第十章概率

10.1.2事件的關系和運算

一、教學目標

1.理解時間的關系和運算．

2．能夠將事件的運算關系知識靈活運用到實際事件中．

3.通過對事件的關系和運算的學習，培養學生數學抽象、數學運算、數學建模等數學素養。

二、教學重難點

1.事件運算關系的實際含義．

2.事件運算關系的應用.

三、教學過程：

（1）創設情景

閱讀課本，完成下列填空：

（2）新知探究

問題1:

問題2:(提出本節課所學內容)

（3）新知建構

事件的關系與運算

①包含關系：一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發生，則事件B一定發生，這

時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)

記作AB(或BA如圖:

②并事件：事件A與事件B至少有一個發生,這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A

中,或者在事件B中,我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件）,記作AUB(或

A+B).如圖:

③交事件:事件A與事件B同時發生,這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中,也在

事件B中,我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件）,記作AB(或

AB).如圖:

互斥關系若A∩B為，則稱事件A與事件B互斥.

如圖:

對立關系若A∩B為，A∪B為U，那么稱事件A與事件B互為對立事件，可

記為B＝或A＝,若A∩B＝，A∪B＝U，則A與B對立.

?

如圖:

（4）數學運用

例1.一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有有2個紅色球（標號為1和2），2個

綠色球（標號為和），從袋中不放回地依次隨機摸出個球設事件第一次摸到紅球，

342.R1=“”

R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個球顏色相同”，

N=“兩個球顏色不同”.

（1）用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；

（）事件與，與，與之間各有什么關系？

2RR1RGMN

（）事件與事件的并事件與事件有什么關系？事件與事件的交事件與事件

3RGMR1R2R

有什么關系？

【答案】（）詳見解析（）事件包含事件；事件與事件互斥；事件與事件

12R1RRGMN

互為對立事件（）事件是事件與事件的并事件；事件是事件與事件的交

3MRGRR1R2

事件.

【解析】（1）所有的試驗結果如圖所示,

用數組x1,x2表示可能的結果,x1是第一次摸到的球的標號,x2是第二次摸到的球的標號,

則試驗的樣本空間

1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3

事件R1=“第一次摸到紅球”,即x11或2,于是

R11,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4；

事件R2=“第二次摸到紅球”,即x21或2,于是

R22,1,3,1,4,1,1,2,3,2,4,2.

同理,有

R1,2,2,1,

G3,4,4,3,

M1,2,2,1,3,4,4,3,

N1,3,1,4,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2.

（）因為所以事件包含事件；

2RR1,R1R

因為RG,所以事件R與事件G互斥；

因為MN,MN,所以事件M與事件N互為對立事件.

（3）因為RGM,所以事件M是事件R與事件G的并事件；

因為所以事件是事件與事件的交事件

R1R2R,RR1R2.

變式訓練1:從裝有2個白球和3個黑球的口袋內任取兩個球，那么下列事件中是互斥而不

對立的事件是（）

A．“恰有兩個白球”與“恰有一個黑球”

B．“至少有一個白球”與“至少有一個黑球”

C．“都是白球”與“至少有一個黑球”

D．“至少有一個黑球”與“都是黑球”

【答案】A

【解析】對于A，事件：“恰有兩個白球”與事件：“恰有一個黑球”不能同時發生，

但從口袋中任取兩個球時還有可能兩個都是黑球，

∴兩個事件是互斥事件但不是對立事件，∴A正確；

對于B，事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個白球”可以同時發生，

如：一個白球一個黑球，∴這兩個事件不是互斥事件，∴B不正確；

對于C.“都是白球”與“至少有一個黑球”不能同時發生，且對立，故C錯誤；

對于D，“至少有一個黑球”與“都是黑球”可以同時發生，故不互斥.故選：A.

變式訓練2:用紅、黃、藍三種不同的顏色給大小相同的三個圓隨機涂色，每個圓只涂一種

顏色.設事件A“三個圓的顏色全不相同”，事件B“三個圓的顏色不全相同”，事件C“其

中兩個圓的顏色相同”，事件D=“三個圓的顏色全相同”.

（1）寫出試驗的樣本空間.

