第14章統(tǒng)計(jì)章末題型歸納總結(jié)（能力篇）章末題型歸納目錄模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：知識(shí)點(diǎn)總結(jié)模塊三：典型例題題型一：抽樣方法的選取及應(yīng)用題型二：頻率分布直方圖題型三：用樣本的取值規(guī)律估計(jì)總體的取值規(guī)律題型四：百分位數(shù)題型五：統(tǒng)計(jì)圖表題型六：用樣本的集中趨勢、離散程度估計(jì)總體

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)1：抽樣1、抽樣調(diào)查（1）總體：統(tǒng)計(jì)中所考察對(duì)象的某一數(shù)值指標(biāo)的全體構(gòu)成的集合稱為總體．（2）個(gè)體：構(gòu)成總體的每一個(gè)元素叫做個(gè)體．（3）樣本：從總體中抽取若干個(gè)個(gè)體進(jìn)行考察，這若干個(gè)個(gè)體所構(gòu)成的集合叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量．2、簡單隨機(jī)抽樣（1）定義一般地，設(shè)一個(gè)總體含有個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取個(gè)個(gè)體作為樣本（），如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣．這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機(jī)樣本．（2）兩種常用的簡單隨機(jī)抽樣方法①抽簽法：一般地，抽簽法就是把總體中的個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫在號(hào)簽上，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取次，就得到一個(gè)容量為的樣本．②隨機(jī)數(shù)法：即利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣．這里僅介紹隨機(jī)數(shù)表法．隨機(jī)數(shù)表由數(shù)字，，，…，組成，并且每個(gè)數(shù)字在表中各個(gè)位置出現(xiàn)的機(jī)會(huì)都是一樣的．注意：為了保證所選數(shù)字的隨機(jī)性，需在查看隨機(jī)數(shù)表前就指出開始數(shù)字的橫、縱位置．（3）抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的適用情況抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況，但是當(dāng)總體容量很大時(shí)，需要的樣本容量也很大時(shí)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本仍不方便．（4）簡單隨機(jī)抽樣的特征①有限性：簡單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個(gè)數(shù)是有限的，便于通過樣本對(duì)總體進(jìn)行分析．②逐一性：簡單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取，便于實(shí)踐中操作．③不放回性：簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣，便于進(jìn)行有關(guān)的分析和計(jì)算．④等可能性：簡單單隨機(jī)抽樣中各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，從而保證了抽樣方法的公平．只有四個(gè)特點(diǎn)都滿足的抽樣才是簡單隨機(jī)抽樣．3、分層抽樣（1）定義一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的．（2）分層抽樣問題類型及解題思路①求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算．②已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算．③分層抽樣的計(jì)算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數(shù)量,各層個(gè)體數(shù)量)”注意：分層抽樣時(shí)，每層抽取的個(gè)體可以不一樣多，但必須滿足抽取（）個(gè)個(gè)體（其中是層數(shù)，是抽取的樣本容量，是第層中個(gè)體的個(gè)數(shù)，是總體容量）．知識(shí)點(diǎn)2：用樣本估計(jì)總體1、頻率分布直方圖（1）頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法①eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．②eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．③頻率分布直方圖中各個(gè)小方形的面積總和等于．2、頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計(jì)算（1）最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．設(shè)中位數(shù)為，利用左（右）側(cè)矩形面積之和等于，即可求出．（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，即有，其中為每個(gè)小長方形底邊的中點(diǎn)，為每個(gè)小長方形的面積．3、百分位數(shù)（1）定義一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．（2）計(jì)算一組個(gè)數(shù)據(jù)的的第百分位數(shù)的步驟①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．②計(jì)算．③若不是整數(shù)而大于的比鄰整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)數(shù)據(jù)；若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)與第項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．（3）四分位數(shù)我們之前學(xué)過的中位數(shù)，相當(dāng)于是第百分位數(shù)．在實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第百分位數(shù)，第百分位數(shù)．這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．4、樣本的數(shù)字特征（1）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平．②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平．③平均數(shù)：個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平，公式變形：．5、標(biāo)準(zhǔn)差和方差（1）定義①標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用表示．假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是，表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)差．②方差：方差就是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即．顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的．在解決實(shí)際問題時(shí)，多采用標(biāo)準(zhǔn)差．（2）數(shù)據(jù)特征標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)程度的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，則數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．反之亦可由離散程度的大小推算標(biāo)準(zhǔn)差、方差的大小．（3）平均數(shù)、方差的性質(zhì)如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，那么①一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．②一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．③一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．

