試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級中考數學三輪沖刺訓練圓中切線證明專題訓練1．如圖，已知是的直徑，為的內接三角形，為延長線上一點，連接于點，交于點．(1)求證：是的切線．(2)若，求的長．2．如圖，在中，直徑與弦交于點P，，過點C作，與的延長線交于點E．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．3．如圖，已知是的直徑，A在上，點D是的內心，的延長線與相交于點E，過E作直線(1)求證：是的切線；(2)若，，①求的長；②直接寫出的長度：______．4．如圖，內接于，是的直徑，過的延長線上一點作于點，交于點，點是的中點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．5．如圖，已知為的直徑，，弦，直線，相交于點．(1)求證：直線是的切線；(2)當，時，求的半徑．6．如圖，在中，，延長到點C，使，在以O為圓心，為直徑的半圓上取一點D，使，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，則的半徑長為_______．7．如圖，在中，，為的直徑．與相交于點．過點作于點，延長線交于點．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的長．8．如圖，已知是的直徑，點P在的延長線上，弦平分，且于點D．(1)求證：是的切線；(2)若，弧的長為_________．9．在中，，以為直徑的與交于點，過點作，交的延長線于，垂足為．(1)如圖①，求證：直線是的切線；(2)如圖②，作于，交于，若，，求的長．10．如圖，在中，，以為直徑作，分別交于點，交的延長線于點，過點作于點，連接交線段于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求的半徑．11．如圖，為的直徑，是的一條弦，作的平分線與相交于點，過點作直線，交的延長線于點，連接．(1)求證：是的切線．(2)若，，求圓心到的距離．12．如圖，是的弦，過圓心作于點，延長交于點，與過點的的切線交于點，連接．(1)求證：是的切線．(2)若，，求線段的長及陰影部分的面積．13．如圖，在中，，于點O，于點E，以點O為圓心，為半徑作半圓，交于點F．(1)求證：是的切線；(2)若點F是的中點，，求圖中陰影部分的面積；(3)在（2）的條件下，點P是邊上的動點，當取最小值時，直接寫出的長．14．如圖，是的一條弦，為外一點，過點作的垂線，分別交，，于點，點，點D，延長交于點，．(1)求證：是的切線；(2)若是半圓，①求證：；②若，，求的長（用含、的代數式表示）．15．如圖，為的直徑，為延長線上一點，為上一點，連接，，作于點，交于點．(1)求證：是的切線．(2)若，，求的長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級中考數學三輪沖刺訓練圓中切線證明專題訓練》參考答案1．(1)詳見解析(2)2【分析】本題考查了切線的證明和解直角三角形，解題關鍵是熟練運用切線的判定定理進行證明，利用圓的性質得出等邊三角形，運用三角函數求解；（1）連接，根據和證明即可；（2）根據得出，得出是等邊三角形，再根據三角函數求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，∴是的半徑，是的切線；．（2）解：在中，，，是等邊三角形，，是直徑，，在中，．2．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，先判斷出垂直平分，再根據圓周角定理可得，根據平行線的判定可得，從而可得，然后根據圓的切線的判定即可得證；（2）連接，延長，交于點，先利用勾股定理可得的長，再設的半徑為，則，，利用勾股定理可得的值，從而可得的長，利用勾股定理可得的長，然后證出，利用相似三角形的性質求解即可得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，又∵，∴垂直平分，∵是的直徑，∴，即，∵，∴，∴，又∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：如圖，連接，延長，交于點，由（1）已得：垂直平分，∴，，∵，，∴，∴，設的半徑為，則，∴，在中，，即，解得，∴，∵是的直徑，∴，即，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴．【點睛】本題考查了圓的切線的判定、弧與弦的關系、圓周角定理、相似三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理等知識，熟練掌握圓的切線的判定和圓周角定理是解題關鍵．3．(1)見解析(2)①的長為4；②【分析】連接，交于點H，則，由是的直徑，點D是的內心，得，，則，所以，則，而，所以，即可證明是的切線；①連接，則，由，得，則，因為，所以，由，得，求得，則，由，，得；②作于點I，由，推導出，求得，則，所以，，求得，由，求得，由，求得，則，于是得到問題的答案．【詳解】（1）證明：連接，交于點H，則，，是的直徑，點D是的內心，，．．．．，．是的半徑，且，是的切線．（2）解：①連接，則，，．．，．，，．，，于點H，，，，的長為②作于點I，則，，．．，．．．．，．，．．故答案為：【點睛】此題重點考查等腰三角形的性質、平行線的判定與性質、切線的判定、圓周角定理、勾股定理、解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．4．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查切線的判定，正切值的計算，掌握直徑所對圓周角為直角，等邊對等角，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，正切值的計算方法是關鍵．（1）連接，由直徑所對圓周角為直角得到，由直角三角形斜邊中線得到，由等邊對等角得，根據垂直的定義得，根據等邊對等角得，則，，結合切線的判定即可求解；（2）根據題意得，在中，，可得，根據角的計算得到，則，在中，，則，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可求解．【詳解】（1）證明：連接，∵是的直徑，∴，∴，∵在中，點為的中點，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵為的半徑，∴是的切線．（2）解：∵，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴在中，，∴，∴．5．