目錄

緒論........................................................(1)

0.1學(xué)習(xí)好的算法....................................................(1)

0.2誤差和精度......................................................(2)

0.3注意學(xué)習(xí)方法....................................................(5)

第1章多項式插值方法.....................................(6)

1.1Lagrange插值多項式..........................................(6)

1.2分段低次Lagrange多項式插值方法...........................(16)

1.3Hermite插值和分段三次Hermite插值方法......................(20)

*1.4三次樣條插值方法................................................(28)

習(xí)題1(38)

*第2章多項式最佳平方逼近方法和最小二乘方法............(40)

2.1函數(shù)最佳平方逼近的定義和解釋................................(40)

2.2最佳平方逼近多項式的確定方法................................(42)

2.3用Legendre正交多項式作最佳平方逼近.....................(46)

2.4用Chebyshev正交多項式作最佳平方逼近....................(50)

2.5曲線擬合的最小二乘方法.......................................(53)

2.6求解特殊線性方程組的最小二乘方法...........................(59)

習(xí)題2(62)

第3章數(shù)值積分方法和數(shù)值微分方法.....................(64)

3.1插值型數(shù)值積分的基本思想......................................(64)

3.2插值型數(shù)值積分公式的確定辦法及其代數(shù)精度...................(65)

3.3分段低階數(shù)值積分和外推........................................(72)

3.4Gauss求積公式...............................................(77)

3.5數(shù)值微分及其外推...............................................(81)

習(xí)題3(87)

第4章非線性方程求根的迭代法...........................(89)

4.1實根隔離與二分法..............................................(89)

4.2基本迭代法及其外推.............................................(90)

?2?實用計算方法（第2版）

4.3Newton迭代法..............................................（95）

*4.4解非線性方程組的Newton迭代法...........................（101）

習(xí)題4........................................................（103）

第5章解線性方程組的迭代法...............................（105）

5.1Jacobi方法和Gauss-Seidel方法...........................（105）

5.2向量和矩陣的模............................................（108）

5.3線性方程組基本迭代法的收斂性.............................（113）

5.4Jacobi方法和Gauss-Seidel方法的致散性...................（115）

5.5SOR方法..................................................（117）

習(xí)題5........................................................（119）

第6章解線性方程組的直接法...............................（121）

6.1直接消去法.................................................（121）

6.2矩陣分解法.................................................（124）

6.3直接法的誤差分析..........................................（128）

習(xí)題6........................................................（131）

第7章解常微分方程的差分方法.............................（133）

7.1一階常微初值問題及其差分方法.............................（133）

7.2Euler方法.................................................（135）

7.3梯形方法...................................................（138）

7.4Runge-Kutta方法..........................................（139）

7.5顯式單步方法的穩(wěn)定性問題.................................（143）

*7.6Adams多步方法............................................（149）

*7.7常微邊值問題的差分離散化方法.............................（156）

X.7.8常微特征值問題的差分離散化方法...........................（158）

習(xí)題7........................................................（165）

*第8章矩陣特征值與特征向量的數(shù)值方法....................（167）

8.1賽法.......................................................（167）

8.2反賽法.....................................................（170）

8.3計算對稱矩陣特征值的Jacobi方法...........................（172）

習(xí)題8........................................................（175）

習(xí)題解答提示...................................................（176）

緒論

大家知道，所有工程技術(shù)問題都需要定性、定量地去研究和解決.都離不開數(shù)

學(xué)和計算機的幫助.解決工程技術(shù)問題的流程大致如圖0.0.1所示.

€、

果

足

滿

足后續(xù)處理

求/

修改處理____________否

圖0.0.1解決工程技術(shù)問題流程圖

由此可見，數(shù)學(xué)是理性描述科技問題的工具：數(shù)值算法是數(shù)學(xué)模型和計算機之

間的紐帶和橋梁.可看做用于實際計算的離散化的數(shù)學(xué)模型.利用數(shù)學(xué)工具和計算

機,設(shè)計者可以反復(fù)修改和計算，從而實現(xiàn)理性和感性的統(tǒng)一，實現(xiàn)理論和實用的

統(tǒng)一.這種充分使用數(shù)學(xué)和計算機的設(shè)計方式極大地推動了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)

用.盡管建立數(shù)學(xué)模型可能會涉及較多的數(shù)學(xué)知識.然而，要實現(xiàn)數(shù)值計算，就必須

作離散化處理，就必須將它歸結(jié)為一些最基本的數(shù)學(xué)問題和算法問題.本課程要學(xué)

習(xí)的就是在科技計算中必須掌握的最基本、最常用的算法.

0.1學(xué)習(xí)好的算法

對于某個具體的數(shù)學(xué)模型，人們可提出多種算法來達(dá)到其數(shù)值計算的目的，然

而，這些算法有好的也有差的.只有好的算法才是值得學(xué)習(xí)的.