模塊三：典型例題題型一：抽樣方法的選取及應(yīng)用【典例11】（2025·高三·全國·專題練習(xí)）2021年元月份，河北、黑龍江等地相繼出現(xiàn)疫情，學(xué)生春節(jié)放寒假期間，某大學(xué)鼓勵(lì)大學(xué)生積極參加到各個(gè)社區(qū)作為志愿者抗擊疫情，下面是新學(xué)期開學(xué)后學(xué)校隨機(jī)抽取100人，對(duì)其參加志愿者的天數(shù)統(tǒng)計(jì)，得到如下統(tǒng)計(jì)表：參加志愿者的天數(shù)人數(shù)107020若以這100人參加志愿者天數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替該大學(xué)所有學(xué)生參加志愿者天數(shù)位于該區(qū)間的概率．根據(jù)上表，用分層抽樣的方法從這100人中隨機(jī)抽取20人，則抽取的20人中“參加社會(huì)志愿者天數(shù)不多于5天和不少于10天”的人數(shù)為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】由題意得選中“參加社會(huì)志愿者天數(shù)不多于5天和不少于10天”的人概率為，由分層抽樣性質(zhì)得，抽取的20人中“參加社會(huì)志愿者天數(shù)不多于5天和不少于10天”的人數(shù)為，顯然A正確.故選：A【典例12】（2025·高一·江西景德鎮(zhèn)·期中）在新冠肺炎疫情期間，大多數(shù)學(xué)生都在家進(jìn)行網(wǎng)上上課，某校高一，高二，高三共有學(xué)生6000名，為了了解同學(xué)們對(duì)某授課軟件的意見，計(jì)劃采用分層抽樣的方法從這6000名學(xué)生中抽取一個(gè)容量60的樣本，若從高一，高二，高三抽取的人數(shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，則該校高二年級(jí)的人數(shù)為（

）A．1000 B．1500 C．2000 D．3000【答案】C【解析】因?yàn)閺母咭弧⒏叨⒏呷槿〉娜藬?shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，所以設(shè)高三抽取的人數(shù)為，則高二抽取的人數(shù)為，高一抽取的人數(shù)為，因?yàn)闃颖救萘繛?0，所以，設(shè)我校高二年級(jí)的人數(shù)為，根據(jù)分層抽樣得：，故選：C【變式11】（2025·高一·江西景德鎮(zhèn)·期中）現(xiàn)要用隨機(jī)數(shù)表法從總體容量為240(編號(hào)為001到240)的研究對(duì)象中挑選出50個(gè)樣本，則在下列數(shù)表中按從左至右的方式抽取到的第四個(gè)對(duì)象的編號(hào)為（

）3245174491145621651002456896405681655464416308562105214845131254102145A．5 B．44 C．165 D．210【答案】D【解析】由隨機(jī)數(shù)表抽樣方法可知，以3個(gè)數(shù)字為單位抽取數(shù)字，且數(shù)字不能大于240，且要去掉重復(fù)數(shù)字，據(jù)此第一個(gè)數(shù)字為114，第二個(gè)為165，第三個(gè)為100，第4個(gè)為210.故選：D【變式12】（2025·高一·河北邯鄲·期末）為了研究某種病毒與血型之間的關(guān)系，決定從被感染的人群中抽取樣本進(jìn)行調(diào)查，這些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人數(shù)比為4:3:3:2，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)樣本量為的樣本，已知樣本中O型血的人數(shù)比AB型血的人數(shù)多20，則（

）A．100 B．120 C．200 D．240【答案】B【解析】因?yàn)楦腥救巳褐蠴型血、A型血、B型血、AB型血的人數(shù)比為4:3:3:2，所以，抽取樣本量為的樣本中，O型血的人數(shù)為，AB型血的人數(shù)為，所以，，解得故選：B【變式13】（2025·高三·河南·階段練習(xí)）港珠澳大橋是中國境內(nèi)一座連接中國香港、廣東珠海和中國澳門的橋隧工程，因其超大的建筑規(guī)模、空前的施工難度以及頂尖的建造技術(shù)聞名世界，為內(nèi)地前往香港的游客提供了便捷的交通途徑，某旅行社分年齡統(tǒng)計(jì)了大橋落地以后，由香港大橋?qū)崿F(xiàn)內(nèi)地前往香港的老中青旅客的比例分別為，現(xiàn)使用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機(jī)抽取名，若青年旅客抽到60人，則（

