第二章相交線(xiàn)與平行線(xiàn)回顧與思考1.在綜合實(shí)踐課上，老師組織班上的同學(xué)開(kāi)展了探究?jī)山侵g數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)。如圖，已知射線(xiàn)AM//BN，連接AB，點(diǎn)P是射線(xiàn)AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，且分別交射線(xiàn)AM于點(diǎn)C，D.（1）當(dāng)∠A=60時(shí)，試說(shuō)明：∠CBD=∠A.【問(wèn)題情境】解：

因?yàn)锳M∥BN，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，可得

∠A+∠ABN=180°。已知∠A=60°，則∠ABN=180°?∠A=180°?60°=120°。因?yàn)锽C平分∠ABP，BD平分∠PBN，所以∠CBP=1/2∠ABP，∠DBP=1/2∠PBN。解：

那么∠CBD=∠CBP+∠DBP=1/2(∠ABP+∠PBN)。又因?yàn)椤螦BP+∠PBN=∠ABN，所以∠CBD=1/2∠ABN。把∠ABN=120°代入，可得∠CBD=1/2×120°=60°。

因?yàn)椤螦=60°，∠CBD=60°，所以∠CBD=∠A。（2）“快樂(lè)小組”經(jīng)過(guò)探索后發(fā)現(xiàn)：不斷改變∠A的度數(shù)，∠CBD與∠A始終存在某種數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你進(jìn)行說(shuō)明并完成下列填空：①當(dāng)∠A=40時(shí)，∠CBD=____?；②當(dāng)∠A=x時(shí)，∠CBD=__________?（用含x的代數(shù)式表示）。【探索發(fā)現(xiàn)】解：因?yàn)锳M∥BN，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，有∠A+∠ABN=180°，所以∠ABN=180°?∠A。由于BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，則∠CBP=1/2∠ABP，∠DBP=1/2∠PBN。那么∠CBD=∠CBP+∠DBP=1/2(∠ABP+∠PBN)。又因?yàn)椤螦BP+∠PBN=∠ABN，所以∠CBD=1/2∠ABN。把∠ABN=180°?∠A代入，可得∠CBD=1/2(180°?∠A)=90°?1/2∠A。解：①當(dāng)∠A=40°時(shí)：將∠A=40°代入∠CBD=90°?1/2∠A，則∠CBD=90°?1/2×40°=90°?20°=70°。②當(dāng)∠A=x°時(shí)：把∠A=x°代入∠CBD=90°?1/2∠A，可得∠CBD=90°?1/2x°。（2）“快樂(lè)小組”經(jīng)過(guò)探索后發(fā)現(xiàn)：不斷改變∠A的度數(shù)，∠CBD與∠A始終存在某種數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你進(jìn)行說(shuō)明并完成下列填空：①當(dāng)∠A=40時(shí)，∠CBD=____?；②當(dāng)∠A=x時(shí)，∠CBD=__________?（用含x的代數(shù)式表示）。【探索發(fā)現(xiàn)】70°90°?0.5x°（3）“智慧小組”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度數(shù)后，探究二者之間的數(shù)量關(guān)系。他們驚奇地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，無(wú)論點(diǎn)P在AM上的什么位置，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系都保持不變。請(qǐng)寫(xiě)出它們的關(guān)系，并說(shuō)明理由。【操作探究】解：因?yàn)锳M∥BN，所以∠ADB=∠DBN（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。又因?yàn)锽D平分∠PBN，所以∠PBN=2∠DBN，則∠PBN=2∠ADB。解：同樣由于AM∥BN，可得∠APB+∠PBN=180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）。把∠PBN=2∠ADB代入∠APB+∠PBN=180°，得到∠APB+2∠ADB=180°。所以∠APB與∠ADB的數(shù)量關(guān)系是∠APB+2∠ADB=180°。2.