1.好的算法必須是合理、實用的

以求解線性方程組Ax=b為例，其中A是一個"X"非奇異矩陣.若選用線性

代數(shù)中介紹的Cramer法則作為求解方法，則加=2/D.笈=1,2,，其中D是

系數(shù)矩陣行列式的值，D.是用b替換A中第4列所得矩陣之行列式的值.在這種求

解方法下，共需計算（〃+1）個行列式的值且需做n次除法運算，每個行列式共有

，八個乘積，每個乘積需做〃一1次乘法運算，這樣共需做（〃+1）!（"-1）+〃次乘除

運算.當(dāng)〃=20時，需做9.7X10Z。次乘除運算，即使采用每秒運算1億次的計算機

也需計算30多萬年.顯然，Cramer法則在設(shè)計、求解線性方程組算法去解決實際

?2?實用計算方法(第2版)

問題時是不能采用的.

2.好的算法必須在計算量和計算精度方面是可滿足實際需求的

仍以求解線性方程組-=b為例，選用線性代數(shù)中介紹的Gauss消去法(在

第5章中將具體介紹這種數(shù)值方法).若消去過程能順利進行，則求解過程所需的

乘除運算的次數(shù)可以估計出來，為n'的同階量，記為。(小),其中?是未知數(shù)的個

數(shù).當(dāng)“=20時，Gauss消去過程僅需幾萬次乘除運算就可完成求解工作；當(dāng)n=

100時，求解工作也只需兒百萬次乘除運算.可見Gauss消去法在計算量方面是可

以滿足實際需求的.然而，由線性代數(shù)知識可知，若算法設(shè)計不合理，消去過程可能

會產(chǎn)生較大的誤差，甚至消去過程不能進行下去，只有改進了的Gauss消去法一

選主元Gauss消去法——才是合理、實用、滿足適當(dāng)精度要求的.

3.好的算法必須是高效率的

一個算法的效率可從總體計算量和計算精度這兩個方面分析比較.例如，對于

確定的工值，要計算多項式

P?(T)=a?x"H---FaiT+a(l

的值，如果先計算各項的值再相加，忽略加法的運算量，需要的乘法計算量為

?+(z7-1)+…+2+1="(1+”)/2

次；如果將計算過程改寫為

P?(x)=+a,1+a”-21z+…+?i}x+a0，

則僅需要n次乘法計算量.當(dāng)〃較大時，這兩種計算方法的計算效率相差很大.

又例如，求解，，元一次線性方程組時，用某三種不同算法求得近似解的精度是

差不多的，但它們需分別花費0(r),。(1),0(”)次的乘除運算，當(dāng)然僅花費0(”)

計算量的算法在三者中是最好的算法.同樣地，在計算花費差不多的前提下，計算

結(jié)果精度高的算法是最好的算法.

4.好的算法是有一定實用范圍的

對于同?個數(shù)學(xué)問題，本書介紹了幾個實用的算法.但一個好的算法往往有它

的實用范圍，超出這個范圍它就不再是好算法了.因此，讀者只有懂得不同算法的

不同特長，才能選用最有效的算法解決實際問題.

0.2誤差和精度

大家知道，解決實際工程技術(shù)問題要經(jīng)過若干環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)都會產(chǎn)生誤差.

最后用計算機計算的結(jié)果當(dāng)然也是有誤差的，然而只要最后的計算結(jié)果能控制在

所要求的誤差范圍內(nèi)，這種解決問題的過程就是實用、有效的.因此，需要對所有可

能的誤差歸類分析，分析其產(chǎn)生的原因和度量辦法，找出減小和控制誤差的辦法.

1.誤差的來源和歸類

只要分析一下解決工程技術(shù)問題的流程，就不難發(fā)現(xiàn)誤差的來源和歸類大致

緒論?3?

如圖0.2.1所示.

圖0.2.1誤差的來源和歸類

模型誤差是在工程技術(shù)問題向數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化過程中產(chǎn)生的.在建立數(shù)學(xué)模型

時，通常要加上一些限制，抓住主要的因素，忽略次要的因素，因此數(shù)學(xué)模型帶有理

想化的描述，它與實際問題之間難免存在誤差.本書不討論模型誤差.

截斷誤差是在連續(xù)型的數(shù)學(xué)問題向離散型的數(shù)值算法轉(zhuǎn)化過程中產(chǎn)生的.例

如，Taylor展式

=/（HO）+/'（-）（?一丈。）H----卜廣”（「）（工一丁。）”十余項

71!

有無限項，只有?作有限項截斷，才能形成具體計算/（Z）的近似值的公式

/?（）=/（To）+/（10）（H—To）+…+—_'（z—To'）",

11!