）

A．老年旅客抽到150人 B．中年旅客抽到20人C． D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人數(shù)之和超過200【答案】C【解析】根據(jù)分層抽樣的概念及計(jì)算方法，列出方程，即可求解，得到答案.由題意，香港大橋?qū)崿F(xiàn)內(nèi)地前往香港的老中青旅客的比例分別為，現(xiàn)使用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機(jī)抽取名，若青年旅客抽到60人，所以，解得人.故選:C.題型二：頻率分布直方圖【典例21】（2025·高一·全國·單元測試）節(jié)約用水是中華民族的傳統(tǒng)美德，某市政府希望在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸），用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過的部分按議價(jià)收費(fèi)．為此希望已經(jīng)學(xué)習(xí)過統(tǒng)計(jì)的小明，來給出建議．為了了解全市居民用水量的分布情況，小明通過隨機(jī)走訪，獲得了100位居民某年的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），如果你是小明，你覺得的估計(jì)值為（精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）【答案】2.9【解析】由頻率分布直方圖知，，解得；計(jì)算月均用水量小于2.5噸的居民人數(shù)所占的百分比為，即71%的居民月均用水量小于2.5噸；計(jì)算月均用水量小于3噸的居民人數(shù)所占的百分比為，即88%的居民月均用水量小于3噸；故，假設(shè)月均用水量平均分布，則（噸），即的居民每月用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)為噸．故答案為:2.9．【典例22】（2025·高一·全國·專題練習(xí)）一個(gè)社區(qū)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入（百元）調(diào)查了10000人，將所得數(shù)據(jù)分成如下六組：，，，，，，然后得到如圖所示的頻率分布直方圖．若將這10000人按其月收入也分成相應(yīng)六組，并進(jìn)行分層抽樣抽出200人作進(jìn)一步調(diào)查，則在這一組中應(yīng)抽出人．【答案】50【解析】由頻率分布直方圖可知這一組所對(duì)應(yīng)頻率為，又分層抽樣人數(shù)為200人，則應(yīng)抽取（人）.故答案為：.【變式21】（2025·高三·云南·階段練習(xí)）某市某次高中數(shù)學(xué)統(tǒng)測學(xué)生測試成績頻率分布直方圖如圖所示.現(xiàn)按測試成績由高到低分成A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，其中等占等占等占等占的比例，規(guī)定達(dá)到等級(jí)及以上才能通過考試，則要通過本次考試的學(xué)生分?jǐn)?shù)至少為.【答案】24【解析】由圖可知，分?jǐn)?shù)在20分以下的比例為，在40分以下的比例為，因此分位數(shù)位于內(nèi)，由，所以通過本次考試分?jǐn)?shù)至少為24.故答案為：24.【變式22】（2025·高一·湖南·階段練習(xí)）2022年春天我國東部片區(qū)降水量出現(xiàn)近年新低，旱情嚴(yán)重，城市缺水問題顯得較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，科學(xué)決策，在全市隨機(jī)抽取了100位居民某年的月均用水量（單位：）得到如圖所示的頻率分布直方圖，在統(tǒng)計(jì)中我們定義一個(gè)分布的分位數(shù)為滿足的，則估計(jì)本例中.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字）【答案】2.45【解析】由題意可知：就是滿足的橫坐標(biāo)的值，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的頻率為，對(duì)應(yīng)的頻率為，對(duì)應(yīng)的頻率為，對(duì)應(yīng)的頻率為，對(duì)應(yīng)的頻率為，所以落在內(nèi)，設(shè)距離2.5的距離為，所以，所以，所以.故答案為：2.45【變式23】（2025·高三·河北衡水·階段練習(xí)）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競賽，100名學(xué)生成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間：．按分層抽樣的方法，從分?jǐn)?shù)在與，的學(xué)生中選出5人參加經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)，并從這5人中任選2人進(jìn)行總結(jié)發(fā)言，則這2人的分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值超過10分的概率為．

