*三、二重積分換元法第二節一、利用直角坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分機動目錄上頁下頁返回結束二重積分計算法第十章4/25/2025高等數學課件1/39一、利用直角坐標計算二重積分且在D上連續時,由曲頂柱體體積計算可知,若D為X–型區域則若D為Y–型區域則機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件2/39當被積函數均非負在D上變號時,所以上面討論累次積分法依然有效.這說明不論被積函數正負皆能夠按上述方法定限.因為機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件3/39說明:(1)若積分區域既是X–型區域又是Y–型區域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還能夠交換積分序.則有(2)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件4/39例1.

計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍閉區域.解法1.將D看作X–型區域,則解法2.將D看作Y–型區域,

則機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件5/39例2.計算其中D是拋物線所圍成閉區域.解1:為簡便,先對x后對y積分,及直線則機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件6/39例2.計算其中D是拋物線所圍成閉區域.解2:先對y后對x積分,及直線則機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件7/39例3.計算其中D是直線所圍成閉區域.解:

由被積函數可知,所以取D為X–型域:先對x積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分次序.機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件8/39例4.交換以下積分次序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區域,則機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件9/39補充題計算積分其中D由所圍成.提醒:如圖所表示連續,所以機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件10/39小貼士：關于二重積分對稱性：D位于x軸上方部分為D1,當區域關于y軸對稱時仍有類似結果.在D上域D關于x軸對稱,則則輪換對稱性機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件11/39例5.

計算其中D由所圍成.解:令(如圖所表示)顯然,機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件12/39例6.解:機動目錄上頁下頁返回結束求

（08研）將分為曲線4/25/2025高等數學課件13/39練習冊.證實證:機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件14/39技巧題設且求提醒:交換積分次序后,利用輪換對稱性機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件15/39練習1.提醒:機動目錄上頁下頁返回結束計算可表示為：其中D是由圍成。4/25/2025高等數學課件16/39練習2.提醒:機動目錄上頁下頁返回結束交換積分次序練習3.計算D如圖所表示。提醒:4/25/2025高等數學課件17/39練習4.提醒:機動目錄上頁下頁返回結束計算4/25/2025高等數學課件18/39二、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下,用同心圓r=常數則及射線

=常數,機動目錄上頁下頁返回結束為在極坐標下計算先討論積分區域D：分劃區域D為即4/25/2025高等數學課件19/39設則尤其,對機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件20/39特例：若f≡1則可求得D面積思索:以下各圖中域D分別與x,y答:軸相切于原點,問

應取多少？(1)(2)機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件21/39例6.計算D為由圓所圍成及直線解：平面閉區域.機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件22/39例7.計算解:因為對稱性，只計算第一象限部分，①機動目錄上頁下頁返回結束分為兩個步驟：4/25/2025高等數學課件23/39求交點機動目錄上頁下頁返回結束②4/25/2025高等數學課件24/39例8.計算其中解:在極坐標系下原式原函數不是初等函數,故本題無法用直角因為故坐標計算.機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件25/39注:利用例6可得到一個在概率論與數理統計及工程上非常有用反常積分公式實際上,當D為R2時,利用例6結果,得①故①式成立.機動目錄上頁下頁返回結束原函數不是初等函數,故本題無法用直角因為坐標計算.4/25/2025高等數學課件26/39例9.

求球體被圓柱面所截得(含在柱面內)立體體積.解:設由對稱性可知:機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件27/39定積分換元法*三、二重積分換元法

滿足一階導數連續;雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應,機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件28/39證:依據定理條件可知變換T可逆.

用平行于坐標軸直線分割區域任取其中一個小矩形,其頂點為經過變換T,在xoy面上得到一個四邊形,其對應頂點為則機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件29/39同理得當h,k充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為機動目錄上頁下頁返回結束所以面積元素關系為4/25/2025高等數學課件30/39從而得二重積分換元公式:比如,直角坐標轉化為極坐標時,機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件31/39例9.

計算其中D是x軸y軸和直線所圍成閉域.解:令則機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件32/39例10.計算由所圍成閉區域D面積S.解:令則機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件33/39例11.

試計算橢球體解:由對稱性令則D原象為體積V.機動目錄上頁下頁返回結束廣義極坐標代換4/25/2025高等數學課件34/39內容小結(1)二重積分化為累次積分方法直角坐標系情形:

若積分區域為則

若積分區域為則機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件35/39則(2)普通換元公式且則極坐標系情形:若積分區域為在變換下機動目錄上頁下頁返回結束4/25/2025高等數學課件36/39(3)計算步驟及注意事項?畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應盡可能多為坐標線被積函數關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對稱性應