其中，丟掉的“余項”直接反映了近似值/，（了）與準(zhǔn)確值/（M）之間的誤差，這就是

截斷誤差.一般來講，連續(xù)型的數(shù)學(xué)問題常?？杀硎緸橐粋€極限問題，為了實現(xiàn)計

算，需將無窮過程作有限截斷處理，具體計算出近似值，由此產(chǎn)生的誤差就是截斷

誤差.截斷誤差是計算加工時產(chǎn)生的.它既是現(xiàn)實的又是理想的.

舍入誤差是計算機作數(shù)值計算時產(chǎn)生的.例如，計算37r（TT=3.14159265-）

時,k有無限個小數(shù)位，計算機只能取一定字長來計算.據(jù)四舍五入的規(guī)則，若取四

位字長計算，計算結(jié)果為3X3.142；若取八位字長計算，計算結(jié)果為3X

3.1415927.?般來講，計算過程中某些數(shù)據(jù)的位數(shù)可能很多，也可能是無窮位的

小數(shù)，計算機只能用有限字長計算，必須舍掉尾數(shù)，這就產(chǎn)生了舍入誤差.舍入誤差

是實實在在的，它雖然微不足道，但在復(fù)雜的計算過程中舍入誤差可能會傳播和積

累，可能會被放大，可能會嚴(yán)重地影響計算結(jié)果.因此在實際計算中應(yīng)盡可能地簡

化計算步驟，減少計算次數(shù)，減少重復(fù)運算，力求避免那些產(chǎn)生較大舍入誤差的運

算（例如，除數(shù)不能太小等），注意舍入誤差的傳播和積累.

2.近似解的精度

將數(shù)學(xué)問題改寫為計算機可執(zhí)行的算法時存在截斷誤差，計算機在每一步計

算中會產(chǎn)生舍入誤差，后續(xù)計算又會在前步計算的基礎(chǔ)上產(chǎn)生誤差的積累：計算過

程中處處是近似的且處處有誤差.那么計算結(jié)果怎樣才能保證實際要求呢？這就需

要關(guān)于近似解靠近準(zhǔn)確解程度的度量標(biāo)準(zhǔn).

?4?實用計算方法（第2版）

這里就單個近似值S和準(zhǔn)確值S*之間的關(guān)系來說明問題.按照通常的習(xí)慣，

采用三個標(biāo)準(zhǔn)來說明S對于的“準(zhǔn)確”程度，即精度.第一個標(biāo)準(zhǔn)是絕對誤差.

第二個標(biāo)準(zhǔn)是相對誤差，第三個標(biāo)準(zhǔn)是誤差數(shù)值的計算機表示方式.

絕對誤差表示形式為

IS-S,|<e,

其中，e是一個較小的數(shù)值，例如10-'或10-8等.顯然,e越小，S靠近的程度越

滿意，此時可稱近似值S具有絕對誤差精度e.這種精度標(biāo)準(zhǔn)類似于機械零件尺寸

加工的情形,準(zhǔn)確尺寸S*是理論上的.加工出來的尺寸S是近似的，但加工的尺寸

滿足S'-e〈S〈S”+e時，就是滿足精度要求的.

相對誤差的表示形式為

IS-S，1

IS|

它和絕對誤差在表現(xiàn)誤差大小方面有什么區(qū)別呢？下面用一個例子來說明：

測量100m長度時有1m的誤差，絕對誤差為1m,相對誤差為1%；測量1m

長度時有2cm的誤差，絕對誤差為2cm,相對誤差為2%.二者比較，前者測量精

度高.這是因為絕對誤差中可帶有不同的量綱單位；相對誤差是一種無量綱的精度

表示形式.表示單位長度的誤差量.顯然.相對誤差越小，近似值的精確度越高.

誤差是具體數(shù)值.數(shù)值在計算機中是近似表示的，這種近似程度直接表現(xiàn)了誤

差量的大小和誤差精度.

大家知道，計算機中所有的數(shù)據(jù)都要按四舍五入的規(guī)則表示為規(guī)格化形式，例

如對某個數(shù)值S”,計算機將其表示為

S=±0.ata2-"a,,X10*,

其中是整數(shù)，0.…是規(guī)格化小數(shù)，a?W0,a>?a?可以是零值也可以是非

零值.顯然，S是在規(guī)格化小數(shù)的小數(shù)點后第”+1位上發(fā)生舍入的結(jié)果.現(xiàn)在的問

題是，單從S的規(guī)格化形式，如何直觀地觀察S對S’的近似程度呢？

首先討論S*已知的情形.例如

S*=0.2314159X10',

S,=0.2315368X10*,

S,=0.2314164X10*,

這三個數(shù)中關(guān)于10*的某次4是相同的.人們可直觀地看出，S1對S，已準(zhǔn)確到規(guī)

格化小數(shù)的小數(shù)點后第三位，與對S*已準(zhǔn)確到規(guī)格化小數(shù)的小數(shù)點后第五位.