【答案】/0.4【解析】由題意得，解得，所以分?jǐn)?shù)在與，的學(xué)生人數(shù)之比為，即分別從分?jǐn)?shù)在，60）與的學(xué)生中選出1人和4人，要使2人的分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值超過10分，需這2人的分?jǐn)?shù)屬于不同的區(qū)間，所以所求概率為．故答案為：題型三：用樣本的取值規(guī)律估計(jì)總體的取值規(guī)律【典例31】（2025·高一·江西贛州·開學(xué)考試）為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，某校組織若干名學(xué)生參加漢字聽寫大賽，為了解學(xué)生整體聽寫能力，從中抽取部分學(xué)生的成績（得分取正整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，請(qǐng)根據(jù)尚未完成的下列圖表，解答問題：

分組49.5～59.559.5～69.569.5～79.579.5～89.589.5～100.5頻數(shù)2a20168頻率0.040.080.400.32b(1)本次抽樣調(diào)查的樣本容量為_______，此樣本中成績的中位數(shù)落在_______范圍內(nèi)．表中_______，_______；(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；(3)若該校共有初中生3000名，若成績超過80分為優(yōu)秀，請(qǐng)估計(jì)該校漢字聽寫能力為優(yōu)秀的約有多少人．【解析】（1）學(xué)生總數(shù)是：（人），（人），；∴本次抽樣調(diào)查的樣本容量為50，成績的中位數(shù)落在范圍內(nèi)，（人），；（2）根據(jù)（1）得出的a的值，補(bǔ)圖如下：（3）（人）．該校漢字聽寫能力為優(yōu)秀的約有人．【典例32】（2025·高一·云南昭通·期末）為了解某校高一年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段性表現(xiàn)，年級(jí)組織了一次階段測試.已知此次考試共有450名學(xué)生參加，考試成績的頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)以該區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.(1)求a的值；(2)估計(jì)這次數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；(3)估計(jì)該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的第70百分位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.【解析】（1）由，解得.（2）由頻率分布直方圖知：眾數(shù)為65，設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)椋手形粩?shù)位于內(nèi)，則有，解得.所以中位數(shù)為67.69.這次數(shù)學(xué)考試的平均成績?yōu)?（3）成績小于70分所占的比例為，成績小于80分所占的比例為，所以第70的分位數(shù)在內(nèi)，所以第70的分位數(shù)為.【變式31】（2025·高一·重慶·開學(xué)考試）隨著新能源電動(dòng)汽車的推廣，人們對(duì)電動(dòng)汽車的電池續(xù)航能力非常關(guān)注.某店為了解車主對(duì)甲?乙兩款電動(dòng)汽車電池續(xù)航能力的滿意程度，從該店銷售的甲?乙兩款車中各隨機(jī)抽取10名車主對(duì)其所使用車輛的電池續(xù)航能力進(jìn)行評(píng)分（單位：分），并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理?描述和分析（評(píng)分用表示，共分為三組：），下面給出了部分信息：甲款電動(dòng)汽車10名車主的評(píng)分是：.乙款電動(dòng)汽車10名車主的評(píng)分在組的數(shù)據(jù)是：.抽取的甲?乙兩款電動(dòng)汽車車主的評(píng)分統(tǒng)計(jì)表車型平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲8380乙8385抽取的乙款電動(dòng)汽車車主的評(píng)分扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)上述圖表中__________，__________，__________；(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪款電動(dòng)汽車的電池續(xù)航能力的滿意度更好？請(qǐng)說明理由（寫出一條理由即可）；(3)該店甲款電動(dòng)汽車的車主有600人，乙款電動(dòng)汽車的車主有400人.