(1)詳見解析(2)的半徑長為【分析】（1）連接，則，所以，由，得，，則，可證明，得，即可證明直線是的切線；（2）由全等三角形的性質得，而，所以，則，由，求得，則的半徑長為．【詳解】（1）證明：連接，則，，，，，，在和中，，，，，是的半徑，且，直線是的切線．（2）解：由（1）得，，，，，，，，，的半徑長為．【點睛】本題考查等腰三角形的性質、平行線的性質、全等三角形的判定與性質、切線的判定、勾股定理、解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵6．(1)見解析(2)5【分析】（1）連接，則，證明，可得，從而可得答案；（2）連接，證明，可得，進一步可得答案．【詳解】（1）證明：連接，則，，，，，在和中，，，，∵是的半徑，且，∴是的切線．（2）解：連接，是的直徑，，，又，，，即：，解得：．即圓的半徑為.【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，切線的判定，圓周角定理的應用，相似三角形的判定與性質，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．7．(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定和性質，勾股定理，矩形的判定與性質，垂徑定理，等腰三角形的性質，解題的關鍵熟練掌握切線的判定．（1）根據已知條件證得即可得到結論；（2）如圖，過點O作于點H，則，構建矩形，根據矩形的性質和勾股定理即可得到結論．【詳解】（1）證明：連接，，，，，，，，，是的半徑，是的切線（2）解：如圖，過點作于點，則，四邊形是矩形，，，，，，，，，，是的直徑，．8．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，等邊對等角得到，角平分線得到，推出，進而得到，即可得證；（2）證明，求出的長，進而求出的度數，利用弧長公式進行計算即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵，∴．∵弦平分，∴，∴．∴，∵，∴．∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：連接，如圖，

由（1）知：，∴，∴，∴，∴．∴．在中，∵，∴．∴．【點睛】本題考查切線的判定以及弧長的計算．同時考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形．熟練掌握切線的判定方法，以及弧長公式，是解題的關鍵．9．(1)見解析(2)【分析】（1）連接,由,得到，則,得到，而,則,根據切線的判定定理即可得到結論；（2）連接是的直徑，根據圓周角定理的推論得到，而,則，在中，利用勾股定理可計算出,再利用等積法得到,可計算出,然后根據垂徑定理即可得解．【詳解】（1）證明：連接,如圖，,，,，，∴，，，直線是的切線；（2）解：連接，是的直徑，，,，,，在中，，于，由三角形面積公式，得，,,.【點睛】本題主要考查了切線的判定，等腰三角形的性質，圓周角定理的推論，垂徑定理以及勾股定理等知識點，熟練掌握其性質并能正確添加輔助線是解決此題的關鍵．10．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，利用等腰三角形性質得到，，進而得到，證明，利用平行線性質和切線的判定定理證明，即可解題；（2）設，利用等腰三角形性質，圓周角定理得到，進而得到，再證明，利用相似三角形性質建立等式求解，即可解題．【詳解】（1）證明：連接，，，，，，，，，，為半徑，是的切線；（2）解：設，，，，，，，，，，，，，連接，為直徑，，即，，，，，，，，，解得或（不合題意，舍去），的半徑為．【點睛】本題考查了等腰三角形性質和判定，平行線性質和判定，切線的判定定理，圓周角定理，相似三角形性質和判定，解題的關鍵在于熟練運用相關知識解決問題．11．(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的判定和性質，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，勾股定理．（1）根據切線的判定方法，連接，證出即可；（2）過點作，垂足為，則的長即為圓心到弦的距離，先由勾股定理得，進而得，再證明得，即可得的長，即圓心到的距離．【詳解】（1）證明：如圖，連接，的平分線與交于點，，，，，，，，又是的半徑，是的切線；（2）解：如圖，過點作，垂足為，則的長即為圓心到弦的距離，且，在中，，，是的平分線，又，，，，，．即圓心到的距離為．12．(1)證明見解析(2)，陰影部分的面積為【分析】本題考查圓的綜合運用，涉及垂徑定理，切線的性質與判定，全等三角形的判定與性質，圓中陰影面積的計算，特殊角的三角函數值，熟練掌握圓的相關性質是解題的關鍵．（1）連接，，利用得出垂直平分，得出，證明，結合切線的性質得出即可證明；（2）設的半徑為，則，，在中，利用列式求出，利用，求出，則，即可求出和，則可求出，求出，利用即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，，為的切線，，．，，即垂直平分，．在和中，，，，．又是的半徑，是的切線；（2）解：設的半徑為，則，，由（1）可知．，，解得：，，，，，，，．，，．13．(1)詳見解析(2)(3)【分析】（1）作于H，如圖，利用等腰三角形的性質得平分，再根據角平分線性質得，然后根據切線的判定定理得到結論；（2）先確定，，再計算出，然后根據扇形面積公式，利用圖中陰影部分的面積進行計算∶（3）作點關于的對稱點，連接交于，如圖，利用兩點之間線段最短得到此時最小，通過證明得到最小值為，然后計算出和得到此時的長．【詳解】（1）證明：作于H，如圖，，于點O，平分，，，，是的切線；（2）解：∵點F是的中點，，而，，，，∴圖中陰影部分的面積；（3）解：作F點關于的對稱點，連接交于P，如圖，，，此時最小，，，而，，，，即最小值為3，在中，，在中，，，即當取最小值時，的長為．【點睛】本題考查了切線的判定與性質∶經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經過切點的半徑．判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”，也考查了等腰三角形的性質、解直角三角形和最短路徑問題．14．(1)見解析(2)①見解析；②【分析】本題考查圓周角，切線的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵；（1）連接，進而證明，根據圓的切線判定，從而求解；（2）①連接，，判定，進而證明，即可求解；②連接,證明，根據勾股定理即可求解；【詳解】（1）解：連接，，，

，，，，，，是的切線；（2）解：①連接，，是半圓，，在上，，，，，，，，，②連接，，，，，，，，；15．(1)見解析；(2)