再討論S*未知的情形.在實際計算中，常用某種數(shù)值方法計算出一串?dāng)?shù)值

{S,}去逼近S：也可估計并計算出誤差值|S,—S，I，現(xiàn)將計算結(jié)果列出如下：

SI=0.3152612,|S|-S*|<0.1101935X102,

S2=0.3148536,|S2-S*|40.6943352XlO-,

S3=0.3141018,|S3-S"KO.5746532X10^'.

緒論,5,

不從｛S,｝的數(shù)值觀察它們逼近S，的表現(xiàn)，S2對&來說已在小數(shù)點后第二位無法

改進，故Sz對S,至少準(zhǔn)確到小數(shù)點后第二位；同理，S對S'至少準(zhǔn)確到小數(shù)點

后第三位.單從Is—S.|的數(shù)值觀察S,逼近S?的表現(xiàn)，直觀地，Si對已準(zhǔn)

確到小數(shù)點后第二位，Sz已準(zhǔn)確到小數(shù)點后第三位，S已準(zhǔn)確到小數(shù)點后第四位.

總之，不管準(zhǔn)確值9已知還是未知，近似值S與準(zhǔn)確值S+在規(guī)格化小數(shù)部分

相同的位數(shù)越多，S對S.的近似程度就越好，計算精度就越高.

0.3注意學(xué)習(xí)方法

1.要帶著實用的欲望學(xué)習(xí)

本課程所學(xué)習(xí)的一些計算方法，簡言之，是關(guān)于高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)課程中的

基本數(shù)學(xué)問題數(shù)值化處理的方法，它是科技計算的基礎(chǔ).也是1T行業(yè)的基礎(chǔ).該課

程中涉及的每一類問題，都有著廣泛的應(yīng)用背景，既有算法又有具體實現(xiàn)過程，因

此讀者應(yīng)擺脫關(guān)于理論課程學(xué)習(xí)方法的限制J.帶著分析問題、解決問題和實際應(yīng)用

的目的來學(xué)習(xí)本課程.

2.要注重算法思想

本課程在將某一類數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值算法的過程中，綜合使用了多種基礎(chǔ)

知識，具體算法似乎顯得繁雜.但要注意，設(shè)計算法的基本思想始終是直觀明快的.

因此，只有注重算法思想的學(xué)習(xí),才能無礙地記住算法和相應(yīng)的計算公式.才能培

養(yǎng)關(guān)于分析和解決實際問題的能力，死記硬背是無效的.

3.要注重實踐性環(huán)節(jié)

現(xiàn)今階段.無需對每個算法編程上機了，每種算法都有相應(yīng)的軟件，學(xué)習(xí)階段

的實踐僅需要調(diào)用這些程序去解決一個簡單問題,觀察其解決的效果.這樣的實踐

過程雖然簡單，但是必要的，因為這樣可一般性地了解具體的計算過程，可加深對

各種算法優(yōu)缺點和最佳適應(yīng)范圍的理解.

第1章多項式插值方法

多項式插值方法，直觀地說，認(rèn)為已知的一批數(shù)據(jù)點(加，人)屋。是準(zhǔn)確的，這

些數(shù)據(jù)點所表現(xiàn)的準(zhǔn)確函數(shù)關(guān)系/(#是未知的；在這種情況下要作一條多項式近

似曲線&(外且點點通過這些數(shù)據(jù)點.插值問題不僅要討論這種近似曲線S,(.r)

的構(gòu)造方法，要討論這種近似所產(chǎn)生的誤差，還要討論這種插值曲線S”(才)是否穩(wěn)

定地收斂于未知函數(shù)/(7).

多項式插值方法是一種用多項式函數(shù)近似和逼近未知函數(shù)/(z)的數(shù)值方法，

它在科技計算中的應(yīng)用非常廣泛.

1.1Lagrange插值多項式

1.背景要求與Lagrange插值問題的提法

在生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗中，常常不能具體寫出反映真實現(xiàn)象的函數(shù)/(工)的表

達(dá)式，但可通過實驗測得若干離散的函數(shù)值｛/Q")｝\。，如表1.1.1所示.

人們希望利用這些有限的信息構(gòu)造一個

表1.1.1離散的函數(shù)值

近似函數(shù)，該近似函數(shù)對表中的實測值是準(zhǔn)確

4????

的,并能近似描述/(了)的變化規(guī)律.