若評(píng)分不低于90分為“非常滿意”，估計(jì)這些車主中對(duì)其所使用車輛的電池續(xù)航能力“非常滿意”的總共有多少人？【解析】（1）從甲款電動(dòng)汽車10名車主的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)中，80出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為80，即，乙款電動(dòng)汽車車主的評(píng)分扇形統(tǒng)計(jì)圖中A組占，B組占，C組占，所以，所以A組有兩個(gè)最大的數(shù)據(jù)，同時(shí)B組的數(shù)據(jù)有5個(gè)是：85，85，85，80，80，所以最中間的數(shù)為85，80，所以中位數(shù)為，即，故答案為：80，，30;（2）乙款電動(dòng)汽車的電池續(xù)航能力的滿意度更好，理由如下：甲款和乙款的平均數(shù)相等，但乙款的眾數(shù)和中位數(shù)都比甲款的大，所以乙款的滿意度更好；（3）甲款電動(dòng)汽車的車主“非常滿意”的有兩人，占比為，乙款電動(dòng)汽車的車主“非常滿意”的占比為，所以滿足題意的總?cè)藬?shù)為：（人）．【變式32】（2025·高一·福建三明·階段練習(xí)）某中學(xué)新建了學(xué)校食堂，每天有近2000名學(xué)生在學(xué)校食堂用午餐，午餐開放時(shí)間約40分鐘，食堂制作了三類餐食，第一類是選餐，學(xué)生憑喜好在做好的大約6種菜和主食米飯中任意選購；第二類是套餐，已按配套好菜色盛裝好，可直接取餐：第三類是面食，如煮面?炒粉等，為了更合理地設(shè)置口布局，增加學(xué)生的用餐滿意度，學(xué)校學(xué)生會(huì)在用餐的學(xué)生中對(duì)就餐選擇?各類餐食的平均每份取餐時(shí)長以及可接受等待時(shí)間進(jìn)行問卷調(diào)查，并得到以下的統(tǒng)計(jì)圖表：類別選餐套餐面食選擇人數(shù)503020平均每份取餐時(shí)長（單位?分鐘）20.51已知飯?zhí)玫氖埏埓翱谝还灿?0個(gè)，就餐高峰期時(shí)有240名學(xué)生在等待就餐．(1)根據(jù)以上調(diào)查統(tǒng)計(jì)，如果設(shè)置12個(gè)選餐窗口，4個(gè)套餐窗口，4個(gè)面食窗口，就餐高峰期時(shí)，假設(shè)大家在排隊(duì)時(shí)自動(dòng)選擇較短的隊(duì)伍等待（即各類餐食的窗口前隊(duì)伍長度各自相同），求選擇選餐的同學(xué)取到午餐的最長等待時(shí)間；(2)取餐時(shí)至多等待多長時(shí)間能讓的同學(xué)感到滿意？（即在接受等待時(shí)長內(nèi)取到餐，保留整數(shù)）；(3)根據(jù)以上的調(diào)查統(tǒng)計(jì)，從等待時(shí)長和公平的角度上考慮，如何設(shè)置各類售飯窗口數(shù)更優(yōu)化，并給出你的求解過程．【解析】（1）由題意得就餐高峰期時(shí)選擇選餐的總?cè)藬?shù)為人；這120人平均分布在12個(gè)選餐窗口，平均每個(gè)窗口等待就餐的人數(shù)為人，所以選擇選餐的同學(xué)取到午餐的最長等待時(shí)間為分鐘，（2）由可接受等待時(shí)長的頻率分布直方圖可知，分組為的頻率分別為，所以可接受等待時(shí)長在分鐘以內(nèi)的同學(xué)占0.05，即有的同學(xué)不滿意可接受等待時(shí)長在分鐘以內(nèi)的同學(xué)占，即有的同學(xué)對(duì)等待時(shí)間少于15分鐘感到滿意，所以至多等待的時(shí)間，能讓的同學(xué)感到滿意，所以分鐘，至多等待18分鐘，能讓的同學(xué)感到滿意.（3）假設(shè)設(shè)置個(gè)選餐窗口，個(gè)套餐窗口，個(gè)面食窗口，則各隊(duì)伍的同學(xué)最長等待時(shí)間如下：類別選餐套餐面食高峰期就餐總?cè)藬?shù)1207248各隊(duì)伍長度（人）最長等待時(shí)間（分鐘）依題意，從等待時(shí)長和公平的角度上考慮，則要求每個(gè)隊(duì)伍的最長等待時(shí)間大致相同，即得，即有，而，故，因此建議設(shè)置選餐?套餐?面食三個(gè)類別的窗口數(shù)分別為15，2，3個(gè).【變式33】（2025·高一·全國·專題練習(xí)）某市質(zhì)監(jiān)局要檢查某公司某個(gè)時(shí)間段生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從500袋牛奶中抽取10袋進(jìn)行檢驗(yàn)．(1)利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，應(yīng)如何操作？(2)如果用隨機(jī)數(shù)法生成部分隨機(jī)數(shù)如下所示，據(jù)此寫出應(yīng)抽取的袋裝牛奶的編號(hào)；162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667.