吉林省長春市外國語學校2024-2025學年高三5月綜合試題數學試題Word版含解析注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，則A． B． C． D．2．下列函數中，既是奇函數，又是上的單調函數的是()A． B．C． D．3．下列四個圖象可能是函數圖象的是（）A． B． C． D．4．已知函數，若關于的方程有且只有一個實數根，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．5．在條件下，目標函數的最大值為40，則的最小值是（）A． B． C． D．26．已知集合，集合，則等于（）A． B．C． D．7．的展開式中的常數項為()A．－60 B．240 C．－80 D．1808．函數的值域為（）A． B． C． D．9．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點，在橢圓上，其中，，若，，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B．C． D．10．的展開式中的系數為（）A．5 B．10 C．20 D．3011．A． B． C． D．12．如圖，平面ABCD，ABCD為正方形，且，E，F分別是線段PA，CD的中點，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某地區連續5天的最低氣溫（單位：℃）依次為8，，，0，2，則該組數據的標準差為_______.14．的展開式中常數項是___________.15．某校為了解家長對學校食堂的滿意情況，分別從高一、高二年級隨機抽取了20位家長的滿意度評分，其頻數分布表如下：滿意度評分分組合計高一1366420高二2655220根據評分，將家長的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分評分70分70評分90評分90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意假設兩個年級家長的評價結果相互獨立，根據所給數據，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.現從高一、高二年級各隨機抽取1名家長，記事件：“高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級”，則事件發生的概率為__________.16．從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項活動，要求男生中的甲和乙不能同時參加，女生中的丙和丁至少有一名參加，則不同的選法種數為______.（用數字作答）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，判斷直線為參數）與圓的位置關系．18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是邊長為2的菱形，點E，F分別為棱DC，BC的中點，點G是棱SC靠近點C的四等分點.求證：（1）直線平面EFG；（2）直線平面SDB.19．（12分）已知函數f(x)=ex-x2-kx（其中e為自然對數的底，k為常數）有一個極大值點和一個極小值點．（1）求實數k的取值范圍；（2）證明：f(x)的極大值不小于1．20．（12分）設函數.（1）時，求的單調區間；（2）當時，設的最小值為，若恒成立，求實數t的取值范圍.21．（12分）某學生為了測試煤氣灶燒水如何節省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數x與燒開一壺水所用時間y的一組數據，且作了一定的數據處理（如表），得到了散點圖（如圖）.表中，.（1）根據散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數x的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據判斷結果和表中數據，建立y關于x的回歸方程；（3）若旋轉的弧度數x與單位時間內煤氣輸出量t成正比，那么x為多少時，燒開一壺水最省煤氣？附：對于一組數據，，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.22．（10分）己知圓F1：(x+1)1+y1=r1(1≤r≤3)，圓F1：(x-1)1+y1=(4-r)1．（1）證明：圓F1與圓F1有公共點，并求公共點的軌跡E的方程；（1）已知點Q(m，0)(m<0)，過點E斜率為k(k≠0）的直線與（Ⅰ）中軌跡E相交于M，N兩點，記直線QM的斜率為k1，直線QN的斜率為k1，是否存在實數m使得k(k1+k1)為定值？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】分析：利用復數的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數，化簡復數，然后求解復數的模.詳解：，則，故選c.點睛：復數是高考中的必考知識，主要考查復數的概念及復數的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數、共軛復數這些重要概念，復數的運算主要考查除法運算，通過分母實數化轉化為復數的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.2．C【解析】

對選項逐個驗證即得答案.【詳解】對于，，是偶函數，故選項錯誤；對于，，定義域為，在上不是單調函數，故選項錯誤；對于，當時，；當時，；又時，.綜上，對，都有，是奇函數.又時，是開口向上的拋物線，對稱軸，在上單調遞增，是奇函數，在上是單調遞增函數，故選項正確；對于，在上單調遞增，在上單調遞增，但，在上不是單調函數，故選項錯誤.故選：.本題考查函數的基本性質，屬于基礎題.3．C【解析】

首先求出函數的定義域，其函數圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到，因為為奇函數，即可得到函數圖象關于對稱，即可排除A、D，再根據時函數值，排除B，即可得解.【詳解】∵的定義域為，其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到，∵為奇函數，圖象關于原點對稱，∴的圖象關于點成中心對稱.可排除A、D項.當時，，∴B項不正確.故選：C本題考查函數的性質與識圖能力，一般根據四個選擇項來判斷對應的函數性質，即可排除三個不符的選項，屬于中檔題.4．B【解析】

利用換元法設，則等價為有且只有一個實數根，分三種情況進行討論，結合函數的圖象，求出的取值范圍.【詳解】解：設，則有且只有一個實數根.當時，當時，，由即，解得，結合圖象可知，此時當時，得，則是唯一解，滿足題意；當時，此時當時，，此時函數有無數個零點，不符合題意；當時，當時，，此時最小值為，結合圖象可知，要使得關于的方程有且只有一個實數根，此時.綜上所述：或.故選:A.本題考查了函數方程根的個數的應用.利用換元法，數形結合是解決本題的關鍵.5．B【解析】

畫出可行域和目標函數，根據平移得到最值點，再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示，畫出可行域和目標函數，根據圖像知：當時，有最大值為，即，故..當，即時等號成立.故選：.本題考查了線性規劃中根據最值求參數，均值不等式，意在考查學生的綜合應用能力.6．B【解析】

求出中不等式的解集確定出集合，之后求得.【詳解】由，所以，故選：B.該題考查的是有關集合的運算的問題，涉及到的知識點有一元二次不等式的解法，集合的運算，屬于基礎題目.7．D【解析】