)fo??A

由于”+1個無關(guān)的條件能唯一地確定一

個”次代數(shù)多項式函數(shù)所以用多項式L,,(H)近似表述/(.r)是合理的.于

是，有以下關(guān)于Lagrange插值多項式問題的提法：

已知區(qū)間［八R的等距或不等距節(jié)點｛由｝:。和這些節(jié)點處的函數(shù)值｛/*｝￡=“，

求"次插值多項式使得

=ft，k=0,1,

可用一種笨拙的辦法獲得(z),即令

L?(JC)=￡2o+aj4----+a?x",

將”+1個無關(guān)的插值條件代入，從而獲得關(guān)于”+1個未知數(shù)的線性方程組

/*=a。+內(nèi)用+即狀++,k=0,1,2,,,,

這個方程組唯一可解，解得a。，右，…，a”就可得到然而這種辦法不僅麻煩，

計算量大，而且求解方程組的計算過程會出現(xiàn)較大的誤差，是不可取的.下面從簡

單的線性插值和二次插值例子中總結(jié)出一套構(gòu)造一般Lagrange插值的簡便方法.

2.兩點確定線性插值函數(shù)

假設(shè)已知兩個插值節(jié)點也和丁用，已知相應(yīng)的函數(shù)值人和/⑴，要構(gòu)造一個

第1章多項式插值方法?7?

線性插值函數(shù)Li（才）=ax+6,使得

LNJCQ=fk,Li（4+i）=fk+i.

該線性插值函數(shù)L（/）如圖1.1.1所示，它是

很容易構(gòu)造的，可利用構(gòu)造直線的點斜式方程寫

出，即

,A,Cr)；

，（z）=）—（1.1.1）

力什I—%

特別地?式（1.1.1）可變形為兩點式方程

圖1.1.1線性插值函數(shù)圖形

Li（h）=fklk（^）+人+4+1（1），（1.1.2）

其中00）—三中---—?人（/）=

力+1—4

稱〃（#）是關(guān)于節(jié)點孔的節(jié)點基函數(shù)，稱?。荩?）是關(guān)于節(jié)點H的節(jié)點基函數(shù).

心（7）用式（L1.2）的表示形式是有特點的.它突出了每個節(jié)點處對應(yīng)著一個

基函數(shù),插值函數(shù)是這些節(jié)點基函數(shù)的線性組合形式.其組合系數(shù)就是節(jié)點處的函

數(shù)值.正是由于這種表現(xiàn)形式上的特點，節(jié)點基函數(shù)可相應(yīng)地表現(xiàn)為

(1,m=k，(1,〃？=￡+1,

lk(")=Z"i(a%)=

Io,mWk,0,7〃W上+1,

它們都是［項，1+/上的線性多項式函數(shù)，其圖形如圖1,1.2所示.

圖1.1.2線性插值基函數(shù)圖形

線性插值函數(shù)心（外近似f（x）的效果可由其誤差函數(shù)

Ri（^）=/（#）—Li（1）

來描述，那么線性插值函數(shù)的誤差函數(shù)有什么特點，又如何確定呢？第一，由于插值

的原因，線性插值函數(shù)在節(jié)點處的誤差為零.其誤差函數(shù)應(yīng)具有的形式為

Rl（J*）=C（JC-27）（2、-JC/.+1）；

第二.當(dāng)/（彳）就是線性函數(shù)時，/（7）和L（w）就是一致的，所以，線性插值函數(shù)的

誤差函數(shù)一定是一個二次多項式；第三，R1）的具體形式為

Ri（i）=f（x）—Li（x'）=/（：）.（1—*）（］—叫+i）,WG［加，］計11.

(1.1.3)

?8?實用計算方法（第2版）

此誤差表達(dá)式的具體證明可參見定理1.1.1.

3.三點確定二次多項式插值函數(shù)

假設(shè)已知三個節(jié)點我—，融它們可能是等距的，也可能是不等距的，還已知

相應(yīng)的互異的函數(shù)值八，/小，力+2,要構(gòu)造一個二次多項式插值函數(shù)LN",使得

L2（jrt）=ft,

Li（H*+1）=f1

Lz（N*+2）=fk+2-

三個獨立的插值條件可唯一地確定一個二

次多項式插值函數(shù)，如圖1.1.3所示.

需要特別強調(diào)的是，我們需要像式（1.1.2）

圖1.1.3二次插值函數(shù)的圖形那樣的節(jié)點基函數(shù)的線性組合形式，即

Lz（J-）=fklk（-T）+fk+llh+1（-T）+人+Z〃+2（Z）.（1.I-4）

因為L>（x）是一個二次多項式，所以可推知式（1.1.4）中的三個節(jié)點基函數(shù)都是

二次多項式；因為在節(jié)點孔處的函數(shù)值/*在式（1.1.4）中僅僅由這一項

來表現(xiàn)，所以可推知

4（X*）=1，//（工什I）==0.