(3)質(zhì)監(jiān)局對(duì)該公司生產(chǎn)的袋裝牛奶檢驗(yàn)的質(zhì)量指標(biāo)有兩種：一是每袋牛奶的質(zhì)量滿足500±5g，二是10袋質(zhì)量的平均數(shù)≥500g，同時(shí)滿足這兩個(gè)指標(biāo)，才認(rèn)為公司生產(chǎn)的牛奶為合格，否則為不合格．經(jīng)過檢測得到10袋袋裝牛奶的質(zhì)量(單位：g)如下：502，500，499，497，503，499，501，500，498，499.計(jì)算這個(gè)樣本的平均數(shù)，并按照以上標(biāo)準(zhǔn)判斷該公司的牛奶質(zhì)量是否合格；(4)該公司對(duì)質(zhì)監(jiān)局的這種檢驗(yàn)方法并不認(rèn)可，公司質(zhì)監(jiān)部門抽取了100袋牛奶按照(3)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)計(jì)得到這100袋袋裝牛奶的質(zhì)量都滿足500±5g，平均數(shù)為500.4g，你認(rèn)為質(zhì)監(jiān)局和公司質(zhì)監(jiān)部門的檢驗(yàn)結(jié)果哪一個(gè)更可靠？為什么？(5)為進(jìn)一步加強(qiáng)公司袋裝牛奶的質(zhì)量，規(guī)定袋裝牛奶的質(zhì)量變量值為Yi＝公司質(zhì)監(jiān)部門又抽取了一個(gè)容量為50的樣本，其質(zhì)量變量值如下：11101111001010101010111101011100010101001001010101據(jù)此估計(jì)該公司生產(chǎn)的袋裝牛奶質(zhì)量不低于500g的比例．【解析】（1）第一步，將500袋牛奶編號(hào)為1，2，…，500；第二步，用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生1～500范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；第三步，把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號(hào)，使編號(hào)對(duì)應(yīng)的袋裝牛奶進(jìn)入樣本；第四步，重復(fù)上述過程，直到產(chǎn)生的不同編號(hào)等于樣本所需要的數(shù)量．（2）應(yīng)抽取的袋裝牛奶的編號(hào)為162，277，354，384，263，491，175，331，455，068.（3），所以該公司的牛奶質(zhì)量不合格.（4）該公司的質(zhì)監(jiān)部門的檢驗(yàn)結(jié)果更可靠．因?yàn)橘|(zhì)監(jiān)局抽取的樣本量較小，不能很好地反映總體，該公司的質(zhì)監(jiān)部門抽取的樣本量較大，一般來說，樣本量大的估計(jì)效果會(huì)好于樣本量小的．尤其是樣本量不大時(shí)，增加樣本量可以較好地提高估計(jì)的效果．（5）由樣本觀測數(shù)據(jù)，計(jì)算可得樣本平均數(shù)為，據(jù)此估計(jì)該公司生產(chǎn)的袋裝牛奶質(zhì)量不低于500g的比例約為0.56.題型四：百分位數(shù)【典例41】（2025·高三·上海·期中）某校期中考試后，為分析100名高三學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，整理他們的數(shù)學(xué)成績得到如圖所示的頻率分布直方圖．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．估計(jì)數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)為75 B．C．估計(jì)數(shù)學(xué)成績的75百分位數(shù)約為85 D．估計(jì)成績?cè)?0分及以上的學(xué)生的平均分為87.50【答案】B【解析】估計(jì)數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)為（分），A選項(xiàng)正確.根據(jù)題意可得，∴，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.∵前四組的頻率依次為0.1，0.15，0.35，0.3，∴估計(jì)數(shù)學(xué)成績的75百分位數(shù)約為（分），C選項(xiàng)正確.∵成績?cè)?0分及以上的學(xué)生的兩組的頻率之比為，∴估計(jì)成績?cè)?0分及以上的學(xué)生的平均分為，D選項(xiàng)正確．故選：B．【典例42】（2025·高三·山東濱州·期末）某大學(xué)共有15000名學(xué)生，為了了解學(xué)生書籍閱讀量情況，該校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1000名，統(tǒng)計(jì)他們2022年閱讀的書籍?dāng)?shù)量，由此來估計(jì)該校學(xué)生當(dāng)年閱讀書籍?dāng)?shù)量的情況，下列估計(jì)中正確的是（