求的展開式中的常數項，可轉化為求展開式中的常數項和項，再求和即可得出答案.【詳解】由題意，中常數項為，中項為，所以的展開式中的常數項為：.故選：D本題主要考查二項式定理的應用和二項式展開式的通項公式，考查學生計算能力，屬于基礎題.8．A【解析】

由計算出的取值范圍，利用正弦函數的基本性質可求得函數的值域.【詳解】，，，因此，函數的值域為.故選：A.本題考查正弦型函數在區間上的值域的求解，解答的關鍵就是求出對象角的取值范圍，考查計算能力，屬于基礎題.9．C【解析】

根據可得四邊形為矩形,設,,根據橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設,,由,,知,因為,在橢圓上,,所以四邊形為矩形,；由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得；令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選：C本題主要考查了橢圓的定義運用以及構造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.10．C【解析】

由知，展開式中項有兩項，一項是中的項，另一項是與中含x的項乘積構成.【詳解】由已知，，因為展開式的通項為，所以展開式中的系數為.故選：C.本題考查求二項式定理展開式中的特定項，解決這類問題要注意通項公式應寫準確，本題是一道基礎題.11．A【解析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】本題正確選項：本題考查復數代數形式的乘除運算，是基礎的計算題．12．C【解析】

分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設.則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選：C本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先求出這組數據的平均數，再求出這組數據的方差，由此能求出該組數據的標準差．【詳解】解：某地區連續5天的最低氣溫（單位：依次為8，，，0，2，平均數為：，該組數據的方差為：，該組數據的標準差為1．故答案為：1．本題考查一組數據據的標準差的求法，考查平均數、方差、標準差的定義等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．14．-160【解析】試題分析：常數項為.考點：二項展開式系數問題.15．0.42【解析】

高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級有三種情況，分別求出三種情況的概率，再利用加法公式即可.【詳解】由已知，高一家長滿意等級為不滿意的概率為，滿意的概率為，非常滿意的概率為，高二家長滿意等級為不滿意的概率為，滿意的概率為，非常滿意的概率為，高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級有三種情況：1.高一家長滿意，高二家長不滿意，其概率為；2.高一家長非常滿意，高二家長不滿意，其概率為；3.高一家長非常滿意，高二家長滿意，其概率為.由加法公式，知事件發生的概率為.故答案為：本題考查獨立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中檔題.16．1【解析】

由排列組合及分類討論思想分別討論：①設甲參加，乙不參加，②設乙參加，甲不參加，③設甲，乙都不參加，可得不同的選法種數為9+9+5＝1，得解．【詳解】①設甲參加，乙不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數為9，②設乙參加，甲不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數為9，③設甲，乙都不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數為5，綜合①②③得：不同的選法種數為9+9+5＝1，故答案為：1．本題考查了排列組合及分類討論思想，準確分類及計算是關鍵，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．直線與圓C相切．【解析】

首先把直線和圓轉換為直角坐標方程，進一步利用點到直線的距離的應用求出直線和圓的位置關系．【詳解】直線為參數），轉換為直角坐標方程為．圓轉換為直角坐標方程為，轉換為標準形式為，所以圓心到直線，的距離．直線與圓C相切．本題考查的知識要點：參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉換，直線與圓的位置關系式的應用，點到直線的距離公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型．18．（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,再證明即可.(2)證明與即可.【詳解】（1）連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,所以O為AC的中點,H為OC的中點,由E、F為DC、BC的中點,再由題意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直線平面EFG.（2）在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因為側面底面ABCD,由面面垂直的性質定理可知平面ABCD,所以,因為底面ABCD是菱形,所以,因為,所以平面SDB.本題考查線面平行與垂直的證明.需要根據題意利用等比例以及余弦定理勾股定理等證明.屬于中檔題.19．（1）；（2）見解析【解析】

（1）求出，記，問題轉化為方程有兩個不同解，求導，研究極值即可得結果；（2）由（1）知，在區間上存在極大值點，且，則可求出極大值，記，求導，求單調性，求出極值即可.【詳解】（1），由，記，，由，且時，，單調遞減，，時，，單調遞增，，由題意，方程有兩個不同解，所以；（2）解法一：由（1）知，在區間上存在極大值點，且，所以的極大值為，記，則，因為，所以，所以時，，單調遞減，時，，單調遞增，所以，即函數的極大值不小于1.解法二：由（1）知，在區間上存在極大值點，且，所以的極大值為，因為，，所以.即函數的極大值不小于1.本題考查導數研究函數的單調性，極值，考查學生綜合分析能力與轉化能力，是一道中檔題.20．（1）的增區間為，減區間為；（2）.【解析】

（1）求出函數的導數，由于參數的范圍對導數的符號有影響，對參數分類，再研究函數的單調區間；（2）由（1）的結論，求出的表達式，由于恒成立，故求出的最大值，即得實數的取值范圍的左端點．【詳解】解：（1）解：，當時，，解得的增區間為，解得的減區間為.（2）解：若，由得，由得，所以函數的減區間為，增區間為；，因為，所以，，令，則恒成立，由于，當時，，故函數在上是減函數，所以成立；當時，若則，故函數在上是增函數，即對時，，與題意不符；綜上，為所求．本題考查導數在最大值與最小值問題中的應用，求解本題關鍵是根據導數研究出函數的單調性，由最值的定義得出函數的最值，本題中第一小題是求出函數的單調區間，第二小題是一個求函數的最值的問題，此類題運算