總之，式（1.1.4）的形式特點決定了節(jié)點基函數(shù)的性質(zhì)：三個節(jié)點基函數(shù)4（H）,

4+1（才），小2（工）都是二次多項式,它們在插值節(jié)點處的表現(xiàn)如表1.1.2所示.

下面介紹確定節(jié)點基函數(shù)4（無）的簡便辦表1.L2節(jié)點基函數(shù)在插值

法.首先，因為/*（才）是一個二次多項式，且節(jié)點處的表現(xiàn)

4（工什1）=/?（1什2）=。，龍計】1什2

所以1人工）中必定含有因式（N—Z*T）（￡-Ik（x）100

工料2）,且4（了）必定具有如下形式：人⑴010

=C（1—）（7—7^+2）?心2（1）001

再利用條件4（工*）=1,確定常系數(shù)

1

c----------------------

一不計1）（力4一工什2）

于是就得到了/式1）的表達(dá)式為

］（、=（才一才什1）（才一才什2）

k1（］?-1什］）（/4—7葉2”

用同樣的辦法可確定節(jié)點基函數(shù)//（］）.首先，因為是一個二次多項

式,且24+I（4）—4H4（①12）=0，所以lk+\式）中必定含有因式（1一X*）（X-XJH-2），

且心|（/）必定具有如下形式：

/什］（1）=—1&）（］—JT-2）.

再利用4M（加+］）=1，確定常系數(shù)C,并得到

第1章多項式插值方法?9?

./、（?一口）（之一JCk+2）

lk+\（1）=777??

（尤什i-XkH^k+i—1什2）

用同樣的辦法可確定節(jié)點基函數(shù)。+21），其形式為

（7—）（7-L+i）

4+2（1）=

（Xk+2-LCXk+2-74+1）

這三個節(jié)點基函數(shù)的圖形如圖LL4所示.

圖1.1.4三點二次插值的節(jié)點基函數(shù)圖形

二次多項式插值函數(shù)以⑺近似/（z）的效果可由其誤差函數(shù)

區(qū)2（力）=/'（l）一L（支）

來描述,其誤差函數(shù)有什么特點且如何確定呢？有三個定性的結(jié)果：第一.由于插值

的原因，在節(jié)點處的插值誤差為零?所以在形式上有

R＞（x）=，（彳—）（才一/什I）（1一衛(wèi)什2）；

第二.當(dāng)/（工）就是二次多項式時?L）（JT）和/'（］）是一致的，2（/）對/（1）準(zhǔn)確到

二次多項式的程度，所以，二次插值函數(shù)的誤差函數(shù)一定是一個三次式；第三，此誤

差函數(shù)R,（￡）的具體形式為

&（1）=）（l—八）（/—文計1）0—/八），EG［工一1計21.（LL5）

此誤差表達(dá)式的具體證明可參見定理1.1.1.

4.Lagrange型"次插值多項式

假設(shè)已知區(qū)間［a,〃］上的互異節(jié)點的分劃，a=No＜乃＜a-2＜=b,

節(jié)點之間可能是等距的，也可能是不等距的，并且已知這些節(jié)點處相應(yīng)的插值

｛九｝?=。，要構(gòu)造一個n次多項式要“（H）,使得

L”（H*）=/*,k—0,1,,,?,n.

應(yīng)該肯定，〃+1個無關(guān)的插值條件可唯一地確定所需構(gòu)造的n次多項式

（7）.由于％（才）的構(gòu)造中僅涉及通過節(jié)點處的函數(shù)值｛九｝、。，而不涉及函數(shù)的

導(dǎo)數(shù)值，所以稱這樣的L“（z）為Lagrange型n次插值多項式.

由于L“（T）需要突出加處的插值/*,根據(jù)式（1.1.2）和式（1.1.4）的表現(xiàn)和推

廣，可假設(shè)L,,（了）仍然是關(guān)于節(jié)點基函數(shù)的線性組合形式，即

11

L〃（＞z）=＞二，八（工）.（1.1.6）

?10?實用計算方法（第2版）

根據(jù)式（1.L6）的形式特點，可推知節(jié)點基函數(shù)人（彳）的性質(zhì).事實上，因為

是〃次多項式,所以可要求全部節(jié)點基函數(shù)4（1）都是〃次多項式.由于在節(jié)

點心處的插值人僅僅由///l）這一項來表現(xiàn).所以可推知“（1）的特點.總之，

由式（1.1.6）的形式特點決定了節(jié)點基函數(shù)/式文）具有如下性質(zhì)：

1）Ki）是〃次多項式；

[1,j=k,

2）巧）=k=0,1,,72.