）(注：同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)A．眾數(shù)約為10 B．中位數(shù)約為6.5C．平均數(shù)約為6.76 D．該校學(xué)生2022年閱讀的書籍?dāng)?shù)量的第60百分位數(shù)約為7.6【答案】D【解析】對(duì)于A，由圖可知眾數(shù)在內(nèi)，所以眾數(shù)是6，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖，中位數(shù)在內(nèi)，所以，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平均數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖，該校學(xué)生2022年閱讀的書籍?dāng)?shù)量的第60百分位數(shù)約為，故D正確.故選：D.【變式41】（2025·高三·江蘇南京·學(xué)業(yè)考試）某考生參加某高校的綜合評(píng)價(jià)招生并成功通過了初試，在面試階段中，8位老師根據(jù)考生表現(xiàn)給出得分，分?jǐn)?shù)由低到高依次為：76，a，b，80，80，81，84，85，若這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為77，則該名考生的面試平均得分為（

）A．79 B．80 C．81 D．82【答案】B【解析】由題意知，下四分位數(shù)為第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，解之得，所以該名考生面試的平均得分為.故選：B.【變式42】（2025·高一·新疆·期末）已知小王4次月考的數(shù)學(xué)成績分別為125，116，120，131，則這些成績的第75百分位數(shù)是（

）A．122.5 B．125 C．128 D．131【答案】C【解析】將這些成績從小到大排列為.因?yàn)椋赃@些成績的第75百分位數(shù)是.故選：C.【變式43】（2025·高一·天津南開·期末）一組數(shù)據(jù)：53，57，45，61，79，49，x，若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3，則（

）．A．58或64 B．58 C．59或64 D．59【答案】A【解析】將已知的6個(gè)數(shù)從小到大排序?yàn)?5，49，53，57，61，79．若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為61和57，他們的差為4，不符合條件；若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為79和61，它們的差為18，不符合條件；若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為x和61（或61和x），則，解得或故選：A題型五：統(tǒng)計(jì)圖表【典例51】（多選題）（2025·高一·廣西南寧·期末）某市2023年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟(jì)收入較前一年增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟(jì)收入的變化情況，統(tǒng)計(jì)了該市招商引資前后的年經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下扇形圖．則下列結(jié)論中正確的是（

）A．招商引資后，工資凈收入較前一年減少B．招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的2.5倍C．招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟(jì)收入的D．招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍【答案】BD【解析】根據(jù)題意，可設(shè)招商引資前的經(jīng)濟(jì)收入為，則招商引資后的經(jīng)濟(jì)收入為；對(duì)于A，由招商引資前后的年經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例可知招商引資前的工資收入為，招商引資后的工資收入為，可知招商引資后，工資凈收入較前一年增多，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，招商引資前的轉(zhuǎn)移凈收入為，招商引資后的工資收入為，即招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的2.5倍，可得B正確；對(duì)于C，由招商引資后的年經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例可知轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和占比為，小于，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，招商引資后的經(jīng)營凈收入為，招商引資前的經(jīng)營凈收入為，可得招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍，即D正確.故選：BD【典例52】（多選題）（2025·高一·廣東佛山·期末）某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短期；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn)．各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠．該保險(xiǎn)公司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參保客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖表．則（

）

A．丁險(xiǎn)種參保人數(shù)超過五成 B．41歲以上參保人數(shù)超過總參保人數(shù)的五成C．18－29周歲人群參保的總費(fèi)用最少 D．人均參保費(fèi)用不超過5000元【答案】ACD【解析】由參保險(xiǎn)種比例圖可知，丁險(xiǎn)種參保人數(shù)比例，故A正確由參保人數(shù)比例圖可知，41歲以上參保人數(shù)超過總參保人數(shù)的不到五成，B錯(cuò)誤由不同年齡段人均參保費(fèi)用圖可知，周歲人群人均參保費(fèi)用最少，但是這類人所占比例為，周歲以上參保人數(shù)最少比例為，周歲以上人群人均參保費(fèi)用,所以18－29周歲人群參保的總費(fèi)用最少，故C正確．由不同年齡段人均參保費(fèi)用圖可知，人均參保費(fèi)用不超過5000元,故D正確故選：ACD．【變式51】（多選題）（2025·高一·全國·課后作業(yè)）（多選）如圖是2018年第一季度五省GDP情況圖，則下列描述正確的是（）A．與去年同期相比2018年第一季度五個(gè)省的GDP總量均實(shí)現(xiàn)了增長B．2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省C．2018年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)D．去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元【答案】ABD【解析】由2018年第一季度五省情況圖，知：與去年同期相比，2018年第一季度五個(gè)省的總量均實(shí)現(xiàn)了增長，A正確；2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省，故B正確;2018年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省有江蘇和河南，共2個(gè),故C不正確；由2017年同期河南省的GDP總量增長6.6%后達(dá)到2018年的4067.4億元，可得去年同期河南省的GDP總量約為3815.6億元，不超過4000億元，故D正確.故選：ABD.【變式52】（多選題）（2025·高三·廣東揭陽·期末）2022年前三個(gè)季度全國居民人均可支配收入27650元，比2021年同期增長了約5.3%，圖①為2021年與2022年前三季度全國及分城鄉(xiāng)居民人均可支配收入的對(duì)比圖；圖②為2022年前三季度全國居民人均消費(fèi)支出及構(gòu)成（其中全國居民人均可支配收入=城鎮(zhèn)居民人均可支配收入×城鎮(zhèn)人口比重+農(nóng)村居民人均可支配收入×農(nóng)村人口比重），則下列說法正確的是（

