7.如圖，該幾何體為“四角反棱臺”，它是由兩個相互平行的正方形經過旋轉?連接而成，且上底面正方形的四個頂點在下底面的射影點為下底面正方形各邊的中點.若下底面正方形邊長為2，“四角反棱臺”高為3，則該幾何體體積為(

)

A.23+436 B.8.已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為1和4，高為33.若該圓臺內有一個正方體，且該正方體在圓臺內能任意轉動，則該正方體棱長的最大值為A.98 B.83 C.278二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在?ABC中，根據下列條件解三角形，其中有唯一解的是(

)A.b=6，c=52，B=45° B.a=9，b=10，c=15

C.b=6，c=63，C=6010.下列關于復數z的說法中，正確的是(

)A.若復數z滿足滿足z?1=z?i，則z在復平面內對應的點的軌跡為直線

B.若復數z的平方是純虛數，則復數z的實部和虛部相等

C.若z=1，則z+1z為實數

11.已知正方體ABCD?A1B1C1DA.直線B1C與直線AD1所成的角為90°

B.直線B1C與平面ACD1所成角的余弦值為33

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，為了測量河對岸的塔高AB，可以選取與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點C與D.現測得∠BCD=30°，∠BDC=105°，CD=20m，在點C處測得塔頂A的仰角為60°13.正方形ABCD的邊長為4，以A為圓心，1為半徑作圓與AB,AD分別交于E,F于兩點，若P為劣弧EF上的動點，則PC?PD14.如圖所示，在棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E,F分別是棱BC,CC1的中點，P是側面BCC四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知復數z=a?2?2a+1(1)若z為純虛數，求a的值；(2)若z最小時，復數z是實系數一元二次方程x2+bx+c=0的一個根，求b+c16.(本小題15分)在?ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，向量a=(sin(1)求角A;(2)若角A的平分線交BC于點D，BD=3CD，AD=33，求?ABC17.(本小題15分)如圖所示，平行四邊形OACB中已知OA=(74,32)(1)若D點為邊AC的中點，求∠ODB的余弦值；(注：(2)判斷是否存在點D，使得OD⊥BD，若存在，求出D18.(本小題17分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，?PAD和?BAD均為正三角形，AD⊥DC，AD//BC，AB=2，M為PC上一點，設平面PAD與平面PBC的交線為l．(1)證明l//面ABCD；(2)當PA//平面DMB時，面DAM與PB交于Q，求VP?AQMDV19.(本小題17分)駱崗公園擬建一個平面凸四邊形ABCD的綠色草坪，并在D處設置一個旗桿，DP⊥面ABCD，其中旗桿DP=4米，DC=4米，DA=2米，?ABC為正三角形.計劃?BCD將作為合肥市民休閑娛樂的區域，?ABD將作為駱崗公園的文化介紹區域．(1)若AC=23米，求在B處觀測旗桿頂端(2)若∠ADC=2π3米，求文化介紹區域(3)求休閑娛樂的區域?BCD的面積的最大值．

參考答案1.A

2.B

3.C

4.A

5.C

6.D

7.C

8.B

9.BC

10.ACD

11.ABC

12.30+1013.17?414.315.解：(1)因為

a

是實數，

z=a?2?2a+1i

是純虛數，所以

a?2=0

，且?(2a+1)≠0，

故(2)因為

|z|=a?22+?2a?12=5a2+5?所以方程

x2+bx+c=0

的兩個根為

?2+i,?2?i

所以

?b=(?2?i)+(?2+i)c=(?2?i)(?2+i)

，即

b=4c=5

，故

b+c=9

16.(1)因為a⊥所以

sin?(A?B)+(sin因為

sin?C=sin所以

sin?Acos?B?

即

sin?B(2cos?A?1)=0因為

B∈(0,π)

，所以

sin?B≠0

從而

cos?A=12,sin?A=(2)在

△ABC

中，角

A

的平分線交

BC

于點

D

，

BD=2CD

，由三角形內角平分線定理可知：

ABAC=BD設

AC=x,

，則

AB=3x

，由余弦定理可得：

a2=9xs?ABC=s?ABD+△ABC

周長為

3x+x+7x=16+417.解：(1)由題意，得

OA=(74,32)因為四邊形

OACB

是平行四邊形，所以

OC=OA+OB=74,所以

DB=OB?OD=?1,4?所以

；

(2)

OD=OA+λAC=7若

OD⊥BD

，則

OD?化簡得：

16λ2?8λ+1=0

，解得

λ=故存在存在點D，使得

OD⊥BD

，且

D(318.解：(1)∵

BC//AD

，

BC?

平面

PAD

，

AD?

平面

PAD

，∴

BC//

面

PAD

，

又

∵

BC?

面

PBC

，面

PBC∩

面

PAD=l

，∴

BC//l

，

又

∵

l?

面

ABCD

，

BC?

面

ABCD

，∴

l//

面

ABCD

(2)設

PM=λMC

如圖，連接

AC

交

BD

于點

N

，連接

MN∵

PA//

平面

BDM

，

PA?

平面

PAC

，平面

PAC∩

平面

BDM=MN

，∴

PA//MN

，

在梯形

ABCD

中，∵

BC//AD

，∴

?ADN∽?CBN

，∴

CNAN=CB∵

PA//MN

，∴

PMMC=ANCN=2

，∴作

MQ//AD

交

PB

于

Q

，

VP?AQMD=43VP?AMD=19.解：(1)因為

DC=4

米，

DA=2

米，

AC=23

米，所以

∠DAC=π2,

又因為

?ABC

為正三角形，所以

AB=2故由余弦定理可得

BD=4+12?8所以

tan∠PBD=PDDB(2)因為

∠ADC=2π3

，所以

AC=因為

∠ADC+∠ABC=2π3+π3=π

，設

∠DCB=θ在

?ABD

中，

BD2在