射到平面鏡上的光線(xiàn)（入射光線(xiàn)）和反射后的光線(xiàn)（反射光線(xiàn)）與平面鏡所夾的角相等。如圖1，AB是平面鏡，若入射光線(xiàn)與水平鏡面夾角為∠1，反射光線(xiàn)與水平鏡面夾角為∠2，則∠1=∠2。（1）如圖2，一束光線(xiàn)m射到平面鏡a上，被平面鏡a反射到平面鏡b上，又被平面鏡b反射出去。若被平面鏡b反射出的光線(xiàn)n與光線(xiàn)m平行，且∠1=50，求∠2的度數(shù)。【初步應(yīng)用】解：由入射光線(xiàn)和反射光線(xiàn)與平面鏡所夾的角相等，可得在平面鏡a處，∠1=∠3=50°。根據(jù)平角定義，在平面鏡a處，入射光線(xiàn)與反射光線(xiàn)的夾角為180°?2×50°=80°。解：因?yàn)楣饩€(xiàn)m與光線(xiàn)n平行，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，所以光線(xiàn)m與光線(xiàn)n的夾角和在平面鏡a處入射光線(xiàn)與反射光線(xiàn)的夾角之和為180°，則在平面鏡b處入射光線(xiàn)與反射光線(xiàn)的夾角也為80°。再根據(jù)入射光線(xiàn)和反射光線(xiàn)與平面鏡所夾的角相等，在平面鏡b處，∠2=2180°?80°?=100°。所以∠2的度數(shù)為100°。【猜想驗(yàn)證】（2）如圖2，任何射到平面鏡a上的光線(xiàn)m，經(jīng)過(guò)平面鏡a，b的兩次反射后，入射光線(xiàn)m與反射光線(xiàn)n平行，求兩平面鏡a，b的夾角∠3的度數(shù)。解：設(shè)光線(xiàn)m在平面鏡a上的入射角為α，反射角也為α（入射角等于反射角），光線(xiàn)m在平面鏡b上的入射角為β，反射角也為β。則在平面鏡a處，與∠1相等的角為α，在平面鏡b處，與出射光線(xiàn)相關(guān)的角為β。因?yàn)閙∥n，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，所以2α+2β=180°，化簡(jiǎn)可得α+β=90°。解：在由平面鏡a、b組成的三角形中（以?xún)善矫骁R交點(diǎn)及光線(xiàn)在兩平面鏡上的入射點(diǎn)構(gòu)成的三角形），根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，∠3=180°?(α+β)。把α+β=90°代入上式，可得∠3=90°。【拓展探究】（3）如圖3，有三塊平面鏡a，b，c，入射光線(xiàn)m與鏡面a的夾角∠1=30，鏡面a，b組成的∠α為120，鏡面b和c連接（連接點(diǎn)可以在b上任意一點(diǎn)，組成的∠β也可以改變）。已知入射光線(xiàn)從鏡面a開(kāi)始反射，經(jīng)過(guò)k(k為正整數(shù)，k≤3)次反射，第k次反射的反射光線(xiàn)n由鏡面c反射，當(dāng)m//n時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出鏡面b和c組成的∠β(0到180之間）的度數(shù)。當(dāng)k=1時(shí)光線(xiàn)m經(jīng)平面鏡a反射后直接經(jīng)平面鏡c反射得到n，此時(shí)不存在平面鏡b的反射作用，這種情況不成立，因?yàn)轭}目要求經(jīng)過(guò)k(k≤3)次反射且與平面鏡b有關(guān)。當(dāng)k=2時(shí)光線(xiàn)m經(jīng)平面鏡a反射后，再經(jīng)平面鏡b反射，最后經(jīng)平面鏡c反射得到n。根據(jù)光線(xiàn)反射規(guī)律及平行線(xiàn)性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和等知識(shí)。已知∠1=30°，則在平面鏡a處入射角為60°。因?yàn)閙∥n，通過(guò)角度關(guān)系推導(dǎo)（利用入射角等于反射角以及平行線(xiàn)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)等性質(zhì)）可得∠β=90°。當(dāng)k=3時(shí)光線(xiàn)m依次經(jīng)過(guò)平面鏡a、b、c反射得到n。同樣根據(jù)光線(xiàn)反射規(guī)律（入射角等于反射角）、平行線(xiàn)性質(zhì)（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)等）以及三角形內(nèi)角和等知識(shí)進(jìn)行角度推導(dǎo)。可得∠β=150°或30°。【拓展探究】（3）如圖3，有三塊平面鏡a，b，c，入射光線(xiàn)m與鏡面a的夾角∠1=30，鏡面a，b組成的∠α為120，鏡面b和c連接（連接點(diǎn)可以在b上