）A．2022年前三個(gè)季度全國居民可支配收入的中位數(shù)一定高于2021年同期全國居民可支配收入的中位數(shù)B．2022年城鎮(zhèn)居民人數(shù)多于農(nóng)村居民人數(shù)C．2022年前三個(gè)季度全國居民在食品煙酒以及居住方面的人均消費(fèi)超過了總消費(fèi)的50%D．2022年前三個(gè)季度全國居民在教育文化娛樂方面的人均消費(fèi)支出超過了3700元【答案】BC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，圖中信息體現(xiàn)的是平均數(shù)的差別，沒有提供中位數(shù)的信息，不能作出判斷，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)2022年城鎮(zhèn)居民占全國居民的比重為x，則有，解得，故選項(xiàng)B正確；2022年前三個(gè)季度全國居民在食品煙酒以及居住方面的人均消費(fèi)支出占總消費(fèi)的比例分別為30%，24%，故選項(xiàng)C正確；2022年前三個(gè)季度全國居民在教育文化娛樂方面的人均消費(fèi)支出為（元），且，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.【變式53】（多選題）（2025·高一·全國·專題練習(xí)）2019年以來，世界經(jīng)濟(jì)和貿(mào)易增長放緩，中美經(jīng)貿(mào)摩擦影響持續(xù)顯現(xiàn)，我國對(duì)外貿(mào)易仍然表現(xiàn)出很強(qiáng)的韌性．今年以來，商務(wù)部會(huì)同各省市全面貫徹落實(shí)穩(wěn)外貿(mào)決策部署，出臺(tái)了一系列政策舉措，全力營造法治化、國際化、便利化的營商環(huán)境，不斷提高貿(mào)易便利化水平，外貿(mào)穩(wěn)規(guī)模、提質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)力取得階段性成效，進(jìn)出口保持穩(wěn)中提質(zhì)的發(fā)展勢頭，下圖是某省近五年進(jìn)出口情況統(tǒng)計(jì)圖，下列描述正確的是（

）A．2015年出口額最少 B．出口總額比進(jìn)口總額多C．出口增速前四年逐年下降 D．2019年進(jìn)口增速最快【答案】ABD【解析】觀察5個(gè)白色矩形可知，這五年中2015年出口額最少，故A正確；觀察題圖可得，2015年出口額比進(jìn)口額稍低，但2016年至2019年出口額都高于進(jìn)口額，并且2017年和2018年出口額都明顯高于進(jìn)口額，故這5年，出口總額比進(jìn)口總額多，故B正確；觀察虛線折線圖可知，2015年到2016年出口增速是上升的，故C錯(cuò)誤；觀察實(shí)線折線圖可知2019年是最高的，即2019年進(jìn)口增速最快，故D正確．故選：ABD．題型六：用樣本的集中趨勢、離散程度估計(jì)總體

56．（2025·高一·貴州·期末）王老師從所教兩個(gè)班的100名學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，記錄他們期中考試的數(shù)學(xué)成績（滿分100分），根據(jù)所得數(shù)據(jù)，按分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計(jì)這40名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分和方差（各組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)已知剩余60名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分為82，方差為101，結(jié)合（1）中求得的結(jié)果，估計(jì)王老師所教兩個(gè)班的學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分和方差.【解析】（1）這40名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分為：，這40名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的方差為：（2）兩個(gè)班的學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分為，兩個(gè)班的學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的方差為：.【典例61】（2025·高二·湖北·期中）某校藝術(shù)團(tuán)共有人，男生與女生的比例是.為了解藝術(shù)團(tuán)全體學(xué)生的身高，按性別比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，抽取樣本量為的樣本，并觀測樣本身高數(shù)據(jù)（單位：）.已