（2）用集合的形式表示事件A,B,C,D.

（3）事件B與事件C有什么關系？事件A和B的交事件與事件D有什么關系？并說明理

由.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）事件B包含事件C，事件A和B的交事件與事件D

互斥.見解析

【解析】(1)由題意可知3個球可能顏色一樣,可能有2個一樣,另1個異色,或者三個球都異色.

則試驗的樣本空間

{（紅,紅,紅）,（黃,黃,黃）,（藍,藍,藍）,（紅,紅,黃）,（紅,紅,藍）,（藍,藍,紅）,（藍,

藍,黃）,（黃,黃,紅）,（黃,黃,藍）,（紅,黃,藍）}.

(2)A{（紅,黃,藍）}

B{（紅,紅,黃）,（紅,紅,藍）,（藍,藍,紅）,（藍,藍,黃）,（黃,黃,紅）,（黃,黃,藍）,（紅,

黃,藍）}

C{（紅,紅,黃）,（紅,紅,藍）,（藍,藍,紅）,（藍,藍,黃）,（黃,黃,紅）,（黃,黃,藍）}.

D={（紅,紅,紅）,（黃,黃,黃）,（藍,藍,藍）}.

(3)由(2)可知事件B包含事件C,事件A和B的交事件與事件D互斥.

例2.在擲骰子的試驗中，可以定義許多事件．例如，事件C1＝{出現1點}，事件C2＝{出

現2點}，事件C3＝{出現3點}，事件C4＝{出現4點}，事件C5＝{出現5點}，事件C6＝{出

現6點}，事件D1＝{出現的點數不大于1}，事件D2＝{出現的點數大于3}，事件D3＝{出

現的點數小于5}，事件E＝{出現的點數小于7}，事件F＝{出現的點數為偶數}，事件G＝

{出現的點數為奇數}，請根據上述定義的事件，回答下列問題：

(1)請舉出符合包含關系、相等關系的事件；

(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件．

【答案】（1）見解析；（2）事件D2，D3，E，F，G為和事件.

【解析】(1)若事件C1，C2，C3，C4發生，則事件D3必發生，所以C1D3，C2D3，C3D3，

C4D3.???

?同理可得，事件D2包含事件C4，C5，C6；事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；

事件F包含事件C2，C4，C6；

事件G包含事件C1，C3，C5.

易知事件C1與事件D1相等，即C1＝D1.

(2)因為事件D2＝{出現的點數大于3}＝{出現4點或出現5點或出現6點}，

所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．

同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝

C1＋C3＋C5.

故事件D2，D3，E，F，G為和事件．

變式訓練:（多選題）從裝有大小和形狀完全相同的5個紅球和3個白球的口袋內任取3個

球,那么下列各對事件中,互斥而不對立的是（）

A．至少有1個紅球與都是紅球B．至少有1個紅球與至少有1個白球

C．恰有1個紅球與恰有2個紅球D．至多有1個紅球與恰有2個紅球

【答案】CD

【解析】根據互斥事件與對立事件的定義判斷.

A中兩事件不是互斥事件,事件“3個球都是紅球”是兩事件的交事件;

B中兩事件能同時發生,如“恰有1個紅球和2個白球”,故不是互斥事件;

C中兩事件是互斥而不對立事件;至多有1個紅球,即有0個或1個紅球,與恰有2個紅球互斥,

除此還有3個都是紅球的情況,因此它們不對立,D符合題意.故選：CD

例3:記某射手一次射擊訓練中，射中10環、9環、8環、7環分別為事件A，B，C，D，

指出下列事件的含義：

（1）ABC；

（2）B∩C；

（3）B∪C∪D.

【答案】（1）射中10環或9環或8環.

（2）射中9環.

（3）射中10環或6環或5環或4環或3環或2環或1環或0環.

【解析】（1）A=射中10環，B=射中9環，C=射中8環，

A∪B∪C射中10環或9環或8環.

（2）C=射中8環，

C射中環數不是8環，

則B∩C射中9環.

（3）B∪C∪D射中9環或8環或7環，

則B∪C∪D射中10環或6環或5環或4環或3環或2環或1環或0環.

變式訓練:設A，B，C為三個