10,j中k,

利用節(jié)點基函數(shù)的形式特點4（1）就可以被簡便地確定.因為12）=0有〃

個根，所以。（久）可表現(xiàn)為

Ik（*r）=一/0）???（1一）（1—x什i）???（?r一r”）.

由Ik{JCk）=1,可求得

c=--------------------------------1--------------------------------,

（力—io）???（*—）（*—.TJH-I）???（科—.r?）

于是就有。（①）=TT.......—?

強4-目

其中，口是連乘符號.

。（無）的圖形有什么特點呢？卜面就五個等距節(jié)點的情形，畫出節(jié)點基函數(shù)

/i（J-）=（a*—2）（x—3）（工一4）（X—5）/24,

，3（z）=（1一1）（了-2）（z—4）（攵-5）/4

的圖形，為此先簡單地計算幾個函數(shù)值并列在表1.1.3中，再作九（才）和A（z）的簡

圖（見圖1.1.5（a））.由圖可見，當(dāng)插值節(jié)點總數(shù)較少時，端點處的節(jié)點基函數(shù)

ZJ（H）的振蕩起伏較小，同樣可知，/Z（H）"」（H）4（了）的振蕩起伏也是較小的.總

之，當(dāng)插值節(jié)點總數(shù)較少時，所有節(jié)點基函數(shù)的振蕩起伏沒有出現(xiàn)異常情況.

表1.1.3五節(jié)點基函數(shù)圖形的幾個函數(shù)值

611.52.533.54.5

l\^Xk)10.273—0.03900.023—0.039

，3（力士）0-0.5470.70310.703-0.547

卜面就九個節(jié)點的情形，畫出節(jié)點基函數(shù)

6X5

的圖形，為此先簡單地計算幾個函數(shù)值并列在表1.1.4中.再作乙（7）和乙（力的簡

圖（見圖1.1.5（b））.由圖可見，當(dāng)插值節(jié)點總數(shù)較多時，端節(jié)點及其附近節(jié)點處的

節(jié)點基函數(shù)具有較小的振蕩起伏.區(qū)間中部的節(jié)點基函數(shù)圖形在端點附近出現(xiàn)了

第1章多項式插值方法?11?

圖1.1.5插值節(jié)點總數(shù)不同時Lagrange節(jié)點基函數(shù)的表現(xiàn)

表1.1.4九節(jié)點基函數(shù)圖形的幾個函數(shù)值

11.52.53.54.55.56.5

/])10.196-0.0130.003一0.0010.001-0.001

7.58.555.56.57.58.5

Is（英）0.003-0.01310.673-0.3520.549-1.964

異常的起伏.可以肯定，當(dāng)插值自點總數(shù)繼續(xù)增多時.中部在點基函數(shù)在區(qū)間端點

附近的起伏還會進一步加劇.

n次Lagrange插值多項式L“（_r）如式（1.1.6）所示，近似/（%）的效果可用余

項

R”（H）=f（x）—L?（x）

來描述.有兩個結(jié)論是肯定的：第一，當(dāng)/（.r）就是"次多項式函數(shù)時,由插值多項

式函數(shù)的唯一性可知，/（z）和L”函）是一致的；第二，在插值節(jié)點｛%｝屋。處，插值

誤差為零.因此插值誤差（即余項）具有如下形式：

/??（J-）=C（.X-心）（了一了［）…

插值誤差更具體的表現(xiàn)如定理1.1.1所述.

定理1.1.1設(shè)/（￡）在上是"+1次可微的，L,（_r）是如式（1.1.6）所

示的"次Lagrange插值多項式，則插值誤差為

R“（.r）=/（了）—L“（H）=/,￡寸（工一7*）,S6

（1.1.7）

證明若才等于某個插值節(jié)點取，則式（1.1.7）兩邊都等于零，定理顯然成立.

下面考慮了不是插值節(jié)點的情形.記

?12?實用計算方法（第2版）

3,+1（攵）=（X-①。）（才-X，）“?（X-Z”）,

設(shè)誤差函數(shù)形式為

R”（①）=K（x）a>?+i（x）,

其中.K1）是待定的函數(shù).還引進輔助函數(shù)

<p（t）=f（t）一L?（f）—K（了）3”+1（t）,

則在t=z,Hoh”處中（？）=0,<p（t）在fC[a上至少有”+2個零點.根

據(jù)Rolle定理,'（，）在6八的兩個零點之間至少有一個零點，￡‘（，）在[a,切上

至少有”+1個這樣的零點，，中>（八在，e[a，口上至少有一個零點.那么，至少存

在著一點SG[a,切，使得/+"（￡）=0,于是有

產(chǎn)，（分=-L"（g）-K（z）二中>=0.

由于L,,（?）是n次多項式，w?+i（Z）是〃+1次多項式，有

—=0,s鏟⑷=（”+1）],

所以有/,,<+1,（$）-K（J-）（H+1）!=0,

K⑺=，二'忖,3e[a，"

代入R“（M）的表達(dá)式，從而證得式（1.1.7）正確.

下面再次總結(jié)并強調(diào)n次Lagrange型插值多項式的幾個特點：

1）僅已知（"+D個關(guān)于函數(shù)值的獨立的插值條件可唯一地確定一個n次插

值多項式函數(shù).

2）盡管這個〃次插值多項式函數(shù)可以作多種變形表示，但它一定可以表示為

Lagrange型插值多項式的形式.即可表示為關(guān)于節(jié)點基函數(shù)的線性組合形式

11

L“O）=

*=0

其中，加是插值節(jié)點，人是節(jié)點以處的函數(shù)值/Cr）是定義在節(jié)點孔處的

Lagrange型節(jié)點基函數(shù).

3）這種表示形式的顯著特點是,/人（工）僅突出表現(xiàn)節(jié)點4處的函數(shù)值人，該項

對其它插值節(jié)點處的函數(shù)值不予表現(xiàn),這就決定了節(jié)點基函數(shù)/式攵）的性質(zhì)為

也由此決定/?（了）的表達(dá)式.

4）L?（^）具有=fk的插值特點，其插值誤差函數(shù)R,,（H）自然具有

=0的表現(xiàn)自然具有如下的n+1個因式的連乘積形式；

R”（彳）=C（H—Zo）（工一加）…（了一JC?）.

其形式特點為：R,,（z）有”+1個零點,R“⑺有〃+1個因式乘積.R.⑺的系數(shù)為

c=/'+>（*/（"+1）!.

第1章多項式插值方法?13?

5)在［a,A］上近似f(7)，是一種用〃次多項式函數(shù)對/(/)的近似，特

別地.當(dāng)/(%)就是一個〃次多項式時，在區(qū)間［a,〃:］上有LJ/)三/(公.

以上關(guān)于Lagrange型插值函數(shù)所總結(jié)的兒個特點對以后章節(jié)的學(xué)習(xí)是非常

重要的.

5.應(yīng)用舉例

例1.1.1給定函數(shù)/(］)=lar在節(jié)點處的函數(shù)值如表1.1.5所示.分別用

線性插值和二次插值求ln(ll.75)的近似值.

表1.1.5節(jié)點處的函數(shù)值

X10111213

/(X)2.30262.39792.48492.5649

解(1)作線性插值.取兩個插值節(jié)點1。=11,-=12,利用線性插值公式

(1.L2),有

ln(ll.75)心LN1L75)

1175—121175—11

=臺皿X2.3979+X2.4849

11—1Z1Z—1J1

=2.4632.

(2)作二次插值.取三個插值節(jié)點No=11.小=12.ar2=13,利用二次插值

公式(L1.4).為此先計算出三個節(jié)點基函數(shù)在父=11.75處的值如下：

Zo(ll.75)=0.15625,乙(11.75)=0.93750,Z2(ll.75)=-0.09375,

再代入式(1.1.4),有

ln(ll.75)gL2(ll.75)

=0.15625X2.3979+0.93750X2.4849-0.09375X2.5649

=2.4638.

與準(zhǔn)確值Indi.75)=2.463853…相比，可以看出二次插值比線性插值的精

度高.

例LL2設(shè)有測量得到的數(shù)據(jù)如表1.L6測量數(shù)據(jù)

表1.1.6所示，試用三次Lagrange插值1346

函數(shù)〃(才)表示這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，

-75814

并計算七(2),心3(6.5)的值.

解利用式(1.L6)及其節(jié)點基函數(shù)形式，寫出三次Lagrange插值函數(shù)

zx_(1—3)(1一4)(1一6)z_x(1一1)(才—4)(才-6)71-

37/)-(1-3)(1-4)(1-6)XvL7)+(3-1)(3-4)(3-6)Xb

■(■、一1)(①一3)(彳-6)/s(1-1)(①一3)(JC-4)/］汁

十(4一1)(4—3)(4—6)十(6—1)(6—3)(6—4)

?14?實用計算方法(第2版)

=一13/+54i—72)+搟(/-11*+34/—24)

306

一§(力-10/+271-18)+殺(/-8,+191一12)

630

=-13/+691-92),

□

再計算出L：i(2)=0.4,L：i(6.5)=81.875.

應(yīng)該看到.雖然/(才)是未知的，但若/(.r)就是某個三次多項式，或本題中的

數(shù)據(jù)正好位于某個三次多項式曲線上，此時的計算結(jié)果LN2)=0.4就是準(zhǔn)確的；

若/(才)是任意形狀的未知曲線，計算結(jié)果%(2